专题03 新定义函数压轴题（4大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(北京专用)

专题03 新定义函数压轴题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 一次函数与圆综合 题型02 一次函数与四边形综合 题型03 一次函数与三角形综合 题型04 一次函数与角综合 模块三、综合实战演练 1、 一次函数与圆综合的解题方法： 1.理解定义，翻译条件，把新定义“翻译”成熟悉的位置关系。 2.分析轨迹，确定图形，动点通常伴随着固定的轨迹（如直线、圆或圆弧）。 3.动静结合，卡准边界，这是最关键的一步，核心是找到“临界状态”。 二、一次函数与四边形综合的解题方法： 1. 画图与定性，先在坐标系中画出一次函数的图象和已知的四边形顶点，判断四边形的可能形状（平行四边形、矩形、菱形、正方形或梯形）。图形直观是避免漏解的第一步。 2. 表示关键元素 3. 建立方程求解 根据四边形的判定条件（如平行四边形需要对角线互相平分），列出方程组求解参数。 4. 验证与取舍，检查共线，排除三点共线的退化情况。检查顺序，确保顶点按顺序连接后形成的是凸四边形。检查范围，若动点有范围限制（如在线段上），需验证解是否在范围内。 三、一次函数与三角形综合的解题方法： 1. 几何条件翻译成代数 2. 建立代数方程或函数关系。 3. 多解检验，一次函数题常隐含两种情况（点在直线哪一侧、三角形顶点顺序等），需分类讨论。 四、一次函数与角综合的解题方法： 处理这类问题，遵循 “找角→定弧→转化” 的三步流程。 1. 标记已知角：在图上标出所有已知角度，特别注意直径、切点、垂径分出的特殊角（如90°）。 2. 定理转化：根据图形特征，选择合适的定理转化角。 3. 建立方程：利用三角形内角和、外角定理、相似三角形比例等列出方程求解。 题型01 一次函数与圆综合 1．对于线段PQ和，给出如下定义：若平移线段PQ可以得到的一条弦（点，分别为点P，Q的对应点），线段的长度的最大值为k，则称点Q为点P关于的“k-平移点”，称k为点P关于的“Q-最远平移距离”，在平面直角坐标系xOy中， (1)如图所示，已知点，的半径为1，那么点是点A关于的一个“平移点”． ①在点，，，中，点________是点A关于的“平移点”； ②若线段，则点A关于的“C-最远平移距离”k的最小值是________，最大值是________； (2)已知点，的半径为2．点P，Q是以点为圆心，2为半径的上距离为2的任意两点，若点P关于的“Q-最远平移距离”k的取值范围均满足，则t的取值范围是：________． 【答案】(1)①、；②， (2) 【分析】本题考查平移距离，点与圆的位置关系，勾股定理，坐标系中两点距离； （1）①根据“平移点”的定义判断即可；②连接并延长与交于，过点作的垂线交于，以为对称轴构造等边、等边，连接，由图可得：的最小值为，的最大值为； （2）令坐标为点，取中点，平移后为的弦，当取最大值时为，当取最小值时为，最后根据k的取值范围均满足，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，轴， 取点，，，如图所示， ∴，，即四点都在上， 点A关于的“平移点”，即点A平移个单位后到上，即为的位置或的位置， ∴线段、平移后得到的弦、，可满足平移长度的最大值为， 又∵点，的平移长度的最大值大于， ∴只有点、是点A关于的“平移点”． 故答案为：、． ②如图所示，连接并延长与交于，过点作的垂线交于，以为对称轴构造等边、等边，连接， ∴， 由①得，， ∴的最小值为， 同理可得：， ∴点最远可以平移到点， ∴的最大值为． 故答案为：，． （2）解：令坐标为点， ∵， ∴是等腰三角形， 取中点，平移后为的弦， ∴，， 如左图当共线时，为最大值， 此时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如右图，当取最小值时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上：t的取值范围是． 故答案为：． 2．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于外一点和给出如下定义：过点作的两条切线，切点为，若上或其内部存在一点，使四边形是菱形，则称点是的“切菱点”．特别地，当四边形是矩形时，称点是的“切矩点”． (1)如图，在点，，中，的“切菱点”是___________，的“切矩点”是___________； (2)已知点是直线上一点，且点是的“切菱点”，则点的纵坐标的最小值为___________； (3)已知直线上存在两个不同点，使为含有内角的直角三角形，且的斜边上（含端点）存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的性质，切线的性质，点与圆的位置关系； （1）根据定义进行判断即可； （2）点的纵坐标取最小值时，点在第四象限，点在上，据此可求出轴，即可求出此时点的纵坐标； （3）分类讨论：当中，，或，即斜边为时，或；当中，，，即斜边为时，；当中，，，即斜边为时，． 【详解】（1）解：如图所示，为的切线，四边形、、为菱形，且四边形为矩形， ∵点在外，点、在内， ∴点不是的“切菱点”，点，是的“切菱点”， ∵四边形为矩形， ∴点是的“切矩点”． （2）解：如图所示，为的切线，四边形为菱形， ∵点是直线上一点， 要使点是的“切菱点”，且点的纵坐标取得最小值， ∴点在第四象限，点在上， 连接，与交于点，连接， ∵为的切线， ∴，即， ∵四边形为菱形， ∴与互相垂直平分，， ∴， 又∵点在上， ∴经过圆心，即为的直径， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，令，得；令，得， ∴点坐标为，即，点坐标为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，即轴， ∵， ∴点的纵坐标的最小值为． （3）解：当中，，或，即斜边为时， ①当时，线段全部在的内部及圆上，如图所示： ∴当时，线段上不存在的“切菱点”，不符合题意， ②当S是的“切矩点”时，所成的四边形是矩形， 又∵， ∴所成的四边形是正方形，即四边形是正方形，如图所示： ∴， 当时，线段在以为圆心，以为半径的圆的内部， ∴当时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，符合题意， ③当线段与以为圆心，以为半径的圆相切时，如图所示， ∴，， ∴， ∴当时，线段与以为圆心，以为半径的圆总有交点，即时，线段上总存在的“切矩点”，不符合题意， ④当线段上的点为的“切菱点”，且点在上时，如图所示： 由（2）得此时，点到线段的最短距离即为时，即时， ∴此时， ∴当时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，符合题意， ⑤当时，线段上不存在的“切菱点”，不符合题意， 综上：当中，，或，即斜边为时，或时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”； 当中，，，即斜边为时， ①当时，线段全部在的内部及圆上，如图所示，即当时，线段上不存在的“切菱点”，不符合题意， ②当时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，如图所示，符合题意， ③当时，线段与以为圆心，以为半径的圆总有交点，即当时，线段上总存在的“切矩点”，如图所示，不符合题意， 综上：当中，，，即斜边为时，时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”； 当中，，，即斜边为时， ①当点在上时，即，如图所示： ∴， ∴当时，线段在的内部或圆上，不存在的“切菱点”，不符合题意， ②当点在以为圆心，以为半径的圆上时，即，如图所示： ∴， ∴当时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，符合题意， ③当时，线段与以为圆心，以为半径的圆总有交点，如图所示，即当时，线段上总存在的“切矩点”，不符合题意， 综上：当中，，，即斜边为时，时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”． 综上所述：或或． 3．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于两点A和B，其中点A在上．给出如下定义：若线段的垂直平分线与相交，且两交点之间的距离为d，则称点B是点A的“d关联点”． (1)如图1，点． ①在点，，中，点______是点A的“d关联点”，其中d=______； ②若点C是点A的“1关联点”，则点C的横坐标的最大值为______； (2)直线与x轴，y轴分别交于点M，N．对于线段MN上任意一点P，都存在上的点Q，使得点P是点Q的“t关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2) 【分析】(1) ①依次作出对应的垂直平分线，可知的垂直平分线与相交，且其垂直平分线的解析式为，对应的； ②作等边，轴于点，以点为圆心，长为半径作圆，若点为点的“1关联点”，则的垂直平分线与半径为的圆相切，点与点关于中心对称，由，，可得，此即点横坐标的最大值； (2)根据“关联点”的定义和垂径定理，再运用勾股定理即可分别求得PQ的极值即可得出t的取值范. 【详解】（1）解∶ ①依次作出对应的垂直平分线， 的垂直平分线与相交， 点．， 线段中点坐标为， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 得， 解得， 其垂直平分线的解析式为， 对应的； ②如图，作等边，轴于点，以点为圆心，长为半径作圆， 若点为点的“1关联点”，则的垂直平分线与半径为的圆相切，点与点关于中心对称， ， ， ， ， ， 可得， 此即点横坐标的最大值为； 故答案为∶①，； ②； （2）解： 如图，点是点的“关联点”，的垂直平分线与相交，截得的线段是， 则，则，， 则， 即点的“关联点”距离点的最远距离为， 当点在上运动时，点随之运动，则点的“关联点”最远的位置，在以点为圆心，为半径的圆上， 对于固定的点而言，距离点最近的“关联点”不需要分析，事实上，如图所示， 弦长，点关于点的对称点，即为距离点最近的“关联点”， 点是上的点，点是点的“关联点”，则点最远处依然是在一个圆上，圆的半径为，结合已知，点与点的距离最远，因此，需要使得点在以为半径的圆内即可， 又， 得， 解得（舍负）， 据此可得的最大值为， 直线且，直线与坐标轴的交点，，可知，上任意一点，在上都可以找到一点，使得线段的垂直平分线与相交，且被所截得线段长恰好为，由已知，，且的弦长最大为直径，所以可得， 如图，当线段与相切时， 设点即为切点，此时，圆上任意一点为，线段的垂直平分线经过圆心，被截得的弦长即为直径，长度为2，矛盾；线段与没有交点，则； 综上所述，可得， 【点睛】本题是圆的综合题，考查了最值问题，垂径定理，轴对称的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握新概念“关联点”是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，的半径为1，点P是外一点，给出如下定义：过点P作的两条切线，切点分别为A，B（A与B不重合），若点C是线段中点，则称点C为点P关于的“中切点”． (1)已知点P是直线上一点， ①在点，，，中，是点P关于的“中切点”的是_________； ②若直线上存在点P关于的“中切点”，直接写出b的取值范围_________； (2)已知点，的半径为，点M是直线上一点，，若上存在点M关于的“中切点”，直接写出t的取值范围_________． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）对于上任意一点，连接，直线交轴于点，过点作的两条切线，切点分别为，（与不重合），连接，交轴于点，交于点，由切线的性质和切线长定理，可得，，，证明，可得，证明，可得，证明，可得，证明，可得，可得，确定点的运动轨迹，即可求解；由可得，当直线与相切时，或在直线上，将和代入，可得的最小值和最大值，即可得的取值范围； （2）由（1）分析可得，上的点关于的“中切点”，在以为圆心，为半径的上运动，当与外切时，圆心的距离等于半径和，根据勾股定理，可得的最大值，当与内切时，圆心的距离等于半径差，根据勾股定理，可得的最小值． 【详解】（1）解：对于上任意一点，连接， 直线交轴于点， 过点作的两条切线，切点分别为，（与不重合）， 连接，交轴于点，交于点， ∵与相切于点，与相切于点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 的中点记为点，则。 ∵， ∴点在以为直径的上运动（不包括点）， ∵，在以为直径的上， ∴，是点关于的“中切点”． 由可得， ∵，，，， ∴当直线与相切时，或在直线上， ∴或， 解得或， ∵直线上存在点P关于的“中切点”， ∴． （2）解：由（1）分析可得，上的点关于的“中切点”，在以为圆心，为半径的上运动， 当与外切时， ∵点，的半径为，点，的半径为， ∴， 解得， 当与内切时， ∵点，的半径为，点，的半径为， ∴， 解得， ∵上存在点M关于的“中切点”， ∴． 5．在平面直角坐标系中，半径为1，是上不重合的两点，点是内或上一点（不与重合），点，分别在线段，上，如果存在点使（逆时针排列），则称点是线段关于点的“关联点”． (1)已知点，，，点与点重合，是线段中点．在中，是线段关于点的关联点的是_______． (2)若，点是线段关于点的“关联点”， ①若点，点，点所形成区域的面积为______． ②若，线段的取值范围是______． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题的解题关键是理解关联点的定义，通过定义与题给条件，确定是什么特殊三角形，再计算即可． （1）根据点坐标，可以得到，从而确定是等腰直角三角形，分别代入三个点的坐标，判断是否满足条件即可； （2）①根据，可以得到是等边三角形，点K的运动轨迹为圆弧（定弦定角），通过手拉手旋转，构造全等三角形，先找到点P，K不动时，只有点Q运动时点M的轨迹，再逐步加上点P与点K的运动，从而找到点M的所形成区域，再根据条件计算即可； ②利用①中的结论找到此时点M的运动范围，根据两点之间线段最短，以及图象找到最大值与最小值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 又， ∴， 由题意，可知，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，即， 由图可知，所给点中，只有满足，，，P，Q逆时针排列； （2）解：①由题意，可得，点K在以为弦，圆周角为的圆弧上运动，如下图： 抽象出图形如下图，将绕点P逆时针旋转，得到， ∴，，，，，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴点H在上，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴点M在上， 先固定点P，K不动，只分析点Q运动， 由可知，当P，K不动时，点Q在线段上运动时，点M的运动轨迹为线段， 再令点P运动，点K仍保持不动， ∵，，， 当点P在上运动时，可视为沿平移，且最远端为， ∴点M的运动轨迹为平行四边形，其中点在射线上，，，如下图所示， 再令点K运动， 由构造方式可知，为点P与点A重合时，点B的对应点，，， ∴点为定点，是等边三角形， 又，， ∴， ∴（如下图左），或（如下图右） 又， ∴（如下图左），或（如下图右）， ∴点，A，B，四点共圆，点在弧上，       同理，点，A，B，四点共圆，点在弧上，如图所示，       综上所述，点M所形成区域如下图，两个弓形的组合体（不含下方弓形的圆弧，圆弧面积可忽略不计），其中一个弓形的圆心设为N，过点N作，，， ∴上下两个弓形全等，， 又， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴面积为； ②∵，， ∴是等边三角形，点K在的中垂线上，即点K在y轴， ∴， 又， ∴点K与原点重合， 由（2）①可知，，， ∴此时与点A重合，点与点B重合，点M的运动范围为菱形，如下图， ∴当点M在线段上时，取得最小值，最小值为； 当点M与点或K重合时，取得最大值，最小值为， ∴． 1. 直线旋转（斜率变化）求与圆有公共点 ⇒ 利用相切d=r 2. 圆上存在点满足到直线距离为定值 ⇒ 圆心距区间[d-r, d+r] 3. 线段（在直线上滑动）与圆有交点 ⇒ 端点代入或整体距离 4. 新定义“关联点”结合对称、旋转 ⇒ 转化为点轨迹圆，再与已知圆位置关系。 题型02一次函数与四边形综合 6．在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． (1)若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ①  ②  ③  ④ (2)若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ (3)直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____    【答案】(1)①④ (2)，或 (3) 【分析】（1）根据新定义直接画出符合条件的图象即可； （2）分析圆与点N轨迹的临界条件即可解决； （3）正确理解题目的存在性以及轨迹的动态问题即可找出两个临界从而解决问题． 【详解】（1）解：如图，以点为直角顶点作等腰直角三角形， 可得与， 此时点E坐标为， 点R坐标为， 故答案为：①④． （2）解：如图，连接、，过点A作且， 连接，过点B作且， 连接、，过点作交于点J，过点F作交于点K，   ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，，，， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 为点N轨迹，当圆与线段相切时，存在等腰直角，此时 点N是M关于l和线段的“对垂点”， ，，过点F作，有， ， ， ， 当圆往下平移至圆心与M点重合时，      此时点N与点E重合，t为最小值，， ； 当圆继续往下平移时， 如图，作等腰直角与等腰直角，连接，同理可得N点轨迹为线段， 当圆与线段相切交于点时， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中， ， 解得， 在与中， ， ， ， ， 即， 当圆继续往下平移至交线段与唯一公共点Y处时， 此时， 即， ， 综上所述，，或． 故答案为：，或． （3）解：如图，连接、、、，过点A作且，过点B作且，过点C作且，过点D作且，过点H作交于点J，过点G作交直线于点Q，过点作交直线于点U，取与交点为点V，连接、、、，    容易证得，，，， 即点N轨迹为正方形， 又，， 正方形在直线上运动， 当正方形平移至点E在直线上时，只存在一个“对垂点”，如下图，    此时点N坐标为，，， 当正方形继续向下平移直到点G与点重合时，此时只存在一个“对垂点”，如下图，    此时，， 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形，动点与轨迹问题，勾股定理，圆的性质等知识点，准确找到主动点与从动点的几何关系并且构造相似从而找出从动点轨迹是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，对于封闭图形，若存在两条平行直线和使得图形被分为面积相等的三个部分，则称直线和为图形的一组“三分平行线”，且称直线和间的距离为图形的一个“三分距离”，记为． 如图，点； (1)若图形为正方形，其中点在第四象限， ①已知直线和是正方形的一组“三分平行线”，则 ， ，此时对应的“三分距离”（正方形为） ； ②直接写出正方形的“三分距离”的取值范围： ； (2)若图形为菱形（在上方），点为其边上的一点，若直线和直线为菱形的一组“三分平行线”，且其对应的“三分距离”（菱形），直接写出点纵坐标取值范围． 【答案】(1) ，， (2)． 【分析】（1）由正方形的性质，可得正方形的面积，可得直线和将正方形分成三个面积为的区域，设直线与交于，由面积可得，即可得，设直线与交于，由面积可得，即可得，根据三角形的面积公式，结合勾股定理，即可得“三分距离”；根据题意可知，当、平行于正方形的对角线时，正方形的“三分距离”最小，由正方形的性质，结合三角形的面积，即可得的最小值，当、平行于正方形的边时，正方形的“三分距离”最大，根据正方形的边长即可得的最大值； （2）由菱形的性质，结合“三分平行线”的定义，可得点在或上，进行分类讨论，由解直角三角形的相关计算，结合平行四边形的性质，可得点的运动轨迹，数形结合，即可得取值范围． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，，点在第四象限， ∴，， ∴，，， ∵直线和是正方形的一组“三分平行线”， ∴直线和将正方形分成三个面积为的区域， ， 设直线与交于，则， 解得， ∴直线过点， ∴， ∴把代入得，， ∴， 设直线与交于，则， 解得， ∴直线过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 根据题意可知，当、平行于正方形的对角线时，正方形的“三分距离”最小， ∵四边形是正方形， ∴， 设，交于点，交于点，交于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离， 同理可得，点到的距离为， ∴正方形的“三分距离”的最小值为， 当、平行于正方形的边时，正方形的“三分距离”最大， ∴正方形的“三分距离”的最大值为， ∴． （2）解：∵图形为菱形（在上方），， ∴，， ∵直线和直线为菱形的一组“三分平行线”， ∴点在或上， 设到的距离为， 若点在上，， ∴， ∴， ∴， 过点作，交于点，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴直线为所在直线， 作于点， ∵（菱形）， ∴， 当时，， ∴平行四边形的最小内角的最小值为， 在线段上取，则四边形为平行四边形， ∴， ∴点在上方，以为圆心，为半径的圆弧上运动， ∴当时，点的纵坐标取最大值，的最大值为， 当点在点左侧时，过点作， 若，，则， ∴， 此时点的纵坐标取最小值， 作于点，作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴； 设到的距离为， 若点在上，， ∴， ∴， ∴， ∴点在上方，以为圆心，为半径的圆弧上运动， ∴当时，点的纵坐标取最大值，的最大值为， 过点作，交于点，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴直线为所在直线， 作于点， ∵（菱形）， ∴， 当时，， ∴平行四边形的最小内角的最小值为， 当点在点左侧时，，过点作， 设，则， 在中，， 解得，（舍去）， 作于点， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴， 综上所述，点的纵坐标的取值范围是． 8．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点． (1)在，，中，点P的等积点是 ． (2)点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． (3)已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】(1)根据定义，计算确定即可． (2)根据平行四边形的性质，运用平移的思想分类计算即可． (3)根据定义，确定等积点的范围，利用正方形的性质，确定四个顶点的坐标，根据性质建立不等式计算即可． 【详解】（1）∵，，，， ∴，，， ∴点P的等积点是， 故答案为：． （2）设点， ∵，点Q是P点的等积点， ∴即， 故点Q在直线上， ∴点， 当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C， ∴点， ∵点在x轴上， ∴点， 解得， ∴点； 当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C， ∴点， ∵点在x轴上， ∴点， 解得， ∴点； 综上所述，点或． （3）设点， ∵，点Q是P点的等积点， ∴即， 故点Q在直线上， 设点B的等积点坐标， ∵， ∴即， 故点B的等积点在直线上， ∵点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点， 设该正方形为，则， ∵为的等积点，在上， ∴每一点A在直线与直线在第一象限交成的锐角内部或边上， 当在直线上时，m取得最小值， 故， 解得； 当在直线上时，m取得最大值， 故， 解得； 故m的取值范围是． 【点睛】本题考查了新定义问题，平行四边形的判定，平移规律，正方形的性质，正确理解新定义是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，对于图形Q和，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在的内部或的边上，称的最小值为点P对图形Q的可视度，此时点P为图形Q的可视点． (1)已知点．在点中，对线段的可视度的点是_________； (2)已知：点．直线上存在点F，使得点F对四边形的可视度，求b的取值范围； (3)已知点，圆T的半径为1，若直线上存在长为1的线段，使得上所有点都是圆T的可视点P，且点P对于圆T的可视度满足，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，锐角三角函数； （1）根据定义判断是否等于即可； （2）若在线段上方，且时，要使得，在以为圆心，为半径的弧上；若在线段上方，且时，要使得， 在以为圆心，为半径的弧上；再根据对称性可得出点的可行区域，要使得直线上存在点，只需要与点的可行区域有交点即可，据此即可求出b的取值范围； （3）对于半径为1的，若点对于的可视度满足时，分别过点作的切线，，即时，，得出点在以为圆心，与为半径的圆环内（包括边界），然后讨论一条长为1的线段刚好卡在圆环上的临界状态，据此可求出到直线距离的范围，据此即可求出t的取值范围． 【详解】（1）解：如图，连接，，，，，， ∵点，， ∴轴，轴， ∴，，，，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，对线段的可视度为，对线段的可视度不是． （2）解：①若在线段上方，且时，要使得，由圆周角定理可知在以为圆心，为半径的弧上； ∵圆心角， ∴圆周角， ②若在线段上方，且时，要使得，由圆周角定理可知在以为圆心，为半径的弧上； ∵圆心角， ∴圆周角， 根据对称性与中心对称，将弧与弧组成的图案顺时针依次旋转、、所得到的图案，即为对四边形的可视度的点的可行区域，如下图所示， 要使得直线上存在点，只需要与点的可行区域有交点即可， ∴当与上的弧相切于点时， ∴， ∴， 又∵点在第二象限， ∴， 将代入得：， 解得：， 根据中心对称当与上的弧相切于点时，此时， 将代入得：， 解得：， 综上所述，． （3）解：对于半径为1的，若点对于的可视度满足时，分别过点作的切线，，即， 当时，如左图所示， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∴此时， 当时，如右图所示， ∵，，， ∴平分，即， ∴此时， ∴当点对于的可视度满足时，， ∴点在以为圆心，与为半径的圆环内（包括边界）， ∴上所有点都是的可视点P，且点P对于的可视度满足，那么必定在这个圆环之内， ∴我们来讨论一条长为1的线段刚好卡在圆环上的临界状态： ①点在半径为2的上，点在半径为的上，此时过点作，如图所示， 设，则， ∵，， ∴，解得， ∴， ②分别在半径为2的上，如图所示， ∴此时由垂径定理可得， ∴， 综上所述，到直线距离需要满足， ∵直线与轴交于， ∴到直线距离， ∴，解得或， 综上所述，t的取值范围为或． 10．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：图形绕点顺时针旋转得到图形记为图形，对于图形上任意一点，存在实数满足，则称满足条件的的最大值为图形关于点的“旋转最大值” (1)若为原点，，，线段绕点顺时针旋转的图形记为线段． ①在图1中画出线段； ②直接写出线段关于点的“旋转最大值”：___________； (2)若为原点，，，，直接写出线段关于点的“旋转最大值”是___________； (3)若为，图形是顺次连接，，，所组成的四边形，图形关于点的“旋转最大值”不超过，则的取值范围是___________． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或 【分析】（1）①根据旋转性质作图即可； ②根据，，得到即，故当最小时，取得最大值，当经过点时，k取得最大值，且最大值为，解答即可； （2）根据（1）解答，可知当最小时，取得最大值，故当经过点时，k取得最大值，且，结合，判定k随m的增大而增大，故当时，k取得最大值，且为； （3）先确定变换后的图形坐标，，，设是矩形上的任意一点，根据题意，，得到，结合，得到，故，当，点在上时，取得最小值，且最小值为，此时取得最大值，最大值为，当，点在上时，无限接近0，此时的值可以无限大，与图形关于点的“旋转最大值”不超过矛盾，此时不满足要求，不符合题意；当时，点在上时，取得最小值，且最小值为，此时取得最大值，最大值为，结合“旋转最大值”不超过，解答即可． 本题主要考查了新定义——“旋转最大值”．熟练掌握坐标与图形变化——旋转，旋转性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，正确根据定义找到对应图形绕点M顺时针旋转90度后的对应图形，分类讨论，是解题的关键． 【详解】（1）①根据旋转性质作图如下： 则线段即为所求； ②解：∵为原点，，， ∴，，， 根据题意，对于图形上任意一点，存在实数满足， ∵，， ∴即， 根据题意，得，， ∵，， ∴当最小时，取得最大值， ∴当经过点时，k取得最大值，且最大值为， k的最大值为； 故答案为：； （2）解：∵为原点，，，， ∴，，， 根据题意，对于图形上任意一点，存在实数满足， ∵，， ∴即， 根据题意，得与线段相交，且， ∵，，， ∴当最小时，取得最大值， ∴当经过点时，k取得最大值，且， ∵， ∴k随m的增大而增大， ∴当时，k取得最大值，且为； 故答案为：； （3）解：∵点为，图形是顺次连接，，，所组成的四边形， ∴， ∵，，，， ∴轴，轴，且，， 轴，轴，且，， ∴四边形是长为4，宽为2的矩形， 过点M作于点T，交的延长线于点S， 则，，， 根据旋转的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证，，， ∴， ∴点M到直线，的距离相等，且都是2； 设是矩形上的任意一点， 根据题意，， ∴，， 根据题意，对于图形上任意一点，存在实数满足， ∴， ∵， ∴， ∴， 当，点在上时，取得最小值，且最小值为， 此时取得最大值，最大值为， ∵图形关于点的“旋转最大值”不超过， ∴， ∴， ∴， 解得； 当，点在上时，无限接近0， 此时的值可以无限大，与图形关于点的“旋转最大值”不超过矛盾， 此时不满足要求，不符合题意； 当时，点在上时，取得最小值，且最小值为， 此时取得最大值，最大值为， ∵图形关于点的“旋转最大值”不超过， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，的取值范围是或． 1.平行四边形，核心是利用“对角线互相平分” 列式。 2.矩形，在平行四边形的基础上，增加一个直角条件。用邻边垂直或对角线长度相等来列方程。后者往往计算量更小。 3.菱形，在平行四边形的基础上，增加一组邻边相等。用距离公式直接列式。如果涉及动点，利用对角线垂直且互相平分的性质会简化计算。 4正方形，是矩形和菱形的结合，需要同时满足“直角”和“邻边相等”，按优先级高的条件列式即可。 题型03 一次函数与三角形综合 11．在平面直角坐标系中，对于点，直线（点不在上）和，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，则称点是关于直线的映像点，称线段的长度为点与的映像距离． (1)如图，的半径为，直线， ①在点，，中，点______是关于直线的映像点，该点与的映像距离为______； ②点是关于直线的映像点，当点与的映像距离最小时，点的坐标为______； (2)已知点，，点在轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为．若上存在关于直线的映像点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；；② (2)或 【分析】（1）①作关于直线的对称，则点必定在，由此作出判断，并计算距离即可； ②连接，与的交点即为所求的点，作，垂足为，容易证明，使用三角函数求出点的坐标即可； （2）设点为的映像点，同理①可得，点在的对称上．观察可得，直线过定点，根据对称性可知，结合的半径为1可得点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上．当外圆与相切时，最小；当内圆过点时，最大，分别计算对应的的值，求出的取值范围． 【详解】（1）解：①如图，作关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与轴交于点， ∵点关于直线的对称点在上， ∴点必定在上，即， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 判断题干的点： 对于，与点重合，不符合题意； 对于，由勾股定理可得，不符合题意； 对于，，符合题意， ∴点是关于直线的映像点， 由图可知，点关于直线的对称点的坐标为， ∴映像距离； ②由①可知，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴当、、、四点共线时，最小， 如图，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，，， ∴， ， ∴点的坐标为； （2）解：点为关于直线的映像点，关于直线的对称圆为， 由①可知，点在上， 对于直线，当时，， ∴直线过定点， 设这个定点为点，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵半径为，点在上， ∴点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上， ①当外圆与相切时，圆最小，即最小， 如图，设切点为，连接，， ∵圆与相切于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴轴，轴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴，即， ②当内圆过点时，圆最大，即最大，如图， 由勾股定理可得， ∴，即， 综上所述，， ∵，， ∴， ∴， 解得或． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系和轴对称的性质，运用逆向思维将圆反对称回去是解题关键． 12．在平面直角坐标系中，对于和外一点，给出如下定义：若的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，则称点是的“-旋称点”，此时的是关于点的一条“-旋称弦”． (1)如图1，的半径为2． ①在点，，，中，的“-旋称点”可以是___________； ②弦的长为2，轴．若是关于点的“-旋称弦”，直接写出点的坐标； (2)如图2，，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，直接写出点的坐标，和的半径的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)， 【分析】（1）①对于外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，当为的切线时，可求得，可知时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，然后分别算出，，，判断即可；②取与轴的交点为，连接，延长，使得，连接，那么可知道是等腰直角三角形，可算出点的坐标，由题意可知，当点落在点时符合题意，延长，使得，同理可算得，满足条件； （2）由题意可知，在内部，、、三点都在外部，将绕逆时针旋转，将绕顺时针旋转，将绕顺时针旋转、将绕点逆时针旋转，将绕逆时针旋转，将绕点顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为和，当圆心在点时，根据定义舍去，当圆心在点时， ，先求得点的坐标，分别以为圆心，以、为半径画圆，那么当，满足题意． 【详解】（1）解：①对于外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示： 当为的切线时，，，， ， ， 那么当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦； 在点，，，中， ，，，， ， 在点，，，中，的“-旋称点”可以是，； 故答案为：，； ②取与轴的交点为，连接，延长，使得，连接，如图所示： 弦的长为2，轴， ， ， ， ； 若是关于点的“-旋称弦”，那么点与点点重合时，满足条件； 延长，使得，同理可算得，满足条件； 综上，点坐标为：或； （2）解：对于半径为的外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示， 同（1）①，可求得当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦； ，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”， 在内部，、、三点都在外部； 将绕逆时针旋转，将绕顺时针旋转，将绕顺时针旋转、将绕点逆时针旋转，将绕逆时针旋转，将绕点顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为和， 由题意可知，当圆心在点时， ，点的横坐标在大于0，小于2， ， 在的垂直平分线上， 过点作于， ，， ，，， ，， ， ， ； 不妨设，那么，， ， ， ， 或， 点的横坐标大于0且小于2， ， ， ； 分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示： ， 边上不存在关于点，，的“-旋称弦”， 故不符合题意； 当圆心在点时， ， ， 点在的垂直平分线上， ，， 的纵坐标为， 过点作于， ， ，， ， ， ，， ，， ，， 分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示： 那么当，即，满足题意； 此时，满足； 综上，，． 【点睛】本题考查了“-旋称点”，“-旋称弦”，勾股定理，解直角三角形，垂径定理，等腰三角形的性质，读懂“-旋称点”，“-旋称弦”的定义，作出合适的辅助线利用数形结合的思想是解题的关键．问题也可转化为轴对称进行求解． 13．在平面直角坐标系中，对于点、和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形．若点在图形上，则称点为图形关于点的“位移点”． 如图，点、． (1)若半径为1， ①在、、中，关于点的“位移点”是______； ②若在线段上存在一点，使得点为关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围； (2)已知点，半径为1，点在上，点为线段关于点的“位移点”．点，半径为，点在上．若存在点D，P，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①、；② (2)或 【分析】（1）①将沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，根据新定义可知关于点的“位移点”在上，再逐个分析即可判断；②沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，根据新定义可知点在上，再利用线段的性质得到的最小值为，的最大值为，再对的长分情况讨论即可求解； （2）分①点在的右侧；②点在的左侧2种情况讨论，连接，以为斜边作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，利用相似三角形的性质求出，利用全等三角形的性质求出点的坐标，得出点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，记为；将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，根据新定义可知在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为，再讨论与的位置关系即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①，半径为1， 沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1， ，，， 、在上， 关于点的“位移点”是、， 故答案为：、； ②由题意得，沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1， 点为关于点的“位移点”， 点在上， ， ， ， 的最小值为，的最大值为， 点在线段上， 当时，最小；当点与点重合时，最大， 当时， ，， 是等腰直角三角形，， 又， ，此时的最小值为； 当点与点重合时， 则，此时的最大值为， 综上所述，的长的取值范围为． （2）解：①当点在的右侧，连接，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，如图所示， 和是等腰直角三角形， ，， ，即， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ，， 设，， 由点可得，解得， ， 点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，记为； 将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，则有，， 半径为1，点在上， ， 又点为线段关于点的“位移点”， 在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为， 当点与点重合，且与相切（在右侧）时，此时，有最大值，如图所示， 此时， ， 当，且与相切（在左侧）时，此时，有最小值，如图所示，连接， 由（1）得，是等腰直角三角形，则有， 由平移的性质得，， ，， 轴， ， 是等腰直角三角形，， ， ； 的取值范围为； ②当点在的左侧，连接，以为斜边在左侧作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，如图所示， 同理①的方法可得，，， 点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，记为； 将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，则有，， 半径为1，点在上， ， 又点为线段关于点的“位移点”， 在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为， 当点与点重合，且与相切（在下方）时，此时，如图所示， ， ， 解得：， 当时，满足题意； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了新定义、平移的性质、圆的轨迹问题、点、直线、圆的位置关系、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定等知识点，理解“位移点”的定义画出对应的示意图是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的知识理解运用和数形结合能力，适合有能力解决难题的学生． 14．对于点C和给定的，给出如下定义：若上存在点B，使点C绕点B旋转的对应点A在上，此时是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，则称点C为的“等直顶点”．若O是坐标原点，的半径为2． (1)在点，，，中，可以作为的“等直顶点”的是______； (2)若点P为的“等直顶点”，且点P在直线上，直接写出点P的横坐标的取值范围； (3)设的圆心C在x轴上，半径为2，若直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的“等直顶点”，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． (4)直线分别和两坐标轴交于E，F两点，若线段上的所有点均为的“等直顶点”，直接写出的半径的最小值． 【答案】(1)和． (2)或 (3) (4) 【分析】（1）先假设点B是定点，论证此时“等直顶点”需满足的条件，再根据圆的对称性，把结论推广到一般情况．使用得出的结论，逐一判断每个点是否符合“等直顶点”的条件； （2）分为点P可以在第一象限或者第三象限两种情况讨论，根据（1）中的结论，计算出点P的横坐标的取值范围； （3）分为圆心C在非负半轴或者负半轴两种情况讨论，使用（1）中的结论，并结合线段的性质，计算出圆心C的横坐标的取值范围； （4）设点P是线段上的任意一点，将（1）的结论推广到任意半径，算出点P到圆心O的距离的取值范围．当最小，且此时点P是所有“等直顶点”中最远的点时，最小，计算出此时的半径即可． 【详解】（1）解：先论证的“等直顶点”需满足的条件， 如图，假设点 B坐标为，点A在y轴左侧，设点A坐标为，的半径为r， 过点B作x轴的平行线，分别过点A、C作的垂线，垂足为E、F，连接，， 由题意可知，是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点 B坐标为，点A坐标为， ∴，， ∴点C的坐标为， 由勾股定理可得，，， 设，则， ∵， ∴， 化简得，， 将该方程看作关于b的一元二次方程，则其判别式， ∴， 化简得，， 结合二次函数的图象可知，， 当时，，即； 当时，，即； ∴，即； 当点A和点B在圆周上运动时，由于圆的对称性，上述结论依然成立． 综上所述，若点C是的“等直顶点”，则需满足：． 根据结论来判断题干中的点， 对于点， ，故点不是的“等直顶点”； 对于点，，满足，故点是的“等直顶点”； 对于点，，故点不是的“等直顶点”； 对于点，，满足，故点是的“等直顶点”； 故答案为：和． （2）解：由（1）可知，点P为的“等直顶点”，需满足． ①当点P在第一象限时， ∵点P在直线上， ∴， 由勾股定理可知，， ∴， 解得，； ①当点P在第三象限时， 同理，此时， ∴， 解得，； 综上所述，点P的横坐标的取值范围为或． （3）解：①当点C在y轴右侧或与y轴重合时，由（1）可知，点P需满足， 如图，过点作直线的垂线，垂足为， ∵直线是一三象限的角平分线所在的直线， ∴， ∵垂直直线， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∵， ∴，即，当点D与点E重合，且D、P、C三点共线时取等， 当时，由于点D在直线上运动，则必然存在点，满足，故满足题意； ②当点C在y轴左侧时， 同理可得，需满足； 综上所述，圆心C的横坐标的取值范围为． （4）解：如图，作，垂足为，点为线段任意一点， 将，代入直线，得， ∴点坐标为，， 将，代入直线，得，解得， ∴点坐标为，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∵点在线段上， ∴，即， 由（1）可知，点P为的“等直顶点”，需满足． 当时， ， 解得，； 当时， ， 解得，； 两个不等式的公共部分为， 综上所述，的半径的取值范围为． ∴的半径的最小值为． 【点睛】本题是圆与三角形的综合题，考查新定义，点与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确理解题意并找到“等直顶点”需满足的条件是解题关键． 15．在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”． (1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，． ①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ； ②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围； (2)已知点，等边三角形的边长为．若存在等边三角形的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2)或． 【分析】（）根据新定义即可求解； 找到关键点先求出此时的值，然后即可求解； （）由可知，点在直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可； 本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图， 根据题意，直线与以为半径的相切， 由图可知，等边三角形的“相关切点”是， 故答案为：； 根据题意，满足题意的点是以，半径为的弧上，如图， 若直线上存在等边三角形的“相关切点”，如图， 由，是等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， 此时， ∴的取值范围为； （2）如图，此时中，，， 此时，， 解得：（负值舍去）， 如图，此时中，，， 此时，， 解得：（正值舍去）， 如图， 此时，， 解得：或（舍去）， 如图， 此时，， 解得：（舍去）或， 综上可知：或． 1. 等腰/直角三角形存在性：设点坐标 → 列距离/垂直方程 2. 面积最值：用含参表示面积 → 二次函数最值 3. 动点与折叠：中点+垂直平分线。 题型04一次函数与角综合 16．在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或或 【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键； （1）①根据新定义可得的是的关联点且其与的关联角度小于，进而根据切线的性质，解,即可求得，即可求解． ②根据定义可得为外一点，由，的半径为，得出，进而当时，勾股定理求得的值，即可求解； （3）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，根据，得出，根据已知可得，上距离最近的点在的圆环内，根据是固定线段，让移动，分四种情况讨论，求得的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴， ∴ ∴，即与的关联角度为 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为， ∴，当时， 如图，取点，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近， ∵， ∴当时，由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内， ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时，如图， ∴（不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部，此时 ④当在半径为的圆，如图 设的半径为，则， ∵， 解得：， ∴时，此时， 综上所述，或或． 17．在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q的内部（含角的边），这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD，作射线OA，OB，则称∠AOB为矩形ABCD的视角． (1)如图1，矩形ABCD，A（﹣，1），B（，1），C（，3），D（﹣，3），直接写出视角∠AOB的度数； (2)在（1）的条件下，在射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°，求点Q的坐标； (3)如图2，⊙P的半径为1，点P（1，），点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°，若Q（a，0），求a的取值范围． 【答案】(1)视角∠AOB的度数是120° (2)Q的坐标（，﹣1） (3)a的取值范围是0＜a＜2 【分析】（1）由A、B坐标可知， OA、OB与y轴的夹角都为60°，所以根据视角的定义的出视角∠AOB的度数； （2）连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ，即可构造出等边三角形，得出视角为60°的时点Q的坐标即可； （3）当点Q与点O重合时，a取最小值，当FQ⊥x轴时，a取最大值． 【详解】（1）∵A（﹣，1），B（，1）， ∴OA、OB与y轴的夹角都为60°， 所以根据视角的定义的出视角∠AOB的度数是120°； （2）连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ． ∵AB=2，BC=2， ∴AC=4． ∴∠ACQ=60°． ∴△ACQ为等边三角形， 即∠AQC=60°． ∵CQ=AC=4， ∴Q（，﹣1）． （3）如图2，当点Q与点O重合时，∠EQF=60°， ∴Q（0，0）． 如图3，当FQ⊥x轴时，∠EQF=60°， ∴Q（2，0）． ∴a的取值范围是0＜a＜2． 【点睛】本题的关键是理解视角的定义，然后根据定义求出题目的要求，三角函数求出度数，第三问里要注意切线的位置的特殊性，利用切线的性质求出视角，近而得出Q点横坐标的取值范围内的数值即可． 18．在平面直角坐标系中，为平面上一点，为上的一条弦．若点绕的中点旋转与重合，则称点是弦关于的“关联点”．已知的半径为2． (1)如图，点，． ①在点，，中，弦关于的关联点为_____，其中_____； ②已知点是劣弧上的一个动点，点为弦关于的关联点，直接写出点纵坐标的取值范围； (2)已知为上的弦，且，经过点和点．若存在使得，且在的内部存在一个点既是关于的关联点又是关于的关联点，直接写出半径的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，理解新定义以及根据题意画出图形分类讨论是解题的关键； （1）①根据新定义得出弦关于的关联点为，根据平行线的性质，以及等腰直角三角形的性质得出，即可求解； ②是的中点，是上的中点，连接，取的中点，得出在的上运动，先求的最大值，将绕点逆时针旋转得到，则当轴时，的纵坐标最大，是等边三角形，则，当重合时，的纵坐标取得最小值，过点作轴，过点作于点，则得出，则，即可求解； （2）设既是关于的关联点又是关于的关联点，是的中点，根据新定义，分四种情况讨论，分别画出图形求得最小值与最大值，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，设的中点为， ∵，． ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴弦关于的关联点为， ∵，． ∴，则是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：，． ②如图，是的中点，是上的中点， 连接，取的中点， ∴ ∴在的上运动， 先求的最大值，将绕点逆时针旋转得到，则当轴时，的纵坐标最大， ∴是等边三角形 ∴， ∴ 当重合时，的纵坐标取得最小值， ∵点为弦关于的关联点， ∴是等边三角形 又∵，． ∴，则， ∴ ∵ ∴ 又∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴，则是等腰直角三角形， 过点作轴，过点作于点，则 ∴ 在中， 又∵， ∴ ∴ （2）解：设既是关于的关联点又是关于的关联点，是的中点， ①如图， 当逆时针旋转与点重合时， ∵，设的中点， ∴，， ∵点是关于的关联点， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵是是关于的关联点 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中， ②当点逆时针旋转得到时，如图 ∵，， ∵ ∴ ∵， ∴， 在中， 综上所述，当在左侧时， ③如图，作关于轴对称的直线，则当顺时针旋转与点重合时， ∴ ∴ 在中， ∴的最大值为 ④如图，当顺时针旋转与点重合时， 同②可得所取得的值要小于， 综上所述， 19．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”． (1)如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是____________； (2)已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围； (3)点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由图可知是直角三角形；再由两点之间距离公式，结合勾股定理的逆定理判定即可得到不是直角三角形；是直角三角形；再由“关联点”定义即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，如图所示，当点，时，，则，解得或；利用两点之间距离公式、勾股定理及对称性分类求解即可得到答案； （3）根据新定义可得点是为直径的圆上的一点，根据题意求得的最大值为，进而分在轴的上方与下方两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，是直角三角形， 由“关联点”定义可知，是弦的“关联点”； 点，，， ，，， ， 不是直角三角形，由“关联点”定义可知，不是弦的“关联点”； 点，，， ，，， ，即， 是直角三角形，由“关联点”定义可知，是弦的“关联点”； 故答案为：，； （2）解：如图所示： 当点，时，，则，解得或； 设轴上的，，即在轴正半轴时， 若，此时，是直角三角形时， 当，则，则，解得，即，此时取到最大值； 若，此时，是直角三角形时，根据对称性； 若，此时，是直角三角形时，则(此时重合)，此时最小； ； 设轴上的，，即在轴负半轴时， 若，此时，是直角三角形时， 当，则，则，解得，即，此时取到最小值； 若，此时，是直角三角形时，根据对称性； 若，此时，是直角三角形时，则，此时取到最大值； ； 综上所述，点的纵坐标的取值范围或； （3）解：由题意可知，当为直径时，满足题意，则最大值为； 当在轴下方时，如图所示，设以为直径的圆与相切于点，则当和点重合时，， ∵，， ∴，则， ∵，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 解得：或（舍去） 当在轴上方时，如图所示 同理可得 又∵， ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 20．在平面直角坐标系中，的半径为2，对于外的点P和弦，给出如下定义：若弦上存在一点Q，使，则称点P是弦关于的关联点，如果点为上一点，则称是弦关于的“关联角”． (1)， ①，，中，点______是弦关于的“关联点”； ②若是弦关于的“关联角”，，当最大时，则______； (2)直线与x轴，y轴分别交于点E，F，弦关于的“关联角”，若线段上存在“关联点P”，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①根据题中的定义分别作直线和，在两条直线之间及直线上，且在外的点是弦关于的“关联点”，据此判断题中所给点坐标并选出符合题意的点坐标即可； ②作平行于且距离为的直线，，在上任取一点P，作，且，利用正弦的定义及勾股定理判断动点的移动情况，进而求得此时的值； （2）设是垂直于y轴的弦，分别过点A，B作轴与轴交点H，I，判断分析出点C的位置使得，进而确定出点P的运动轨迹，从而确定最后线段与点P的轨迹有交点即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意知，分别作直线和， ∴在两条直线之间及直线上，且在外的点是弦关于的“关联点”， 此时点、符合题意， ∴、是弦关于的“关联点”， 故答案为：，； ②如图，作平行于且距离为的直线，， 要使最大，则点P在上角度会更大， 在上任取一点P，作，且， 此时当与相切时，有最大， ∵， ∴， 过点C作， ∴， 当点P往方向运动时，点C也会随之向左运动，此时的值减小，的值增大，的值增大， ∴的值在减小， 当点P落在时，最小，此时最小， ∴最大， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：． （2）解：如图，设是垂直于y轴的弦，分别过点A，B作轴与轴交点H，I， 此时若点C在上，无限接近于，则当最大时，与相切， 当点P无限接近于时，的最大值超过， ∴点Q越靠近A时，相切状态的的值会越大，当点Q落在点A时，， ∴此时越大时，的值越小， ∵， ∴如图，延长交x轴于点G， 此时，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当越大时，点P到x轴距离越大， 当时，，此时， ∴点P的轨迹即满足， 如图，作以点O为圆心，4为半径的， 当过点，时，；过点，时，， 当与半径为4的相切时，， ∴b的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义问题的理解与应用，圆的性质，线段和角度最值等知识点，解答时注意利用数形结合的方法． 技巧1：遇“弧”想“心”，遇“弦”想“垂”，同弧所对圆周角相等：看到圆上多个点连成的角，先找它们是否对着同一段弧。直径对直角：看到三角形一边是直径，立即标记该边对角为90°。圆心角是圆周角的2倍：当出现圆心与圆周上的点连线时，优先找倍数关系。垂径定理：弦的中点与圆心连线，垂直于该弦；反之亦然。用来求长度或证明垂直。 技巧2：遇“切线”想“垂直”与“弦切角”，半径垂直切线：看到切线，立即连接切点与圆心，得到90°角。弦切角等于所夹弧对的圆周角：这是圆的题目中非常高频的转化技巧。例如，弦切角∠PAB等于弧AB所对的圆周角∠ACB。 技巧3：遇“内接四边形”想“对角互补”，圆内接四边形的对角互补（和为180°），外角等于内对角。当看到四个点都在圆上且需要求角时，优先尝试这个性质。 1．在平面直角坐标系中，点，，的半径为1，线段的长度为1，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若线段与有公共点，则称线段为点的旋转线段，并称，的较小值为线段关于点的旋转距离，记为． (1)如图，． ①点，，，，，，在线段，，中，点的旋转线段为________； ②点，，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围； (2)已知线段平行于轴，中点为，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围及的最大值． 【答案】(1)①，；②或； (2)或，的最大值为 【分析】本题主要考察图形的旋转性质与点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系： 1．旋转的本质：线段绕点逆时针旋转得到．因为，故的长度恒为1， 2．“旋转线段”的判定：线段是点的旋转线段，等价于旋转后的线段与定圆（圆心，半径）有公共点． 问题转化：第（1）问：已知旋转后的位置，反推原线段的参数． 第（2）问：线段平行于轴且中点轨迹已知，转化为在直线上滑动．通过计算与圆相交的临界位置，确定参数的范围． 距离计算：利用勾股定理计算和，并根据的不同取值范围讨论（较小值）的最大值． 【详解】（1）解：如图， 线段：端点和旋转后得、， ∵线段，故点在上，线段为点的旋转线段， 线段：端点和旋转后得、， ∵，∴点在上，线段为点的旋转线段， 线段：端点和旋转后得、， ∵，， ∴线段上的点到圆心的距离最小值为2，线段在圆外，线段不是点的旋转线段． ②∵，，， ∴， 线段绕点逆时针旋转．旋转后得，， ∴线段所在直线方程为， 如图： 点在圆上时，即， ∴， 解得：，， 点在圆上时，即， ∴， 解得：，， 结合图形可知： 当时，点在的下沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的下沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 当时，点在的上沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的上沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 综上所述：当或时，线段为点的旋转线段． （2）解：∵，线段平行于轴，中点为， 设点在点的左侧，则，， 线段绕点逆时针旋转．旋转后得，， 如图： ∴在直线上， 当在圆上时，，即，解得：，， 当在圆上时，，即，解得：，， 由图可知，当增大时，沿竖直方向向上平移， 当时，点在的下沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的下沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 当时，点在的上沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的上沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 综上所述：当或时，线段为点的旋转线段． ∵，， ①当时，，，即点在直线下方，点在直线上方，如图： 当垂直平分时，，取最大值为（或）， ∴，解得：， ， ②当时，，，即点、都在直线上方，如图： 此时， 当时，取最大值，最大为，即， ∵ ∴的最大值． 【点睛】这道题的核心在于理解“旋转线段”与“旋转距离”的定义，并将其转化为几何位置关系问题． 几何变换的代数化：旋转的坐标变换公式是解题关键（例如：点绕原点逆时针旋转变为，需结合平移处理）． 数形结合（临界法）：求解或的取值范围时，核心是找到临界状态（即线段的端点恰好落在圆上）． 分类讨论思想：在求的最大值时，需要根据相对于点的位置（即的大小）分情况讨论：跨越直线，或完全在直线同侧．最终通过比较得出． 2．在平面直角坐标系中，的半径为2，P、Q为外两点，且，如果在圆上存在A、B两点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则线段上的任意点M都称为关于的菱形点． (1)当P坐标为时，在下列点中，的菱形点可能是_____________． ，，． (2)直线l为， ①如果直线l上的点是的菱形点，则t的取值范围是_____________． ②若直线l上存在线段，且上的所有点（不包括端点）都是关于某一线段的菱形点，则的最大长度为_____________，此时A的纵坐标为_____________． 【答案】(1)、 (2)①且；②最大为；或0 【分析】（1）根据定义和菱形的性质，逐个坐标验证即可解答； （2）①根据题意可知，对于任意线段，点P和Q的轨迹为分别以点B和A为圆心，半径为2的半圆上（不包括端点），连接、，可得的最大值为4，则对于圆上任意线段，线段的轨迹在半径为2的和半径为4的之间的区域（不包括半径为2的的圆上，但包括半径为4的的圆上），然后求得当点P在直线l上时的横坐标，根据对称性即可得到答案； ②根据题意，线段都是与的交点，为了使最大，的运动轨迹需始终在的上下两侧，接着证明当点轨迹与相切，此时点处于所能达到的最左端位置，再接着证明当与相切时，达到最大值，最后利用解直角三角形求得答案． 【详解】（1）解；①∵，即点不在线段上， ∴点不是的菱形点； ②当点在线段上，则此时点，且轴，如图所示， 连接交于点A，过点A作交于点A，交y轴于点C，连接， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴此时圆上存在A、B两点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， 即点是的菱形点； ③同②可得，点是的菱形点； 故答案为：、； （2）解：①若为对角线时，要使得是菱形，则的中点一定在内，而在外，且，无法找到这样的菱形满足条件， ∴一定为菱形的边， 那么只需要探究上的长为的弦，以去构造菱形，来确定的可行区域， ∵P、Q为外两点，且，A、B为圆上的两点，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，的半径为2， ∴， ∴对于任意线段，点P和Q的轨迹为分别以点B和A为圆心，半径为2的半圆上（不包括端点）， 连接、，则， ∵， ∴对于圆上任意线段，线段的轨迹在半径为2的和半径为4的之间的区域（不包括半径为2的的圆上，但包括半径为4的的圆上）， ∵直线上的点是的菱形点， ∴当点C在半径为4的和直线l的两个交点之间时（包括端点），均符合题意， 当点P在直线l与半径为4的的右交点时，此时O、B、P三点共线，，如图所示， ∵直线l与x轴的距离为2，， ∴此时点Q在轴上，且轴， ∴， 即此时； 同理，当点在左侧的交点时，； 综上，且； ②根据题意，直线l上存在线段，且上的所有点（不包括端点）都是关于某一线段的菱形点，那么线段都是与的交点， 如图，由（2）①可知，当在圆上任意位置，的运动轨迹如下，设交的交点为，交于点，作于点H， ∵为了使最大， ∴需始终在的上下两侧，如图所示： 当保证的运动轨迹需始终在的上下两侧的前提下，将固定在圆上某一位置，那么点点保持不动，当点绕点顺时针旋转时，向右移动，长度增大， ∵点的运动轨迹为以点为圆心，半径为2的半圆（不包括端点）， ∴当时，点与线段的距离最大，此时点到达最右侧位置， ∵菱形中，平行于， ∴此时，即当与相切时，达到最大值，如下图所示： 也就是说，只要找到点所能达到的最左端位置，且当与相切时，达到最大值， 在保证的运动轨迹需始终在的上下两侧的前提下，将点绕点逆时针旋转时，点向左移动， ∵点位于时，点与直线的距离为2，此时点轨迹与相切，此时点处于所能达到的最左端位置，如图所示， 此时， ∵，， ∴， ∴， ∵直线平行于轴， ∴， ∵当与相切时，达到最大值， ∵此时，四边形为菱形， ∴四边形为正方形， 过点作，此时， ∴， ∴， ∵点位置可以互换， ∴的最大值长度为，此时点的纵坐标为或0． 3．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外的一点C，给出如下定义：若直线，中一条垂直弦，另一条是的切线，则称点C为弦的“垂联点”． (1)已知点，，. ①如图1，在点，，中，弦的“垂联点”是____； ②如图2，若点C为弦的“垂联点”，直接写出的长； (2)已知点，，对于线段上一点S，存在的弦，使得点S为弦的“垂联点”，设的长为d，当点S在线段上运动时，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)①，；②线段的长为 (2) 【分析】（1）①根据题干中的定义分别判断点，，是否为弦的“垂联点”；②设点，分两种情况讨论：第一种情况，当是⊙的切线，，可得，，第二种情况，当是⊙的切线，，可得，，即可求出的长； （2）先找出随着的增大而增大，随着的减小而减小，即求出最大值和最小值作为临界点；当点S在点时，可得是⊙的切线，，作直径，连接，易得点M、Q、T三点共线，，当点S在经过点的的垂线上时，即点K，作直径，连接，易得点K、P、T三点共线，，，由此可求d的取值范围． 【详解】（1）解：①点，，， ，，， ， ， 又，是的半径， 是的切线， 即点是弦的“垂联点”； 点，，， ，，， 与不垂直，即点不是弦的“垂联点”； 点，，， ，， ， ，是的半径， 是的切线， ，， ， ， 即点是弦的“垂联点”； ②点，，点C为弦的“垂联点”， 设点，分两种情况讨论： 第一种情况，当是的切线，， ，， ， ， ， ， 第二种情况，当是的切线，， ，， ， 解得， ， ， 综上所述，线段的长为； （2）解：线段上一点S，存在的弦，使得点S为弦的“垂联点”，随着S的变动在一定范围内变动，且点，， 如图所示，在线段上取一点S，作直径，连接、， 的长为d， 只考虑是的切线，一种情况即可， ， ， ， ， 随着的增大而增大，随着的减小而减小， ， 随着的增大而增大，随着的减小而减小， ， 随着的增大而增大，随着的减小而减小， 即求出最大值和最小值作为临界点； 当点S在点时，取最大值，即最大， 则是的切线， ，如图所示，作直径，连接， ，，，，， ， ，是的切线， ， ， ，，是直径， 点M、Q、T三点共线， ， ， ， ， ， ， 当点S在经过点的的垂线上时，即点K，取最小值，即最小， 如图所示，作直径，连接， 同理可得，点K、P、T三点共线，， ，点，， ，， ， ，， ， ， ， 则d的取值范围为． 4．在平面直角坐标系中，对于的弦（非直径）和圆外一点Q，给出如下定义：若弦所对的劣弧上存在两点M、N（且不与A、B重合），使直线与相切，则称点Q是关于的“近切点”．已知，，，． (1)若的半径为2， ①在点，，，中，关于的“近切点”是_________； ②直线l经过点，且与x轴垂直，点C在上．若直线l上存在关于的“近切点”，记点C的纵坐标为m，直接写出m的取值范围； (2)若存在半径为3的，使得对于上任意一点S，都存在的长为t的弦，满足点S是关于的“近切点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①取点，连接，根据题意可得线段与劣弧组成的区域（不包括边界）内的点都是关于的“近切点”，据此结合图形可得答案；②设分别是的切线，由（1）①可知线段和劣弧组成的区域（不包括边界）内的点都是关于的“近切点”，故当直线l上存在关于的“近切点”时，线段和劣弧组成的区域（不包括边界）与直线l有交点；据此求出当点R恰好在直线l上时，m的值即可得到答案； （2）设是（半径为3）的切线，可推出关于的“近切点”是以T为圆心，半径分别为3和的长的两个圆组成的圆环（不包括边界），则当（半径为3）移动时，能够整个放进以T为圆心，半径分别为3和的长的两个圆组成的圆环（不包括边界）内部，求出当恰好与（半径为3）相切，切点为的中点L时，且点D恰好在圆环的外圆上时，的长即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示，取点，连接， ∵，，， ∴， ∴都是的切线， 由“近切点”的定义可知，线段与劣弧组成的区域（不包括边界）内的点都是关于的“近切点”， ∴由图可知，只有点是关于的“近切点”； ②设分别是的切线， 由切线的性质可得， ∴点R在过点B且垂直于y轴的直线上； 由（1）①可知线段和劣弧组成的区域（不包括边界）内的点都是关于的“近切点”， ∴当直线l上存在关于的“近切点”时，线段和劣弧组成的区域（不包括边界）与直线l有交点； 如图2-1所示，当点R恰好在直线l上时， ∵直线l经过点，且与x轴垂直， ∴点R的横坐标为4， ∴ ∵， ∴点R的纵坐标为2， ∴， 由切线长定理可得； 设， ∵， ∴， 解得或， ∴； 如图2-2所示，当点R在直线l右侧时，此时线段和劣弧组成的区域（不包括边界）与直线l一定有交点， ∴此时满足题意，即时满足题意， 又∵“近切点”在劣弧上， ∴， ∴； （2）解：如图3-1所示，设是（半径为3）的切线， 则由（1）可知，线段与劣弧组成的区域（不包含边界）内的点都是关于的“近切点”， ∴随着弦在上运动时，线段与劣弧组成的区域（不包含边界）也随着运动， ∴关于的“近切点”是以T为圆心，半径分别为3和的长的两个圆组成的圆环（不包括边界）， ∵对于上任意一点S，都存在的长为t的弦，满足点S是关于的“近切点”， ∴当（半径为3）移动时，能够整个放进以T为圆心，半径分别为3和的长的两个圆组成的圆环（不包括边界）内部， 如图3-2所示，当恰好与（半径为3）相切，切点为的中点L时，且点D恰好在圆环的外圆上时， 由切线的性质可得，由三线合一定理可得， ∴T、L、D三点共线； ∵，，． ∴， ∴， ∴； 由切线的性质可得， 由切线长定理可得， ∴， 又∵， ∴垂直平分， 设与交于点S，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵是（半径为3）内的一条弦， ∴， ∴，即． 5．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点S和线段，给出如下定义：若将线段关于点S中心对称，可以得到的一条弦，且线段的中点M到点O的距离，则称线段是的“附属线段”． (1)如图1，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，的“附属线段”是_________，其中_________． (2)已知点，若存在长度为的线段是的“附属线段”，直接写出t的取值范围； (3)已知，若在线段上存在不同的两点，使得线段既是的“附属线段”，又是的“附属线段”，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）分别画出线段绕旋转后的线段为，线段绕旋转后的线段为，线段绕旋转后的线段为，再结合新定义与勾股定理可得答案； （2）弦绕旋转得到线段，弦的中点Q的对应点为的中点M，连接，作点关于点的对称点，连接，可证明，，取得最小值时，有最小值；取得最大值时，有最大值，接着可通过勾股定理求得，在以点为圆心，半径为的圆上运动，那么当点落在轴的正半轴时，取得最小值；当点落在轴的负半轴时，取得最大值，然后进一步求解即可； （3）绕点旋转后得到的弦，绕点旋转后得到的弦，其中，弦的中点为，弦的中点为，的中点为，连接，设交于点，可证，，，是的中位线，接着利用三角形相似，可得，，那么当取最小值时，取得最小值；当取最大值时，取得最大值，结合图形，可知当时，取最小值，当与重合时，取最大值，然后进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，线段绕S旋转后的线段为，线段绕S旋转后的线段为，线段绕S旋转后的线段为， ∴的“附属线段”是， ∵， ∴线段的中点， ∴； （2）解：如图，弦绕旋转得到线段，弦的中点Q的对应点为的中点M，连接，作点关于点的对称点，连接， ∵，， ∴是的中位线， ∴，， ∴取得最小值时，有最小值；取得最大值时，有最大值； ∵存在长度为的线段是的“附属线段”， ∴，， ∴M在以O为圆心，半径为2的圆上运动， 如图所示： ∵是的中点，不是直径，， ∴， ∴， ∴在直线与直线之间运动， ∵和关于中心对称， ∴M也在直线与直线之间运动， ∵， ∴在以点为圆心，半径为的圆上运动， 如图所示： ∴当点落在轴的正半轴时，取得最小值，最小值，此时取得最小值；当点落在轴的负半轴时，取得最大值，最大值，此时取得最小值，如图所示： 综上，若存在长度为的线段AB是的“附属线段”，t的取值范围； （3）解：如图：绕点旋转后得到的弦，绕点旋转后得到的弦，其中，弦的中点为，弦的中点为，的中点为，连接，设交于点， ∴， ∵是的中点，是的中点，都不是直径， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可求得， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴当取最小值时，取得最小值；当取最大值时，取得最大值， ∵，线段上存在不同的两点， ∴当时，取最小值，当与重合时，取最大值， 如图，， ∵，， ∴， ， ∴的最小值为，即的最小值为； 如图，与重合时，记与轴的交点为，过点作交线段于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为，即的最大值为； 综上，． 6．在平面直角坐标系中，存在圆心为，半径为的，点为上的任意一点，线段绕点逆时针旋转得到线段，如果点在线段上，那么称点为的“限距点”． (1)当的半径为时， ①在点，，中，的“限距点”为______； ②如果直线上存在一条长度为的线段，使得该线段上任意一点均为的“限距点”，求的取值范围； (2)的圆心为，半径为，如果上不存在的“限距点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①与；②或 (2)或或 【分析】（1）①将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、、、、，容易证明，则为定值，则点在以点为圆心，为半径的圆上，因此点的所在区域是由和分割成的两个不规则图形，观察点、、是否在区域内即可； ②分类讨论，先研究的情况，直线若与左边区域相交，则与相切时，刚好满足要求；直线若与右边区域相交，过点时也恰好符合，设直线交于点、，计算时，的值，结合图形求出的取值范围．当时，利用对称性得出结论，再把两个结果合并起来； （2）根据题意与阴影区域无公共点，分类讨论，当时，分别计算与内切和外切的情况，利用圆心距等于半径之和或之差求出的值，结合图形判断的范围；当时，容易判断此时与无公共点，符合题意，从而得出最终结果． 【详解】（1）解：①由题意可知，，则， 当时，如图，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、、、、， 由旋转的性质可知，，，， ∴和都是等腰直角三角形，点的坐标为， ∴， ∴，即， 在直角中，， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图， ∵点在线段上， ∴点在图中阴影部分， 由图可知，点不在阴影部分内，故不是的“限距点”； ∵，， ∴点，都在上， ∴点与点是的“限距点”； 当时，由对称性可知，点在如图所示的阴影部分中， 由图可知，此时点也不是的“限距点”； 综上所述，点与点是的“限距点”； ②当时，设直线交轴于点，交轴于点， （ⅰ）当直线与左边的阴影区域相交时，如图，设直线交于点、， 当时， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 将，，分别代入，计算得点，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即轴，此时点在轴上， ∴点的坐标为，点的坐标为，此时线段上的点都是的“限距点”，符合题意， 将代入，得， 由图可知，此时无论直线向上平移还是向下平移，直线上都不存在长为的线段落在左边的阴影区域， ∴； （ⅱ）当直线与右边的阴影区域相交时，设直线交于点、， 当直线过点时，如图， 将点代入，得， ∵的半径为， ∴，此时线段都在阴影部分， ∴线段上的点都是的“限距点”，符合题意； 由图可知，若直线继续向上平移，则直线上不存在长为的线段落在右边的阴影区域， ∴； 当时，如图，作于点，过点作轴，交直线于点， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∵轴， ∴， 在直角中，， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 由图可知，若直线继续向下平移，则直线上不存在长为的线段落在右边的阴影区域， ∴， ∴或； 当时，由对称性可知，的取值范围为或； 综上所述，的取值范围为或； （2）解：由题意可知，与对应的阴影区域无交点， ①当，且与内切时，如图，设切点为， 同理（1）可知，点的坐标为，的半径为， 由勾股定理可得，， 又∵， ∴， 解得， ∴当时，会包含在空白区域，符合题意； ②当，且与外切时，如图，设切点为， 此时， ∴， 解得， ∴当时，与阴影区域无公共点，符合题意； ③当时， 此时点的坐标为，的半径为， ∵， ∴， ∴与阴影区域无公共点，符合题意； 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查新定义，相似三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 7．对于定点与，为上的动点，若存在点，使得，则称点是点对于定点关于的“关联点”，在平面直角坐标系中，已知的半径为，点的坐标为． (1)已知点为上的动点． ①在三个点，，中，___________（填“”、“”或“”）为点对于定点关于的“关联点”； ②试判断在直线上是否存在点对于定点关于的“关联点”，并说明理由； (2)若为上的动点，点是点对于定点关于的“关联点”，直接写出点纵坐标的最大值． 【答案】(1)①和；②不存在，理由见解析 (2) 【分析】（1）①对于，取点，经过计算可得，符合题意；对于，取点，同理可得符合题意；对于，过点作的两条切线，切点分别为，，结合三角函数和切线的性质可得，由于点在内部，因此圆上不存在点满足； ②设点为直线任意一点，过点作的两条切线，切点分别为，，连接，，，利用三角函数可得随的增大而减小，因此当与直线垂直时，即最大，计算可得此时，而点在内部，即恒成立，故不存在； （2）设的中点为，点的坐标为，由可得，点在以为直径的圆上，因此当轴时，点的纵坐标最大，经过计算此时，结合可得，则．设，则，利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：①对于，如图，取点， 由勾股定理可得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，符合题意， ∴点是点对于定点关于的“关联点”； 对于，如图，过点作的两条切线，切点分别为，， 由勾股定理可得， ∵与相切， ∴， 在中，， ∴， 同理， ∴， ∵点在内部， ∴，， ∴上不存在点满足， ∴点不是点对于定点关于的“关联点”； 对于，如图，取点， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，符合题意， ∴点是点对于定点关于的“关联点”； 综上所述，答案为和； ②如图，点为直线任意一点，过点作的两条切线，切点分别为，，连接，，， ∵、与相切， ∴， 由切线的定义可知，上的点都在边上或者内部， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴随的增大而减小， 又∵垂线段最短， ∴当与直线互相垂直时，最大，即最大， 如图，设直线交轴于点，交轴于点，且， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴对于直线上任意一点都有，当且仅当时，取得最大值， 又∵当时，点在内部， ∴恒成立，即上不存在点满足， ∴直线上不存在点对于定点关于的“关联点”； （2）解：如图，设的中点为，点的坐标为， ∵点是点对于定点关于的“关联点”， ∴， ∴点在以为直径，圆心为的圆上， ∴当轴时，点的纵坐标最大， ∵，， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得， ∴， ∴点的纵坐标最大为， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，符合题意， ∴点纵坐标的最大值为． 【点睛】本题考查圆与新定义，涉及切线的性质定理，三角函数的应用，二次函数的最值，利用勾股定理计算两点距离等知识点，运用逆向思维是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点，点在线段的延长线上，若点，点为点的“对应点”． 在图中画出点； 连接，交线段于点．求证：； (2)的半径为，是上一点，点在线段上，且，若为外．点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析；见解析； (2)长的最大值与最小值的差为． 【分析】（）先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点的坐标； 延长至点，连接，利用证明，得到，再计算出，，，即可求出； （）连接并延长至，使，延长至，使，结合对称的性质得出为的中位线，推出，得出，则． 【详解】（1）解：点如下图所示． ∵点， ∴点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点的对称点为，， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点，在坐标系内找出该点即可； 证明：如图延长至点，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 连接并延长至，使，延长至，使， ∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点的对称点为， ∴， 又∵， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 结合题意，，， ∴， 即长的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查了点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，根据题意，画出点和点的轨迹是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，已知及外一点P，若上存在点A，点B和点T，使得点A，B关于直线的对称点，与点P共线，则称点P为的“对称点”，直线为关于点T的“弦称线”，线段为关于点T的“弦称弦”． 的半径为2，点P为的“对称点”． (1)若点，直线为的“弦称线”，则k的取值可能是___________； ①； ②； ③． (2)直线是关于点的弦称线，则“弦称弦”的最大值是___________； (3)直线与x轴，y轴分别交于点M，点N．线段上存在点S，若经过点S的所有直线都是的“弦称线”，则b的取值范围是___________． 【答案】(1)①② (2) (3)且 【分析】（1）根据“弦称线”的定义，结合圆的对称性质，判断不同k值的直线是否满足条件； （2）利用对称关系和圆的弦长公式，求出“弦称弦”的最大值； （3）根据“弦称线”的性质，确定点S的位置范围，进而得出b的取值范围． 【详解】（1）解：由定义可知，上的弦关于对称得到， ∴当与相切时为极限位置， 如图，将沿着对称得到，为的弦，同理将沿着对称得到，为的弦， 此时当与相切时，k取得最大值，与相切时，k取得最小值， 当时，将代入得：，解得， ∴与有交点，，则是的“弦称线”， 当时，将代入得：，解得， ∴与有交点，，则是的“弦称线”， 当时，将代入得：，解得， ∴此时已超出，与相离， ∴k的取值不可能是2，即不是的“弦称线”． （2）解：由定义可知，直线是关于点的弦称线， 则点P，，在直线上， 如图，作出直线，与x轴，y轴分别交点F，H，过点T作，，过点O作， 当时，则有，解得， ∴，即， 当时，则有， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 由定义知，是对称轴， ∴， 要使有最大值，则需使有最大值，即有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， 即“弦称弦”的最大值为． （3）解：如图，将O关于对称得到， ∵点O到的距离， ∴， ∴所有可能的覆盖区域为以O为圆心，为半径的圆内， 又∵点S为线段上任意一点，且经过点S的所有直线都是的“弦称线”， ∴过点S的所有直线都需与以O为圆心，半径为6的圆相交， ∴点S必须在以O为圆心，半径为6的圆内部， ∴线段上所有点S满足， ∵线段在直线上，且与x轴，y轴分别交点M，N， ∴，， ∴，即， 又∵需要有交点M，N， ∴， 综上所述，b的取值范围是且． 10．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于外的点P和弦，给出如下定义：若弦上存在一点Q，使，则称点P是弦关于的关联点，如果点C为上一点，则称是弦关于的“关联角”． (1)， ①，，中，点________是弦关于的“关联点”； ②若是弦关于的“关联角”，，当最大时，则________； (2)直线与x轴，y轴分别交于点E，F，弦关于的“关联角”，若线段上存在“关联点P”，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①；②2 (2)或 【分析】（1）①先作出与直线平行的边界直线，判断点是否在两条平行线之间及直线上，且在外，从而确定“关联点”；②作平行于且距离为的直线，当与相切时，最大，利用勾股定理求解； （2）根据“关联角”，确定点的轨迹，再结合直线与该轨迹有交点，求解的取值范围． 【详解】（1）①如图，由题意知，分别作直线和， 在两条直线之间及直线上，且在外的点是弦关于的“关联点”， 此时点符合题意， 是弦关于的“关联点”； ②如图，作平行于且距离为的直线，， 要使最大，则点在上角度会更大， 在上任取一点，作，且， 此时当与相切时，有最大， ，， 过点作， ， 当点往方向运动时，点也会随之向左运动， 此时的值减小，的值增大，的值增大， 的值在减小， 当点落在时，最小，此时最小， 最大， 设，则， 关于点对称， ， ，， 在中，由勾股定理得，； （2）解：如图，设是垂直于轴的弦， 分别过点、作轴与轴交点，， 此时若点在上，可无限接近于， 则当最大时，与相切， 当点无限接近于时，的最大值超过， 点越靠近时，相切状态的的值会越大， 当点落在点时，， 此时越大时，的值越小， ， 如图，延长交轴于点， 此时， ， 在中，， ， ， 当越大时，点到轴距离越大， 当时，，此时， 点的轨迹即满足， 如图，作以点为圆心，为半径的， 当过点，时，； 过点，时，， 当与半径为的相切时，， 的取值范围是或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03新定义函数压轴题 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01一次函数与圆综合 题型02一次函数与四边形综合 题型03一次函数与三角形综合 题型04一次函数与角综合 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、一次函数与圆综合的解题方法： 1理解定义，翻译条件，把新定义“翻译”成熟悉的位置关系。 2.分析轨迹，确定图形，动点通常伴随着固定的轨迹（如直线、圆或圆弧)。 3动静结合，卡准边界，这是最关键的一步，核心是找到“临界状态”。 二、一次函数与四边形综合的解题方法： 1.画图与定性，先在坐标系中画出一次函数的图象和已知的四边形顶点，判断四边形的可能形状（平行四 边形、矩形、菱形、正方形或梯形)。图形直观是避免漏解的第一步。 2.表示关键元素 3.建立方程求解 根据四边形的判定条件（如平行四边形需要对角线互相平分），列出方程组求解参数。 4.验证与取舍，检查共线，排除三点共线的退化情况。检查顺序，确保顶点按顺序连接后形成的是凸四边 形。检查范围，若动点有范围限制（如在线段上），需验证解是否在范围内。 三、一次函数与三角形综合的解题方法： 1.几何条件翻译成代数 2.建立代数方程或函数关系。 3.多解检验，一次函数题常隐含两种情况（点在直线哪一侧、三角形顶点顺序等），需分类讨论。 四、一次函数与角综合的解题方法： 处理这类问题，遵循“找角一→定弧→转化”的三步流程。 1.标记已知角：在图上标出所有己知角度，特别注意直径、切点、垂径分出的特殊角（如90°）。 1/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2.定理转化：根据图形特征，选择合适的定理转化角。 3.建立方程：利用三角形内角和、外角定理、相似三角形比例等列出方程求解。 压轴题型专练 模块二 题型01一次函数与圆综合 1.对于线段PQ和T,给出如下定义：若平移线段PQ可以得到T的一条弦P'Q'（点P,Q分别为点 P,Q的对应点)，线段PP'的长度的最大值为k,则称点Q为点P关于T的“k平移点”，称k为点P关于 T的“Q-最远平移距离”，在平面直角坐标系xOy中， B3 BB 0 ----1B ()如图所示，已知点A-1,⑤)，⊙0的半径为1，那么点B(-2,0)是点A关于00的一个“√5-平移点”. ①在点B,(-1,0),B,-1,,B,(0,5,B, 15 22/中，点 是点A关于⊙0的“√5-平移点”； ②若线段AC=1,则点A关于00的“C最远平移距离k的最小值是 ,最大值是 (2)已知点T(,0)(t≤1)，T的半径为2.点P,Q是以点K(1,1-t)为圆心，2为半径的0K上距离为2的 任意两点，若点P关于T的Q-最远平移距离”k的取值范围均满足2≤k≤4+2√5，则t的取值范围是： 2.在平面直角坐标系x0y中，⊙0的半径为1.对于⊙0外一点P和⊙0给出如下定义：过点P作⊙0的两 条切线，切点为M,N,若⊙O上或其内部存在一点Q,，使四边形PMQN是菱形，则称点P是⊙0的“切菱 点”.特别地，当四边形PMQN是矩形时，称点P是O0的“切矩点”. 0图，在点P122,A0A-中，90的切菱点是 ⊙0的“切矩点”是 2/18 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 M P (2)已知点P是直线y=-√3x+2上一点，且点P是O0的“切菱点”，则点P的纵坐标的最小值为 (3)已知直线y=-V3x+m(m>0)上存在两个不同点S,T,使a0ST为含有30内角的直角三角形，且△0ST 的斜边上（含端点)存在⊙0的“切菱点”，但不存在⊙0的切矩点”，直接写出m的取值范围 3.在平面直角坐标系x0y中，⊙0的半径为1.对于两点A和B,其中点A在⊙0上.给出如下定义：若 线段AB的垂直平分线与⊙O相交，且两交点之间的距离为d,则称点B是点A的“d关联点”. B B1● B 图1 备用图 (1)如图1，点A-1,0). ①在点B,-1,2),B20,3,B(1,2)中，点 是点A的“d关联点”，其中 ②若点C是点A的“1关联点”，则点C的横坐标的最大值为 ； (②)直线y=x+1(t>1)与x轴，y轴分别交于点M,N.对于线段MN上任意一点P,都存在⊙0上的点Q, 使得点P是点Q的“t关联点”，直接写出t的取值范围， 4.在平面直角坐标系xOy中，⊙0的半径为1，点P是⊙0外一点，给出如下定义：过点P作00的两条 切线，切点分别为A,B(A与B不重合)，若点C是线段AB中点，则称点C为点P关于OO的“中切点” (1)已知点P是直线x=2上一点， ①在点o0o,c,2,c[50,c[4 中，是点P关于⊙0的“中切点”的是 ②若直线y= 2x+b上存在点P关于⊙0的中切点”，直接写出b的取值范围 3 11 (2)已知点S 2’2 ⊙S的半径为好，点M是直线x=1上一点，1>0，若⊙S上存在点M关于00的中切 3/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 点”，直接写出t的取值范围 5.在平面直角坐标系x0y中，⊙0半径为1，A,B是00上不重合的两点，点K是⊙0内或⊙0上一点（不 与A,B重合)，点P,Q分别在线段KA,KB上，如果存在点M使MP=MQ,∠MPQ=∠AKB(M,P,Q逆 时针排列)，则称点M是线段PQ关于点K的关联点”. 珠 3 2 34下 2 34 (1)已知点K(1,0),A(0,1),B(-1,0),点P与点A重合，Q是线段AB中点.在 以(》M,0》M巾，是线段0关于点K的关联点的是 (2)若∠AKB=60°，点M是线段P?关于点K的“关联点”， ①若点A 2'2 点M所形成区域的面积为 ②若KA=KB,线段MA+MB的取值范围是 ●)类题点拨 1.直线旋转（斜率变化）求与圆有公共点→利用相切d=r 2.圆上存在点满足到直线距离为定值→圆心距区间[d-r,d+r] 3.线段（在直线上滑动）与圆有交点→端点代入或整体距离 4.新定义“关联点”结合对称、旋转一转化为点轨迹圆，再与已知圆位置关系。 题型02一次函数与四边形综合 6.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(0,2),直线1过点(a,0)且垂直于x轴，点M关于直线1的对称点为 4/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 点M',对于坐标平面内的点N和图形W做如下定义：若W上存在点P使△MPN是以P为直角顶点的等腰 直角三角形，则称点N是M关于I和图形W的“对垂点”. 己知正方形ABCD的顶点A1,1,B(-1,1,C(-1,-1),D(1,-1· (1)若a=2,下列点中， (填序号)点是M关于I和A的“对垂点” ①(2，-2)②(5，-1③(3,5)④(0,4) (2)若a=2,以点(0，)为圆心，2为半径的圆上存在N是M关于I和线段AB的对垂点”，则t的取值范围 是 (3)直线y=1上存在两个M关于1和正方形ABCD的“对垂点”，则☑的取值范围是 M B 7.在平面直角坐标系xOy中，对于封闭图形M,若存在两条平行直线和马使得图形M被分为面积相等的 三个部分，则称直线和Z为图形M的一组“三分平行线”，且称直线L和间的距离为图形M的一个“三分 距离”，记为d(M,4-1). 如图，点A(0,3),B(6,3: A O (I)若图形M为正方形ABCD,其中点C在第四象限， ①已知直线l:y=kx和l2:y=kx+b(b<0)是正方形ABCD的一组“三分平行线”，则k=-,b=-,此时对应 5/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 的三分距离”d(正方形为ABCD,-2)=_; ②直接写出正方形ABCD的“三分距离”d的取值范围：一： (②)若图形M为菱形ABEF(EF在AB上方)，点P为其边上的一点，若直线AP和直线L为菱形ABEF的一组 “三分平行线”，且其对应的三分距离”d(菱形ABEF,AP-I,)≥1，直接写出点P纵坐标y取值范围 8.在平面直角坐标系x0y中，对于点P(x,y),给出如下定义：当点Q(x2,y2)满足x,=y,时，称点Q 是点P的等积点.己知点P(1,2). y个 5 -4h 备用图 (1)在2(2,1，Q2-4,-1,Q(8,2)中，点P的等积点是_ (2)点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标 (3)已知点B1,)和点M(5,m),点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意 一点，对于线段BV上的每一点A,在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值 范围. 9.在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P,给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部 或∠P的边上，称∠P的最小值为点P对图形Q的可视度0，此时点P为图形Q的可视点. % ●M3 M 。M2 1 -2-10 1 3 -4-3-1-1Q 1p345 BL 0已知点N(2.0.在点M,0号5M,M,2)中，对线段ov的可视度a=60的点是 (2)已知：点A(-2,2),B(-2,-2),C(2,-2,D(2,2).直线y=x+b上存在点F,使得点F对四边形ABCD的 可视度a=45°，求b的取值范围； 6/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ③)已知点T:,0,圆T的半径为1，若直线y=-5x+5(上存在长为1的线段MN,使得MN上所有点都 是圆T的可视点P,且点P对于圆T的可视度a满足60°≤a≤90°，直接写出t的取值范围. 10.在平面直角坐标系xOy中，对于图形P给出如下定义：图形P绕点M(a,b)顺时针旋转90°得到图形记 为图形Q,对于图形Q上任意一点(x,y(x≠a,存在实数k满足kx-@-y-b=0,则称满足条件的k的 最大值为图形P关于点M的“旋转最大值” 4 1 5-4-3-2-1012345x 5-4-3-2-1012345 -2 -2 -5 -5 图1 备用图 (1)若M为原点，B(0,3,C(2,5),线段BC绕点M顺时针旋转90°的图形记为线段B'C'. ①在图1中画出线段B'C; ②直接写出线段BC关于点M的旋转最大值”： (2)若M为原点，B(m,3),C(m+2,5),0≤m≤2，直接写出线段BC关于点M的“旋转最大值”是 (3)若M为(t,,图形P是顺次连接E(t-2,1),F(t-2,-1),G(t+2,-1,H(t+2,1所组成的四边形，图 形P关于点M的“旋转最大值”不超过√3，则t的取值范围是 类题点拨 1平行四边形，核心是利用“对角线互相平分“列式。 2矩形，在平行四边形的基础上，增加一个直角条件。用邻边垂直或对角线长度相等来列方程。后者往往计 算量更小。 3菱形，在平行四边形的基础上，增加一组邻边相等。用距离公式直接列式。如果涉及动点，利用对角线垂 直且互相平分的性质会简化计算。 7/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 4正方形，是矩形和菱形的结合，需要同时满足“直角”和“邻边相等”，按优先级高的条件列式即可。 题型03一次函数与三角形综合 11.在平面直角坐标系xOy中，对于点A,直线1（点A不在1上）和⊙0，给出如下定义：若点A关于直 线I的对称点A在⊙O上，则称点A是⊙0关于直线1的映像点，称线段AA'的长度为点A与⊙O的映像距离. (1)如图，⊙0的半径为1，直线l:y=x+2, @在点4-22,4-1引 A(-2,中，点是⊙0关于直线的映像点，该点与⊙0的映像距离 为； ②点B是O0关于直线的映像点，当点B与⊙0的映像距离最小时，点B的坐标为 (2)已知点E(-2,-1,F(2,-1,点D在y轴的正半轴上且aDEF为等边三角形.点T(1,2),T的半径为1.若 △DEF上存在T关于直线l,:y=(k+1)x-2k的映像点，直接写出t的取值范围. 12.在平面直角坐标系xOy中，对于⊙Q和⊙Q外一点P,给出如下定义：若⊙Q的一条弦MN绕点P旋转 a得到的线段仍然是⊙Q的一条弦，则称点P是⊙Q的a-旋称点”，此时的MN是⊙Q关于点P的一条“α 旋称弦”. 4日 34 ·P2 3 P ●P 3 3-2-10123元 P -2 图1 图2 (1)如图1，⊙0的半径为2. ①在点P(-1,2),B(1,3),P(5,V5),P(2,-2中，00的90°-旋称点可以是 ②弦AB的长为2，AB∥y轴.若AB是O0关于点C的“90°-旋称弦”，直接写出点C的坐标； 8/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (②)如图2，A-2,0),B(2,0),C2,2V5.若点A,B,C都是⊙Q的“60°旋称点”，且ABC的边上存 在⊙Q关于点A,B,C的“60°-旋称弦”，直接写出点Q的坐标，和⊙Q的半径r的取值范围. 13.在平面直角坐标系xOy中，对于点P、Q和图形M,将图形M沿射线OQ方向平移，平移距离为线段 O0的长，得到图形M'.若点P在图形M'上，则称点P为图形M关于点Q的“位移点” 如图，点A2,0)、B(0,2). y个 8 7 6 3 2[8 1 -8-7-6-5-4-3-2-1012345678 3 -4 (1)若00半径为1， ①在P1,0)、 中，⊙0关于点A的位移点”是 ②若在线段AB上存在一点C,使得点P为OO关于点C的“位移点”，直接写出OP的长的取值范围： (2)已知点T(t,0),T半径为1，点E在T上，点P为线段AB关于点E的位移点”.点S(2,6),⊙S半径 为√2，点D在⊙S上.若存在点D,P,使aODP为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出t的取 值范围. 14.对于点C和给定的00，给出如下定义：若00上存在点B,使点C绕点B旋转90°的对应点A在⊙0 上，此时ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，则称点C为⊙O的等直顶点”.若O是坐标原点， ⊙0的半径为2 B (1)在点P(0,0),Q(2,0),R(5,0),S2V2,0中，可以作为00的等直顶点"的是： (2)若点P为⊙0的“等直顶点”，且点P在直线y=x上，直接写出点P的横坐标xp的取值范围； 9/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (3)设OC的圆心C在x轴上，半径为2，若直线y=x上存在点D,使得半径为1的⊙D上存在点P是oC的 “等直顶点”，直接写出圆心C的横坐标x的取值范围， (4)直线y= +4分别和两坐标轴交于E,F两点，若线段F上的所有点均为00的等直顶点”，直接写出 4 ⊙0的半径的最小值 15.在平面直角坐标系xOy中，将中心为M的等边三角形记作等边三角形M,对于等边三角形M和点P(不 与O重合)给出如下定义：若等边三角形M的边上存在点N,使得直线OP与以MN为半径的⊙M相切于 点P,则称点P为等边三角形M的“相关切点”. y 3 2 P 1 4320 4元 P -4 (①如图，等边三角形M的顶点分别为点O(0,0),A3,√3)，B3,-5) ①在点P ￡(2,2)中，等边三角形M的相关切点”是-： ②若直线y=x+b上存在等边三角形M的“相关切点”，求b的取值范围： (2)己知点M(m,m-2),等边三角形M的边长为2√3.若存在等边三角形M的两个“相关切点”E,F,使 得△OEF为等边三角形，直接写出m的取值范围. ●)类题点拨 1.等腰/直角三角形存在性：设点坐标→列距离/垂直方程 2.面积最值：用含参表示面积→二次函数最值 3.动点与折叠：中点+垂直平分线。 题型04一次函数与角综合 16.在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M,N,对于 10/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P,Q,都有∠PAQ≤∠MAN,则称点A是⊙C的关联点，称 ∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度.（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，⊙O的半径为1. ①在点4 A(2,0)中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点 与⊙O的关联角度为 ②点B(1,m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD,BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最 小值为 (2)已知点E(1,3),F(4,3),T(t,0),0T经过原点，线段EF上所有的点都是0T的关联点，记这些点与0T的 关联角度的最大值为a,若90°≤a≤180°，直接写出t的取值范围. 17.在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q的内部（含角的边），这时 我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角.如图1，矩形ABCD,作射线OA,OB,则称∠AOB为矩形ABCD 的视角. y 4 3 2 4-3-2101234 101234 101234 -1 -1 -2 图1 图2 备用图 (1)如图1，矩形ABCD,A(-√5,1)，B(V5,1),C(√5,3)，D(-√，3)，直接写出视角∠AOB 的度数； (2)在(1)的条件下，在射线CB上有一点Q,使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°，求点Q的坐标 (3)如图2，⊙P的半径为1，点P(1,√3)，点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°，若Q(a, 0),求a的取值范围。 18.在平面直角坐标系xOy中，C为平面上一点，AB为T上的一条弦.若点C绕AB的中点旋转 a(0°<a≤180)与T重合，则称点C是弦AB关于T的“a关联点”.己知O0的半径为2. 11/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B .C3 C "C (1)如图，点A2,0),B(0,2). ①在点C(N2-1,,C,(V2+1,,C1,2)中，弦AB关于00的Q关联点为，其中a=°； ②已知点D是⊙0劣弧AB上的一个动点，点C为弦AD关于⊙O的60关联点，直接写出点C纵坐标y的 取值范围； Q②已知MW为00上的弦，且AN-号，T经过点M和点P.若有车a10<a<90使得 ∠PMN=90°+a,且在∠PMN的内部存在一个点既是MP关于T的a关联点又是MN关于⊙0的180°-α 关联点，直接写出T半径r的取值范围. 19.在平面直角坐标系xOy中，O0的半径为1，对于O0的弦AB和点C,给出如下定义：若ABC是直 角三角形，称点C是弦AB的“关联点”。 (1)如图，已知点A(-1,0),B(0,-1),在点0(0,0)，C(1,1),C2(1,2)中，是弦AB的“关联点”的是 C2 3 B ②已知00的直径4的关联点C在y锥上，&4么C有一边与00相切，设点4(，，当-x≤时 直接写出点C的纵坐标y的取值范围： (3)点E,F在O0上，EF⊥y轴，EF=t,已知点M(L,O),N(0,2),若线段MN上存在一点P是⊙0的弦 EF的“关联点”，且∠EPF=90°，直接写出t的取值范围. 20.在平面直角坐标系x0y中，⊙0的半径为2，对于O0外的点P和弦MN,给出如下定义：若弦MN上 存在一点Q,使PQ⊥MW,则称点P是弦MW关于O0的关联点，如果点C为⊙O上一点，则称∠CPQ是 弦MN关于O0的“关联角”. 12/18 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y个 4 3 2 5-4-3-2-012345 -5-4-3-2-1012345x -2 -3 -3 -4 -4 5水 -5 备用图 (1)A0,2),B2,0 ①P(3,0),P2(-2,-2),P(4,2)中，点是弦AB关于00的“关联点”： ②若∠CPQ是弦AB关于O0的“关联角”，PQ=3V2,当∠CPQ最大时，则CP=; (2)直线y=-x+b与x轴，y轴分别交于点E,F,弦AB关于O0的“关联角”∠CPQ=60°，若线段EF上存在 “关联点P”,直接写出b的取值范围 ●)类题点拨 技巧1：遇“弧”想"心”，遇"弦”想“垂”，同弧所对圆周角相等：看到圆上多个点连成的角，先找它 们是否对着同一段弧。直径对直角：看到三角形一边是直径，立即标记该边对角为90°。圆心角是圆周角的 2倍：当出现圆心与圆周上的点连线时，优先找倍数关系。垂径定理：弦的中点与圆心连线，垂直于该弦； 反之亦然。用来求长度或证明垂直。 技巧2：遇”切线”想“垂直”与“弦切角”，半径垂直切线：看到切线，立即连接切点与圆心，得到90° 角。弦切角等于所夹弧对的圆周角：这是圆的题目中非常高频的转化技巧。例如，弦切角∠PAB等于弧AB 所对的圆周角∠ACB。 技巧3：遇“内接四边形”想“对角互补”，圆内接四边形的对角互补（和为180），外角等于内对角。 当看到四个点都在圆上且需要求角时，优先尝试这个性质。 综合实战演练 模块三 1.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,@,B(3,4),OB的半径为1，线段PQ的长度为1，将线段P9绕点 A逆时针旋转90°，得到线段MN,若线段MN与OB有公共点，则称线段PQ为点A的旋转线段，并称AM 13/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ,AN的较小值为线段PQ关于点A的旋转距离，记为d. (1)如图，a=3. ●B 3 1 ①点C0,0),D1,0),C22,0),D23,0,C3-2,0),D-1,0,在线段CD,C,D2,CD3中，点A的 旋转线段为 ②点C(b,0）, Db+31 2’2 若线段CD为点A的旋转线段，直接写出b的取值范围： (2)已知线段CD平行于x轴，中点为a-3,a-3),若线段CD为点A的旋转线段，直接写出a的取值范围及 d的最大值， 2.在平面直角坐标系x0y中，⊙0的半径为2，P、Q为O0外两点，且PQ=2,如果在圆上存在A、B两 点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则线段PQ上的任意点M都称为⊙O关于AB的菱形点， (①)当P坐标为0,23)时，在下列点中，⊙0的菱形点可能是 M(4,25,M2,25,M-l,25) (2)直线1为y=2, ①如果直线1上的点C(,2)是⊙0的菱形点，则t的取值范围是 ②若直线1上存在线段EF,且EF上的所有点（不包括端点）都是OO关于某一线段AB的菱形点，则EF的 最大长度为 ,此时A的纵坐标为 3.在平面直角坐标系x0y中，⊙0的半径为1，对于⊙0的弦AB和⊙0外的一点C,给出如下定义：若直 线CA,CB中一条垂直弦AB,另一条是OO的切线，则称点C为弦AB的“垂联点”. 14/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 0a图1，在ac25-小G.c-9点小中数食重联是一 ②如图2，若点C为弦AB2的“垂联点”，直接写出0C的长； (2)已知点M(0,3), N/ 6 5,0, 对于线段MN上一点S,存在⊙O的弦PQ,使得点S为弦P的“垂联点”， 设PQ的长为d,当点S在线段MN上运动时，直接写出d的取值范围， 4.在平面直角坐标系xOy中，对于0P的弦AB（非直径)和圆外一点Q,给出如下定义：若弦AB所对的 劣弧上存在两点M、N(且不与A、B重合)，使直线QM、QN与OP相切，则称点Q是OP关于AB的“近 切点”.已知A-2,0),B(0,2,D(2,0),E(0,-2). 3 1 5-4-3-2-L,012345 -2 -4 -5 (1)若00的半径为2， ①在点P(-3,0),P(-2,1),P-√2，-V5),P-V2,5中，00关于AB的近切点”是 ②直线1经过点(4,0)，且与x轴垂直，点C在00上.若直线1上存在⊙0关于BC的“近切点”，记点C的 纵坐标为m,直接写出m的取值范围； (2)若存在半径为3的T,使得对于△DEB上任意一点S,都存在T的长为t的弦FG,满足点S是T关 于FG的“近切点”，直接写出t的取值范围. 5.在平面直角坐标系xOy中，⊙0的半径为1，对于点S和线段AB,给出如下定义：若将线段AB关于点 S中心对称，可以得到OO的一条弦，且线段AB的中点M到点O的距离OM=d,则称线段AB是⊙O的 “S-d附属线段”. 15/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 3 A2 B2 3 2 2 A B -4-3-2-0 2 34 4 3 -2- O 1 2 34 2 2 3 -4 -4 备用图 (1)如图1，点S,A,B,A2,B2,A,B,的横、纵坐标都是整数.在线段A,B,A,B2,A,B,中，⊙0的“S-d附属线 段”是 其中d= (2)已知点S(t,0)t>0),若存在长度为√2的线段AB是⊙0的“S-2附属线段”，直接写出t的取值范围： ⑧记知P20QQ24=。若线酸m上有车不同的两点品，使有线段8既是80的 S,-d附属线段”，又是O0的“S2-d附属线段”，直接写出d的取值范围. 6.在平面直角坐标系x0y中，存在圆心为(0，a),半径为d的oW,点P为⊙W上的任意一点，线段PO绕 点P逆时针旋转90°得到线段PO',如果点M在线段PO'上，那么称点M为⊙W的“限距点”. (1)当⊙W的半径为2时， ①在点A4,0),B1,2),C(0,4)中，⊙W的限距点”为： ②如果直线y=x+b上存在一条长度为2√2的线段，使得该线段上任意一点均为⊙W的“限距点”，求b的取 值范围； (2)0G的圆心为(0,4)，半径为√2，如果0G上不存在⊙W的“限距点”，直接写出a的取值范围， 7.对于定点M与⊙C,N为⊙C上的动点，若存在点A,使得∠MAN=a,则称点A是点N对于定点M关 于⊙C的“0-关联点”，在平面直角坐标系x0y中，已知⊙0的半径为2，点P的坐标为(0,2). (1)已知点E为00上的动点. ①在三个点F25,0),F22,22),F-1-5,1+5中， (填“E”、“F”或“F”)为点E 对于定点P关于00的“60°-关联点”： ②试判断在直线y=-x+4V2上是否存在点E对于定点P关于O0的“60°-关联点”，并说明理由； (2)若Q为⊙0上的动点，点B是点Q对于定点P关于00的“90°-关联点”，直接写出点B纵坐标的最大值. 8.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b,N,对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左 (a<0)平移a个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移b个单位长度，得到点P,点P关于点N的 16/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 对称点为Q,称点Q为点P的对应点”. (1)如图，点M(1,1),点N在线段0M的延长线上，若点P(-2,0),点0为点P的“对应点”. VA ①在图中画出点Q: M ②连接PO,交线段ON于点T,求证：NT=二OM; (2)00的半径为√2，M是⊙0上一点，点N在线段0M上，且ON= 若P为00外.点， 点Q为点P的“对应点”，连接PO.当点M在⊙0上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示). 9.在平面直角坐标系xOy中，已知O0及⊙0外一点P,若⊙0上存在点A,点B和点T,使得点A,B关 于直线PT的对称点A,B与点P共线，则称点P为⊙0的对称点”，直线A'B为O0关于点T的“弦称线”， 线段AB为O0关于点T的“弦称弦”. ⊙0的半径为2，点P为⊙0的“对称点”. 5 4 4 3 2 5-4-3-2-g才2345 5-4-3-2-0才2345 2 -2 -3 -3 -4 -4H -5 -5 各用图 (I)若点P(-6,0),直线y=x+b为⊙0的“弦称线”，则k的取值可能是 ①k=-1; ②k-9: ③k=2. 17/18 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)直线y=√3x+8是⊙0关于点T(0,2)的弦称线，则“弦称弦的最大值是 (3)直线y=x+b与x轴，y轴分别交于点M,点N.线段MN上存在点S,若经过点S的所有直线都是⊙0的 “弦称线”，则b的取值范围是 10.在平面直角坐标系xOy中，⊙0的半径为1，对于O0外的点P和弦MN,给出如下定义：若弦MN上 存在一点Q,使PQ⊥MN,则称点P是弦MN关于O0的关联点，如果点C为O0上一点，则称∠CPQ是 弦MN关于⊙0的“关联角”. (1)A(0,1),B(1,0) ①P(2,0),P(-2,-2),P(2,1)中，点 是弦AB关于O0的“关联点”； ②若∠CPQ是弦AB关于⊙0的“关联角”，PQ=2√2，当∠CPQ最大时，则CP= (②)直线y=-x+b与x轴，y轴分别交于点E,F,弦AB关于O0的“关联角”∠CPQ=45°，若线段EF上存在 “关联点P”,直接写出b的取值范围. 18/18