专题05 填空压轴题（逻辑推理3大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(北京专用)

专题05 填空压轴题 （逻辑推理） 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 表格信息相关逻辑推理 题型02 图形信息相关逻辑推理 题型03 文字信息相关逻辑推理 模块三、综合实战演练 1、 表格信息相关逻辑推理的解题方法： 1. 明确变量与条件。 2. 将图表转化为逻辑简表 用表格或关系图把已知对应关系列出来，便于直观比对。 3. 寻找确定信息作为突破口，先固定确定项，再去推断其他。 4. 正向推导与反向排除结合 直接用条件推不出时，假设其中一个可能情况，看是否与其它条件矛盾（反证法）。经常能快速排除错误选项。 5. 利用“每行/每列唯一性” 很多图表题隐含“每个对象只有一个对应属性”“每个属性只用一次”的匹配约束，类似数独的排除逻辑。 二、图形信息相关逻辑推理的解题方法： 1. 梳理图形约束类型 先看图形是什么结构，如锯齿数独中每个粗线宫也满足数值唯一。 2. 用表格法做排除 把图形空白处转化为二维表格。例如 3×3 网格，用行×列表格，标记每个格子可能的候选数（1-3或更多），然后根据每行、每列、区域的约束逐个排除。 3. 按确定性顺序填充 先找“唯一能填的数”的格子。 4. 利用相邻或路径约束进行链式推理 三、文字信息相关逻辑推理的解题方法： 1. 方法一：排除法（最基础） 把每个对象的多种可能用排除法逐步缩小。例如四个人四种职业，从“甲不是医生”“乙不是教师”开始，结合其他条件画×或划掉选项。 2. 方法二：信息列表法（结构化） 用表格（行：对象，列：属性）或圆圈连线图，把所有关系可视化。每读一条条件，就在表里打✔或✘，避免脑记混淆。 3. 方法三：假设+归谬法（关键技） 当信息不唯一确定时，假设其中一种情况成立，然后往下推。如果推出矛盾（与条件冲突或出现双重可能），则假设错误，取另一种情况。 4. 方法四：寻找固定锚点 先找“只有一种可能”或“绝对不可能”的条件，比如“仅有两人说真话”“甲必须在乙前面”“丙与丁不同组”。这些锚点是推理起点。 题型01 表格信息相关逻辑推理 1．透明盒子中有A，B，C，D四个圆形盖子，现在需要将它们全部取出，要求每次只能取一个，将第一个取出的盖子扣在桌面上，之后取出的盖子依次扣在前一个取出的盖子上面（不考虑盖子厚度）．每个盖子的直径如下表： 盖子 A B C D 直径（cm） 1 2 3 4 （1）当四个盖子被全部取出后，若没有一个盖子被罩住，则这四个盖子取出的先后顺序为_________；（将字母排序） （2）当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合有_________种． （注：“一个盖子被‘罩住’，是指在它之上堆叠的盖子中，至少有一个的直径比它大。”） 【答案】 11 【分析】（1）没有一个盖子被罩住时，前一个盖子的直径大于后一个盖子的直径，由此可解； （2）分D盖子第一、第二或第三个取出，分别列出所有可能的情况，即可求解． 【详解】（1）没有一个盖子被罩住， 前一个盖子的直径大于后一个盖子的直径， 故取出的先后顺序为； （2）若最后取出的D盖子，则A，B，C三个盖子都能被罩住； D盖子取出顺序不能是第四个，故可以为第一、第二或第三个． ①当第一个取出D盖子时，第二个无论取哪个盖子都不能罩住D盖子，因为有两个盖子被罩住， 故C盖子应该在最后取出，第二个和第三个无论是先取A还是先取B，这两个盖子都能被C罩住， 即有2种情况：； ②当第二个取出D盖子时，第一个盖子无论取哪个盖子，都能被D罩住，但第三个无论取哪个盖子都不能罩住D， 故需要满足第四个取出的盖子能罩住第三个取出的盖子， 故有3种情况：； ③当第三个取出D盖子时，前两次无论取哪两个盖子，都能被D罩住， 即有6种情况：． 综上所述，恰好有两个盖子被罩住的顺序共有（种）． 2．下表是某市本年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是___________，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是___________．(写出一种符合条件的排序) 名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 区县 A B C D E F G H I J 变化情况 ↑ 一 ↓ 一 ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ 一 【答案】 C E、H、I或H、E、I． (二者之一即可) 【详解】解：①∵A地名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，B地名次无变化， ∴只能是第三名上升而来的，即原来A地原来名次是第三名； 同理，C地名次下降，只能是第一名下降而来的； ∴上一年度排名第1的区县是C，上一年度排名前四名依次是； ②F地名次下降，只能是从第五名下降，即上一年度F地排第五， 同理，G地名次上升，只能是从第九名上升，即上一年度G地排第九， ∵E地本年度排第五，名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位， ∴E地上一年度可能是排第六或者第七 (i)若E地上一年度是排第六，即E地和F地的排名交换， ∴H地上一年度是排第七，I地上一年度是排第八， ∴上一年度排名从前往后依次是：； (ii)若E地上一年度是排第七， ∵H地本年度排第八，名次下降，现在上一年度未确定的只有第六和第八， ∴H地上一年度是排第六，I地上一年度是排第八 ∴上一年度排名从前往后依次是：； ∴上一年度排在第6，7，8名的区县依次是或． 故答案为： C；或 (二者之一即可)． 【点睛】本地考查组合排列问题，根据数据特点分析第一个下降和最后一个上升和分类讨论是解题的关键．本题建议在表格下方增加一行“上一年度排名”，然后边推理边填空可以提高速度． 3．顾客请一对师徒把，，，，五块翡翠原石各制作成一件工艺品，每块翡翠原石先由徒弟进行粗加工，再由师傅进行精加工完成制作．五块翡翠原石每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 用时      原石 工序 粗加工 2 5 3 4 6 精加工 3 2 6 3 4 （1）若师徒先交付，两件工艺品，则这两件工艺品最短的交货期为_________个工作日； （2）若师徒一次性交付五件工艺品，则最短的交货期为__________个工作日． 【答案】 9 22 【详解】（1）进行分类讨论，先后： 徒弟从时间0开始粗加工，耗时2个工作日，完成于时间2； 师傅从时间2开始精加工，耗时3个工作日，完成于时间5； 同时徒弟从时间2开始粗加工，耗时5个工作日，完成于时间7； 师傅从时间7开始精加工，耗时2个工作日，完成于时间9； 因此完成于5个工作日，完成于9个工作日，交货期为9个工作日． 先后： 徒弟从时间0开始粗加工，耗时5个工作日，完成于时间5； 师傅从时间5开始精加工，耗时2个工作日，完成于时间7； 同时徒弟从时间5开始粗加工，耗时2个工作日，完成于时间7； 师傅从时间7开始精加工，耗时3个工作日，完成于时间10； 因此完成于7个工作日，完成于10个工作日，交货期为10个工作日． ∵， 相比之下，先后的交货期更短， 故最短交货期为：9． （2）徒弟按顺序粗加工、、、、： 粗加工耗时2日，完成于时间2； 粗加工耗时3日，从时间2开始，完成于时间5； 粗加工耗时6日，从时间5开始，完成于时间11； 粗加工耗时4日，从时间11开始，完成于时间15； 粗加工耗时5日，从时间15开始，完成于时间20． 师傅精加工：从时间2开始精加工（耗时3日），完成于时间5； 从时间5开始精加工（耗时6日），完成于时间11； 从时间11开始精加工（耗时4日），完成于时间15； 从时间15开始精加工（耗时3日），完成于时间18； 从时间20开始精加工（耗时2日），完成于时间22． 因此最短交货期为22个工作日． 故答案为：22． 4．网上有模型改装的代工服务，同一种模型的改装精细程度和改装的数量不同都会产生不同的利润．小华为此做了一个调查测算，假设她手里有同一种模型个，想在网上寻找代工改装后再出售获利，根据网上查到的三名工匠的报价和她自己所付出的成本综合测算，经过不同工匠改装后再出售可获得的利润（单位：元）与模型数量的关系如下： 工匠 45 85 120 150 175 195 工匠 31 62 93 124 155 186 工匠 52 82 （1）若小华把4个模型分配给这三位工匠改装后再出售，在保证每名工匠都至少加工1个模型的前提下，若想获得总利润最大，应当给______工匠分配2个模型（填“”，“”或“”）． （2）若小华把手里的6个模型分配给这三名工匠中的一名或多名，进行改装后再出售，6个模型都售出后，小华能获得的总利润最大为______元． 【答案】 【分析】本题考查列举法解决实际问题，读懂题意，掌握列举法求解是解决问题的关键． （1）按照题意，先保证三个工匠每人1个模型，再比较表中时利润增加量，即可判断出结论； （2）根据题意，分三大类，详细列举，比较所得利润即可判断出结论． 【详解】解：（1）小华把4个模型分配给这三位工匠改装后再出售，在保证每名工匠都至少加工1个模型的前提下，则三名工匠各加工1个模型的总利润为元， 当时， 工匠利润增加为元； 工匠利润增加为元； 工匠利润增加为元； ， 若想获得总利润最大，应当给工匠分配2个模型， 故答案为：； （2）当分配给1个工匠时，最大利润是元； 当分配给2个工匠时，分三种情况： 工匠： 　 数量 利润 数量 利润 数量 利润 数量 利润 数量 利润 工匠 1 45 2 85 3 120 4 150 5 175 工匠 5 155 4 124 3 93 2 62 1 31 合计 6 200 6 209 6 213 6 212 6 206 则最大利润是元； 工匠： 　 数量 利润 数量 利润 工匠 5 175 4 150 工匠 1 52 2 82 合计 6 227 6 232 则最大利润是元； 工匠： 　 数量 利润 数量 利润 工匠 5 155 4 124 工匠 1 52 2 82 合计 6 207 6 206 则最大利润是元； 综上所述，当分配给2个工匠时，最大利润是元； 当分配给3个工匠时： 　 数量 利润 数量 利润 数量 利润 数量 利润 数量 利润 数量 利润 数量 利润 工匠 4 150 3 120 2 85 1 45 3 120 2 85 1 45 工匠 1 31 2 62 3 93 4 124 1 31 2 62 3 93 工匠 1 52 1 52 1 52 1 52 2 82 2 82 2 82 合计 6 233 6 234 6 230 6 221 6 233 6 229 6 220 则最大利润是元； ， 6个模型都售出后，小华能获得的总利润最大为元， 故答案为：． 5．某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要______分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要______分钟． 【答案】 26 43 【详解】解：甲单独完成一间客房的清洁工作， 需要的时间为：（分钟）， 合作完成四间客房时，甲依次完成4间客房的打扫卫生，耗时（分钟）， 此期间，乙、丙两人负责前3间客房的其余工作， 当甲完成第4间房的打扫卫生后，甲、乙、丙三人共同完成第4间房的剩余三个步骤（整理床铺、更换客用物品、检查设备），耗时是这三个步骤中的最长时间，即7分钟， 故最少需要（分钟）． 故答案为：26；43． · 符号化标记：在试卷空白处画简表，用✓、✗、数字或字母快速记录推理过程，避免脑记混乱。 · 按程度推理：先处理“一定成立”的条件，再处理“可能但非唯一”的条件，最后处理“至少/至多”类表述。 · 关注图表中的对称性或极值：如最大/最小项、唯一重复项、边界数据往往是破题关键。 · 验证边界条件：特别是涉及顺序、排队、时间先后的题，代入极端情况（最早/最晚）看是否与图表冲突。 · 不要被图表复杂形式吓到：看似复杂的数据或流程图，核心逻辑往往只有2～3步推理。先看懂图表结构，再提取本质条件。 题型02 图形信息相关逻辑推理 6．2025年生物与健康未来领袖挑战赛在长沙举行，师大二附中也参加了此次活动，在自我交流环节中，部分学校的代表组织了一些游戏，其中有一个游戏叫做徽章交流游戏，规则如下： ①5位来自不同学校的代表围坐在一张圆形桌子周围，每个人只跟左右两边的同学进行徽章交流； ②从手里徽章最多的同学开始，按顺时针方向，按顺序交流． 例如：如图所示，若手里徽章最多，那么首先是和交流，接着是和，再是和、和，最后是和，算一次循环交流结束； ③每一次的交流都是单向的． 例如：在和的交流中，要么把自己手里的徽章给，或者把自己手里的徽章给，不能互相交换； ④每一次交流中，假设手里有个徽章，若送给，那么送出去的个数可以是0到之间的任意个数，送给也是同样道理； ⑤当一次循环交流结束后，五位同学手里的徽章个数都相同那么算游戏成功．每一次交流中送出去的徽章个数总和为流动徽章数，若流动徽章数越小游戏越成功． 如图，现在有位学生代表围坐在一张桌子上，有枚徽章，有枚徽章，有枚徽章，有枚徽章，有枚徽章． （1）当第一次和的交流中，给了1枚徽章，若游戏成功，本次游戏中产生的流动徽章数为_________枚； （2）若想游戏越来越成功，流动徽章数最少为________枚． 【答案】 【详解】解：（1）游戏结束时，每人手中的徽章数为：个， 游戏成功， 从那里得到了，给的徽章数为：， 此时，手里有，手里有， 给的数量为：，给的数量为：， 流动徽章数为：枚； 故答案为：； （2）要想一轮成功，需要接受个，需要给出个，需要接受个，需要给出个，需要给出五个， ， 需要从那里得到徽章， 而到的最短距离是， 当给三个，没有赠与，给个，给个，通过给两个，流动徽章最少， 即． 故答案为：． 7．某公司有四个部门：、、、，需要选择会议室，部门、、、需要的会议室数量分别为2、3、4、5个．会议室的编号为1至15号，电梯口左右两侧分别是单数编号的会议室和双数编号的会议室，如图所示．每个部门在选择会议室时，只能选择相邻的会议室，并且所选会议室的编号之和尽可能小．如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室，要使部门、都能选到会议室，则接下来应该让___________（填或者）部门选．如果部门首先选择会议室，要使其他三个部门都能选到会议室，写出一种满足条件的选择会议室的先后顺序___________． 【答案】 或 【详解】解：（1）如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室， 若接下来让部门选，它会选择4号、6号、8号、10号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； 若接下来让部门选，它会选择4号、6号、8号、10号、12号会议室，最后让部门选，它会选择9号、11号、13号、15号会议室，则部门、都能选到会议室，符合题意； 故答案为：． （2）如果部门首先选择会议室，由题意可知，它会选择1号、2号、4号、6号会议室， 下面分3种情况讨论： ①接下来让部门选，它会选择3号、5号会议室： 若接下来让部门选，它会选择7号、9号、11号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； 若接下来让部门选，它会选择7号、9号、11号、13号、15号会议室，最后让部门选，它会选择8号、10号、12号会议室，则部门、、都能选到会议室，符合题意； ②接下来让部门选，它会选择3号、5号、7号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； ③接下来让部门选，它会选择3号、5号、7号、9号、11号会议室： 若接下来让部门选，它会选择8号、10号会议室，此时剩下的会议室没有3个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； 若接下来让部门选，它会选择8号、10号、12号会议室，最后让部门选，它会选择13号、15号会议室，则部门、、都能选到会议室，符合题意； 综上所述，满足条件的选择会议室的先后顺序为或． 故答案为：或． 8．如图1所示，的正方形网格中，阴影部分已被覆盖． 现需用图2中的四块矩形放置到图1中，实现剩余空白部分的完全覆盖，如图3． 张顺同学在实践之后发现了三条结论： （1）覆盖的方案有多种； （2）在各种方案中，有一个矩形的位置是固定的，这个矩形是______________（填写序号）； （3）有一个矩形在每种方案中的位置都不一样，这个矩形是_____________（填写序号）． 请完善以上结论． 【答案】 ① ④ 【分析】本题主要考查了组合排列问题，正确理解题意是解题关键．． 【详解】解：根据题意，可有以下几种方案： 所以，（1）覆盖的方案有多种； （2）在各种方案中，有一个矩形的位置是固定的，这个矩形是①； （3）有一个矩形在每种方案中的位置都不一样，这个矩形是④． 故答案为：（2）①；（3）④． 9．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（ɡuǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为________尺，立夏的晷长为_______尺． 【答案】 1 4.5 【分析】设相邻两个节气晷长减少的量为尺，由题意知，，计算求出相邻两个节气晷长减少或增加的量；根据立夏到夏至的减少量求解立夏的晷长即可． 【详解】解：设相邻两个节气晷长减少的量为尺， 由题意知，， 解得，， ∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为1尺； ∵， ∴立夏的晷长为4.5尺； 故答案为：1；4.5． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程． 10．磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________； （2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠． 【答案】 20 【详解】解：（1）∵， ∴不符合要求； ∵， ∴符合要求， 故答案为； （2）如图所示，连接， 可以发现：四边形为边长为的正方形， 以为边长，在四边形基础上继续做正方形，格点处的点即为满足条件的磁力珠， 故答案为20． · 标记候选集：在每个空格边上用铅笔小字写出所有可能数字，随推理逐步擦除。 · 优先处理“交集约束”格子：同时受行、列、区域、相邻路径等多重限制的位置（如中心格、T型节点），通常是突破口。 · 对称法：若图形对称且已知信息也对称，可推断对称位置填法相同或互补。 · 极值或边界定位：涉及“和定值”时，最大或最小数字往往只能填在边缘特殊位置（如路径端角）。 · 快速验证选项：选择题可直接把各选项代入图形，快速检查是否违反某条已知约束，违背即排除。 · 发现隐含规律：如所有路径的数字和相等，可先算总和再算未知部分。 题型03 文字信息相关逻辑推理 11．一个39人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下3间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚150元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元．） （1）若该旅游团一晚的住宿房费为2050元，则他们租住了_____ 间一人间； （2）若该旅游团租住了所有剩余的一人间，且共有25名男士，则租住一晚的住宿房费最少为_____ 元． 【答案】 1 2100 【详解】解：（1）设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间， 根据题意得：， 化简得：， ∴， 又∵均为自然数，且， 当时， ，不是整数； 当时， ，是整数； 当时， ，不是整数； 当时， ，不是整数； ∴， ∴他们租住了1间一人间． （2）设间一人间住男士，间一人间住女士，． 男士住一人间人，剩余男士人需要住三人间． 女士住一人间人，剩余女士人需要住三人间． 当时，男士：， ∴男士三人间数量为9， 女士：， ∴女士三人间数量为4， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为4， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为5， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为5， ∴总费用为； ∴租住一晚的住宿房费最少为2100元． 12．某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元；加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_________； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_________． 【答案】 8 24 【详解】解：设安排加工A零件的工人人数为人，因为加工A零件和C零件总数相等，且每名工人只能加工A零件3件或C零件1件，所以加工C零件的工人人数为人， 由题意得，解得， 所以安排加工A零件的工人人数为8人； 设加工B零件的工人人数为y人，加工A零件的工人人数为x人，则加工C零件的工人人数为人， 满足：，即且， 即， 解得， 同时x为正整数； 利润计算：A零件利润：， B零件利润：，代入，得：， C零件利润：， 总利润W为：， 展开并整理得， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为：， 此时，且，符合条件； 所以加工B零件的人数为24人． 13．小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________． 【答案】 5 15 【分析】（1）先求出第二组初始亮灯数和第一组的暗灯数，要使拍灯盏数最少，那么所拍的灯都是暗的灯，据此可得答案； （2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，表示出拍灯前选出的组和另一组中亮灯的数量，进而表示出拍灯后选出的组和另一组中亮灯的数量，根据拍灯规则得到拍完后两组的亮灯数，根据相等条件列等式，消去变量得到的值． 【详解】解：（1）∵一共有40盏小灯， ∴每组有盏小灯 ∵一共有15盏灯亮，第一组有盏灯亮， ∴第一组有盏灯暗，第二组有盏灯亮， ∵只拍第一组灯，第二组亮灯数不变，且要使两组中亮着的小灯数一样多， ∴拍完灯后第一组有10盏灯亮， ∵要使拍灯盏数最少， ∴所拍的灯都是暗的灯，使它们都变亮后满足第一组有10盏灯亮， ∴最少需拍盏灯； （2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，则剩余一组的原有亮灯数为， 将选出的盏灯每一盏都拍一下后，原有盏亮灯变为暗，原有盏暗灯变为亮， 因此拍完后选出组的亮灯数为， ∵拍完后两组中亮着的小灯数一样多 ∴ 解得． 14．小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有30盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现30盏小灯中，已知有10盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将30盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）将灯平均分成两组，经检查第一组里有4盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍_____盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从30盏灯中任意选出盏作为一组，然后将这盏灯逐一拍一下．他挑战成功了，那么_____． 【答案】 2 10 【分析】（1）先根据总亮灯数得到第二组初始亮灯数，设拍灯中原有亮灯的数量，推导拍完后第一组亮灯数的表达式，根据两组亮灯数相等列方程，求解得到最小拍灯数； （2）设选出的盏灯中原有亮灯数，根据拍灯规则得到拍完后两组的亮灯数，根据相等条件列等式，消去变量得到的值． 【详解】解：（1）盏灯平均分为两组，每组盏，已知第一组有盏亮灯，总亮灯数为，因此第二组亮灯数为； 只拍第一组灯，第二组亮灯数不变，设拍第一组共盏灯，其中盏为原有亮灯，盏为原有暗灯，拍完后第一组亮灯数为： ， 要使两组亮灯数相等，可得，整理得，其中为非负整数，当时，取得最小值； （2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，则剩余一组的原有亮灯数为， 将选出的盏灯全部拍一遍后，原有盏亮灯变为暗，原有盏暗灯变为亮，因此拍完后选出组的亮灯数为， 要使两组亮灯数相等，可得： 等式两边消去，得，对任意都成立． 15．甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解数量关系，掌握整式的运用方法是解题的关键． 根据题意可得，，结合均为正整数，可确定的取值范围，再根据每次游戏可能得结果进行推测即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，且为正整数， 当时，，不符合题意； 当时，， ∵是正整数， ∴为正整数， ∴当时，， ∵丙共获得11颗糖果，且 设丙在三次游戏中拿到的卡片值分别为，则， ∴，则 甲共获得 颗糖果，最大可能和为 ∴，且为正整数， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴, ∴丙在三次游戏中拿到的卡片值分别为，， 共 甲的糖果总和为：则至少两次拿到 因为乙共获得颗糖果，所以乙不可能拿到写有整数的卡片， 则乙在第1次游戏中拿到的卡片上写的整数只能是； 故答案为：，． · 避免脑补：条件没说的就是不知道，不要自己加“因为A不是B，所以A一定是C”（除非只有两项可选）。 · 注意“互斥”表达：“甲和乙不能同时参加” ≠ “两人都不参加”，只是不能一起出现。 · 真假话解题技巧：先找矛盾的两句话（如一人说“A是真的”，另一人说“A是假的”），它们必然一真一假，从而判断其他人的真假。 · 顺序类题：画出箭头链条（A→B→C），再从“最前/最后”入手，用“不可能”反推。 1．学校组织了一次文艺汇演，有四个节目需要彩排，分别是、、、．所有演员到场后节目彩排开始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下： 节目 演员人数 8 5 12 3 彩排时长 20 15 25 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为____________分钟；若使这位演员的候场时间之和最小，则节目应按____________ 的先后顺序彩排． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算和优化问题．第一部分直接计算顺序下的候场时间；第二部分按节目“人数与时长比值从大到小”排序，越大，节目应排在越前面，计算各节目即可解答． 【详解】若节目按顺序彩排，节目的演员候场时间为前面节目、、的彩排时长之和：分钟； 确定使候场时间之和最小的节目顺序：候场时间之和为每个节目演员人数乘以其前面节目彩排时长的总和．为最小化总和，需按节目“人数与时长比值从大到小”排序，越大，节目应排在越前面， 计算各节目： ， ， ， ， 故排序为． 2．“北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员的候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按_______顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意本着节目人数多先彩排的原则，按照人数排列和彩排时间排列，即可求解； （2）人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是，进而计算等待总时长，即可求解． 【详解】解：（1）两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； 故答案为：． （2）将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目， 人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是 ∴按照顺序，则等待时间分别为：， 故答案为：． 3．某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示． 尺寸 数量（个） 款式 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用__________次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为__________元． 【答案】 2 135 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据需要生产10个大尺寸陶艺品，A款电热窑每次烧制8个大尺寸陶艺品，B款电热窑每次烧制0个大尺寸陶艺品即可得到答案； （2）要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少，据此求解即可． 【详解】解：（1）设烧制这批陶艺品，A款电热窑使用了x次， 根据题意，得， 则， ∵x为正整数，x的最小值为2， ∴烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用2次， 故答案为：2； 解：（2）∵A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元， ∴要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少； 当A款电热窑的使用次数为2次时，则可以烧制10个大尺寸陶艺品，个中尺寸陶艺品，个小尺寸陶艺品， ∴在此种情形下，只需要B款电热窑的使用次数1次即可完成任务， ∴烧制这批陶艺品成本最低为， 故答案为：135． 4．甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表． 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是_______，此时总运费为____元． 【答案】 【分析】设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为， 根据三种物资共100吨列出等式，求出，再根据每种物资至少装运1辆车，求出的取值范围，最后列出总费用与的函数关系式，利用函数的性质即可解决问题． 【详解】解：设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为， 由题意，得：， ∴． ∴． ∵每种物资至少装运1辆车， ∴． 解得：， 设总费用为，则 ， ∵， ∴随的增大而减小． ∵，且为整数， ∴当时，总费最少，最少费用为元． 此时． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用两个未知数表示出运送生活用品的车辆数是列出方程的关键，也是解决本题的突破点，利用一次函数的增减性求出最小值是本题的难点． 5．某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，至少需要______分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要______名学生共同参与． 【答案】 21 4 【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据工序要求得出加工顺序是解题的关键． 将所有工序需要的时间最少时间由最长工序时间决定，完成过程需要满足条件可知：可知需要先完成A，再完成H；然后再合理安排其他时间即可． 【详解】解：由题意得：可知需要先完成A，再完成H，完成时长为（分钟）；若要在最短的时间内合作完成准备工作，需要四名学生，具体安排如下 图： 故答案为：21，4． 6．随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活，某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作，该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率，已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成5个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成4个单位的家务工作．该机器人充一次电需要2小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作3小时，“节能模式”可连续工作6小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完，现给你一台满电状态下的机器人，24小时内，该机器人最多可以完成___个单位的家务工作． 【答案】78 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，解题的关键是要得到24小时内的最大工作量，需先计算不同模式单次满电的工作量和周期耗时，通过计算不同安排的总工作量，即可得到最大值． 【详解】解：由题意得，机器人初始为满电状态， “快速模式”：单次工作量（单位），单次耗时（小时）， “节能模式”：单次工作量（单位），单次耗时（小时）， 安排2次“快速模式”，再安排2次“节能模式”，总耗时为（小时）， 总工作量为：（单位）； 验证其他安排： 若全为“快速模式”，最多可安排5次工作（最后一次无需充电），总耗时（小时），总工作量； 若全为“节能模式”，最多可安排3次工作（最后一次无需充电），总耗时（小时），总工作量； 其他混合安排的总工作量均小于78个单位， 小时内最大完成工作量为78个单位． 7．A、B、C三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 【答案】 21 17 【分析】本题考查推理与论证，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题． ①先确定了B、C之间打了9局，A与B打了8局，A与C打了4局，进而确定三人一共打的局数； ②可推导出A当裁判9局，B当裁判3局，C当裁判5局，A当裁判的局次只能是1，3，5，…15，17，由此能求出结果，即可得到答案． 【详解】解：①∵A当了9局裁判， ∴B、C之间打了9局， 又∵B，C分别进行了17局，13局比赛， ∴A与B打了局，A与C打了局， ∴三人共打了局， 故答案为：21． ②∵A当了9局裁判，而从1到17共9个奇数，8个偶数， ∴A当裁判的局为奇数局， ∴三人至少进行了17局比赛， 故答案为：17． 8．甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解数量关系，掌握整式的运用方法是解题的关键． 根据题意可得，，结合均为正整数，可确定的取值范围，再根据每次游戏可能得结果进行推测即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，且为正整数， 当时，，不符合题意； 当时，， ∵是正整数， ∴为正整数， ∴当时，， ∵丙共获得11颗糖果，且 设丙在三次游戏中拿到的卡片值分别为，则， ∴，则 甲共获得 颗糖果，最大可能和为 ∴，且为正整数， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴, ∴丙在三次游戏中拿到的卡片值分别为，， 共 甲的糖果总和为：则至少两次拿到 因为乙共获得颗糖果，所以乙不可能拿到写有整数的卡片， 则乙在第1次游戏中拿到的卡片上写的整数只能是； 故答案为：，． 9．甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 (1)如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； (2)两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的组装顺序运算时间即可； （2）让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，排出顺序即可． 【详解】（1）解：甲先拼接用9分钟，然后乙再给上色7分钟，这7分钟甲可以给B拼接，（分），还剩下的时间给拼接2分钟，这时还需要（分），乙开始给上色又花了7分钟，这7分钟甲给拼接，还留有（分），这3分钟甲给拼接，在乙完成的上色时甲给口拼接还需要（分），此时乙给上色9分钟，甲就能把拼接完了，最后乙再给上色； 综上所述，总时长为（分）； 故答案为：． （2）解：要用最短的时间完成这四个道具的制作，开始的时候要让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，所以制作的顺序应该是：； 故答案为：． 10．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是_________（填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为_________元． 【答案】 ② 1040 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， ∴经济损失最少的是②， 故答案为：②； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1040． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 填空压轴题 （逻辑推理） 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 表格信息相关逻辑推理 题型02 图形信息相关逻辑推理 题型03 文字信息相关逻辑推理 模块三、综合实战演练 1、 表格信息相关逻辑推理的解题方法： 1. 明确变量与条件。 2. 将图表转化为逻辑简表 用表格或关系图把已知对应关系列出来，便于直观比对。 3. 寻找确定信息作为突破口，先固定确定项，再去推断其他。 4. 正向推导与反向排除结合 直接用条件推不出时，假设其中一个可能情况，看是否与其它条件矛盾（反证法）。经常能快速排除错误选项。 5. 利用“每行/每列唯一性” 很多图表题隐含“每个对象只有一个对应属性”“每个属性只用一次”的匹配约束，类似数独的排除逻辑。 二、图形信息相关逻辑推理的解题方法： 1. 梳理图形约束类型 先看图形是什么结构，如锯齿数独中每个粗线宫也满足数值唯一。 2. 用表格法做排除 把图形空白处转化为二维表格。例如 3×3 网格，用行×列表格，标记每个格子可能的候选数（1-3或更多），然后根据每行、每列、区域的约束逐个排除。 3. 按确定性顺序填充 先找“唯一能填的数”的格子。 4. 利用相邻或路径约束进行链式推理 三、文字信息相关逻辑推理的解题方法： 1. 方法一：排除法（最基础） 把每个对象的多种可能用排除法逐步缩小。例如四个人四种职业，从“甲不是医生”“乙不是教师”开始，结合其他条件画×或划掉选项。 2. 方法二：信息列表法（结构化） 用表格（行：对象，列：属性）或圆圈连线图，把所有关系可视化。每读一条条件，就在表里打✔或✘，避免脑记混淆。 3. 方法三：假设+归谬法（关键技） 当信息不唯一确定时，假设其中一种情况成立，然后往下推。如果推出矛盾（与条件冲突或出现双重可能），则假设错误，取另一种情况。 4. 方法四：寻找固定锚点 先找“只有一种可能”或“绝对不可能”的条件，比如“仅有两人说真话”“甲必须在乙前面”“丙与丁不同组”。这些锚点是推理起点。 题型01 表格信息相关逻辑推理 1．透明盒子中有A，B，C，D四个圆形盖子，现在需要将它们全部取出，要求每次只能取一个，将第一个取出的盖子扣在桌面上，之后取出的盖子依次扣在前一个取出的盖子上面（不考虑盖子厚度）．每个盖子的直径如下表： 盖子 A B C D 直径（cm） 1 2 3 4 （1）当四个盖子被全部取出后，若没有一个盖子被罩住，则这四个盖子取出的先后顺序为_________；（将字母排序） （2）当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合有_________种． （注：“一个盖子被‘罩住’，是指在它之上堆叠的盖子中，至少有一个的直径比它大。”） 2．下表是某市本年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是___________，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是___________．(写出一种符合条件的排序) 名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 区县 A B C D E F G H I J 变化情况 ↑ 一 ↓ 一 ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ 一 3．顾客请一对师徒把，，，，五块翡翠原石各制作成一件工艺品，每块翡翠原石先由徒弟进行粗加工，再由师傅进行精加工完成制作．五块翡翠原石每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 用时      原石 工序 粗加工 2 5 3 4 6 精加工 3 2 6 3 4 （1）若师徒先交付，两件工艺品，则这两件工艺品最短的交货期为_________个工作日； （2）若师徒一次性交付五件工艺品，则最短的交货期为__________个工作日． 4．网上有模型改装的代工服务，同一种模型的改装精细程度和改装的数量不同都会产生不同的利润．小华为此做了一个调查测算，假设她手里有同一种模型个，想在网上寻找代工改装后再出售获利，根据网上查到的三名工匠的报价和她自己所付出的成本综合测算，经过不同工匠改装后再出售可获得的利润（单位：元）与模型数量的关系如下： 工匠 45 85 120 150 175 195 工匠 31 62 93 124 155 186 工匠 52 82 （1）若小华把4个模型分配给这三位工匠改装后再出售，在保证每名工匠都至少加工1个模型的前提下，若想获得总利润最大，应当给______工匠分配2个模型（填“”，“”或“”）． （2）若小华把手里的6个模型分配给这三名工匠中的一名或多名，进行改装后再出售，6个模型都售出后，小华能获得的总利润最大为______元． 5．某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要______分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要______分钟． · 符号化标记：在试卷空白处画简表，用✓、✗、数字或字母快速记录推理过程，避免脑记混乱。 · 按程度推理：先处理“一定成立”的条件，再处理“可能但非唯一”的条件，最后处理“至少/至多”类表述。 · 关注图表中的对称性或极值：如最大/最小项、唯一重复项、边界数据往往是破题关键。 · 验证边界条件：特别是涉及顺序、排队、时间先后的题，代入极端情况（最早/最晚）看是否与图表冲突。 · 不要被图表复杂形式吓到：看似复杂的数据或流程图，核心逻辑往往只有2～3步推理。先看懂图表结构，再提取本质条件。 题型02 图形信息相关逻辑推理 6．2025年生物与健康未来领袖挑战赛在长沙举行，师大二附中也参加了此次活动，在自我交流环节中，部分学校的代表组织了一些游戏，其中有一个游戏叫做徽章交流游戏，规则如下： ①5位来自不同学校的代表围坐在一张圆形桌子周围，每个人只跟左右两边的同学进行徽章交流； ②从手里徽章最多的同学开始，按顺时针方向，按顺序交流． 例如：如图所示，若手里徽章最多，那么首先是和交流，接着是和，再是和、和，最后是和，算一次循环交流结束； ③每一次的交流都是单向的． 例如：在和的交流中，要么把自己手里的徽章给，或者把自己手里的徽章给，不能互相交换； ④每一次交流中，假设手里有个徽章，若送给，那么送出去的个数可以是0到之间的任意个数，送给也是同样道理； ⑤当一次循环交流结束后，五位同学手里的徽章个数都相同那么算游戏成功．每一次交流中送出去的徽章个数总和为流动徽章数，若流动徽章数越小游戏越成功． 如图，现在有位学生代表围坐在一张桌子上，有枚徽章，有枚徽章，有枚徽章，有枚徽章，有枚徽章． （1）当第一次和的交流中，给了1枚徽章，若游戏成功，本次游戏中产生的流动徽章数为_________枚； （2）若想游戏越来越成功，流动徽章数最少为________枚． 7．某公司有四个部门：、、、，需要选择会议室，部门、、、需要的会议室数量分别为2、3、4、5个．会议室的编号为1至15号，电梯口左右两侧分别是单数编号的会议室和双数编号的会议室，如图所示．每个部门在选择会议室时，只能选择相邻的会议室，并且所选会议室的编号之和尽可能小．如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室，要使部门、都能选到会议室，则接下来应该让___________（填或者）部门选．如果部门首先选择会议室，要使其他三个部门都能选到会议室，写出一种满足条件的选择会议室的先后顺序___________． 8．如图1所示，的正方形网格中，阴影部分已被覆盖． 现需用图2中的四块矩形放置到图1中，实现剩余空白部分的完全覆盖，如图3． 张顺同学在实践之后发现了三条结论： （1）覆盖的方案有多种； （2）在各种方案中，有一个矩形的位置是固定的，这个矩形是______________（填写序号）； （3）有一个矩形在每种方案中的位置都不一样，这个矩形是_____________（填写序号）． 请完善以上结论． 9．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（ɡuǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为________尺，立夏的晷长为_______尺． 10．磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________； （2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠． · 标记候选集：在每个空格边上用铅笔小字写出所有可能数字，随推理逐步擦除。 · 优先处理“交集约束”格子：同时受行、列、区域、相邻路径等多重限制的位置（如中心格、T型节点），通常是突破口。 · 对称法：若图形对称且已知信息也对称，可推断对称位置填法相同或互补。 · 极值或边界定位：涉及“和定值”时，最大或最小数字往往只能填在边缘特殊位置（如路径端角）。 · 快速验证选项：选择题可直接把各选项代入图形，快速检查是否违反某条已知约束，违背即排除。 · 发现隐含规律：如所有路径的数字和相等，可先算总和再算未知部分。 题型03 文字信息相关逻辑推理 11．一个39人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下3间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚150元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元．） （1）若该旅游团一晚的住宿房费为2050元，则他们租住了_____ 间一人间； （2）若该旅游团租住了所有剩余的一人间，且共有25名男士，则租住一晚的住宿房费最少为_____ 元． 12．某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元；加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_________； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_________． 13．小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________． 14．小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有30盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现30盏小灯中，已知有10盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将30盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）将灯平均分成两组，经检查第一组里有4盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍_____盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从30盏灯中任意选出盏作为一组，然后将这盏灯逐一拍一下．他挑战成功了，那么_____． 15．甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） · 避免脑补：条件没说的就是不知道，不要自己加“因为A不是B，所以A一定是C”（除非只有两项可选）。 · 注意“互斥”表达：“甲和乙不能同时参加” ≠ “两人都不参加”，只是不能一起出现。 · 真假话解题技巧：先找矛盾的两句话（如一人说“A是真的”，另一人说“A是假的”），它们必然一真一假，从而判断其他人的真假。 · 顺序类题：画出箭头链条（A→B→C），再从“最前/最后”入手，用“不可能”反推。 1．学校组织了一次文艺汇演，有四个节目需要彩排，分别是、、、．所有演员到场后节目彩排开始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下： 节目 演员人数 8 5 12 3 彩排时长 20 15 25 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为____________分钟；若使这位演员的候场时间之和最小，则节目应按____________ 的先后顺序彩排． 2．“北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员的候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按_______顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为________． 3．某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示． 尺寸 数量（个） 款式 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用__________次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为__________元． 4．甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表． 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是_______，此时总运费为____元． 5．某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，至少需要______分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要______名学生共同参与． 6．随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活，某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作，该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率，已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成5个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成4个单位的家务工作．该机器人充一次电需要2小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作3小时，“节能模式”可连续工作6小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完，现给你一台满电状态下的机器人，24小时内，该机器人最多可以完成___个单位的家务工作． 7．A、B、C三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 8．甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） 9．甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 (1)如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； (2)两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 10．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是_________（填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为_________元． 学科网（北京）股份有限公司 $