2025-2026学年高二下学期期末备考数学专题训练----专题03排列与组合

**基本信息** 聚焦排列组合核心方法，通过分层题型构建"概念-技巧-应用"逻辑链，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|2题|排列数组合数公式|从定义到公式推导，夯实数学抽象基础| |方法应用|12题|捆绑法/插空法/分组分配/排除法|技巧与题型对应，培养逻辑推理能力| |综合创新|7题|分类分步计数原理综合应用|多方法融合，提升数学建模与应用意识|

2026年高二下学期期末备考专题训练----专题03排列与组合 一、单选题 1．从4本不同的数学书中选出2本，赠送给2位同学，每人一本，则不同的赠送方法共有（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 2．下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．某班上午有五节课，分别安排语文､数学､英语､物理､化学各一节课.要求数学课不排第一节，且语文与物理相邻，则不同排课方案有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 4．象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值，它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法不正确的是（   ） A．共有120种排列方式 B．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式 C．若两个“车”相邻，则有24种排列方式 D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式 5．现将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《史记》《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，则不同的分发方式种数是（    ） A．150 B．180 C．360 D．540 6．从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 7．某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．15种 8．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 二、多选题 9．有6个人排成一排，下列说法正确的是（   ） A．甲乙相邻的排法有240种 B．甲乙不相邻的排法有144种 C．甲不在排头，乙不在排尾的排法有504种 D．甲不在排头并且乙丙相邻的排法有192种 10．下列说法正确的是（    ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D．有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 B．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 C．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有528种排法 三、填空题 12．计算__________.（用数字作答） 13．某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高二的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有__________种出场顺序.(用具体数字作答) 14．如图，质点需从网格点沿着网格线移动到点，每次仅能向右或向下移动一格，且不经过两点，则不同的路径共有__________条. 四、解答题 15．将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数. (1)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (2)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (3)一人得1本，一人得2本，一人得3本（注意：请写出式子再写计算结果） 16．甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务． (1)进行合影留念时，6名同学站成一排.甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (2)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 17．用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）． (1)求可组成多少个四位数； (2)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数． 18．（1）解方程：； （2）求所有满足且的的值． 19．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年高二下学期期末备考专题训练----专题03排列与组合》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C D A B C ACD ACD 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】根据排列的知识求解. 【详解】题意相当于从4个不同元素中选取2个的排列，方法数为. 2．D 【分析】直接根据排列数及组合数公式计算可得. 【详解】对于A，，所以，A错误； 对于B，因为， 所以，B错误； 对于C，，所以，C错误； 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 3．B 【分析】利用捆绑法，特殊元素优先考虑，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行求解. 【详解】先将语文与物理两个进行相邻排列，有种选择， 若语文和物理作为一个整体，两个学科中有一个在第一节课的位置， 则另一个一定在第二节课的位置， 其他3个科目和3个位置可以进行全排列，故有种选择， 此时共有种选择， 若语文和物理作为一个整体，两个科目均不在第一节课的位置， 则可以安排第二，三节课或第三，四节课，或第四，五节课，共有3种选择， 此时数学不能安排在第一节课，故有2种选择， 最后再安排其他英语和化学两个学科，共有种情况， 此时共有种情况， 综上，共有种情况. 4．C 【分析】对于A，由全排列即可判断；对于B，先将剩余的3个棋子进行全排列，再两个“马”插空即可确定；对于C，两个“车”先捆绑，再与其他全排列即可判断；对于D，将2个黑色的棋子进行全排列，再将红色棋子插空即可求解． 【详解】对于A，由排列知识可得共有种排列方式，故A正确； 对于B，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行全排列，产生4个空， 再将两个“马”插空，故共有种排列方式，故B正确； 对于C，将两个“车”捆绑作为一个元素，有种排列方式， 再和剩余的3个棋子进行全排列，有，故一共有种排列方式，故C错误； 对于D，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3个空，再将3个红色的棋子进行插空， 故共有种排列方式，故D正确． 5．D 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将组分发，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： 将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本， 若分为4、1、1的三组，有种分组方法， 若分为3，2，1的三组，有种分组方法， 若分为2，2，2的三组，有种分组方法， 共有种分组方法， 最后将这三组分发，则有种分发方式． 6．A 【分析】分析千位数是4、3、2三种情况，求出四位偶数中大于的数的个数，即可得答案. 【详解】当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，分成两类情况：①个位是且比大，在余下的3个数中任选2个作全排列，有种， ②个位是且比大的偶数有，共5种， 综上，比大的偶数共有种， 7．B 【详解】两个数学名额为1个组，一个数学名额一个物理名额为1个组，两个物理名额为1个组， 再将这三个组分配到甲、乙、丙三个班有种分法； 高二年级的甲、乙、丙三个班各1个数学名额和各1个物理名额有1种分法； 综上所述：不同的分配方案共有种. 8．C 【分析】按第一行的染色分类，再计算对应第二行的染色数即可求解. 【详解】①第一行全蓝（蓝蓝蓝）：第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红， 三个格子的染色共：1（全蓝）3（1个红）1（2个不相邻红）=5种； ②第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）：第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为（蓝XY）， 要求X、Y不都红，共3种符合要求的染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）； ③第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）：第二行中间格子不能为红，第二行格式为（X蓝Y），X、Y无相邻限制，共种符合要求的染色； ④第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）：和第二种情况对称，共3种符合要求的染色； ⑤第一行两个红（红蓝红）：第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为（蓝X蓝），X可红可蓝，共2种符合要求的染色； 所以总染色方法数：种. 9．ACD 【详解】对于A，因为甲乙相邻，所以甲乙相邻的排法有种，因此本选项说法正确； 对于B，6个人排成一排，共有种排法， 因为甲乙相邻的排法有240种， 所以甲乙不相邻的排法有种，因此本选项说法不正确； 对于C， 当乙在排头时，此时排法有种， 当甲，乙都不在排头，此时排法有， 所以甲不在排头，乙不在排尾的排法有种，所以本选项说法正确； 对于D，当乙或丙在排头时，此时排法有种， 当甲，乙，丙都不在排头，此时排法有， 所以甲不在排头并且乙丙相邻的排法有种，所以本选项说法正确. 10．ACD 【分析】通过分步计数原理分析投信的方法数，区分组合与排列的适用场景，分情况计算“有男有女”的选法，结合分组分配与排除法计算住宿安排数，逐一验证选项. 【详解】A：每封信有3种投法，5封信的投法数为，正确. B：从5人中选3人，参观券无顺序差异，应使用组合数，而非排列数，错误. C：需选“有男有女”的4人，分3种情况：1男3女、2男2女、3男1女，对应选法为、、，正确. D：5人住3个房间（每间最多2人），人数分配为. ①先分组：将5人分为的三组，分法为； ②安排房间：分组后分配到3个房间，方法数为； ③减去甲乙同住的情况：甲乙在同一2人组，剩余3人分为，分法为，分配房间数为； 最终符合条件的安排数为，正确. 故选：ACD 11．BC 【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于选项A，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选， 在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故A错误； 对于选项B，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体， 与其他3门课程全排列，共有种排法，故B正确； 对于选项C，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能， 各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故C正确； 对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐” 排在第一周且 课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种， 若课程“御”排在最后一周的排法为种， 课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法数为种，故D错误. 12． 【分析】应用组合数及排列数公式计算求解. 【详解】计算 13．28800 【分析】根据相邻问题捆绑，再把不相邻问题应用插空法计算求解. 【详解】将高三2个节目捆绑，内部排列有种方法；将此捆绑视为一个整体，与高一4个节目进行全排列，有种方法； 最后将高二的3个节目插入所形成的6个空中，有种方法； 根据分步乘法计数原理，共有种. 14．42 【分析】求出从点沿着网格线移动到点的路径所有条数，分别求出经过和经过的路径条数以及同时经过与经过的路径的条数即可求解. 【详解】先计算的路径条数，就是将5次向右与4次向下排个顺序，故有种不同的路线， 其中经过的路径条数有种，经过的路径条数有种， 经过与经过的路径中重复的路径的路径条数为种. 故最终从且避开两点的路径共有（条）. 15．(1)60 (2)60 (3)360 【分析】（1）是非平均分组，按规定中的各组中元素的个数，直接分组即可； （2）是确定了方案的非平均分配问题，利用分步乘法计数原理求解即可； （3）利用非平均分组分为三个组，再将三个组排序分给三个人即可. 【详解】（1），共有60种不同的分法. （2），所以6本不同的书甲得1本，乙得2本，丙得3本共有60种不同的分法. （3）由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以，故有， 所以6本不同的书一人得1本，一人得2本，一人得3本共有360种不同的分法. 16．(1)144 (2)540 【分析】（1）根据题意，从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列，即可求解； （2）根据题意，得到学生的人数分组方案可以有1，2，3或1，1，4或2，2，2，结合排列数和组合数的公式，以及分类计数原理，即可求解. 【详解】（1）解：从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体， 再与余下2个人全排列，则有种排列方案. （2）解：由题可得学生的人数分组方案可以有：①1，2，3；②1，1，4；③2，2，2； ①6名学生人数按1，2，3分为三个组有种分组方法， 则6人分配到三项不同的社区服务共有种分配方法； ②6名学生人数按1，1，4分为三个组有种分法， 则6人分配到三项不同的社区服务，一种服务1人、一种服务1人、一种服务4人共有种分配方法； ③6名学生平均分配做三项不同的社区服务有种分配方法； 则6人分配进行三项不同的社区服务，每组至少一人一共有种方法． 17．(1) (2) 【分析】（1）先排千位数，再排其余数位； （2）按千位数字分类讨论，逐步缩小范围． 【详解】（1）四位数字的千位不能为0，有种； 其余三位数从剩下的5个数字中选3个排列，有种； 由分步乘法计数原理得：种． （2）千位为1：后三位从其余5个数中选3个排列，共有个； 千位为2：从第个数开始，共计个， ，即求千位为2的第个数； 百位为0：共计个，对应第个数； 百位为1：共计个，对应第个数； 第个数是千位为2，百位为3的最小四位数，即为：． 18．（1）；（2）． 【分析】（1）（2）利用排列数的阶乘计算公式化简求解即得. 【详解】（1）因，则， 即， 又且，则得．     （2）由得， 因为且，则得，即，解得； 由得， 化简得，即，解得或， 又因为，，所以且， 故． 19．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $