5.1.2弧度制（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 5.1任意角和弧度制 5.1.2弧度制 学 习 目 标 1 2 3 理解弧度制的意义，掌握角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数，会用弧度表示角. 经历弧度概念的形成过程，体会类比、转化思想，提升数学抽象与运算能力. 感受弧度制的简洁性，体会不同度量方式的价值，增强学习三角函数的兴趣. 新课引入 情境1：生活中在度量时，会用到不同的单位制.比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制; 度量质量可以用千克、磅等不同的单位制. 角的度量单位是什么？换算的进制是多少？它是否也能用不同的单位制呢？是否可以用十进制的实数来度量角的大小？ 新课引入 情境2：小明住在一个小岛上，一天早上小明用望远镜发现，在小岛的正东方大约1000 的地方有一艘船正绕着小岛行驶，一个小时以后，船行驶到东偏北的位置上，又过半小时，行驶到东偏北的位置.假如你是船长，你如何记录船的移动情况？ 北 南 西 东 30° 45° 从点A起锚，一个小时后逆时针沿着圆弧移动了大，到达点；再过半小时，又移动了大约，到达点. 船移动时，角度增大，行驶里程数也在增大（弧长） 探究一：角度制与弧度制 新知探究 活动1：准备一张半圆纸板、一把刻度直尺、若干细线。通过小组合作,试试运用现有的实验用具, 在这张半圆纸上标出的角. 先用细线度量半圆弧长, 然后再用刻度尺，将细线分成 5份, 其中一份弧长所对的角就是的角. 思考1：通过弧长，我们可以量出的角，那我们可以直接用弧长来衡量角的大小吗? 探究一：角度制与弧度制 新知探究 问题1：为探究弧长与角度的关系，我们从具体的扇形入手。观察这三个扇形, 同学们发现什么? 追问1：完成下表，并观察，你发现什么？ 半径r r=1 r=2 r=3 r=4 圆弧长l 结果：若，则 弧长之比=所对圆心角之比 (为圆心角度数) 探究一：角度制与弧度制 新知探究 追问2：其它角是否也有这一规律呢？ α=45° 半径r r=1 r=2 r=3 r=4 圆弧长l 结果：若，则 弧长之比=所对圆心角之比 (为圆心角度数) 其它角也类似的， 当圆心角确定后，所对的圆弧的长与圆的半径的比值是一个定值. 探究一：角度制与弧度制 新知探究 当圆心角确定后，所对的圆弧的长与圆的半径的比值是一个定值. 探究一：角度制与弧度制 新知探究 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角，弧度单位用符号表示，读作弧度. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为， 追问：角度制中，1度角的大小是怎么规定的？ 古巴比伦人发现地球公转周期大约为360天 探究一：角度制与弧度制 新知探究 问题2：在单位圆中画出下列角度，并换算为弧度制。 2 探究一：角度制与弧度制 新知探究 思考2：半径为，弧长分别为，，则它们所对圆心角的弧度数是多少？ 追问1：如果将半径为的圆的一条半径，绕圆心顺时针旋转到，若弧长为3，那么的大小为多少弧度？ 追问2：为什么要加绝对值？ (1)弧长半径永远是正的，也是正的 (2)角度有正负号，正负由旋转方向决定。 【注】弧度单位可省略，角度单位不能省略. 典例精讲 例4：按照下列要求，把67°30化为弧度： （1）精确值； （2）精确到0.001的近似值 【分析】 解：（1）因为67°30,所以67°30 （2）利用计算器有，67°30 典例精讲 例5：将换算成角度（用度数表示，精确到0.001） 【分析】 解：利用计算器有，° 注意：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“ ”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数，例如角 ，就表示 是 的角； 角度制与弧度制互化的关键与方法: 技巧点拨 (1)关键：抓住互化公式 π rad = 180°是关键; (2)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度; (3)角度化为弧度时，其结果写成 π 的形式，没特殊要求，切不可进行近似计算，也不必将 π 化为小数; (4)注意角度制和弧度制不能混用. 即时训练 辨析1.把下列弧度化为角度： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）. （2）. （3）. （4）. 辨析2.把下列角度化为弧度 (1)120°； (2)-32°； (3)112°30 解：(1) (2) (3)112°30 典例精讲 例6：利用弧度制证明下列关于扇形的公式： (1) (2) (3) 其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积. 证明：由公式可得：.下面证明(2)(3). 半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是： 将转换为弧度制，得：，于是，. 将代入上式，即得 显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利. 探究二：扇形的弧长及面积公式 新知探究 弧长与扇形面积公式的两种表示: 已知扇形的半径为,弧长为,或为其圆心角. 类别 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 即时训练 题型1 角度与弧度的互化 1、(多选)将下列角度与弧度进行互化正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】：. 2、把下列角度与弧度进行互化: (1); (2); (3); (4). 解：(1); (2); (3); (4) 即时训练 题型1 角度与弧度的互化 3、把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1），是第四象限角； （2），是第二象限角； （3），是第三象限角； （4），是第一象限角. 即时训练 题型2 扇形弧长与面积公式的应用 1、已知扇形的周长为10，面积为，求扇形圆心角的弧度数. 解：设扇形圆心角的弧度数为，弧长为半径为，据题意有： 解得， 当时，此时，舍去. 当时，此时，. 综上所述，扇形圆心角的弧度数为. 弧长公式：； 扇形面积公式 即时训练 题型2 扇形弧长与面积公式的应用 2、已知一扇形的圆心角是150°，半径为12，求扇形的面积. 解：设扇形的弧长为 ∵圆心角150° ∴扇形弧长 于是，扇形的面积 即时训练 题型2 扇形弧长与面积公式的应用 3、扇形圆心角为，周长为，面积为，所在圆半径为. （1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积 （2）若，，求的值. 解：（1）设弧长为，弓形面积为，则，，， ； （2）由已知得，解得或， 或 即时训练 题型2 扇形弧长与面积公式的应用 4、已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 解：（1）因为，，所以扇形的弧长； （2）由扇形面积，得，则 扇形周长为，当且仅当，即时，取等号， 此时，，所以， 所以扇形周长的最小值为，此时. 扇形弧长与面积的最值问题 技巧点拨 (1)表示:将待求最值的弧长或面积表示出来; (2)方法:根据关系式的特点,从函数角度或者基本不等式角度求最值; (3)注意:函数自变量的取值范围以及基本不等式等号成立的条件. 课堂小结 感谢聆听! Lavf57.56.101 $