第3节二项式定理课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　二项式定理 课标要求 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 目录/ CONTENTS 考点一 二项式定理 01 考点二 二项式系数的性质 02 提能点 系数的最值问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 二项式定理 目 录 二项式定理 （a＋b）n＝ ⁠ （n∈N*） 二项展开式的通项 Tk＋1＝ ，它表示第 ⁠项 二项式系数 （k＝0，1，2，…，n） an＋ an－1b1＋…＋ an－kbk ＋…＋ bn　 an－kbk　 k＋1　 　 提醒：（1）项数为n＋1；（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数n， 即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数 由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项加1 直到n. 高中总复习·数学 目 录 （1）（2025·江西省七校联考）（ax－5y）5的展开式中x3y2的系数 是2 000，则实数a的值为（　C　） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 解析：（ax－5y）5的展开式的通项Tr＋1＝ （ax）5－r（－5y）r＝（－ 5）ra5－r· x5－ryr，令r＝2，则T3＝250a3x3y2＝2 000x3y2，解得a＝2， 所以实数a的值为2，故选C. C 高中总复习·数学 目 录 （2）（2025·天津高考11题）在（x－1）6的展开式中，x3项的系数 为 ⁠. 解析：（x－1）6展开式的通项公式为Tk＋1＝ x6－k（－1）k＝（－1） k x6－k，令6－k＝3，得k＝3，所以x3项的系数为（－1）3 ＝－20. －20 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　二项展开式的特定项问题，实质是考查对通项Tk＋1＝ an－kbk的理 解，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范 围（k＝0，1，2，…，n）. （1）第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；（2）常数项：即这项中 不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；（3）有理 项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 提醒　解题时注意二项式系数中n和k的隐含条件.使用二项展开式的通 项时要注意：①通项表示的是第k＋1项，而不是第k项；②通项中a和b 的位置不能颠倒. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）（ ＋ ）30的展开式中无理项的项数为（　D　） A. 27 B. 24 C. 26 D. 25 解析：（ ＋ ）30展开式的通项为Tr＋1＝ ·（ ）30－r·（ ）r ＝ · ，r＝0，1，2，…，30，若x的指数15－ r为整数，则r 是6的倍数，所以当r＝0，6，12，18，24，30时为有理项，共6项，故无 理项的项数为31－6＝25，故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕若（x3－ ）4（a∈R）的展开式中的常数项为－4，则 a＝ ⁠. 解析：法一　因为（x3－ ）4的展开式的通项Tr＋1＝ （x3）4－r（－ ） r＝（－a）r ·x12－4r，令12－4r＝0，解得r＝3，所以常数项为T4＝ （－a）3 ＝－4，解得a＝1. 法二　（x3－ ）4的展开式中，常数项为从4个因式（x3－ ）中1个取 x3，其余3个取－ ，即常数项为 （－a）3，由 （－a）3＝－4，解 得a＝1. 1 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 二项式系数的性质 目 录 高中总复习·数学 目 录 （1）（2026·江苏淮安模拟）已知（ －2x）n的展开式共有7项， 则下列说法错误的是（　C　） A. 展开式的奇数项二项式系数和为32 B. 展开式所有二项式系数和为64 C. 展开式的所有项的系数和为－1 D. 所有项的系数绝对值之和为729 C 高中总复习·数学 目 录 解析：因为（ －2x）n的展开式共有7项，所以n＝6，所以展开式的奇 数项二项式系数和为25＝32，因此A正确；展开式中二项式系数和为26＝ 64，所以B正确；在（ －2x）6中令x＝1，得（－1）6＝1，所以C错 误；（ －2x）6的系数呈正负交错排列，故（ －2x）6所有项的系数绝 对值之和与（ ＋2x）6的系数之和相等，故在（ ＋2x）6中令x＝1， 得36＝729，所以D正确. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2025·北京高考12题）已知（1－2x）4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3 ＋16a4x4，则a0＝ ；a1＋a2＋a3＋a4＝ ⁠. 解析：令x＝0，则a0＝1，又（1－2x）4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋ 16a4x4，故（1－2x）4＝a0＋a1（－2x）＋a2（－2x）2＋a3（－2x）3＋ a4（－2x）4，令t＝－2x，则（1＋t）4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4，令 t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24，故a1＋a2＋a3＋a4＝15. 1 15 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1.二项式系数和可直接利用性质 ＋ ＋ ＋…＋ ＝2n求解. 2.展开式各项的系数和可利用赋值法求解.一般地，对于多项式（a＋ bx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g（x）＝（a＋bx）n，则（a＋ bx）n的展开式中各项的系数和为g（1），（a＋bx）n的展开式中奇数 项的系数和为 [g（1）＋g（－1）]，（a＋bx）n的展开式中偶数项的 系数和为 [g（1）－g（－1）]. 3.求特殊结构的和时需要灵活变形（包括逆用公式）或赋值. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）〔一题多解〕若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0 ＋a2＋a4＝（　B　） A. 40 B. 41 C. －40 D. －41 解析：法一（赋值法）　依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋ a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2 （a4＋a2＋a0），所以a0＋a2＋a4＝41，故选B. 法二（通项公式法）　二项式（2x－1）4的通项为Tr＋1＝ （2x）4－r （－1）r，分别令r＝4，2，0，可分别得a0＝1，a2＝24，a4＝16，所以 a0＋a2＋a4＝41，故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·福建泉州模拟）若（ax＋ ）n的展开式中二项式系数之和 为32，各项系数之和为243，则a＝（　C　） A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 解析：因为（ax＋ ）n的二项式系数之和为32，则2n＝32，解得n＝5， 因为（ax＋ ）5展开式各项系数和为243，令x＝1，代入可得（a＋1）5 ＝243＝35，解得a＝2，故选C. C 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 系数的最值问题 目 录 教材母题：〔人A选三P38复习参考题1（7）题〕（1＋x）2n的展开式中， 系数最大的项是第 　　　　项. 细研教材：求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是 采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项 系数最大，应用 解出k. 高中总复习·数学 目 录 （2024·全国甲卷13题）（ ＋x）10的展开式中，各项系数中的最大 值为 ⁠. 解析：由展开式通项公式得Tr＋1＝ （ ）10－rxr，0≤r≤10且r∈Z，设 展开式中第r＋1项系数最大，则 ⇒ 即 ≤r≤ ，又r∈Z，故r＝8，所以展开式中系数最大的 项是第9项，且该项系数为 （ ）2＝5. 5 高中总复习·数学 目 录 变式 已知（x3＋ ）6（a＞0）的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的 取值范围是（　　） A. （ ， ） B. （ ， ） C. ［ ， ］ D. （ ， ） 解析：（x3＋ ）6的展开式的通项为Tr＋1＝ （x3）6－r·（ ）r＝ ·ar·x18－4r，由题可知 解得 ＜a＜ ，故选A. √ 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分）　 [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2026·湖南省长沙联考） 的展开式中的常数项为（　　） A. 45 B. 55 C. 105 D. 75 解析：由二项式定理可得（x－1）7展开式中含x3的项为 （－1）4x3，所以 的展开式中的常数项为3 （－1）4＝105，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 2. （2025·河北张家口三模）若（2－x）n的展开式中x2的系数为240， 则n＝（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 解析：（2－x）n的展开式通项为Tk＋1＝ ·2n－k·（－1）k·xk. 令k＝2得展开式中x2的系数为 ·2n－2·（－1）2＝240，即 · 2n－2＝240，解得n＝6，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·福建宁德模拟）已知（x＋a）n的展开式中只有第3项的二项 式系数最大.若展开式中所有项的系数和为16，则a的值为（　　） A. －3 B. 1 C. －1或3 D. －3或1 解析：　因为（x＋a）n的展开式中只有第3项的二项式系数最大，故 ＋1＝3，解得n＝4，依题意，令x＝1，有（1＋a）4＝16，解得a＝1或a ＝－3，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·陕西延安模拟预测）在二项式（ ＋x）7的展开式中系数为 有理数的项的个数是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析：通项公式为Tr＋1＝ xr，易知当7－r＝0或2或4或6时，即r＝7或5或3或1时，可得系数为有理数的项，所以系数为有理数的项的个数是4，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·江苏南通模拟预测）已知（2x－1）6＋a（x＋1）3的展开式 中x3的系数为0，则a的值为（　　） A. －160 B. 160 C. －960 D. 960 解析：（2x－1）6的展开式中x3的项为 （－1）3（2x）3＝23 （－1）3x3，a（x＋1）3的展开式中x3的项为a x3，因此（2x－1）6＋a（x＋1）3的展开式中x3的系数为23 （－1）3＋a ＝0，故a＝160，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕若（1－2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结 论中正确的是（　　） A. a0＝1 B. a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2 C. a1＋a3＋a5＝－122 D. ＋ ＋ ＋ ＋ ＝1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：令x＝0，则a0＝1，故A正确；令x＝1可得（1－2）5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2，故B错误；令x＝－1可得（1＋2）5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝243，故a1＋a3＋a5＝－122，故C正确；令x＝ 可得（1－2× ）5＝a0＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝0， ＋ ＋ ＋ ＋ ＝－1，故D错误，故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 设（1＋2x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a3＝2a2，则n＝ ⁠. 解析：二项式（1＋2x）n的展开式的通项为Tr＋1＝ 1n－r（2x）r＝ 2rxr，所以a2＝ 22，a3＝ 23，又a3＝2a2，所以 23＝2× 22，所 以n＝5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2025·四川巴中一模）22 025除以7的余数为 ⁠. 解析：因为22 025＝8675＝（7＋1）675＝ ·7675＋ ·7674＋…＋ ·7＋ ·1＝7×（7674＋ ·7673＋…＋ ）＋1，所以22 025 除以7的余数是1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. （2026·广东惠州模拟）已知（2x－1）5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋ a1x＋a0，则｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a5｜＝ ⁠. 解析：令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1　①.令x＝－1，得－a5＋ a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243　②.①＋②，得2（a4＋a2＋a0）＝－242， 即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2（a5＋a3＋a1）＝244，即a5＋a3＋a1 ＝122.所以｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a5｜＝122＋121＝243. 243 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）已知（ax2＋ ）n的展开式中所有项的二项式系数和为128， 各项系数和为－1. （1）求n和a的值； 解：由条件可得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）求展开式中x－4项的系数； 解：（ax2＋ ）n＝（－2x2＋x－1）7.∵（－2x2＋x－1）7展开式的通项为Tk＋1＝ ＝ （－2）7－kx14－3k，k＝0，1， 2，…，7，∴当14－3k＝－4，即k＝6时，x－4项的系数为 （－2）＝－ 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （3）求（2x－ ）（ax2＋ ）n的展开式中的常数项. 解：（2x－ ）（ax2＋ ）n＝（2x－x－2）（－2x2＋x－1）7＝2x －x－2（－2x2＋x－1）7， ∴①2x（－2x2＋x－1）7的通项Tk＋1＝2x （－2x2）7－kx－k＝2x·（－ 2）7－k x14－3k，当14－3k＝－1，即k＝5时，2x· （－2）2x－1＝168； ②－x－2（－2x2＋x－1）7的通项为Tk'＋1＝－x－2· （－2x2）7－k'·x－k' ＝－x－2 （－2）7－k'·x14－3k'，当14－3k'＝2，即k'＝4时，－x－2· （－2）3x2＝280， ∴常数项为168＋280＝448. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 〔创新交汇〕（2026·山东威海模拟）若n为一组从小到大排列的数 1，2，4，6，9，10的第60百分位数，则在（x－2y）n的展开式中，第3 项的系数为（　　） A. 30 B. 60 C. 40 D. －60 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：　因为n为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第60百分 位数，且6×60％＝3.6，所以n＝6，所以（x－2y）6的展开式的通项为Tr ＋1＝ x6－r（－2y）r＝（－2）r x6－ryr，r＝0，1，2，…，6，令r＝ 2，所以展开式中第3项的系数为（－2）2· ＝60.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕若（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2 ＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝125－n，则下列结论正确的是（　　） A. n＝6 B. a1＝21 C. （1＋2x）n展开式中二项式系数和为729 D. a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝321 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：对于A，因为（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，得2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an ＝ ＝2n＋1－2，令x＝0，得n＝a0，因为（1＋x）n中xn项为 xn＝xn，所以an＝1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－2－n－1＝125－n， 解得n＝6，故A正确；对于B，a1＝1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝21，故B 正确；对于C，（1＋2x）6展开式中二项式系数和为26＝64，故C错误；对 于D，令f（x）＝（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）6＝a0＋a1x＋ a2x2＋…＋a6x6，f'（x）＝1＋2（x＋1）＋…＋6（x＋1）5＝a1＋2a2x ＋…＋6a6x5，令x＝1得f'（1）＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25 ＝a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝321，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. （2026·河南安阳模拟）已知（ － ）n的展开式中只有第5项的二 项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为 ⁠. 解析：∵展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝8，∴展开式的通 项为Tr＋1＝ （ ）8－r（－ ）r＝（－2）r ，r＝0，1，…， 8，则该展开式中各项系数ar＝（－2）r ，r＝0，1，…，8，若求系数 的最小值，则r为奇数且 －1 792 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 即 解得r＝5，∴系数的最小值为a5＝（－2）5 ＝－1 792. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）已知在（2x＋ ）n的展开式中，第3项的二项式系数与第2 项的二项式系数的比为5∶2. （1）求出展开式的中间项； 解：根据题意， ＝ ，即 ＝ n，又n≠0，故n＝6， 二项式为（2x＋ ）6，展开式的通项为Tr＋1＝ （2x）6－r（ ）r＝ ·26－r·3r· ，r＝0，1，2，…，6， 所以展开式中间项是第四项T4＝ 2333x2＝4 320x2，故中间项是4 320x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）设a＝3n＋ 3n－1＋ 3n－2＋…＋ 3，则当n＝2 026时，求a 除以15所得余数. 解：当n＝2 026时，由题设有a＝（3＋1）2 026－1＝42 026－1＝161 013－1＝（15＋1）1 013－1＝ 151 013＋ 151 012＋…＋ 15＋ －1 ＝ 151 013＋ 151 012＋…＋ 15，显然能够被15整除，故a除 以15所得余数为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $