精品解析：山东省天立教育集团2024-2025学年高二下学期期中联测数学试题

2024至2025学年下学期高二期中集团联测 高二年级数学学科试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 等比数列中，，，则公比为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下 零件数（个） 2 3 4 5 加工时间（分钟） 26 49 54 根据上表可得回归方程，则实数的值为 A. 37.3 B. 38 C. 39 D. 39.5 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 5. 已知数列满足：，，则（ ） A. 34 B. 42 C. 46 D. 64 6. 若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知是定义在上的单调函数，是的导函数，若对都有，则方程的解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有三个不同的零点，其中，则的值为（ ） A 1 B. C. -1 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 设数列等差数列，公差为d，是其前n项和，且，则（ ） A. B. C. 或为最大值 D. 11. 多选题】已知函数，则（ ） A. 时，的图象位于轴下方 B. 有且仅有一个极值点 C. 有且仅有两个极值点 D. 在区间上有最大值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，已知，那么________. 13. 某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合后出现红灯的概率为________. 14. 设函数，当时，恒成立，则的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求在区间上的最值. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若对，恒成立，求的取值范围. 17. 在数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，且数列满足，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 18. 为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地. （1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率； （2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率； （3）用分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 19. 已知数列满足，数列为公差为等差数列，且满足.记，称为由数列生成的“函数”. （1）求的值； （2）若“1-函数”，求n的最小值； （3）记函数，其导函数为，证明：“函数”. 附： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024至2025学年下学期高二期中集团联测 高二年级数学学科试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 数列一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为. 故选：B 2. 等比数列中，，，则公比为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可求得，再根据即可得解. 【详解】解：设公比为， 因为，所有，则， 所以，解得. 故选：A. 3. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下 零件数（个） 2 3 4 5 加工时间（分钟） 26 49 54 根据上表可得回归方程，则实数的值为 A. 37.3 B. 38 C. 39 D. 39.5 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代入回归方程，即可得到实数的值． 【详解】根据题意可得：,， 根据回归方程过中心点可得：，解得：； 故答案选C 【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点是关键，属于基础题． 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调递增区间. 【详解】的定义域为，且，所以当时，，单调递增，的单调递增区间为. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题. 5. 已知数列满足：，，则（ ） A. 34 B. 42 C. 46 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由，，利用递推思想，逐项求出，再相加即可. 【详解】，， 则，，，； 则. 故选：B. 6. 若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，结合平行线的性质进行求解即可. 【详解】由，显然在曲线上， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因此切线方程为：， 直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以， 故选：C 7. 已知是定义在上的单调函数，是的导函数，若对都有，则方程的解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法求出函数的解析式及导数法则，再利用函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由题意可知，对任意的，都有. 则为定值.设，则. 又由，即. 可解得.则， ∴.∴. 令，， 故在上单调递增， 又由，. 故的唯一零点在区间之间. 则方程的解在区间上. 故选:A. 8. 已知函数有三个不同的零点，其中，则的值为（ ） A. 1 B. C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，求得导数和单调性，画出图象，从而考虑有两个不同的根，从而可得或，结合图象可得，结合韦达定理即可得到所求值. 【详解】令，则，故当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，且在处取得极小值， 当，，，，所以函数的图象如图所示， 由可化为，结合图象可知方程有两个不同的实数根， 故或，不妨设方程的两根为，， 若，，，所以， 由图象易知共有两个根，故不成立； 若，则方程的两根为一正一负，不妨设， 结合的性质可得，， 故， 又因为，，所以. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导函数，判断各选项的正误. 【详解】A：，故正确； B：，故错误； C：，故错误； D：，故正确. 故选：AD 10. 设数列是等差数列，公差为d，是其前n项和，且，则（ ） A. B. C. 或为的最大值 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，再由，可得数列是单调递减等差数列，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于B，由可得，又， 所以，所以，故B正确； 对于A，由，可得， 又，所以，所以数列是单调递减的等差数列，故A错误； 对于C，由，，可得，， 所以当或时，最大，故C正确； 对于D，又，所以，故D错误； 故选：BC 11. 【多选题】已知函数，则（ ） A. 时，的图象位于轴下方 B. 有且仅有一个极值点 C. 有且仅有两个极值点 D. 在区间上有最大值 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据题意，求得函数定义域，求得导数，利用导数根据函数单调性即可求得函数极值点，最值情况. 【详解】由题，函数 满足 ，故函数的定义域为 由 当 时 ， 所以则的图象都在轴的下方，所以A正确； 又， 再令 则 ，故 故单调递增， 当时， 由， 故存在唯一，使得， 此时当,，单调递减， 当，单调递增. 又当时，， 故此时恒成立，即单调递减， 综上函数只有极值点且为极小值点，所以B正确，C不正确； 又 所以函数在先减后增，没有最大值，所以D不正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值点以及最值，属综合基础题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，已知，那么________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据等差中项的性质可推得，即可得出答案. 【详解】根据等差数列的性质可知，，所以. 故答案为：3. 13. 某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合后出现红灯的概率为________. 【答案】. 【解析】 【分析】先记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，根据条件概率的计算公式，即可求出结果. 【详解】记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件， 则，， 所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为 . 故答案为 【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型. 14. 设函数，当时，恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求得在处的切线的斜率，结合图像，求得的取值范围. 【详解】函数，.对于一次函数，.，令，解得（负根舍去），所以在上递增，在上递减，画出的图像如下图所示.由图可知，要使当时，恒成立，只需大于或等于在处切线的斜率.而，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）最大值为13，最小值为5 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果； （2）利用导数判断单调性，根据单调性可求出最值. 【小问1详解】 ， ， 又∵曲线在处的切线方程为. ，，即得：， 解得：， 【小问2详解】 由（1）得：，， 令，得，令，得， 所以上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，，所以. 在区间上的最大值为13，最小值为5. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若对，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）. 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导、列表、判断函数的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可； （2）对进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出的取值范围即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，.由，得. 当变化时，，的变化情况如下表 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以在上单调递减，上单调递增， 所以函数极小值为，无极大值. （2）对，恒成立，即对，恒成立. 令，则.由得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，因此. 所以的取值范围是. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想. 17. 在数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，且数列满足，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，进而得到数列是等差数列，从而可求得通项公式； （2）利用错位相减法求得，再分奇偶转化为求最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为时，，， . 所以数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以.所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由题意知：， 令① 则② ①-②得，所以 恒成立. 令，则， 所以数列是递增数列. 若n为偶数，，则恒成立，∴； 若n为奇数，，则恒成立，， 综上. 18. 为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地. （1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率； （2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率； （3）用分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案见解析，数学期望：. 【解析】 【分析】(1)参加甲游戏的概率P=,设"这4个人中恰有k人去参加甲游戏"为事件Ak(k＝0,1,2,3,4),可求这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率,计算即可得出结果; (2)由(1)可知求; (3)ξ的所有可能取值为0,2,4,写出其对应的概率和分布列. 【详解】依题意知，这4个人中每个人去甲地的概率为，去乙地的概率为. 设“这4个人中恰有i人去甲地”为事件，则. （1）这4个人中恰有2人去甲地的概率为 （2）设“这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数”为事件B，则， 由于与互斥，故. 所以这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率为. （3）的所有可能的取值为，由于与互斥，与互斥， 故，， . 所以ξ的分布列为： ξ 0 2 4 P 故. 【点睛】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，对二项分布的正确判读是解题的关键，属于一般难度题型. 19. 已知数列满足，数列为公差为的等差数列，且满足.记，称为由数列生成的“函数”. （1）求的值； （2）若“1-函数”，求n的最小值； （3）记函数，其导函数为，证明：“函数”. 附： 【答案】（1）142 （2）4 （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）首先得出，，所以只需求出的值即可得解； （2）首先得出，，进一步可以得到，从而可表示出，结合其单调性即可求解. （3）由，结合导数的运算即可求解. 【小问1详解】 ，，公差为2，所以， ， 所以； 【小问2详解】 ，，公差为1， 所以， ，当时，， 而， 所以， ， 设，则， 所以关于单调递增， 所以关于单调递增， 注意到， 所以当时，均满足， 所以满足题意的n的最小值为； 【小问3详解】 由题意得 由，得， 所以，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是通过累加法得出，进一步，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $