第7节二项分布、超几何分布与正态分布课件-2027届高三数学一轮复习

第7节　二项分布、超几何分布与正态分布 课标要求 1.通过具体实例，理解[课标变化：了解→理解]伯努利试验，掌握二项 分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题. 2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助 频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征；了解正态分布的均值、 方差及其含义. 目录/ CONTENTS 考点一 二项分布 01 考点二 超几何分布 02 考点三 正态分布 03 提能点 二项分布与超几何分布的辨析 04 课时跟踪训练 05 01 PART 考点一 二项分布 目 录 1. 伯努利试验 只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立 地重复进行n次所组成的随机试验称为 ⁠. 两个　 n重伯努利试验　 高中总复习·数学 目 录 2. 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜ p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k） ＝ ，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分 布，记作 （特别地，当n＝1时，二项分布就是两点 分布）. 3. 二项分布的均值、方差 若X～B（n，p），则E（X）＝ ，D（X）＝ ⁠. pk（1－p）n－k　 X～B（n，p）　 np　 np（1－p）　 高中总复习·数学 目 录 （1）某项智力测试共有A，B，C，D，E五道试题，测试者需依次 答完五道试题且至少答对其中三道试题才算通过测试.小明答对A，B，C 三道试题的概率均为 ，答对D，E两道试题的概率均为 ，且每道试题答 对与否相互独立，则小明在答错试题A的条件下通过测试的概率为（　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学 目 录 解析：小明已经答错了试题A，故要通过测试需在B，C，D，E四道试题中至少答对其中三道试题.∵至少答对其中三道试题包括恰好答对三道试题和答对四道试题两种情况，∴至少答对其中三道试题的概率为 （ ）2× ×（1－ ）＋ ×（1－ ）×（ ）2＋（ ）2×（ ）2＝ ＋ ＋ ＝ .所以小明在答错试题A的条件下通过测试的概率为 .故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作， 计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它 们之间互相不影响.设能正常工作的设备数为X. ①求X的分布列； ②求E（X）和D（X）. 高中总复习·数学 目 录 解：①由题意得X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.8）， P（X＝0）＝ ×0.80×（1－0.8）3＝0.008， P（X＝1）＝ ×0.81×（1－0.8）2＝0.096， P（X＝2）＝ ×0.82×（1－0.8）1＝0.384， P（X＝3）＝ ×0.83×（1－0.8）0＝0.512， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 ②因为X～B（3，0.8），所以E（X）＝3×0.8＝2.4，D（X）＝ 3×0.8×（1－0.8）＝0.48. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1.在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n， p和k的值，再准确利用公式P（X＝k）＝ pk（1－p）n－k，k＝0， 1，2，…，n求概率. 2.二项分布的期望与方差的求解策略 （1）如果ξ ～B（n，p），则用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－ p）求解，可大大减少计算量； （2）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机 变量服从二项分布，这时，可以综合应用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以 及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同样还可求出D（aξ＋b）. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）（2026·河南南阳模拟）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往 外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停 止时共取了ξ次球，则P（ξ＝12）＝（　　） A. （ ）10·（ ）2 B. （ ）9（ ）2· C. （ ）9·（ ）2 D. （ ）9·（ ）2 解析：当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P（ξ＝12）＝ （ ）9（ ）2· ，故选B. √ 高中总复习·数学 目 录 （2）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图. ①估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均 值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； ②以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用X表示这3次试验中正 确识别图像数量不少于20个的次数，求X的分布列和数学期望. 高中总复习·数学 目 录 解：①0.01×10×5＋0.02×10×15＋0.015×10×25＋0.03×10×35＋ 0.025×10×45＝29， 故均值为29. ②设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为p， 则p＝0.015×10＋0.03×10＋0.025×10＝0.7，∴X～B（3，0.7）. X＝0，1，2，3， P（X＝0）＝ ×0.70×0.33＝0.027； P（X＝1）＝ ×0.71×0.32＝0.189； P（X＝2）＝ ×0.72×0.31＝0.441； P（X＝3）＝ ×0.73×0.30＝0.343. 高中总复习·数学 目 录 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 E（X）＝0×0.027＋1×0.189＋2×0.441＋3×0.343＝2.1（或E（X） ＝3×0.7＝2.1）. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 超几何分布 目 录 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽 取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列 为P（X＝k）＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N， M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果 随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分 布. 结论：对于超几何分布X～H（n，M，N），则E（X）＝ . 高中总复习·数学 目 录 某农场收获的苹果按A，B，C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的 箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1.若用分层 随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹 果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X 箱，求X的分布列与数学期望. 解：因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果 中选取10箱苹果， 所以A级苹果有6箱，B，C级苹果共有4箱， 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， 高中总复习·数学 目 录 则P（X＝0）＝ ＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ＝ . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .（或E（X）＝ ＝ ）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求超几何分布的分布列的3个步骤 （1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； （2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概 率； （3）用表格的形式列出分布列. 高中总复习·数学 目 录 练2 （2025·江苏苏州联考）2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在 法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交 流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者 参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400 米、800米、1 500米、5 000米比赛在法兰西体育场举行. （1）志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择 200米服务的条件下，选择1 500米服务的概率； 高中总复习·数学 目 录 解：设“汤姆选择中有200米服务”为事件A；“汤姆选择中有1 500米服 务”为事件B， 则P（A）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ， 所以P（B｜A）＝ ＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取 了10名同学，其中6名参加5 000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同 学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作X，求随 机变量X的分布列和数学期望. 解：X的值可能为：0，1，2，3. P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ （或E（X）＝ ＝ ）. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 正态分布 目 录 1. 定义 若随机变量X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D （X）＝σ2，其正态密度函数为f（x）＝ .当μ＝0，σ＝1 时，随机变量X服从标准正态分布. 高中总复习·数学 目 录 2. 正态曲线的特点 （1）曲线位于x轴 ，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线 对称； （3）曲线在x＝μ处达到峰值 ⁠； （4）曲线与x轴之间的面积为 ⁠； （5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总 体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 上方　 x＝μ　 　 1　 高中总复习·数学 目 录 3. 正态分布的三个常用数据 （1）P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7； （2）P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5； （3）P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 高中总复习·数学 目 录 （1）（2026·湖南长沙模拟）某校有1 000人参加某次模拟考试，其 中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的 ，则此 次数学考试成绩在90分到105分（含90分和105分）之间的人数约为（　C） A. 150 B. 200 C. 300 D. 400 C 高中总复习·数学 目 录 解析：因为X～N（105，σ2），所以P（X＜90）＝P（X＞120）＝ ， 则P（90≤X≤120）＝1－ ＝ ，所以P（90≤X≤105）＝ P（90≤X≤120）＝ ，所以此次数学考试成绩在90分到105分（含90分和 105分）之间的人数约为1 000× ＝300.故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·山东聊城模拟）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2）， 若函数f（x）＝P（x≤ξ≤x＋1）为偶函数，则μ＝（　C　） A. － B. 0 C. D. 1 解析：因为函数f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x），可得P （x≤ξ≤x＋1）＝P（－x≤ξ≤－x＋1），所以[x，x＋1]与[－x，－x ＋1]对称，所以该正态曲线关于直线x＝ 对称，又ξ服从正态分布N（μ， σ2），所以该正态曲线关于直线x＝μ对称，所以μ＝ .故选C. C 高中总复习·数学 目 录 规律方法 解决正态分布问题有三个关键点 （1）对称轴x＝μ； （2）标准差σ； （3）分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ分布区间的特征进行转 化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）（2026·河南许昌模拟）已知随机变量X服从正态分布N （2.3，σ2），且P（2.3＜X≤4.2）＝0.23，设P（X＞0.3）＝m，则 （　D　） D A. m＝0.73 B. m＝0.77 C. 0.5＜m＜0.73 D. m＞0.73 解析：易得 ＝2.3，由正态分布的对称性可得P（0.4＜X≤2.3）＝ P（2.3＜X≤4.2）＝0.23，故P（X＞0.4）＝P（0.4＜X≤2.3）＋0.5 ＝0.73.P（X＞0.3）＞P（X＞0.4）＝0.73.故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·江苏苏州模拟）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如 图所示，那么从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点 的个数的估计值为 .（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ－ σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7） 6 587 解析：因为X～N（1，1），所以μ＝1，σ＝1，μ＋σ ＝2，μ－σ＝0.又因为P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7， 所以P（0≤X≤2）≈0.682 7，P（1≤X≤2）≈0.341 35.所以阴影部分的面积约为1－0.341 35＝0.658 65，所以从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值为6 587. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 提能点 二项分布与超几何分布的辨析 目 录 1. 教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的 定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几 何分布，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也 有明显的区别. 高中总复习·数学 目 录 2. 超几何分布与二项分布的区别与联系 超几何分布 二项分布 区别 描述的是不放回抽样问题（总体在变化），一次性取 描述的是有放回抽样问题（总 体不改变），一个一个的取 考察对象分为两类 每一次试验是伯努利试验 已知各类对象的个数 联系 （当总体容量很大时）超几何分布可近似看作二项分布 高中总复习·数学 目 录 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水 线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间 为（490，495]，（495，500]，…，（510，515].由此得到样本的频率分 布直方图（如图）. 高中总复习·数学 目 录 （1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； 解：质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12（件）. 高中总复习·数学 目 录 （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数 量，求X的分布列； 解：质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为 28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布. ∴P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ . ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ​ ​ ​ 高中总复习·数学 目 录 （3）从该流水线上任取10件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求 Y的数学期望和方差. 解：根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的 概率为 ＝ . 从流水线上任取10件产品互不影响，该问题可看成10次独立重复试验， Y～B（10， ）， E（X）＝3，D（X）＝10× × ＝ . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　抓住超几何分布与二项分布的各自特征，明确两者间的区别与联系 是破解此类问题的关键所在. 高中总复习·数学 目 录 练4 某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1 000元，均可抽 奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4 个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案. 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红 球，立减80元. （1）设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和 方差； 高中总复习·数学 目 录 解：因为方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为1，2，3， P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ . X的分布列为 X 1 2 3 P ​ ​ ​ 所以E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝2，D（X）＝ ×（1－2）2＋ × （2－2）2＋ ×（3－2）2＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和 方差； 解：因为方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3. 则Y～B（3， ）， 所以P（Y＝0）＝ （ ）0（ ）3＝ ，P（Y＝1）＝ （ ）1（ ）2 ＝ ，P（Y＝2）＝ （ ）2（ ）1＝ ，P（Y＝3）＝ （ ）3（ ） 0＝ ， 高中总复习·数学 目 录 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 所以E（Y）＝3× ＝2，D（Y）＝3× ×（1－ ）＝ . 高中总复习·数学 目 录 （3）如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的 选择及简要理由. 解：因为E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）， 即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定， 所以应选择方案一的抽奖方式. 高中总复习·数学 目 录 05 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：92分）　 [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 设随机变量X～N（0，1），则X的密度函数为（　　） A. f（x）＝ B. f（x）＝ C. f（x）＝ D. f（x）＝ 解析：因为X～N（0，1），所以μ＝0，σ2＝1，即σ＝1，所以X的密度函数为A，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 2. 某电视节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公 开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选 手每场比赛获胜的概率均是 ，则这名选手能参加决赛的概率是（　　） A. B. C. D. 解析：　由题意可知五场中获胜的场次X～B（5， ），选手能参加决 赛的概率P＝ ×（ ）4×（1－ ）＋ ×（ ）5×（1－ ）0＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·广东江门模拟）一箱苹果共有12个，其中有n（2＜n＜7）个 是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个，恰有2个烂果的概率为 ，则n＝ （　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：依题意可得 ＝ ，即 ＝ ，整理得n2－13n＋36＝0，解得n＝4或9，因为2＜n＜7，所以n＝4.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·安徽阜阳质检）已知离散型随机变量X服从二项分布B（3， ），则下列选项正确的是（　　） A. E（X）＝2 B. E（2X＋1）＝2 C. D（X）＝ D. D（2X＋1）＝ 解析：由于X服从二项分布B（3， ），故E（X）＝np＝3× ＝1，D（X）＝np（1－p）＝3× × ＝ ，故A、C错误；E（2X＋1）＝2E（X）＋1＝3，D（2X＋1）＝22D（X）＝ ，故C错误，D正确，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某 物理量做n次测量，最后结果的误差Xn～N（0， ），则为使｜Xn｜≥ 的概率控制在0.045 5以下，至少要测量的次数为（附：若随机变量ξ服从 正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ＜ ξ≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ）≈0.997 3）（　　） A. 200 B. 400 C. 800 D. 1 000 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由P（｜Xn｜≥ ）＜0.045 5⇒P（｜Xn｜＜ ）＝P（－ ＜Xn＜ ）＞1－0.045 5＝0.954 5，而μ＝0，则P（－2σ＜Xn＜2σ）＝ 0.954 5，所以2σ≤ ⇒σ＝ ≤ ⇒n≥800，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4 次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（　　） A. X～B（4， ） B. P（X＝2）＝ C. E（X）＝ D. D（X）＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到黑球的概率相等，又取到黑球记1分，取到白球记0分，4次取球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布，即X～B（4， ），故A正确；P（X＝2）＝ （ ）2（ ）2＝ ，故B错误；因为X～B（4， ），所以E（X）＝4× ＝ ，故C正确；D（X）＝4× × ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. （2026·广东揭阳模拟）设随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P （X≤4）＝0.7，若P（X≤a）＝0.3，则a＝ ⁠. 解析：由已知可得，μ＝2，根据正态分布的对称性可知P（X≥0）＝P （X≤4）＝0.7，所以，P（X≤0）＝1－P（X≥0）＝1－0.7＝0.3，所 以a＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·江西南昌模拟）甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两 位选手胜负的统计数据，在一局比赛中甲获胜的概率是 ，乙获胜的概率 为 ，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜 的概率为 ⁠. 解析：甲以3∶0获胜的概率为P1＝（ ）3＝ ，以3∶1获胜的概率为P2＝ （ ）2· · ＝ ，以3∶2获胜的概率为P3＝ （ ）2·（ ）2· ＝ ，所以甲获胜的概率为P＝P1＋P2＋P3＝ ＋ ＋ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 若X～B（20， ），则P（X＝k）（0≤k≤20，k∈N*）取得最大值 时，k＝ ⁠. 解析：由题意知，X服从二项分布，所以P（X＝k）＝ （ ）k·（1 － ）20－k＝ （ ）k（ ）20－k，0≤k≤20且k∈N*.由不等式 ≤1（0≤k≤19且k∈N*），得 × ≤1，解得k≥6.所以 当k≥6时，P（X＝k）≥P（X＝k＋1）；当k＜6时，P（X＝k＋1） ＞P（X＝k）.因为当且仅当k＝6时，P（X＝k＋1）＝P（X＝k）， 所以当k＝6或k＝7时，P（X＝k）取得最大值. 6或7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （15分）（2026·河北石家庄模拟）某短视频平台在2025年上半年推 出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户 中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分 布直方图. （1）估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解：由频率分布直方图可知：因为前两组的频率之和为（0.01＋0.015）×10＝0.25，前三组的频率之和为（0.01＋0.015＋0.035）×10＝0.6，所以中位数位于区间[35，45）中， 中位数的估计值为35＋10× ＝35＋ ≈42.14； 由频率分布直方图可知：样本平均数的估计值为20×0.01×10＋30× 0.015×10＋40×0.035×10＋50×0.03×10＋60×0.01×10＝41.5. 故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为42.14和41.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的 方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了 解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在[25，45）的人中随机选出3人 作为代表发言，设随机变量X表示代表年龄在[25，35）的志愿者人数， 求X的分布列及期望. 解：由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在[25，45）的有20×（0.015＋0.035）×10＝10人，其中年龄在[25，35）的有20×0.015×10＝3人. 由题知年龄在[25，35）的志愿者人数X服从超几何分布，X的所有可能取值为0，1，2，3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 P（X＝0）＝ ＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ＝ ＝ ，P （X＝2）＝ ＝ ＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 〔知识交汇〕设随机变量X服从二项分布X～B（6， ），则函数f （x）＝x2＋2 x＋X有零点的概率是（　　） A. B. C. D. 解析：f（x）＝x2＋2 x＋X中，Δ＝20－4X≥0，解得X≤5，又X～B（6， ），故P（X≤5）＝1－P（X＝6）＝1－ （ ）6＝ ，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕（2026·江苏南京模拟）已知三个密度函数fi（x）＝ （x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则（　　） A. μ1＝μ2＞μ3 B. σ1＝σ2＜σ3 C. 若X～N（1， ），P（X＜2）＝0.7， 则P（0＜X＜2）＝0.4 D. 若X～N（μ2， ），Y～N（μ3， ），则存在实数x0，使得P（X＜x0）＝P（Y＜x0） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大曲线越靠近右边，则μ1＜μ2＝μ3，故A错误；又σ越小数据越集中，曲线越瘦高，则σ1＝σ2＜σ3，故B正确；X～N（1， ），P（X＜2）＝0.7，则P（X＞2）＝1－0.7＝0.3⇒P（1＜X＜2）＝0.5－0.3＝0.2，所以P（0＜X＜2）＝2×0.2＝0.4，C正确；若X～N（μ2， ），Y～N（μ3， ），μ2＝μ3，则存在实数x0＝μ2＝μ3，使P（X＜x0）＝P（Y＜x0），D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 某电器由三个元件按如图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命 （单位：小时）均服从正态分布N（1 000，502），各个元件能否正常工 作相互独立.当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常 工作.现有200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1 000小时的台数 为 ⁠. 75 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：依题意，元件1、元件2、元件3使用寿命超过1 000小时的概率均为 ，一台这样的电器使用寿命超过1 000小时，是元件1使用寿命超过1 000 小时，并且元件2、元件3至少一个使用寿命超过1 000小时，因此一台这样 的电器使用寿命超过1 000小时的概率为 ×［1－（1－ ）2］＝ .设200 台这样的电器使用寿命超过1 000小时的台数为X，则X～B（200， ）， E（X）＝200× ＝75，所以估计200台这样的电器中使用寿命超过1 000 小时的台数为75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）在压力日益增大的当下，越来越多的人每日的休息时间无法 满足缓解压力的需要.某研究小组随机调查了某地工作人员每日的休息时 间，其中一周内（含周末）个人平均休息时长如下表所示，实际数据处理 及分析中，认为工作日与周休日无差异： 休息时长/ 小时 5.75～ 6.25 6.25～ 6.75 6.75～ 7.25 7.25～ 7.75 7.75～ 8.25 8.25～ 8.75 人数 5 12 28 36 17 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （1）估计该地内所有工作人员的平均休息时长（同一组的数据用该组区 间的中点值为代表）； 解：记这100名工作人员平均休息时长为 小时， 则 ＝ ×（6×5＋6.5×12＋7×28＋7.5×36＋8×17＋8.5×2）＝7.27 （小时）， 故估计该地所有工作人员平均休息时长为7.27小时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）在被调查的100名工作人员中，有40人表示“近期压力过大”.利用 相应的统计学知识，设在该地的所有工作人员中随机调查3人，合理估计 表示“近期内压力过大”的人数为X，求X的分布列和期望. 解：被调查的100名工作人员中有40名表示“近期压力过大”， 则表示“近期压力过大”的频率为 ＝ ， 由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查1名工作人员，表示 “近期压力过大”的概率为 ，故X～B（ 3， ）， 则P（X＝0）＝ ×（ ）0×（ 1－ ）3＝ ，P（X＝1）＝ × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （ ）1×（ 1－ ）2＝ ， 则P（X＝2）＝ ×（ ）2×（ 1－ ）1＝ ，P（X＝3）＝ × （ ）3×（ 1－ ）0＝ ， 故其分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 故期望E（X）＝3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $