第2节 排列、组合课件-2027届高三数学一轮复习

第2节　排列、组合 课标要求 1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 2.能解决简单的实际问题. 目录/ CONTENTS 考点一 排列问题 01 考点二 组合问题 02 提能点 排列与组合的综合问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 排列问题 目 录 1. 排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照 ⁠ 排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列. 2. 排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 ⁠ 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 一定的顺 序　 不同排 列　 高中总复习·数学 目 录 3. 排列数公式及性质 公式 ＝ ＝ （m，n∈N*，且m≤n） 特别地 ＝n！ 规定0！＝1 性质 ＝ ； ＝m ＋ n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）　 n！　 高中总复习·数学 目 录 结论：（1） ＝n ； （2） ＝（n－m＋1） ； （3）（n＋1）！－n！＝n·n！. 高中总复习·数学 目 录 （2025·湖南高三下学期“一起考”大联考）甲、乙、丙、丁、戊5 名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询 问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军，”对乙说： “你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有 （　　） A. 36种 B. 48种 解析：分三步完成：冠军有 种可能，乙的名次有 种可能，余下3人有 种可能，所以5人的名次排列有 ＝54（种）不同情况，故选C. √ C. 54种 D. 64种 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析 法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条 件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. 高中总复习·数学 目 录 练1 （2026·陕西安康模拟预测）某班级策划“五·一”晚会，其中歌曲 类3个节目，语言类1个节目，才艺展示类3个节目，抽奖2次（一次抽一等 奖名单，一次抽二等奖名单），要求开场和结束安排歌曲类，2次抽奖不 连续，则有 种安排方法.（用数字作答） 21 600 解析：先安排开场和结束的歌曲类节目，方法数为 ，除了已经安排的歌 曲类节目和两次抽奖活动，还有5个节目需要安排，方法数为 ，抽奖活 动可以从6个空中选两个，方法数为 ，所以方法总数为 × × ＝ 21 600. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 组合问题 目 录 1. 组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2. 组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 ⁠ 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 不同组 合　 高中总复习·数学 目 录 3. 组合数的公式及性质 公式 ＝ ＝ ＝ （n，m∈N*，且m≤n） 特别地 ＝1 规定 ＝1 性质 ＝ ； ＝ ＋ 结论： ＝ . 高中总复习·数学 目 录 〔一题多解〕（2023·新高考Ⅰ卷13题）某学校开设了4门体育类选修 课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选 修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 　　　　种（用数字作答）. 64 解析：法一（直接法）　由题意，可分三类：第一类，当从8门课中选修2 门，则不同的选课方案共有 ＝16种；第二类，当从8门课中选修3门， 体育类选修课1门，则不同的选课方案共有 ＝24种；第三类，当从8门 课中选修3门，体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 ＝24种；综 上，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64种. 高中总复习·数学 目 录 法二（间接法）　若学生从这8门课中选修2门课，则有 － － ＝16 （种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有 － － ＝48 （种）选课方案.综上，不同的选课方案共有16＋48＝64（种）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 “至少”或“至多”的组合问题 　　解这类题型必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含 义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分 类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 高中总复习·数学 目 录 练2 将5个小球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的 小球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 10种 D. 25种 √ 解析：根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，可得1号盒子至少放1个，最多放3个小球，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余4个放入2号盒子，有 ＝5种方法； ②1号盒子中放2个球，其余3个放入2号盒子，有 ＝10种方法； ③1号盒子中放3个球，其余2个放入2号盒子，有 ＝10种方法；则不同的放球方法有5＋10＋10＝25种，故选D. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 排列与组合的综合问题 目 录 角度1　相邻与相间问题 （1）（2022·新高考Ⅱ卷5题）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排 参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 （　B　） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 解析：先将丙和丁捆在一起有 种排列方式，然后将其与乙、戊排列， 有 种排列方式，最后将甲插入中间两空，有 种排列方式，所以不同 的排列方式共有 ＝24种，故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·黑龙江吉林模拟）把除颜色外完全相同的5个红球和3个白 球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 .（用数 字作答） 解析：分两类，第一类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球也“捆 绑”在一起，然后让3个白球排列后形成4个空位，选出2个空位让这两个 “捆绑”的红球排列即可，此时有 ＝12种；第二类：3个红球“捆绑” 在一起，另外2个红球不相邻，此时让3个白球排列后形成4个空位，从中 选出1个空位放“捆绑”的红球，再从剩下的3个空位选出2个空位放不相 邻的红球即可，此时有 ＝12，所以共有12＋12＝24种. 24 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原 则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑” 为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全 排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普 通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 高中总复习·数学 目 录 角度2　分组、分配问题 （1）某街道选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动， 每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共 有（　A　） A. 1 176种 B. 2 352种 A C. 1 722种 D. 1 302种 解析：由题意，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，共有 三种方案：1，1，5；2，2，3；3，3，1，不同的安排方式共有（ ＋ ＋ ）· ＝1 176种，故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）为保障某国际会议顺利进行，现在要从小张、小赵、小李、小罗、 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工 作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作， 若每个工作仅需要一人且每人只能从事一项工作，则不同的选派方案共 有 种. 解析：①小张和小赵两人只有一人入选，则有 ＝24（种）选派方 案；②小张和小赵两人都入选，则有 ＝12（种）选派方案.综上可得 一共有24＋12＝36（种）选派方案. 36　 高中总复习·数学 目 录 规律方法 分组、分配问题 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复的情况. （2）分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配，也可 以分组后再分配. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）（2026·重庆模拟）某学校举行运动会，该校高二年级2班有 甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、 100 米三个项目的比赛，每 人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、 乙两人不能参 加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（　C　） A. 20 B. 24 C C. 30 D. 36 解析：甲、乙、丙、丁四位同学分成3组，则三组各有2，1，1位同学，有 ＝ ＝6种分组方法，又因为甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛， 且甲乙在一组时仅有1种分法，则共有6－1＝5种分组方法，所以不同的参 赛方案共有5 ＝30种，故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·广东佛山模拟）某智能手机的开机密码是六位数字，现甲 准备将六位数202403中的6个数字打乱顺序设为开机密码，若要求两个2不相邻，两个0相邻，则不同的开机密码总个数为 ⁠.（答案用数字表示） 解析：由题意，将两个0捆绑，视为1个元素，再与3，4混排，有 种不同 的排法，再将两个2插入，有 种排法，所以不同的开机密码总个数为N ＝ ＝36. 36 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：89分） 　[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 若3 ＝5 ，则正整数n＝（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 解析：因为3 ＝5 ，所以3× ＝5n（n－1）（n－2），解得：n＝8，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·山东菏泽模拟）某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发 言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法种数为（　　） A. 32 B. 20 C. 16 D. 10 解析：从6名同学中任选3名同学共有 ＝20种方法，这3名同学中没有甲乙同学共有 ＝4种方法，所以甲乙至少有一人参加的不同选法有20－4＝16种，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·甘肃白银模拟）某中学4位任课老师和班上10名学生站成一 排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（　　） A. B. C. D. 解析：4位任课老师站在一起的排法种数为 ，将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数为 ，再根据分步乘法得排列种数为 ，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数 学、政治、英语、体育、心理6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体 育课排在下午，不同排法种数是（　　） A. 192 B. 144 C. 124 D. 216 解析：数学课排在上午有 ＝4种排法，体育课排在下午有 ＝2种排法，剩下的语文、政治、英语、心理4堂课有 ＝24种排法，所以不同的排法种数为4×2×24＝192，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，当地美食也独具特 色.某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆 腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随 机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6 种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（　　） A. 90 B. 120 C. 150 D. 180 √ 解析：将6种美食平均分成3组，有 ＝15种不同的分法，该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有 ＝6种不同的选法，所以这三天他选择美食的不同选法种数为15×6＝90种，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕（2026·福建泉州模拟）某学校高二年级数学课外活动小组中 有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（　　） A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有56种不同的选法 B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法 C. 将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4 320种 D. 8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则 共有356种排法 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：对于A选项，从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长的选法共有 ＝56种，故A正确；对于B选项，从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人的选法共有 ＝15种，故B错误；对于C选项，将3个女生捆绑在一起，形成一个大“元素”，与5个男生一起排序，由捆绑法可知，不同的排法种数为 ＝6×720＝4 320种，故C正确；对于D选项，8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，不同的排法种数为 ＝336种，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. （2026·浙江温州模拟）2025年，省属“三位一体”综合评价招生 政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所 进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情 况有 种. 解析：某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报 一所，则该考生报名的可能情况有 · ＋ ＝9种. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·福建厦门模拟）A，B，C，D四个人排成一排，当A，B相 邻时，A必须在B的右边，那么不同的排法共有 种. 解析：当A，B不相邻时，采用插空法，先排其余两人再让A，B插空， 共有 ＝12种排法；当A，B相邻时，将A，B看作一个整体，并且A 在B的右边，相当于3个人排队，则不同的排法有 ＝6种，所以共有12＋ 6＝18种. 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 〔一题多解〕某运动会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了 A，B，C三个项目的志愿者活动，因工作需要，每个项目仅需1名志愿 者.若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有 ⁠种 不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答） 解析：法一 选拔方案可分为3类：①甲被选中一定参加C项目，则B项目 在剩余3人中选1人参加，之后A项目再从剩下的2人和乙共3人中选1人参 加，共有 ＝9（种）情况；②当甲未参加而乙参加，则乙参加A项 目，剩余3人中取2人参加剩下的两个项目，有 ＝6（种）情况；③甲、 乙都不参加，则剩余3人全排列，有 ＝6（种）情况.综上，一共有9＋6 ＋6＝21（种）选拔方案. 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 法二 观察到甲只能参加C项目或不参加项目，乙只能参加A项目或不参加 项目，则其他3人选1人参加B项目，有 种情况；接下来考虑A项目，有 2种情况：①乙参加，则只需从剩余3人中选1人参加C项目，有 种情 况；②乙不参加，则需考虑从剩余2人中选1人（不含甲）参加A项目，有 种情况，之后需从剩余2人中选1人（含甲）参加C项目，有 种情况. 综上，共有 （ ＋ ）＝21（种）志愿者选拔方案. 法三 不考虑特殊情况，有 ＝60（种）情况；考虑甲参加A或B项目， 有 ＝24（种）情况；同理，考虑乙参加B或C项目，有 ＝24 （种）情况；而考虑甲参加A或B项目，乙参加B或C项目，共有3种情 况，剩余1个项目在其他3人中选1人参加，共有3× ＝9（种）情况.由容 斥原理可知，满足条件的志愿者选拔方案共有60－24－24＋9＝21（种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）（2026·江苏盐城模拟）（1）计算： ＋ ＋ ＋ ； 解： ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝35. （2）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其 中奇数有多少个？ 解：不选0时，先从1，5，7中选一个数放在个位， 然后剩下的4个数中选2个放在十位和个位，则有 ＝36个奇数； 选0时，先把0放在十位，然后从1，5，7中选一个数放在个位， 再从剩下的4个数中选1个放在百位，则有 ＝12个奇数； 所以共有36＋12＝48个奇数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （3）甲、乙、丙、丁、戊五个同学，分配到三个城市参加活动，每个城 市至少去一人，共有多少种不同的分配方法？ 解：由题意，先把5人按1，1，3分组，有 种分组方法， 按2，2，1分组，有 种分组方法，因此不同分组方法数为 ＋ ， 再把每一种分组安排到三个城市，有 种方法， 所以不同的分配方法种数是（ ＋ ） ＝（10＋15）×6＝150. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 〔创新考法〕“ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著 名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1， 4，2，8，5，7这 6 个数字组成.若从 1，4，2，8，5，7这6个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5 700 的偶数个数是（　　） A. 66 B. 75 C. 78 D. 90 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　若千位数字是5，则百位数字只能是7或8，故共有 ＋ ＝15（个）；若千位数字是7，则共有 ＝36（个）；若千位数字是8， 则共有 ＝24（个）.故符合条件的四位数共有15＋36＋24＝75（个）. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. （2026·安徽六安模拟预测）中国空间站主体由天和核心舱、问天实 验舱、梦天实验舱构成.某次实验需要5位宇航员同时在三个舱中开展，每 个人只能去一个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中甲宇航员只能去问 天实验舱和梦天实验舱中的一个，则不同的安排方法种数为（　　） A. 72 B. 88 C. 100 D. 144 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：第一步，安排甲，有 ＝2种安排方法；第二步，安排剩下四人：①4人分三组，有 · ＝36种安排方法；②4人分两组，有（ ＋ ）· ＝14种安排方法.综上，有2×（36＋14）＝100种安排方法， 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 〔创新解题路径〕设函数fn（x）＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ，则方程fn（x）＝0的根为 ⁠ ⁠. －1，－ 2，－3，…，－n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：fn（x）＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝…＝ ＝ .由fn（x）＝0得（x＋1）（x＋2）… （x＋n）＝0，所以x＝－1，－2，－3，…，－n.故方程的根为－1，－ 2，－3，…，－n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名 高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到 A，B两个社区作宣传活动.求： （1）若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配 到社区）？ 解：选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从剩余8人中选5人，共有 ＝2×56＝112种选法. 选调的志愿者中恰有2名教师，先选2名教师，再从8人中选4人，共有 ＝70种选法. 所以志愿者中有教师的选调方法有112＋70＝182种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配 方法？ 解：若每个社区中必有教师，则2名教师均需选用， 再从高一、高二6名学生中选4人，然后再进行分配，共有 ＝180种 分配方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （3）若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配 方法？ 解：选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，有三种情况： 当高一高二各选1名学生时，有 ＝180种分配方法； 当高一高二各选2名学生时，有 ＝1 080种分配方法； 当高一高二各选3名学生时，有 ＝20种分配方法； 则共有180＋1 080＋20＝1 280种分配方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $