精品解析：山东日照市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2024级高二下学期期中考试 数学 2026.05 注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的首项,公差,则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用等差数列的通项公式，即可得到本题答案. 【详解】由为等差数列，且首项，公差，得. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用等差数列的通项公式求值，属基础题. 2. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】由已知，，，， ，， . 3. 函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要也不充分条件 【答案】A 【解析】 【详解】若在上恒成立，则在区间单调递增，充分性满足； 若在区间单调递增且可导，则在上（等号在某些点处取得），不能得到， 比如在单调递增，但，以及还有不可导的情况，必要性不满足， 因此“在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的充分不必要条件. 4. 设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由的图象可得，在轴的左侧，图象下降，递减，即有导数小于0，可排除C，D； 再由轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确． 5. 记数列的前项和满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与的关系求解即可. 【详解】因为， 当； 所以， 当时，，符合上式，所以， 故选：C. 6. 已知函数，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断为定义域上的奇函数且导数恒正单调递增,再利用奇偶性把不等式化为,借助单调性得到二次不等式,求解得或. 【详解】函数的定义域为，且. 即为上的奇函数. 求导得. 故在上单调递增. 原不等式等价于. 由单调性得，即，解得或. 7. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由与的关系及等差中项的性质结合题意计算可得. 【详解】因为，所以， ，所以， 因为是等差数列，则，即是递增数列， 因为所以， 又，， 所以当时，；当时，； 所以仅有，即满足的正整数n的值为16. 8. 若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，将问题转化为使得不等式对任意恒成立，结合导数研究的单调性以及图像，数形结合求解. 【详解】令，其中， 则，当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减． 所以使得不等式对任意恒成立等价于使得不等式对任意恒成立． 令得，由图可知， 因此实数的最大值为4． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. 和的等比中项为4 C. 取最大值时，的值为2或3 D. 若，的最大值为5 【答案】AC 【解析】 【分析】先设等差数列首项、公差，由、求出、，推出通项判定A正确，再算出得其等比中项为±4判定B错误，求出前项和，由二次函数性质知取2或3时最大判定C正确，解不等式得最大为4判定D错误，最终得正确选项为AC. 【详解】设等差数列的首项为，公差为. 已知，，由得.由得. 等差数列的通项公式为，故选项A正确. 由通项公式可得，， 设和的等比中项为，则，解得，因此选项B错误. 等差数列的前项和公式为， 配方得，因为，所以或时，取得最大值，选项C正确. 令，即，解得，因为，所以满足的的最大值为，选项D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 函数有两个极值点 C. 方程有两个不同的根 D. 若函数 在定义域内为增函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对求导代入求出,判定A正确,再代入得到解析式与导数,由导数零点仅有知只有一个极值点,判定B错误,构造求导分析单调性与最值,结合两端趋势知有两个零点,判定C正确,整理增函数对应的导数恒非负,用基本不等式求出最小值为4,得,判定D正确,最终选ACD. 【详解】已知，定义域为，求导得. 令，则，解得，故选项A正确. 将代入得，. 令，得（舍去），当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故仅有一个极小值点，无极大值点，选项B错误. 令，求导得. 令，得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ，且和时， 由零点存在定理有两个不同根，即方程有两个不同根，选项C正确. 由在内为增函数，得恒成立，即恒成立. 由基本不等式得，当且仅当时取等号，故，选项D正确. 11. 已知数列的通项公式为，，将按从小到大的顺序排列起来构成数列，.数列中落在区间内项的个数记为数列，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，直接枚举满足条件的最小几项和并按升序排列.对于选项B，在给定区间内固定最大指数，通过枚举较小指数的可能组合并分类计数，得到区间内项数.对于选项C，先用2的幂表达，再求即可.对于选项D，利用区间端点均为2的幂的性质，确定区间内所有组合必以区间右端点的指数为最大指数，进而利用组合数与裂项相消法求和. 【详解】因为，， 而． 对于选项A，依次列举较小的的值，， ，故A正确； 对于选项B，，从中找落在内的项， 当时，共4种情况； 当时，共3种情况； 当时，共2种情况； 当时，共1种情况； 所以种情况，故B正确； 对于选项C，，中在前面的有 当，恰好是从中选3个不同的数组合，共个； 当，，恰好是从中选2个不同的数组合，个； 当，，有，共2个； 3种情况共个，则是第个，即，C错误. 对于选项D，表示从中找落在内的项数． 当时，共种情况； 当时，共种情况； ．．．．．． 当时，共1种情况； 所以，故 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则__________. 【答案】4 【解析】 【详解】函数，则. 则，. 13. 已知函数在处有极小值，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先对求导因式分解得到，求出导数零点为与，由是极小值点推出或，再分别检验两处零点左右导数符号，判断单调性变化，排除后得到. 【详解】 所以. 令，得或. 因为在处有极小值，所以是的变号零点，即或. ①当时，， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 故处取极小值，符合题意. ②当即时，， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 是函数的极大值点，不合题意，舍去. 综上得. 14. 已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为__________. 【答案】25 【解析】 【分析】分和两种情况讨论最小值. 【详解】若，则要使最小,取， ，，，，，，，，时，最小， 此时的最小值为. 若，则必有， 取，，，，，，，，时，才能使得最小， 此时， 因为， 所以的最小值为25. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 设数列的公差为．因为， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 ． 16. 已知函数，. （1）若函数在点处的切线方程为，求，的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出的值并验证即可 (2)求出函数及导数，再由在上恒成立求出的范围 【小问1详解】 由题，，因为在处的切线为，所以， 代入得切点为，切点在切线上，则. 【小问2详解】 由题，求导得， 由在上单调递增，得在上恒成立， 当时，，因此在上恒成立，又，则 17. 已知函数的一个极值点是. （1）当时，求的单调区间； （2）设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增，在和上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【小问1详解】 （）， ， 因为函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当时，函数在上单调递增，在和上单调递减． 【小问2详解】 由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为，最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 因为存在，，使得成立， 即存在，，使得成立， 则， 又，解得， 所以实数的取值范围为． 18. 已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群，，，. （1）求的通项公式； （2）设第个群中所有项的和为，求； （3）在（2）的条件下，设数列满足，时，，若，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由递推式取倒数构造等差数列,结合,求出首项与公差,进而得出通项公式. （2）先找准分群规律,确定第群的项数、首项和末项的下标,再利用等差数列求和公式,代入通项化简得到群和. （3）由递推累乘求出表达式,分离参数构造数列,作商判断单调性,求出最小值,进而得到的取值范围. 【小问1详解】 由，两边取倒数得. 由，得.又，故. 所以是以为首项，为公差的等差数列. 故. 【小问2详解】 分群规律：第个群项，第个群项，，第个群有项. 前群共有项数：. 所以第群首项为，末项为. , 项数为，则 . 【小问3详解】 时，， . 时也满足，故. 由，得. 令.. 又，. 时，时. 故最小值为. 所以，实数取值范围为. 19. 已知函数和，直线与两条曲线和均相交. （1）若直线与两条曲线共有2个不同的交点，求实数的取值范围； （2）求同时与曲线和相切的直线条数； （3）若直线与两条曲线共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别记为，，，，是否存在，使得，，，依次成等比数列？请说明理由. （注：，） 【答案】（1） （2）2 （3）存在，理由： 由（1）可知且， 再由可知，而， 函数在上递减，因此， 同理可得， 又，于是，从而有， 要使，，，依次成等比数列，只需保证，即， 利用，可得，，则， 故， 于是， 即， 令，则， 令，则， 令，则， 则在单调递增， 又，，故存在使得， 于是在上单调递减，在上单调递增， 又，则， 而，， 故在上存在两个零点，且， 当时，由可知， 两边同时减去整理得， 令，则，故在单调递减， 因为， 而，由在单调递增可知， 即，故，则， 再由可知，与矛盾， 所以区间上满足题意的是唯一的，即，此时的值也是唯一的， 故存在唯一的t，使得，，，依次成等比数列． 【解析】 【分析】（1）根据导数得出的单调性，结合图象，即可求解； （2）由已知表示出和的切线方程，结合已知得出，，消去，构造函数，，根据导数及零点存在性定理即可求解； （3）由的性质画出图象，可得，再利用函数值相等，借助同构的思想推理即得． 【小问1详解】 函数和的定义域分别为和， 又，， 令得，令得， 当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 当时，，当时，， 在单调递减，在单调递增， 当时，；当时，；当时，，， 又， 如图，因为直线与两条曲线和共有2个不同的交点， 所以t的取值范围为. 【小问2详解】 设函数和在点和处的切线分别为和， 即和， 由题意可得，， 由于，消去可得，即， 令，， 由和可知， 则， 当时，，，则； 当时，， 则在上单调递增，此时， 所以当时，， 当时，，当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，， 当时，，由零点存在定理，存在，使得， 故存在两个零点和，则与这两条曲线都相切的直线条数为2． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二下学期期中考试 数学 2026.05 注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的首项,公差,则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 2. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 0 3. 函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要也不充分条件 4. 设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 记数列的前项和满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 7. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. 和的等比中项为4 C. 取最大值时，的值为2或3 D. 若，的最大值为5 10. 已知函数，则（ ） A. B. 函数有两个极值点 C. 方程有两个不同的根 D. 若函数 在定义域内为增函数，则 11. 已知数列的通项公式为，，将按从小到大的顺序排列起来构成数列，.数列中落在区间内项的个数记为数列，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则__________. 13. 已知函数在处有极小值，则__________. 14. 已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列数列的前项和为，求． 16. 已知函数，. （1）若函数在点处的切线方程为，求，的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 17. 已知函数的一个极值点是. （1）当时，求的单调区间； （2）设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 18. 已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群，，，. （1）求的通项公式； （2）设第个群中所有项的和为，求； （3）在（2）的条件下，设数列满足，时，，若，，求实数的取值范围. 19. 已知函数和，直线与两条曲线和均相交. （1）若直线与两条曲线共有2个不同的交点，求实数的取值范围； （2）求同时与曲线和相切的直线条数； （3）若直线与两条曲线共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别记为，，，，是否存在，使得，，，依次成等比数列？请说明理由. （注：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $