概率与其他知识的交汇问题类型梳理 课件——2027届高三数学一轮复习

概率与其他知识的 交汇问题类型梳理 例1 [2025·陕西汉中模拟］杜老师随机选 取了开学测试中本班10名学生的数学成绩， 得到如下统计图. （1）从这10名学生中随机选出1人，求其 数学成绩不低于120分的概率. 解：由图知数学成绩不低于120分的人数为7，故数学成绩不低于120 分的概率为 . 类型一 统计图表与概率 2 （2）杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励，现在从这 10名学生中随机选出3人，记为选出获得奖励的学生人数，求 的 分布列和数学期望. 3 解：由图知数学成绩不低于135分的人数为4， 的可能取值为0,1,2,3，， ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 故 . 4 （3）杜老师针对测试内容与学习计划， 对“三角函数”“概率”“导数”这3个模块进行 复习训练，且在训练中进行多轮测评.规定： 在一轮测评中，若这3个模块至少有2个模 块达到90分以上，则该轮测试记为合格.在复习训练中，甲同学3个模块 中每个模块达到90分以上的概率均为 ，每轮测评互不影响.要使甲同学 在复习训练中获得合格的次数的平均值达到5，至少要进行多少轮测评？ 5 解：设“甲同学在一轮测评中获得合格”为 事件，则 . 设甲同学在 轮测评中获得合格 的次数为，则 ， 由题意得，解得 ， 所以至少要进行20轮测评. 6 [总结反思] 高考常将频率分布直方图等统计图表与概率分布列交汇在一起进行 考查,因此在解答此类题时,准确地把题中所涉及事件进行分解,明确所 求问题所属的事件类型是关键. 7 自测题 [2025·山东德州三模] 随着信息技术的迅猛发展，智能化家 居让人们的生活越来越幸福，智能门锁就是其中之一.智能门锁的质 量是根据其正常使用的时间来衡量的，使用时间越长，表明质量越 好，且使用时间大于或等于6年的为优质品.现用A，B两种不同品牌 他们对的智能门锁做试验，随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果 的频率分布直方图如图所示（分组依次为,,, , ），以试验结果中各组的频率作为相应的概率. 8 （1）现从大量的A，B两种品牌智能门锁中各随机抽取2件产品，求 其中至少有3件是优质品的概率. 9 解：由频率分布直方图可知，从大量的A品牌智能门锁中 随机抽取一件产品为优质品的概率 ， 从大量的B品牌智能门锁中随机抽取一件产品为优质品的概率概率 ， 所以从大量的A,B两种品牌智能门锁中各随机抽取2件产品， 其中至少有3件是优质品的概率 . 10 （2）通过多年统计发现，A品牌智能门锁每件产品的利润 （单位：元）与其使用时间 （单位：年）的关系如下表： 使用时间 （单位：年） 每件产品的利润 （单位：元） 200 400 若从大量的A品牌智能门锁中随机抽取2件产品，其利润之和记为 （单位：元），求 的分布列及数学期望. 11 解：由题意知，的可能取值为 ,0,200,400,600,800， ， ， ， ， ， ， 12 故 的分布列为 0 200 400 600 800 则 . 例2 [2025·重庆南开中学质检] 某健身机构为研究碳水摄入情况与肥 胖情况之间的关联，在该机构的健身学员中随机抽取200名学员进行情况调查，得到的 列联表如下. 单位：人 肥胖情况 碳水摄入情况 合计 不控制碳水摄入 控制碳水摄入 肥胖 40 60 不肥胖 合计 135 200 类型二 统计案例与概率 14 （1）补全列联表，根据小概率值 的独立性检验，分析 不控制碳水摄入是否会增加变肥胖的风险； 解：补全 列联表如下. 单位：人 肥胖情况 碳水摄入情况 合计 不控制碳水摄入 控制碳水摄入 肥胖 40 60 100 不肥胖 25 75 100 合计 65 135 200 15 零假设为 碳水摄入情况与肥胖情况无关联.根据列联表中的数据， 经计算得到 . 根据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，即认为 碳水摄入情况与肥胖情况有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 根据列联表中的数据，不控制碳水摄入的学员中肥胖和不肥胖的频 率分别为和 ，控制碳水摄入的学员中肥胖和不 肥胖的频率分别为和 ，根据频率稳定于概率 的原理，我们可以认为不控制碳水摄入会增加变肥胖的风险. 16 （2）用样本频率估计概率，从该健身机构肥胖的学员中随机抽取5 名学员，用表示这5名学员中恰有 名不控制碳水摄入的概率， 求取最大值时 的值. 附：，其中 . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17 解：从肥胖的学员中随机抽取1名学员， 他不控制碳水摄入的概率，则 . , ， , ， , . 所以当时，取最大值 . 18 例3 [2025·湖南长沙适应性考试] 我国新能源汽车的卓越性能赢得全 球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠 售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年 年 （年份代码分别记为1，2，3，4，5，6，7，8）该品牌新能源汽车 科研经费和全球市场规模统计. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 科研经费 （单位：百亿元） 2 3 6 10 13 15 18 21 市场规模 （单位：百万辆） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 19 （1）根据样本数据，推断两个变量, 线性相关，请计算样本相关 系数，判断它们的线性相关程度（结果精确到）.（当 越接近 1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当 越接近0时，成对样 本数据的线性相关程度越弱） 解：由题意知 ， . 20 ， 将， ， 代入可得 . ， 将， 代入可得 . ，将， 代入可得 . 样本相关系数，将 ， ，代入可得 ， 因为 ，所以 . 因为，所以两个变量, 线性相关程度很强. （2）已知在国内，新能源汽车车主购买的新能源汽车为该品牌新能 源汽车的概率为 ，从国内新能源汽车车主中随机抽取5 人，记这5人中购买该品牌新能源汽车的人数为随机变量 ，若 ，求随机变量 的数学期望和方差. 参考数据：，， ， . 参考公式：样本相关系数 . 23 解：由题意知随机变量 ，由 , 可得，即 ， 因为，所以，解得 . 故， . 24 [总结反思] 高考常将统计案例与概率分布列交汇在一起进行考查,求解时注意概 率模型的应用,明确所求问题所属的事件类型是关键. 25 自测题 [2025·山东日照联考] 近期根据中国消费者信息研究报告显示 示，超过 的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统 计算了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间 （第 天）的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 75 84 93 98 100 26 （1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合和 之间 的关系？若可用，求出关于 的经验回归方程，并预测1月10日到该 专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取 整数，若样本相关系数满足 ，则线性相关程度很强，可 以用线性回归模型拟合，精确到 ）. 27 解：由表中数据可得, ， 因为,, ， 所以样本相关系数 ，所以可用线性回归模型拟合与 之间的关系. 28 ，则 , 所以关于的经验回归方程为,令 ，可得 ，所以预测1月10日到该专营店购物的人数约为109. （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案.方案一：购物金额 每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次， 每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中 奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1000元的 商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 参考数据：， ， ， . 30 附：样本相关系数， ， .#1.5 解：若选方案一，则需付款 （元）. 若选方案二，设需付款元，则 的可能取值为600,800,900,1000， 且, ， , ， 所以 ， 因此选方案二更优惠. 32 例4 甲、乙两人进行知识问答比赛，比赛规则如下：每道题由1人作 答，若答对，则答题者得1分，并继续回答下一道题；若答错，则对 方得1分，并由对方回答下一道题.比赛规定：先得3分者赢得比赛且比 赛结束.若比赛中甲答对任一道题的概率为 ，乙答对任一道题的概率 为 ，且每人每道题是否答对相互独立.经赛前抽签，确定甲先答题. （1）求乙在第二道题得分的概率（用， 表示）； 解：乙在第二道题得分可分为以下两种情况：甲在第一道题答对、第 二道题答错；甲在第一道题答错、乙在第二道题答对.所以乙在第二 道题得分的概率为 . 类型三 概率与函数、导数 33 （2）若， ，求甲在四道题以内赢得比赛的概率； 解：甲在四道题以内赢得比赛分以下两种情况： 甲答前三道题得3分；甲答前四道题得3分. 甲答前三道题得3分的概率为 ； 甲答前四道题得3分，即前三道题甲得2分，第四道题甲得分， 其概率为 . 所以甲在四道题以内赢得比赛的概率为 . 34 （3）若，记比赛结束时答题道数为，求 的最大值. 解：随机变量 的可能取值为3，4，5， 因为，所以 ； ， ，故 . 35 设， ， 求导得 ， 由，得， 当时， ，当时， ， 故函数在上单调递增，在 上单调递减， 故 ，所以的最大值为 . [总结反思] 解决概率与函数的综合问题的步骤 （1）建模，建立函数模型或概率模型；（2）求最值，借助二次函 数、分段函数的性质，利用单调性求均值、方差的最值或利用导数 研究函数的极值，从而确定最值；（3）检验，结合题目的实际意义 确定符合题意的解. 37 自测题 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩 合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每 道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为 ，每道岗位实践题的难度系数均为 ，考生 至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答 题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束. 已知甲笔试得满分的概率为 ，笔试和面试各题是否答对相互独立. 38 （1）当时，求 ； 解：由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试得满分的概率为，则 ， 又，故 . 39 （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的 值； 解：由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，所以甲能够进入 面试的概率 ， 由（1）知，则 ，则 ，整理得 ， 因为， ， 所以 ， 40 所以， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为 . （3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是 ，设甲 面试结束时在面试环节的答题道数为，求 的分布列与数学期望. 42 解：由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以 的可能取值为3,4,5， ， ， ， 所以 的分布列为 3 4 5 所以 . 43 1.[2025·山东烟台三模] 近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、 用车成本低等特点得到民众的追捧.某机构为研究汽油价格 （单位：元/升）与新能源汽车的月销售量 （单位：万辆）之间的 关系，收集整理得到如下数据： 6 6.5 7 7.5 8 1.5 2 3 4.5 6.8 作 业 手 册 1 2 3 4 44 （1）若用模型拟合与 之间的关系，求经验回归方程； 解：令，则 ， 因为， ， 所以由得，解得 ， 所以与的经验回归方程为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 45 （2）根据（1）中的经验回归方程，预测当汽油价格为9元/升时， 新能源汽车的月销售量； 解：当 时， ，所以当汽油价格为9元/升时，预测新能源汽车的月销售量 约为8.396万辆. 作 业 手 册 1 2 3 4 46 （3）假设当汽油价格为9元/升时，新能源汽车的实际月销售量超过 预测值的概率为 ，现进行5次独立观测，记这5次观测中新能源汽 车的实际月销售量超过预测值的次数为，求 的数学期望. 附：，， . 令，则， ， . 作 业 手 册 1 2 3 4 47 对于一组数据，其经验回归直线 的 斜率和截距的最小二乘估计分别为， .#1.7 解：由题知，，所以， 即 的数学期望为3. 作 业 手 册 1 2 3 4 2.[2025·河南豫西名校模拟] 某甜品店打算推出三款新品，在前期市 场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组、中年组和老年组，随机 调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下 （单位：人） 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立，用频率估计概率. 作 业 手 册 1 2 3 4 49 （1）从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的 概率； 解：由表格中的数据结合古典概型的概率公式可知， 从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一 款新品的概率为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 50 （2）从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记 为这3人中愿 意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望 ； 解：在三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，青少年组、中年组、 老年组的顾客愿意购买第二款新品的概率分别为，， ， 由题意可知，随机变量 的可能取值为0，1，2，3， ， ， 作 业 手 册 1 2 3 4 51 ， ， 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3 故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 （3）用“”表示顾客愿意购买第 款新品，“ ”表示顾客不愿意购买第款新品.写出方差 ， ， 的大小关系并说明理由. 解：用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第一款新品的概率为 ，顾客愿意购买第二款新品的概率为 ， 顾客愿意购买第三款新品的概率为 ， 所以 ， ， 作 业 手 册 1 2 3 4 53 所以 , ， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 3.为了研究有生活习惯与患有疾病 的关联，某疾控中心随机调查 了其他条件都基本相同的340人，调查数据如下表所示． 单位：人 无生活习惯 有生活习惯 合计 没患疾病 120 160 280 患有疾病 15 45 60 合计 135 205 340 作 业 手 册 1 2 3 4 55 （1）根据小概率值的独立性检验，判断患有疾病 与有生 活习惯 是否有关联？ 解：零假设为患有疾病与有生活习惯 无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立， 即认为患有疾病与有生活习惯 有关联． 作 业 手 册 1 2 3 4 56 （2）常用表示在事件发生的条件下事件 发生的优 势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人， 表示“选到的人 有生活习惯”，表示“选到的人患有疾病 ”，请利用样本数据，估 计 的值．附： . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 解： . 作 业 手 册 1 2 3 4 57 4.[2025·黑龙江六校联考] 某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒 乓球比赛，进入决赛的9名选手来自3个不同的班级，三个班级的 选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即 每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为 获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军.若最终积分相同，则 同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或 取胜的 选手积3分，失败的选手积0分；在比赛中以 取胜的选手积2分， 失败的选手积1分.已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取 胜的概率为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 58 （1）若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后 冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ 解：记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件 ， 则 . 作 业 手 册 1 2 3 4 59 （2）在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求 的分布列 及期望. 解：依题意， 的可能取值为0,1,2,3， ， ， ， ， 作 业 手 册 1 2 3 4 60 所以 的分布列为 所以的期望为 . 0 1 2 3 作 业 手 册 1 2 3 4 （3）在第6场比赛中，记甲以取胜的概率为，求 的最大值. 解：依题意得 ， 则 ， 令，得 ， 当时，，在 上单调递增， 当时，，在 上单调递减， 所以在 处取得极大值，即最大值， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 62 $