11.2一元一次不等式的实际应用（第2课时）课时分层训练2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

11.2一元一次不等式的实际应用（第2课时） 基础过关练 夯基础 1．小明要从五一广场到双塔寺，两地相距3.2千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，骑车的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要骑车多少分钟？设他骑车的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设他骑车的时间为分钟，则他步行的时间为分钟，再根据总路程不小于两地距离即可列出不等式． 【详解】解：设他骑车的时间为分钟，则他步行的时间为分钟， 由题意可得：． 2．2025年春晚机器人动作机械，2026年已实现灵活流畅的舞台表演．这一变化直观体现了我国人形机器人技术在一年内的快速迭代升级．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目的数量关系，结合“不低于”的含义列出不等式即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得． 3．如图，某电梯额定载重为，假设电梯内人员和货物的总重量为．为了安全运行，必须满足的不等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意． 4．一个数x的与4的差不大于这个数的2倍加上5所得的和”可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将文字语言准确转化为代数式，明确“不大于”表示小于等于，对应不等号为，列出不等式即可. 【详解】解：∵的为，它与的差为， 这个数的倍加上的结果为， 由题意， 可列不等式为. 5．某种商品的进价为元，出售时标价为元，由于该商品积压，商店准备打折出售，要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据利润等于实际售价减去进价，且利润率不低于即利润不低于进价的，列出不等式即可． 【详解】解：设该商品打折销售， 打折后的实际售价为标价乘， 列不等式得． 6．德强学校社会实践活动丰富多彩，知行合一育人用心，让学生在实践中成长、在体验中收获．在刚刚结束的寒假社会实践中，七年级某班爱心义卖摆摊销售A，B两种商品，其进价和售价如下表： 进价/元 售价/元 A 2 3.5 B 2.5 4.5 (1)该班第一次用350元购进A，B两种商品，销售完后，共获利275元，第一次购进A，B两种商品各多少件？ (2)若该班第二次共购进A，B两种商品250件，在进价和售价均不变的情况下，要使售完所有商品的利润不低于400元，则至少需要购进B种商品多少件？ 【答案】(1)第一次购进A商品50件，B商品100件 (2)至少需要购进B种商品50件 【分析】（1）根据总进价和总利润的两个等量关系，设未知数列出二元一次方程组，求解得到两种商品的购进件数； （2）设购进B商品的件数，根据总利润不低于400元列出一元一次不等式，求解得到B商品的最小购进件数． 【详解】（1）解：设第一次购进A商品件，购进B商品件， A商品单件利润为 (元)，B商品单件利润为 (元)， 根据题意可得， 解得 ， 答：第一次购进A商品50件，B商品100件； （2）解：设购进B商品件，则购进A商品件， 根据题意列不等式得 ， 整理得， 解得， 答：至少需要购进B种商品50件． 7．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程的所有“好解”； (2)关于，，的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)有，，， 【分析】（1）根据题意求得方程的所有非负整数解即可； （2）将第一个方程两边同时乘以再与第二个方程相减后得到关于，的方程，然后根据题意求得其所有非负整数解即可． 【详解】（1）解：∵方程， ∴， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴方程的所有“好解”是，，，； （2）解：， ①②，得：， 整理化简，得：， ∴， 将代入①，得：， ∴， ∵“好解”是非负整数解， ∴，，都是非负整数， 当时，恒成立， ∴， 解得：， ∴（是非负整数）， ∴可以取，，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴关于，，的方程组有“好解”，“好解”为，，． 能力综合练 练思维 8．某纪念品商店购进若干亚运会徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为5元/个，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，如图表是近两周的销售情况．该纪念品商店准备用不超过770元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个． 销售时段 徽章（个） 钥匙扣（个） 销售收入（元） 第一周 4 3 130 第二周 5 5 200 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） (1)请尝试求出亚运会徽章、钥匙扣的销售单价 (2)该商店至少采购徽章多少个？ (3)帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于516元，在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？ 【答案】(1)亚运会徽章销售单价为10元，钥匙扣的销售单价为30元. (2)该商店至少采购徽章10个； (3)共有三种采购方案：①采购徽章10个，钥匙扣40个；②采购徽章11个，钥匙扣39个；③采购徽章12个，钥匙扣38个。其中，采购10个徽章，40个钥匙扣时，商店获利最高 【分析】（1）根据题意，亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元,由徽章收入+钥匙扣收入=销售总收入列出方程组求解即可； （2）根据题意，由徽章进货费用+钥匙扣进货费用不超过770列不等式求解即可； （3）根据题意，由利润＝单件利润×数量列不等式求解即可． 【详解】（1）解：亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元, 根据题意，得， 解得， 答：亚运会徽章销售单价为10元，钥匙扣的销售单价为30元； （2）解：设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个， 根据题意，得， 解得， 答：该商店至少采购徽章10个； （3）解：根据题意，得， 解得， ∵，且a为正整数， ∴a可以为10，11，12， 当时，总利润为（元）； 当时，总利润为（元）； 当时，总利润为（元）， ∵， ∴共有三种采购方案：①采购徽章10个，钥匙扣40个；②采购徽章11个，钥匙扣39个；③采购徽章12个，钥匙扣38个。其中，采购10个徽章，40个钥匙扣时，商店获利最高． 9．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利与“天宫”空间站对接．航模店看准商机，计划购进“神舟”和“天宫”模型进行销售．已知购进10个“神舟”模型和20个“天宫”模型共需要1600元；购进20个“神舟”模型和30个“天宫”模型共需要2700元． (1)求购进“神舟”和“天宫”模型的单价分别是多少元？ (2)若航模店计划购进“神舟”和“天宫”模型共100个，并将“神舟”和“天宫”模型分别以80 元/个，75元/个售出，为了保证全部售完后的总利润不低于2200元，最多购进“神舟”模型多少个？ 【答案】(1) 购进“神舟”模型的单价为60元，“天宫”模型的单价为50元 (2) 最多购进“神舟”模型60个 【分析】（1）设购进“神舟”模型单价为x元，“天宫”模型单价为y元，根据购进10个“神舟”模型和20个“天宫”模型共需要1600元；购进20个“神舟”模型和30个“天宫”模型共需要2700元建立方程组求解即可； （2）设购进“神舟”模型个，则“天宫”模型个，根据全部售完后的总利润不低于2200元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购进“神舟”模型单价为x元，“天宫”模型单价为y元， 由题意得， 解得， 答：购进“神舟”模型的单价为60元，“天宫”模型的单价为50元； （2）解：设购进“神舟”模型个，则“天宫”模型个， 由题意得， 解得， ∴m的最大值为60， 答：最多购进“神舟”模型60个． 10．综合与实践： 【问题情境】2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，林老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 【信息收集】 信息一 信息二 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需400元；若买15个玩偶和15个徽章共需450元． 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买60元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． (1)【问题探究】线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ (2)【问题解决】林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共40个，请你帮林老师算一算，购买玩偶的数量在什么范围内时，方式一更划算？ 【答案】(1)玩偶的销售单价是20元，徽章的销售单价是10元； (2)当时，方案一更划算 【分析】（1）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可； （2）设购买玩偶m个，根据购买方式列出代数式，进而列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元， 由题意，得， 解得； 答：玩偶的销售单价是20元，徽章的销售单价是10元； （2）解：设购买玩偶m个，则购买徽章个， 由题意，按照方案一购买需：（元）； 按照方案二购买需：（元）； 当时，解得， ∵购买玩偶和徽章共40个， ∴当时，方案一更划算． 11．根据如表所示素材，探索完成任务． 东营作为黄河三角洲中心城市，近年大力推进绿色照明工程，城区主干道、小区、学校已全面普及节能灯 素材一 为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯． 采购批次 甲型节能灯（盏） 乙型节能灯（盏） 采购总费用（元） 第一次 4 5 64 第二次 6 2 52 素材二 两种型号的节能灯共50盏 素材三 总费用不超过360元 问题解决 (1)任务一：求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)任务二：该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯． 【答案】(1)1盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是8元 (2)该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯 【分析】（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设购买m盏甲型节能灯，根据题意，列出不等式，进行求解即可. 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：1盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是8元； （2）解：设购买m盏甲型节能灯，则购买盏乙型节能灯， 根据题意得：， 解得， ∴m的最小值为20． 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 12．活动目的：采购三晋特色文创玩偶 活动背景：“表里山河，文脉绵长；三晋匠心，指尖流芳”．为传承山西优秀传统文化，某文化传播公司计划采购一批具有三晋特色的文创玩偶，用于“晋韵流芳”主题展览的互动体验和纪念品发放． 素材一：购买3个“晋侯鸟尊”玩偶和4个“刀削面”玩偶共需170元；购买5个“晋侯鸟尊”玩偶和2个“刀削面”玩偶共需190元． 素材二：该公司计划购买这两种玩偶共20个．为降低采购成本，文创工坊推出两种优惠方案（只能选择其中一种方案，每种玩偶都需要购买） 素材三：方案一：购买任意玩偶满10个，总价打九折； 方案二：购买“晋侯鸟尊”玩偶每个优惠，其它按原价销售． (1)任务一：求“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价． (2)任务二：设购买“晋侯鸟尊”玩偶个，采用方案一支付费用为，采用方案二支付费用为，请你帮助采购部门选择购买方案． 【答案】(1)“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元； (2)当购买“晋侯鸟尊”玩偶个时，两种方案的费用一样，选择方案一或方案二；当时，方案二费用少，选择方案二；当时，方案一费用少，选择方案一． 【分析】（1）设“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元，根据购买3个“晋侯鸟尊”玩偶和4个“刀削面”玩偶共需170元；购买5个“晋侯鸟尊”玩偶和2个“刀削面”玩偶共需190元．建立二元一次方程组求解即可； （2）先根据题意分别表示出，再分别求，即可解答． 【详解】（1）解：设“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元， 根据题意，得， 解得， 答：“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元； （2）解：根据题意，得，， 当时，则，解得； 当，则，解得， ∵为正整数，每种玩偶都需要购买， ∴； 当，则，解得， ∵为正整数，每种玩偶都需要购买， ∴； 答：当购买“晋侯鸟尊”玩偶个时，两种方案的费用一样，选择方案一或方案二；当时，方案二费用少，选择方案二；当时，方案一费用少，选择方案一． 13．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？ 【答案】(1)A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元； (2)最多能买A型机器人台． 【分析】（1）设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元列出方程组即可得到答案； （2）设买A型机器人台，则买B型机器人台，根据总费用不超过1400万元列出不等式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得， 解得， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元； （2）解：设买A型机器人台，则买B型机器人台， 由题意得， 解得， 答：最多能买A型机器人台． 14．某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示： 直播间 活动方案 甲 全场六折 乙 “满100送100”（如：购买190元商品，赠100元购物券：购买200元商品，赠200元购物券） 丙 “满100减50”（如：购买190元商品，只需付140元：购买200元商品，只需付100元） 请根据上述信息，解答下列问题： (1)甲、乙两个直播间同时出售一款标价为380元的破壁机和标价为300多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气炸锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价． (2)在甲、丙两个直播间标价均为元（）的商品，当的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？ 【答案】(1)370 (2)当或时，到甲直播间购买更合算． 【分析】（1）设这种空气炸锅的标价为y元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）先求出甲直播间：全场六折，实际花费为元． 丙直播间：“满100减50”，分两种情况：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：设空气炸锅的标价为y元，由题意，得 ， 解得， 答：空气炸锅的标价为370元． （2）解：甲直播间：全场六折，实际花费为元． 丙直播间：“满100减50”，分两种情况： ①当时，不满足满减条件，实际花费为x元，要使甲直播间更合算，即甲的花费<丙的花费， ∴， 解得， ∴， ②当时，满足满减条件，实际花费为元，要使甲直播间更合算，即甲的花费<丙的花费， ∴， 解得 ∴， 综上所述，当或时，到甲直播间购买更合算． 15．问题情境：“海丝起点，清新福建”福建山水秀丽，风景优美，是全国知名的旅游目的地．某旅游团组织到福建旅游，准备为每位团员购买1件某景区的纪念品挂件，该景区有两家销售该纪念品的商店，标价均为20元/件，且都在进行促销活动．甲商店规定：一次性购买金额不超过300元的不优惠，一次性购买金额超过300元的，超过部分按标价的六折优惠．乙商店规定：全部按标价的八折售卖．设该旅游团有团员n人． 问题解决： (1)当时，在甲商店的购买金额为______元；在乙商店的购买金额为______元． (2)当时． ①分别求在甲、乙两商店的购买金额．（用含n的代数式表示） ②你认为选择哪家商店支付的费用较少，请说明理由． 【答案】(1)300，240 (2)①甲、乙两商店的购买金额分别为元，元；②当时，选择乙商店；当时，选择甲商店；当时，两家商店费用相同 【分析】（1）根据优惠方案求解即可； （2）①根据两种优惠方案即可列代数式；②分类讨论，解不等式或方程即可． 【详解】（1）解：当时，（元）， 此时购买金额不超过300元， 故在甲商店的购买金额为300元； 在乙商店的购买金额为（元）； （2）解：当时，①， 则甲商店购买金额为元； 乙商店购买金额为：（元）； ②当时，解得， ∴当时，甲商店费用少； 当时，解得， ∴当时，乙商店费用少； 当时，解得， ∴当时，甲、乙商店费用一样， 答：当时，选择乙商店；当时，选择甲商店；当时，两家商店费用相同． 16．小铭在观看2025年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．某室内游泳馆为市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式．会员卡支付：支付卡费200元后，每次游泳付36元；按次支付：每次游泳支付60元． (1)若小铭用于游泳的预算为1000元，那么小铭用会员卡支付最多可以游多少次？ (2)若小铭想在游泳馆练习游泳次，会员卡支付收费元，按次支付收费元，请你帮他分析选择哪种支付方式更合算？ 【答案】(1)最多可以游22次 (2)当时，按次支付更合算．当时，会员卡支付更合算． 【分析】（1）设小铭用会员卡支付最多可以游次，根据游泳的总预算为1000元列不等式解答即可； （2）分，及三种情况，求出m的取值范围或m的值，进而即可根据游泳的次数选择出省钱的收费方式． 【详解】（1）解：设小铭用会员卡支付最多可以游次，根据题意得： ， 解得：， 因为为正整数，所以的最大值为22． 答：小铭用会员卡支付最多可以游22次． （2）解：会员卡支付的表达式为（，为正整数）； 按次支付的表达式为（，为正整数）； 分三种情况比较： ①当时，， 解得， 因为m为正整数，所以当时，会员卡支付更合算； ②当时，， 解得：， m为正整数，因此不存在两种方式费用相等的次数； ③当时，， 解得：， 因为m为正整数，所以当时，按次支付更合算． 所以，当时，按次支付更合算．当时，会员卡支付更合算． 拓展探究练 提素养 17．为迎接店庆，某超市举行促销活动，消费不超过200元的按原价付款，对消费超过200元的顾客实行如下优惠： 一次性购物 优惠方案 超过200元但不超过600元 超过200元不超过600元的部分打八折 超过600元 每满300元减100元 (1)顾客甲一次性购物元，用含x的式子表示他实际付款的钱数； (2)顾客乙一次性购物元，顾客丙一次性购物元，若结账时乙丙两人实际付款金额的差值不超过336元，求x的取值范围； (3)顾客丁购买了如下标价的物品：一个电饭煲445元，五斤排骨（38元/斤），两提牛奶（75元/提），两板鸡蛋（35元/板），一提卷纸27元，一个文具袋6元．他正准备一次性付款时，朋友说可以再买价值元的商品一起一次性付款能支付最少的钱，请直接写出a的值，并计算朋友的方案相较于顾客丁原来的方案能少支付多少钱？ 【答案】(1)元 (2) (3)，能少支付88元 【分析】（1）当时，按超过200元不超过600元的部分八折计算即可； （2）因为顾客乙的费用时，所以按原价付款；而顾客丙的费用，故按超过200元不超过600元的部分八折付款，再根据结账时乙丙两人实际付款金额的差值不超过336元列出不等式求出即可得答案； （3）先求得一次性付款的方案实际付款元，再求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∴超过200元不超过600元的部分打八折， ∴他实际付款元； （2）解：， ∴顾客乙按原价付款元． ， ∴按超过200元不超过600元的部分打八折付款， ∴顾客丙实际付款（元）， ∵若结账时乙丙两人实际付款金额的差值不超过336元， ， 解得， 的取值范围是； （3）解：总费用为（元）， ，∴每满300减100元， ∴一次性付款的方案实际付款元， ， ， 此时总费用为（元）， 实际付款（元）， ∴共少支付（元）． 18．综合与实践 【阅读与思考】 场景1：某奶茶店一个收银台，每2分钟服务一位顾客．店庆活动时，已有4位顾客在排队． 收银台开始工作后，每4分钟来一位新顾客．分析问题，完成表格（单位：分钟） 收银台开始工作前已有4位顾客在排队等候，若把到达时间看作是0分钟，表示收银台开始工作后到达的“新顾客”．     顾客 … 到达时间 0 0 0 0 4 8 … 服务开始时间 0 2 4 6 8 10 … 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 … ①上表中第 位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 场景2：若店庆活动时已有6位顾客排队，其他条件不变（每2分钟服务一位顾客，每4分钟来一位新顾客） 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 0 0 4 8 … ▲ 服务开始时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … ▲ ▲ 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 14 16 … ▲ ②上表中第 位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 【发现问题】 ①若还有“新顾客”在排队，则“新顾客”服务结束的时间 “新顾客”服务开始的时间（填“＞”、“”或“＜”）； ②当 ，则当“新顾客”到达时无排队现象（填“≥”、“”或“≤”）． 【解决问题】 ①如果服务窗口办理业务的速度为每分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每分钟到达一位（）服务窗口开始服务前已有位顾客在等待，假设从第位“新顾客”开始不需要排队．当 时，排队现象消失（直接写出与的关系）； ②根据以上结论，从数学解决问题的角度，就数值的变化，为解决学校食堂就餐时排队较长问题，提出两条合理化建议． 【答案】【阅读与思考】①；②； 【发现问题】①；②； 【解决问题】①； ②加快服务速度，减少服务时间；增加服务窗口，减少服务时间；错峰就餐，减少排队人数；错峰就餐，提高学生就餐排队间隔 【分析】本题考查了不等式的应用，用代数式表示数的规律，解决本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，寻找规律，列出代数式． [阅读与思考]①根据题意，分别得到的服务时间，由此得到的服务时间，由此得到来时正好无需排队； ②同理得到当为顾客服务时，未到，故第5位是在20分钟时到来时无需排队； [发现问题]①前一位新顾客服务结束后，下一位新顾客立即开始服务（若已到达），因此结束时间与下一位开始时间相等； ②根据当新顾客”到达时无排队现象求解即可； [解决问题]①通过归纳原有顾客数m，服务时间a，新顾客间隔时间b的关系得到不等式即可； ②根据出与的关系提建议即可． 【详解】解：[阅读与思考] 收银台开始工作前已有4位顾客在排队等候，每2分钟服务一位顾客，表示收银台开始工作后到达的“新顾客”，每4分钟来一位新顾客， ①根据题意，当为顾客服务时，到达并排队， 当为顾客服务时，到达并排队， 当为服务时，未到， ∴的服务时间为：（分钟）， ∴在分钟到达时，收银台空闲，因此服务开始时间为分钟，无需排队， ∴表1中第3位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客， 故答案为：； ②店庆活动时已有6位顾客排队，每2分钟服务一位顾客，每4分钟来一位新顾客， ∴当为顾客服务时，到达并排队， 当为顾客服务时，到达并排队， 当为顾客服务时，到达并排队， 当为顾客服务时，到达并排队， 当为顾客服务时，未到， ∴服务的时间为（分钟）， ∴当在分钟到时，收银台空闲，无需排队， ∴表2中第5位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客， 故答案为：； [发现问题] ①根据表2得到，当为服务结束时，正好到达， ∴“新顾客”服务结束的时间等于“新顾客”开始的时间， 故答案为：； ②当“新顾客”到达时无排队现象，则其到达的时间必须不早于前一位顾客的服务结束时间， ∴， 故答案为：； [解决问题] ①前面m位顾客服务需要分钟， 前位新顾客到达间隔为分钟， ∵服务完前面m位顾客和前位新顾客的时间要小于等于第n位新顾客到达的时间排队现象才会消失， ∴，即； 故答案为：； ②加快服务速度，减小服务时间；增加服务窗口，减小服务时间； 错峰就餐，减少排队人数；错峰就餐，提高学生就餐排队间隙． 19．2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同．其中魔方每个标价10元，数独棋每个标价40元． 两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：魔方和数独棋都按9折出售． 乙商店：买两个数独棋送一个魔方． 学校计划订购数独棋60个，魔方若干（多于30）个，单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购魔方的数量是50个，如果在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是___________元． (2)当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？ (3)根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案． 【答案】(1)2600 (2)当订购魔方的数量是60个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同； (3)当购买魔方数量大于30个且小于60个时，在乙商店购买魔方和数独棋划算；当购买魔方数量为60个时，在甲、乙商店一样；当购买魔方数量大于60个时，在甲商店购买魔方和数独棋划算． 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程及不等式的实际应用，解题的关键是掌握甲商店和乙商店的优惠方式． （1）根据乙商店的优惠方式列式求解即可； （2）设订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同，根据题意列出一元一次方程求解即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：元， ∴购买魔方和数独棋的总费用是2600元； （2）解：设订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， ∴当订购魔方的数量是60个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同； （3）解：设订购魔方的数量是x个， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当购买魔方数量大于30个且小于60个时，在乙商店购买魔方和数独棋划算；当购买魔方数量为60个时，在甲、乙商店一样；当购买魔方数量大于60个时，在甲商店购买魔方和数独棋划算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2一元一次不等式的实际应用（第2课时） 基础过关练 夯基础 1．小明要从五一广场到双塔寺，两地相距3.2千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，骑车的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要骑车多少分钟？设他骑车的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 2．2025年春晚机器人动作机械，2026年已实现灵活流畅的舞台表演．这一变化直观体现了我国人形机器人技术在一年内的快速迭代升级．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 3．如图，某电梯额定载重为，假设电梯内人员和货物的总重量为．为了安全运行，必须满足的不等关系是（    ） A． B． C． D． 4．一个数x的与4的差不大于这个数的2倍加上5所得的和”可列不等式为（    ） A． B． C． D． 5．某种商品的进价为元，出售时标价为元，由于该商品积压，商店准备打折出售，要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 6．德强学校社会实践活动丰富多彩，知行合一育人用心，让学生在实践中成长、在体验中收获．在刚刚结束的寒假社会实践中，七年级某班爱心义卖摆摊销售A，B两种商品，其进价和售价如下表： 进价/元 售价/元 A 2 3.5 B 2.5 4.5 (1)该班第一次用350元购进A，B两种商品，销售完后，共获利275元，第一次购进A，B两种商品各多少件？ (2)若该班第二次共购进A，B两种商品250件，在进价和售价均不变的情况下，要使售完所有商品的利润不低于400元，则至少需要购进B种商品多少件？ 7．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程的所有“好解”； (2)关于，，的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 能力综合练 练思维 8．某纪念品商店购进若干亚运会徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为5元/个，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，如图表是近两周的销售情况．该纪念品商店准备用不超过770元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个． 销售时段 徽章（个） 钥匙扣（个） 销售收入（元） 第一周 4 3 130 第二周 5 5 200 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） (1)请尝试求出亚运会徽章、钥匙扣的销售单价 (2)该商店至少采购徽章多少个？ (3)帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于516元，在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？ 9．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利与“天宫”空间站对接．航模店看准商机，计划购进“神舟”和“天宫”模型进行销售．已知购进10个“神舟”模型和20个“天宫”模型共需要1600元；购进20个“神舟”模型和30个“天宫”模型共需要2700元． (1)求购进“神舟”和“天宫”模型的单价分别是多少元？ (2)若航模店计划购进“神舟”和“天宫”模型共100个，并将“神舟”和“天宫”模型分别以80 元/个，75元/个售出，为了保证全部售完后的总利润不低于2200元，最多购进“神舟”模型多少个？ 10．综合与实践： 【问题情境】2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，林老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 【信息收集】 信息一 信息二 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需400元；若买15个玩偶和15个徽章共需450元． 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买60元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． (1)【问题探究】线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ (2)【问题解决】林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共40个，请你帮林老师算一算，购买玩偶的数量在什么范围内时，方式一更划算？ 11．根据如表所示素材，探索完成任务． 东营作为黄河三角洲中心城市，近年大力推进绿色照明工程，城区主干道、小区、学校已全面普及节能灯 素材一 为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯． 采购批次 甲型节能灯（盏） 乙型节能灯（盏） 采购总费用（元） 第一次 4 5 64 第二次 6 2 52 素材二 两种型号的节能灯共50盏 素材三 总费用不超过360元 问题解决 (1)任务一：求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)任务二：该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯． 12．活动目的：采购三晋特色文创玩偶 活动背景：“表里山河，文脉绵长；三晋匠心，指尖流芳”．为传承山西优秀传统文化，某文化传播公司计划采购一批具有三晋特色的文创玩偶，用于“晋韵流芳”主题展览的互动体验和纪念品发放． 素材一：购买3个“晋侯鸟尊”玩偶和4个“刀削面”玩偶共需170元；购买5个“晋侯鸟尊”玩偶和2个“刀削面”玩偶共需190元． 素材二：该公司计划购买这两种玩偶共20个．为降低采购成本，文创工坊推出两种优惠方案（只能选择其中一种方案，每种玩偶都需要购买） 素材三：方案一：购买任意玩偶满10个，总价打九折； 方案二：购买“晋侯鸟尊”玩偶每个优惠，其它按原价销售． (1)任务一：求“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价． (2)任务二：设购买“晋侯鸟尊”玩偶个，采用方案一支付费用为，采用方案二支付费用为，请你帮助采购部门选择购买方案． 13．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？ 14．某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示： 直播间 活动方案 甲 全场六折 乙 “满100送100”（如：购买190元商品，赠100元购物券：购买200元商品，赠200元购物券） 丙 “满100减50”（如：购买190元商品，只需付140元：购买200元商品，只需付100元） 请根据上述信息，解答下列问题： (1)甲、乙两个直播间同时出售一款标价为380元的破壁机和标价为300多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气炸锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价． (2)在甲、丙两个直播间标价均为元（）的商品，当的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？ 15．问题情境：“海丝起点，清新福建”福建山水秀丽，风景优美，是全国知名的旅游目的地．某旅游团组织到福建旅游，准备为每位团员购买1件某景区的纪念品挂件，该景区有两家销售该纪念品的商店，标价均为20元/件，且都在进行促销活动．甲商店规定：一次性购买金额不超过300元的不优惠，一次性购买金额超过300元的，超过部分按标价的六折优惠．乙商店规定：全部按标价的八折售卖．设该旅游团有团员n人． 问题解决： (1)当时，在甲商店的购买金额为______元；在乙商店的购买金额为______元． (2)当时． ①分别求在甲、乙两商店的购买金额．（用含n的代数式表示） ②你认为选择哪家商店支付的费用较少，请说明理由． 16．小铭在观看2025年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳．某室内游泳馆为市民提供会员卡支付和按次支付两种支付方式．会员卡支付：支付卡费200元后，每次游泳付36元；按次支付：每次游泳支付60元． (1)若小铭用于游泳的预算为1000元，那么小铭用会员卡支付最多可以游多少次？ (2)若小铭想在游泳馆练习游泳次，会员卡支付收费元，按次支付收费元，请你帮他分析选择哪种支付方式更合算？ 拓展探究练 提素养 17．为迎接店庆，某超市举行促销活动，消费不超过200元的按原价付款，对消费超过200元的顾客实行如下优惠： 一次性购物 优惠方案 超过200元但不超过600元 超过200元不超过600元的部分打八折 超过600元 每满300元减100元 (1)顾客甲一次性购物元，用含x的式子表示他实际付款的钱数； (2)顾客乙一次性购物元，顾客丙一次性购物元，若结账时乙丙两人实际付款金额的差值不超过336元，求x的取值范围； (3)顾客丁购买了如下标价的物品：一个电饭煲445元，五斤排骨（38元/斤），两提牛奶（75元/提），两板鸡蛋（35元/板），一提卷纸27元，一个文具袋6元．他正准备一次性付款时，朋友说可以再买价值元的商品一起一次性付款能支付最少的钱，请直接写出a的值，并计算朋友的方案相较于顾客丁原来的方案能少支付多少钱？ 18．综合与实践 【阅读与思考】 场景1：某奶茶店一个收银台，每2分钟服务一位顾客．店庆活动时，已有4位顾客在排队． 收银台开始工作后，每4分钟来一位新顾客．分析问题，完成表格（单位：分钟） 收银台开始工作前已有4位顾客在排队等候，若把到达时间看作是0分钟，表示收银台开始工作后到达的“新顾客”．     顾客 … 到达时间 0 0 0 0 4 8 … 服务开始时间 0 2 4 6 8 10 … 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 … ①上表中第 位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 场景2：若店庆活动时已有6位顾客排队，其他条件不变（每2分钟服务一位顾客，每4分钟来一位新顾客） 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 0 0 4 8 … ▲ 服务开始时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … ▲ ▲ 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 14 16 … ▲ ②上表中第 位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 【发现问题】 ①若还有“新顾客”在排队，则“新顾客”服务结束的时间 “新顾客”服务开始的时间（填“＞”、“”或“＜”）； ②当 ，则当“新顾客”到达时无排队现象（填“≥”、“”或“≤”）． 【解决问题】 ①如果服务窗口办理业务的速度为每分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每分钟到达一位（）服务窗口开始服务前已有位顾客在等待，假设从第位“新顾客”开始不需要排队．当 时，排队现象消失（直接写出与的关系）； ②根据以上结论，从数学解决问题的角度，就数值的变化，为解决学校食堂就餐时排队较长问题，提出两条合理化建议． 19．2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同．其中魔方每个标价10元，数独棋每个标价40元． 两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：魔方和数独棋都按9折出售． 乙商店：买两个数独棋送一个魔方． 学校计划订购数独棋60个，魔方若干（多于30）个，单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购魔方的数量是50个，如果在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是___________元． (2)当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？ (3)根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $