二项分布与超几何分布、正态分布 课件——2027届高三数学一轮复习

二项分布与超几何分布、正 态分布 1. 重伯努利试验 （1）概念:将一个伯努利试验（只包含两个可能结果的试验）独立 地重复进行次所组成的随机试验称为 重伯努利试验. （2）特征：①同一个伯努利试验重复做 次；②各次试验的结果相 互独立. 课 前 基 础 巩 固 2 2.二项分布 （1）概念：在重伯努利试验中,设每次试验中事件 发生的概率为 ,用表示事件发生的次数,则的分布列为 _______________，,1,2, ,,称随机变量 服从二项分布,记作 . （2）期望与方差：____, __________. 课 前 基 础 巩 固 3 3.超几何分布 （1）概念：假设一批产品共有件,其中有件次品.从 件产品中随 机抽取件（不放回）,用表示抽取的件产品中的次品数,则 的分 布列为_ _______,,,, ,,其中, , ,,,,,, ,称随机 变量 服从超几何分布. （2）特点：从含有个特殊元素的个元素中抽取个元素， 表示 其中的特殊元素的个数. （3）期望：____（其中 为次品率）. 课 前 基 础 巩 固 4 4.正态分布 （1）正态曲线：,，其中， 为 参数，称为正态密度函数，函数 的图象为______________, 简称正态曲线. 正态密度曲线 （2）正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线______对称. ②曲线在______处达到峰值 . ③当无限增大时，曲线无限接近 轴. 课 前 基 础 巩 固 5 ④曲线与 轴之间的区域的面积为___. ⑤在参数 取固定值时，正态曲线的位置由 确定，且随着 的变 化而沿轴平移，如图甲所示. 决定正态曲线的“胖瘦”: 越大,曲线 越“胖”; 越小,曲线越“瘦”，如图乙所示. 1 课 前 基 础 巩 固 6 （3）正态分布的定义及表示 ①定义：若随机变量的概率分布密度函数为 ,则 称随机变量服从正态分布，记为_______.特别地，当， 时，称随机变量 服从标准正态分布. ②服从正态分布的随机变量的均值与方差：若 ，则 _______, _____. ③ 原则 如果,那么 , , . 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 （1）当时， 的最大值： 若是正整数，则或 时， 取得最大值； 若不是正整数，则(不大于 的最大整 数)时， 取得最大值. （2）若,则 ， . 课 前 基 础 巩 固 8 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］设随机变量服从正态分布 ，若 ，则实数 ___. 6 [解析] 由随机变量服从正态分布，得, ，又 ，所以，解得 . 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］某班有50名学生,其中15人选修课程,另外35人选修 课程,若从该班中任选2名学生,则他们选修不同课程的概率是__. [解析] 该班有50名学生， 从该班中任选2名学生共有 种不同 的选法，又15人选修课程,另外35人选修课程， 名学生选修不 同课程的选法有 种，故从该班中任选2名学生，他们选修不同 课程的概率 . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］从装有大小完全相同的2个白球，1个红球和3个黑球 共6个球的布袋中每次随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取的 白球个数为，则__， ___. [解析] 每次摸取白球的概率为，所以 ，则 ， . 课 前 基 础 巩 固 11 题组二 常错题 ◆ 索引：不能正确区分超几何分布和二项分布,不能正确建立概率模 型致误;利用正态曲线的对称性求值时出错;有放回抽取与不放回抽取 区分不清致误. 课 前 基 础 巩 固 12 4.下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是____.（填序号） ①将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为 ； ②某射手的射击命中率为，现对目标射击1次，记命中的次数为 ； ③从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数 为 ； ④盒中有4个白球和3个黑球，每次从中随机摸出1个球且不放回，记 第一次摸出黑球时摸取的次数为 . ③ 课 前 基 础 巩 固 13 [解析] 将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为， 则 服从二项分布，①不满足题意； 某射手的射击命中率为 ，现对目标射击1次， 记命中的次数为，则 服从两点分布，②不满足题意； 从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部， 记选出女生的人数为 ，则 服从超几何分布，③满足题意； 盒中有4个白球和3个黑球，每次从中随机摸出1个球且不放回， 记第一次摸出黑球时摸取的次数为 ，则 不服从超几何分布， ④不满足题意.故填③. 课 前 基 础 巩 固 14 5.已知随机变量服从正态分布，且 ， 则 _____. 0.14 [解析] 因为，所以 ，因此 . 课 前 基 础 巩 固 15 6.袋中装有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球,从中依次摸出2个 球.若采取放回简单随机抽样,则摸出的2个球都是白球的概率为___； 若采取不放回简单随机抽样，则摸出的2个球都是白球的概率为___. [解析] 若采取放回简单随机抽样，则每次摸出的1个球是白球的概率 为，所以摸出的2个球都是白球的概率 .若采取不 放回简单随机抽样，则摸出的2个球都是白球的概率 . 课 前 基 础 巩 固 16 探究点一 二项分布 例1（1）（多选题）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木 板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木 钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃， A. B. C. D. 将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地 向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为 0,1,2,3,4,5，用 表示小球落入格子的号码，则下面结论正确的是 ( ) √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 设事件“向右下落”，则 “向左下落”， ，易知小球最后落入格子的号码 与事 件发生的次数有关，设事件发生的次数为，则 ， 因为小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以 . 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选 . 课 堂 考 点 探 究 18 （2）[2025·重庆八中2月月考] 某工厂的生产线上的产品按质量分为 一等品、二等品、三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽 检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不 需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品、二 等品、三等品的概率分别为，和 ，且各件产品的质量情 况互不影响. 课 堂 考 点 探 究 19 ①求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； ［思路点拨］应用独立事件的乘法公式计算求解即可； 解：设事件“在一次抽检中抽到的第件产品为一等品”， ,2， 事件“在一次抽检中抽到的第件产品为二等品”， ,2， 事件 “在一次抽检后，设备不需要调整”， 则 . 由已知得,, ,2， 故 . 课 堂 考 点 探 究 20 ②若质检员一天抽检3次，用 表示一天中需要调整设备的次数，求 的分布列和数学期望. ［思路点拨］先根据对立事件求 ，再结合二项分布分别求出概 率，写出分布列进而得出数学期望即可. 课 堂 考 点 探 究 21 解：依题意得，随机变量 的可能取值为0,1,2,3， 由①知一次抽检后，设备需要调整的概率为 ， 依题意知 ， 则 ， 故 的分布列为 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 所以 . 课 堂 考 点 探 究 22 [总结反思] 二项分布满足的条件: ①在每次试验中,事件发生的概率都是相同的（题目中有“将频率视为 概率”时,事件发生的概率就是相同的）; ②各次试验中的事件是相互独立的; ③每次试验只有两种结果,事件要么发生,要么不发生; ④随机变量是 重伯努利试验中事件发生的次数. 课 堂 考 点 探 究 23 变式题（1）[2025·湖南长沙三模]已知某个群体中对某活动持满意态 度的人数比例为 ，从该群体中随机抽取10人，设这10人中持满 意态度的人数为，若随机变量，则 ( ) A.1.8 B.3.6 C.4.2 D.4.8 [解析] 由题意知 ，可得 .由随机变量 ，得 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 24 （2）[2025·北京石景山区一模] 某市在高中阶段举办环保知识竞赛， 全体高中生参与了此次竞赛.现从参赛学生中随机抽取了男、女学生 各30名，将他们的成绩（单位：分）按 ， ， 五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 3 6 11 8 2 女生人数 12 4 2 课 堂 考 点 探 究 25 （ⅰ）在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取 2人，求恰好男、女学生各1名，且2人分数段不同的概率； 解：在抽取的60名学生中， 男生中成绩在 内的有8人，在内的有2人， 女生中成绩在内的有4人，在 内的有2人， 所以成绩在80分及以上的学生共有 （人）. 从这16人中随机抽取2人的方法有 （种）. 要满足恰好男、女学生各1名，且2人分数段不同，可分为两种情况： 课 堂 考 点 探 究 26 男生从成绩在内的学生中选，女生从成绩在 内的学 生中选，有 （种）选法； 男生从成绩在内的学生中选，女生从成绩在 内的学 生中选，有 （种）选法. 所以满足条件的选法共有 （种）. 根据古典概型的概率公式，所求概率 . 课 堂 考 点 探 究 （ⅱ）从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人 数为，用频率估计概率，求 的分布列和数学期望； 解：由题得 的可能取值为0,1,2,3,4,从参赛的男生中随机抽取1人， 成绩在80分及以上的概率为 ， 所以服从参数为，的二项分布，即 . 根据二项分布的概率公式，可得 ， ， 课 堂 考 点 探 究 28 ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 所以 . 课 堂 考 点 探 究 （ⅲ）试确定， 的值，使抽取的女生成绩的方差最小（结论不要 求证明）. 解：因为抽取的女生共有30人，所以 ， 即 .当数据越集中时方差越小，所以当, 时， 抽取的女生成绩的方差最小. 课 堂 考 点 探 究 30 探究点二 超几何分布 例2 [2025·陕西安康模拟] 某农场收获的苹果按,, 三个等级进行 装箱，已知苹果的箱数非常多，且,, 三个等级苹果的箱数之比为 . （1）现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何1箱苹果都是等可能 的，求至少选到2箱 级苹果的概率； ［思路点拨］由题意可知，从这批苹果中随机选出1箱，选到 级苹 果的概率为，选到非级苹果的概率为 ，进而由二项分布即可求解； 课 堂 考 点 探 究 31 解：设事件“至少选到2箱 级苹果”， 由题意知从这批苹果中随机选出1箱， 选到级苹果的概率为 ，选到非级苹果的概率为 ， 所以， 故至少选到2箱 级苹果的概率为 . 课 堂 考 点 探 究 32 （2）若用比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的，， 三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机 购买3箱，记购买的级苹果有箱，求 的分布列与数学期望. ［思路点拨］由题意可得级苹果选取6箱，, 级苹果共选取4箱， 进而由超几何分布可得分布列和数学期望. 解：因为用比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的， ， 三个等级苹果中选取10箱苹果，所以级苹果选取6箱， , 级苹果共选取4箱，随机变量 的所有可能取值为0,1,2,3, 课 堂 考 点 探 究 33 则 ， ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 . 课 堂 考 点 探 究 34 [总结反思] 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体 的个数.特征是: ①考查对象分两类; ②已知各类对象的个数; ③从中抽取若干个个体,考查某类个体数 的概率分布,其本质是古典 概型. 课 堂 考 点 探 究 35 2.超几何分布与二项分布的关系 共同点:超几何分布与二项分布都是离散型分布，当产品的总数很大 时,超几何分布近似于二项分布. 不同点:超几何分布是不放回抽取,二项分布是有放回抽取;超几何分 布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体的容量,但需要知道 “成功率”. 课 堂 考 点 探 究 36 变式题 [2025·广东中山一模] 某公司为招聘新员工设计了一个面试 方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独 立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中 应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每道题正 确完成的概率都是 ，且每道题正确完成与否互不影响. 课 堂 考 点 探 究 37 （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题道数的分布列及数学期望. 解：设甲正确完成面试题的道数为，乙正确完成面试题的道数为 ， 则的所有可能取值为1,2,3， 的所有可能取值为0,1,2,3. ,, ， 所以 的分布列为 1 2 3 . 课 堂 考 点 探 究 38 ， ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 . 课 堂 考 点 探 究 39 （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性更大？ 解：由（1）得 ， ， 因为 ，所以甲更稳定，所以甲面试通过的可能性更大. 课 堂 考 点 探 究 40 探究点三 正态分布 例3（1）（多选题）李明上学有时坐公交车， 有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑 自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交 车用时和骑自行车用时 都服从正态分布，且 A. B. C. D. ，.若和 的正态密度曲线如图所示，则下列 说法正确的是 ( ) √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 41 [解析] 对于A，因为， 所以 ，故A错误； 对于B，由图知 ，故B正确； 对于C，因为, ，所以 ，故C正确； 对于D，因为, ，所以 ，故D正确.故选 . ［思路点拨］根据给定的正态密度曲线,结合正态曲线的对称性和性 质,逐项判断即可. 课 堂 考 点 探 究 42 （2）[2025·湖南名校联合体模拟] 在一条生产圆钢的生产线上，出 产的成品圆钢的长度为（单位：），且 . ①若出产这样的成品圆钢10 000根，试估计长度在 内的圆 钢根数； ［思路点拨］根据条件得到 ，即可求解； 解：由已知得，, ， 所以 ， 所以长度在内的圆钢根数约为 . 课 堂 考 点 探 究 43 ②从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取2根，求其中1根的长度在 区间内，另1根的长度在区间 内的概率 （精确到 ）. 附：若，则 , , . ［思路点拨］根据条件，求出和 ， 再利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 课 堂 考 点 探 究 44 解：从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取1根，长度在区间 内的概率 ， 长度在区间 内的概率 ， 故从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取2根，其中1根的长度在区 间内，另1根的长度在区间 内的概率为 . 课 堂 考 点 探 究 45 [总结反思] 解决正态分布问题有三个关键点: （1）均值 ; （2）标准差 ; （3）分布区间. 利用正态密度曲线的对称性可求指定范围内的概率值;根据 原则 将所求区间转化为特殊区间,从而求出所求概率. 课 堂 考 点 探 究 46 变式题（1）（多选题）[2024· 新课标Ⅰ卷]随着“一带一路”国际合作 的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的 亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口 后亩收入的样本均值,样本方差 ,已知该种植区以往 的亩收入服从正态分布,假设推动出口后的亩收入 服从 正态分布,则(若随机变量服从正态分布 ,则 )( ) A. B. C. D. √ √ 课 堂 考 点 探 究 47 [解析] 由题可知， . 对于A， ,故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ,故C正确； 对于D， , 故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 48 （2）（多选题）[2025·咸阳模拟]某校期末考试数学试卷满分为150 分，分数在区间内的为及格，分数在区间 内的为 良好，分数在区间 内的为优秀，阅卷结果显示，全年级 1200名学生的数学成绩 （单位：分）近似服从正态分布，试卷的难 度系数（难度系数平均分/满分）为 ，标准差为24，则下列说 法正确的有( ) 课 堂 考 点 探 究 49 附：若，记 ，则 ，， . A.此次考试的平均分是72分 B. C.此次考试的及格率为 D.该次数学考试获得及格的人数大约为245 √ √ 课 堂 考 点 探 究 50 [解析] 对于A，由题意得，， 此次考试的平均分为72分，故A正确; 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D， ， ， 该次数学考试获得及格的 人数大约为，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 51 【备选理由】例1考查二项分布与超几何分布; 例1 ［配例1、例2使用］[2025·河南豫北六校模拟] 在某闯关游戏中， 有，两类难度不同的关卡，已知小明通过类关卡的概率为 ，通 过类关卡的概率为 ，各关卡相互独立.游戏共有两个环节，第一个 环节由4个关卡组成，其中， 两类关卡各2个，且每个关卡的难度 未知，至少闯过1个关卡即可通过此环节，然后进入第二个环节，第 二个环节可从以下三个方案中任选一个进行.#1 教 师 备 用 习 题 52 方案一：依次闯7个 类关卡，每通过一个关卡得15分，否则得0分； 方案二：依次闯7个 类关卡，每通过一个关卡得12分，否则得0分； 方案三：从4个类关卡，5个 类关卡中随机抽取7个关卡，其中通 过一个类关卡得15分，通过一个 类关卡得12分，根据最后的得分 获得相应的奖品.#1.3 （1）求小明通过第一个环节的概率. 解：若小明通过第一个环节，则至少闯过一个关卡， 故所求概率 . 教 师 备 用 习 题 53 （2）小明已通过第一个环节，进入第二个环节，从得分期望的角度 分析，小明选择哪种方案参加第二个环节更加合理?请说明理由. 解：小明选择方案一参加第二个环节更加合理.理由如下： 若小明选择方案一参加第二个环节，则闯过的关卡数 ， 所以得分的期望为 . 若小明选择方案二参加第二个环节，则闯过的关卡数 ， 所以得分的期望为 . 教 师 备 用 习 题 54 若小明选择方案三参加第二个环节， 当随机抽取到2个 类关卡，5个 类关卡时， 得分的平均值为，概率为 ， 当随机抽取到3个类关卡，4个 类关卡时， 得分的平均值为，概率为 ， 当随机抽取到4个类关卡，3个 类关卡时， 得分的平均值为，概率为 . 教 师 备 用 习 题 所以得分的期望为 . 因为 ， 所以小明选择方案一参加第二个环节更加合理. 教 师 备 用 习 题 例2 ［配例1、例2使用］某城市实施了机动车尾号限行措施，该市 报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将 调查结果进行整理后制成下表： 年龄（岁） 频数 5 5 10 15 10 5 赞成的人数 3 4 9 10 7 3 （1）用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成 相互独立.现从全市年龄在 内的市民中随机选取4人进行追踪 调查，记其中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量 的分布列 和数学期望； 【备选理由】例2考查二项分布与超几何分布; 教 师 备 用 习 题 57 解：由题意， 的可能取值为0，1，2，3，4， 因为年龄在内的市民中不赞成“车辆限行”的频率为 ， 所以 ，所以 ， 所以 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P . 教 师 备 用 习 题 58 （2）若在这50名被调查者中随机抽取20人，记 为抽取的20人中赞 成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数 . 解：这50名被调查者中，有36人赞成，14人不赞成， 所以 ， 由得 解得 ，因为，所以 . 教 师 备 用 习 题 59 例3 ［配例2、例3使用］[2025·山东济南外 国语学校模拟] 某中学为提升学生们的数学 素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一 场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩为 前200名的学生参加复赛.已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加 初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩（单位：分）作为样本， 得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为, ,, ,, ）.#1 【备选理由】例3考查正态分布与超几何分布的综合应用,考查分析 与解决问题的综合能力. 教 师 备 用 习 题 60 （1）规定初赛成绩在内的为优秀，在 内的为良好， 在内的为一般，在内的为合格，在 内的为不合 格，若从样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少 有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数 的分布列及 数学期望. 教 师 备 用 习 题 61 解：由频率分布直方图可知， 样本中初赛成绩在 内的人数为 ， 样本中初赛成绩在 内的人数为 ， 故 的可能取值为0，1，2， ， ， ， 教 师 备 用 习 题 62 所以 的分布列为 X 0 1 2 P 故至少有1人初赛成绩优秀的概率为 ， . 教 师 备 用 习 题 63 （2）由频率分布直方图可认为该校全体参 加初赛学生的初赛成绩 服从正态分布 ，其中 可近似为样本中100名学生 初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间 的中点值代替），且 .已知小华的初 赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？ 附：；若，则 ， ， . 教 师 备 用 习 题 64 解：由频率分布直方图可知， ， 由，得 ，因为 ， 所以 ， 所以全体参加初赛的学生中，初赛成绩不低于85分的约有 （人）， 又 ，所以估计小华有资格参加复赛. 教 师 备 用 习 题 65 $