专题01 几何证明压轴题（4大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(北京专用)

**基本信息** 以“方法总述—题型专练—实战演练”构建系统训练体系，聚焦几何证明压轴题核心方法，通过步骤化解题策略培养推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法总述|/|旋转构造法、中点处理法、轨迹识别等|从基础方法到综合策略，构建“条件—模型—转化”逻辑链| |探究数量关系|5题|手拉手模型、倍长中线、X/A型相似|以旋转、中点为核心，训练线段转移与关系推导| |最值问题|5题|将军饮马、阿氏圆、垂线段最短|基于轨迹分析，培养动态几何中的转化与计算能力| |含相似证明|5题|标角定形、倒角倒边、中间比过渡|强化相似判定与比例线段的推理应用| |三角函数综合|5题|直角三角形设参、构造垂线、相似转化|融合三角函数与几何证明，提升综合解题能力| |综合实战演练|10题|截长补短、勾股建模等综合策略|整合多元方法，训练复杂情境下的问题解决能力|

专题01 几何证明压轴题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 探究数量关系 题型02 最值问题 题型03 含相似的几何证明 题型04 几何证明与三角函数综合 模块三、综合实战演练 1、 探究数量关系的解题方法： 1旋转构造法（应对旋转条件）：当题干出现“旋转”，大概率是要用“手拉手”模型。通过连接对应点，构造全等或相似三角形，实现线段的转移。 2中点处理法（应对中点条件）：看到“中点”，立马联想“倍长中线”、“中位线”或“斜边中线”。目的是构造平行四边形或利用中位线转移线段的二倍关系。 3平行线策略（应对相等或比例）：有平行线时，可以灵活构造“X型”或“A型”相似（即“八字形”或“金字塔形”），建立比例关系，或者利用平行转移角度。 2、 最值问题的解题方法： 1. 识别轨迹：动点 P 是在一条直线上，还是在一个圆上？ · 直线上 → 优先考虑将军饮马或胡不归。 · 圆上 → 优先考虑阿氏圆或辅助圆。 2. 找定长：题目中哪些线段长度是固定不变的？这往往是转化的桥梁。 3. 作转化：对称、构造三角函数或构造相似，把待求的折线段“拉直”或转为垂线段。 4. 算最值：计算两点间距离或点到直线的距离。 三、含相似的几何证明的解题方法： 第1步：标条件，找定角 把已知相等的角标上相同记号（如弧线）。 注意“隐身的等角”：对顶角、公共角、外角、余角补角、旋转前后的角等。 第2步：找目标三角形 结论是线段积→ 转化为比例式 → 找含这四条边的两个三角形 结论是线段比 → 直接找三角形。 第3步：倒角或倒边 倒角：利用内角和、外角、等腰、旋转、平行等推出等角。 倒边：若三角形不相似，找中间比过渡（利用中点、平行线分线段成比例）。 第4步：写过程 ·先证一对角相等。再证一对角相等（或夹角两边对应成比例）。 最后下结论。 四、几何证明与三角函数综合的解题方法： 1. 直角三角形 + 已知三角函数值，立即在相应直角三角形中设未知数（如对边k、邻边2k），用勾股定理求第三边。 2. 构造直角三角形 ，非直角三角形中出现已知角的三角函数值 。从顶点作垂线，构造直角三角形，将已知角或相等的角放入其中。 3. 相似 + 三角函数转化 ，两个相似三角形都有直角三角形 。通过相似得到比例关系，结合三角函数值求解。 题型01 探究数量关系 1．如图，在中，，，D为的中点，过点D作，交于点E，点F在线段上，且，连接． (1)求证：平分； (2)连接，将射线绕点F顺时针旋转，交的延长线于点G． ①依题意补全图形； ②用等式表示，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）由中点的定义结合已知条件可得，利用等边对等角可得，再说明可得，则即可证明结论； （2）①按要求完成作图即可；②如图：连接并延长交于点H．先说明，利用勾股定理可得，再说明，利用平行线分线段成比例可得，易得是的中位线可得．再说明可得，再利用线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵点D为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴平分． （2）解：①如图即为所求； ②数量关系：．证明如下： 如图：连接并延长交于点H． ∵点D为的中点，， ∴，． 又∵平分，， ∴， ∴． ∴． 在中，根据勾股定理，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴，则． ∵，，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∵， ∴． 2．在中，，D是的中点，E为边上一动点（不与点A，C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，交射线于点G． (1)如图1，当时，比较与的大小；用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系． 【答案】(1)，；证明见解析 (2)图见解析， 【详解】（1）解：，，理由如下： 证明：如图，在线段上取点P，使得，连接． ∵D是中点，， ∴． ∴． ∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，． 在四边形中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：补全图形，如图． ，理由如下： 证明：如图，在AE延长线上取一点P，使得AE=EP，连接BP， ∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，， ∴， ∴． 在四边形中，，， ∴． ∵， ∴． ∵D是中点，， ∴， ∴， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∵D是中点，， ∴， ∵，， ∴，即． 【点睛】本题考查了中位线性质，勾股定理以及全等三角形的证明，其中构造中位线从而证明相关三角形全等是解题的关键． 3．在正方形中，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过B作交于点G，连接． (1)如图1，求证：； (2)当时，依题意补全图2，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解答过程； (2)补全图形见解析；，理由见解答过程． 【分析】（1），得到，由绕点A逆时针旋转α得到线段，得到，，由正方形性质得到，得到； （2）按照题意补全图形即可，在上取，连接交于M，交于P，连接，，利用、、证明A、H、M、B共圆，从而可得，，再证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：补全图2如下：    线段，，理由如下： 在上取，连接交于M，交于P，连接，，如图：    ∵正方形， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴∠DAN+∠AHB＝90°， ∴， ∴， 由（1）知， 且， ∴， ∴， 而，， ∴， ∴， ∴A、H、M、B共圆， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质，圆周角定理，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将转化为． 4．已知正方形和一动点E，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当点E在正方形内部时， ①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，当点E在正方形外部时，连接，取中点M，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②证明，根据全等三角形对应边相等得出结果即可； （2）连接、，延长，使，连接，延长交于点G，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：①依题意补全图1，如图所示： ②∵四边形为正方形， ∴，， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 连接、，延长，使，连接，延长交于点G，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，   ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的 关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 5．如图，，，过点C作直线，点D，E是直线上的动点（D在E的右侧）且满足，连接，的平分线与射线交于点F，与射线交于点G． (1)如图1，当点C在线段上，且时，若，求线段的长； (2)如图2，当点D在点C左侧时， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①补全图形见解析；②证明见解析． 【分析】（1）先求证明四边形是平行四边形，可得 证明 可得 再求出，从而可得答案； （2）①根据题干要求画好图形即可，②过A作于 交于 交于 证明四边形是菱形，四边形是平行四边形，可得 再证明 再证明 可得 利用 从而可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴； （2）解：①图形如下图所示，    ②理由如下： 如下图所示，过A作于 交于 交于    平分 由（1）得：    四边形是菱形， 四边形是平行四边形， 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键． 1截长补短：线段和差首选。在长边截取一段等于短边，再证剩余部分等于另一短边；或将短边延长至与长边相等。2 旋转集中：共顶点等线段时，旋转一个三角形可构造全等，将分散的边角集中到同一个三角形。 3勾股建模：出现平方和或直接问线段平方关系，立刻联想过某点作垂线构造直角三角形。4 从特殊到一般：动点问题先从特殊位置（中点、端点）猜结论，再推广到一般情况。 题型02最值问题 6．如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段EF，DF，BE之间的数量关系，并证明； （3）连接CE，若AB＝2，请直接写出线段CE长度的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）EF＝DF+BE，证明见解析；（3）CE的最小值为． 【分析】（1）依题意补全图形； （2）过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M，可证四边形AEFM是矩形，由“AAS”可证△AEB≌△AMD，可得BE＝DM，AE＝AM，可证矩形AEFM是正方形，可得EF＝MF，可得结论； （3）取AB中点O，连接OC，由勾股定理可求OC＝5，由点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，可得当点E在OC上时，CE有最小值，即可求解． 【详解】解：（1）依题意补全图形，如图， （2）线段EF，DF，BE的数量关系为：EF＝DF+BE， 理由如下：如图，过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M， ∵∠M＝∠F＝∠AEF＝90°， ∴四边形AEFM是矩形， ∴∠DAE+∠MAD＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAE+∠DAE＝90°，AB＝AD， ∴∠BAE＝∠MAD． 又∵∠AEB＝∠M＝90°， ∴△AEB≌△AMD（AAS） ∴BE＝DM，AE＝AM， ∴矩形AEFM是正方形， ∴EF＝MF， ∵MF＝DF+DM， ∴EF＝DF+BE； （3）如图，取AB中点O，连接OC， ∵AB＝2 ∴OB＝， ∴OC＝＝5， ∵∠AEB＝90°， ∴点E在以O为圆心，OB为半径的圆上， ∴当点E在OC上时，CE有最小值， ∴CE的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，确定点E的运动轨迹是本题的关键． 7．如图1，P是正方形边上一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点F，连接．    (1)补全图形，求的大小； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)连接，G是的中点，，若点P从点B运动到点C，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）补全图形如图1，由线段与关于直线对称，可知，，则，，根据，计算求解即可； （2）如图2，连接，，连接交于，由对称的性质可得，，，，则 ，，是等腰直角三角形，，，，由，证明，则，计算求解即可； （3）如图3，连接，，交点为，则，，是的中位线，，由题意知，在以为圆心，以2为半径的的圆上运动，则在以为圆心，以1为半径的的圆上运动，如图3，当三点共线时，最大， 根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图1，    ∵线段与关于直线对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为； （2）解：，证明如下： 如图2，连接，，连接交于，    由对称的性质可得，，，， ∴ ，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：如图3，连接，，交点为，    由正方形的性质可得，，为的中点， ∴，， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意知，在以为圆心，以2为半径的的圆上运动， ∴在以为圆心，以1为半径的的圆上运动，如图3， ∴当三点共线时，最大， ∴， ∴最大值为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，中位线，圆，余弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8．已知在中，，，点为射线上一点（与点不重合），过点作于点，且（点与点在射线同侧），连接，． （1）如图1，当点在线段上时，请直接写出的度数． （2）当点在线段的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）在（1）的条件下，与相交于点，若，直接写出的最大值． 【答案】（1）；（2）补全图形，如图所示，见解析；结论成立．证明见解析；（3）的最大值为1． 【分析】（1）先判断出，进而得出，即可判断出是等腰直角三角形； （2）直接根据题意画出图形，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出PC最大，即可得出AP最小，利用点到直线的距离最小，得出时，AP最小，最后利用等腰直角三角形的性质即可得出结论. 【详解】（1）如图1， 连接， ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． （2）补全图形，如图2所示， 结论成立． 证明： 如图，连接， ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．   又∵， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴．   （3）由（1）知，是等腰直角三角形， ∵， ∴， 当最小时，最大， 即：时，最小， ∵， ∴， 在中，， ∴． 即：的最大值为1． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，极值的确定，解本题的关键是构造全等三角形，判断出是等腰直角三角形是等腰直角三角形，是一道中等难度的中考常考题. 9．已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E． (1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时， ①求证：CE +DE =AD； ②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明； (2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长． 【答案】(1)①见解析；②补全图形见解析；线段DF，BE，DE的数量关系为．证明见解析； (2) 【分析】（1）①根据ASA证明△ABD ≌ △BCE，推出AD=BE，BD=CE，由此得到．       ②利用同角的余角相等推出∠ABD=∠DAF．利用三角形外角性质推出∠HED=∠ADF．进而证明△ADF ≌ △BEA．得到DF=AE．利用勾股定理证得，由此得到．          （2）当直线l在∠ABC外部时，由（1）知△ABD ≌ △BCE．得到DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，推出AB2=，根据函数的性质解答 【详解】（1）①证明： ∵ ∠ABC=90°， ∴ ∠ABD+∠CBD=90°． ∵ CE⊥l， ∴ ∠CEB=90°． ∴ ∠CBD+∠C=90°． ∴ ∠ABD=∠C．                                      ∵ AD⊥l， ∴ ∠ADB=90°=∠CEB． ∵ AB=BC， ∴ △ABD ≌ △BCE． ∴ AD=BE，BD=CE． ∵ ， ∴ ．                                    ②补全图形如图： 线段DF，BE，DE的数量关系为．        证明如下： ∵ AF∥BC， ∴ ∠BAF+∠ABC=180°． ∵ ∠ABC=90°， ∴ ∠BAF=90°． ∴ ∠BAD+∠DAF=90°． ∵ AD⊥l， ∴ ∠ADB=90°． ∴ ∠BAD+∠ABD=90°． ∴ ∠ABD=∠DAF． ∵ DF⊥AE于H， ∴ ∠DHE=90°． ∴ ∠HDE+∠HED=90°． ∵ ∠ADE=∠ADF+∠HDE=90°， ∴ ∠HED=∠ADF． ∵ 由（1）中全等，有AD=BE， ∴ △ADF ≌ △BEA． ∴ DF=AE． ∵ 在中，， ∴ ． （2）当直线l在∠ABC外部时， 由（1）知△ABD ≌ △BCE． ∴ AD=BE，BD=CE， ∴DE=DB+BE=DB+AD， 设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x， ∴ = = ∴当x=时，AB2有最小值，即AB=． 故当DE取最大值3时，AB为 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，熟记全等三角形的判定与性质定理是解题的关键． 10．在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点（可与点，重合），边关于对称的线段为，连接． (1)如图1若，依题意补全图形，此时__________°． (2)如图2依题意补全图后，延长，交射线于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若，面积的最大值是__________，此时的长是__________． 【答案】(1)补全图形见详解，90． (2)①证明见详解，②， 【分析】（1）根据题意画出图形，由对称的性质得到，再由即可求得答案； （2）①连接，过点B作于点H，设，由，可得A、E、B、F四点共圆，得出，推出，再根据解直角三角形即可得出答案；②由题意可得点G在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点O作于H，交优弧于点，连接，当时，即点G位于点时，的面积最大，利用解直角三角形可得面积最大值；过点E作于K，则，，，，得出，再由，即可求得． 【详解】（1）解：补全图形如图所示∶ ∵，， ∴， ∵边关于对称的线段为， ∴， ∴， 故答案为：90． （2）①， 理由如下：如图，连接，过点B作于点H， ∵边关于对称的线段为， ∴，，， 设， ∵， ∴A、E、B、F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ． ， 即， ∴， ∵， ∴， ②由①知：， ∵， ∴点G在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点O作于H，交优弧于点，连接， 当时，即点G位于点时，底边上的高最大，故的面积最大， ∵， ∴，即垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴, ∴， ∴， ∴面积最大值是． 此时，点E的位置如图所示，过点E作于K， 则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查对称的性质、四点共圆、同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是熟练对称的性质以及圆与三角形的结合，应用的变化的思维寻找最值． 1. 确定运动轨迹：先明确动点是怎么运动的。常见的有： · 直线型：点在某线段或直线上滑动。 · 圆弧型：一个点绕固定点旋转，它的路径就是圆（或圆弧）。 2. 明确目标线段：想清楚要求的是哪条线段的最值，以及它的两个端点谁是动点、谁是定点。 3. 转化或构造：将目标线段与一个已知定长或特殊位置（如垂线段最短、点圆距离、三点共线）联系起来。 4. 计算求解：在确定的最优位置，利用勾股定理、相似或三角函数算出最终长度。 题型03 含相似几何证明 11．如图，在中，，点D在线段上，E在线段上，连接和交于点． (1)求的度数； (2)作点B关于直线的对称点G，连接，取的中点M． ①依题意补全图形 ②连接，猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，由三角形外角的性质即可得到答案； （2）①根据题意作图即可；②过点B，G，M分别作直线的垂线，垂足分别为，可证明，得到，，证明是等腰直角三角形，推出；证明，得到，，求出，由勾股定理得，即． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： 如图所示，过点B，G，M分别作直线的垂线，垂足分别为， ∴，； 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵点M为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 12．如图，在中，，（），是边延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作的垂线，垂足为． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)补全图形见解析，，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，由直角三角形的性质得，整理可得； （2）根据作已知线段垂直平分线的方法作出线段的垂直平分线，连接，将绕点A顺时针旋转至，连接，证明点M，D，C，B共线，求出，延长交于点N，作于点K，于点L，连接，则四边形是矩形，可得，由平行线分线段成比例定理得，从而可证，进而得出，证明，，得出，从而．结合可证，从而，整理可得． 【详解】（1）解：． 证明：∵将线段绕点逆时针旋转， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，即为所求作的线段的垂直平分线，． 证明：连接，将绕点A顺时针旋转至，连接，则，， ∴， ∵， ∴点M，D，C，B共线， ∴， ∴． 延长交于点N，作于点K，于点L，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 13．在中，，，过点C的直线l与的夹角为，绕点A顺时针旋转后所在的直线与直线l相交于点D，过点B作⊥直线l于点E． (1)如图1，当时， ①依题意补全图形； ②______；和的数量关系为_______； (2)当，如图2的位置时，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①画图见解析，②，； (2)，证明见解析 【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②证明，可得，，结合，，，再进一步求解即可. （2）如图，过作于，证明，可得，证明，可得，进一步解答即可. 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 同理可得：，， ∴. （2）解：，理由如下：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 14．如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接．       (1)依题意补全图形； (2)猜想的度数（用含α的式子表示），并证明． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、三角形中位线定理及三角函数的应用， （1）根据题意补全图形即可； （2）连接，过M作于点H，先证明，再证明得出，证明得出，通过三角函数证明． 【详解】（1）补全图形如下： （2）， 证明：连接， 过M作于点H， 在中，，F为中点， ∴， 在中，，G为中点， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点F为中点，M为中点， ，   ∵点G为中点，M为中点， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 15．在△中，，，是上的动点(不与点 重合)，且，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接． (1)依题意补全图形； (2)直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查作图旋转变换，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． （1）根据要求作出图形； （2）证明，可得． 【详解】（1）解：依题意补全图形，如图． ； （2）解：结论：． 理由：过点作于点，设，交于点． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1. 先找“确定”的角：公共角、对顶角、已知等角（由旋转/平行得到）往往是突破口。用铅笔标出所有相等角，相似三角形通常就“浮出水面”了。 2. 利用旋转造相似：共顶点且相等的线段（如旋转产生的对应边），常能构造出“手拉手”相似模型。例如，将三角形绕顶点旋转后，新图形与原图形中隐含着一对相似三角形。 3. 借助中间比例：直接证明相似困难时，通过等量代换找到比例关系。有时需要引入两个中间相似比来传递。 题型04 几何证明与三角函数综合 16．如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．    (1)求的值； (2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)．见解析 【分析】（1）证和相似得，由点为的中点及得，设，，则，，进而得，由此可得的值； （2）先证为等腰直角三角形得，，再由得，则，设，由（1）可知，，，则，，进而可求出，，再证和相似得，即，由此得，据此可得和的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 又， ， ， 即， 点为的中点，， ， ， ， 设，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ； （2）解：补全图形如下图所示，，证明如下：   ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 设， 由（1）可知：，，， ， ， 在中，，，则， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 17．在中，已知，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，若，求的值： (2)如图2，当时，点为中点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①图形见详解②，理由见详解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的三角函数比，三角形中位线性质定理，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质和作辅助线． （1）过点作于点，构造直角三角形，根据条件得出，再利用勾股定理和直角三角形的三角函数比即可求得结果； （2）①根据题意画出图形； ②延长到，使，连接，根据条件得出是等边三角形，再得出，根据全等三角形的性质得出平分，在上截取，连接则是等边三角形，根据条件再证明，最后根据等量代换得出． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 由旋转可得， 又∵， ， ∴是等腰三角形， ， ， ， 在和中， ， 假设，则，根据勾股定理得， ∴； （2）解：①补全图形如图所示 ② ，理由如下： 如图，延长到，使，连接， 是的中点 ， 是的中位线， ， 由题意知， ， ， ， 是等边三角形， ，， 又 ， ， 在四边形中，， 如图，作于，作交延长线于，则， 又， ， 在和中 ， 又， ， 平分， ， 在上截取，连接则是等边三角形， ，， 由是等边三角形得，， ， 在和中 ， ，， ． 18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF． （1）依题意补全图1； （2）若DM＝1，求线段EF的长； （3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）1或． 【分析】（1）根据题意作出图形便可， （2）连接BM，先证明△ADM≌△ABF，再证明△FAE≌△MAB，求得BM，便可得EF； （3）设DM＝x（x＞0），求出AE、AF、EF，当△AEF为等腰三角形，分两种情况：AE＝EF或AF＝EF，列出方程求出x的值，进而求得最后结果． 【详解】解：（1）根据题意作图如下： （2）连接BM，如图2， ∵点D与点E关于AM所在直线对称， ∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°， ∵BF＝DM， ∴△ADM≌△ABF（SAS）， ∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD， ∴∠FAB＝∠NAE， ∴∠FAE＝∠MAB， ∴△FAE≌△MAB（SAS）， ∴EF＝BM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝3， ∵DM＝1， ∴CM＝2， ∴BM＝， ∴EF＝； （3）设DM＝x（x＞0），则CM＝3﹣x， ∴EF＝BM＝， ∵AE＝AD＝3，AF＝AM＝， ∴AF＞AE， ∴当△AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE＝EF，或AF＝EF， ①当AE＝EF时，有＝3，解得x＝3 ∴tan∠DAM＝； ②当AF＝EF时，＝，解得，x＝， ∴tan∠DAM＝， 综上，tan∠DAM的值为1或． 故答案为：tan∠DAM的值为1或． 【点睛】本题是正方形的综合题，涉及正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解三角形等知识，以及分类思想和方程思想，关键是证明三角形全等． 19．如图1，中，，点为线段上一点，的平分线交于点，将线段绕点顺时针旋转，与射线交于点． (1)求证：； (2)若，如图2，连接，连接交射线于点． ①补全图形； ②判断与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】对于（1），根据等腰三角形的性质得，进而说明，再根据“角角边”证明，则结论可得； 对于（2），先画出图形；在线段上取一点，使得，连接，先说明是等边三角形，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，然后根据“边角边”证明，可得，然后根据锐角三角函数可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 在和中，， ． 平分， ． 在和中， ． ； （2）解：①如图， ②判断：． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ． 是的垂直平分线． ． ， 是等边三角形． ∴ ， ． ． ． 在中，， ， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正切，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20．如图，，，点D是延长线上一点，连接，点E和点B关于直线对称，连接交于点F，连接．    (1)依题意补全图形，并求的度数； (2)用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图见解析， (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意补全图形，连接，根据等腰直角三角形的性质及轴对称的性质，全等三角形的判定和性质求解即可； （2）根据轴对称的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示：    连接， ∵， ∴ ∵点E和点B关于直线对称 ∴ ∵ ∴， ∴ ；    （2），证明如下： ∵点E、B关于直线对称 ∴，设垂足为H 则 ∵      ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即． 【点睛】题目主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． ·模型一：已知特殊角 ·直接利用特殊角的三角函数值，表示边长比例，简化计算。 模型二：已知三角函数值 将该角放入直角三角形中，对边与邻边比例即为已知值，通常设为 k 表示两边长。 模型三：旋转+三角函数旋转角已知时，在旋转产生的等腰三角形中作高，利用顶角三角函数求底边或腰长。 1．如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； (2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，图见解析； (2)，理由见解析，图见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系． （1）当点D与点B重合时，是等腰三角形，等边对等角， 可求的度数，可求的度数． （2）在的延长线上截取连接，以点B为圆心为半径作弧，交于点N，连接， 证明可得即可得到和的等量关系． 【详解】（1）解：补全图形见图： ∵点与点重合， ， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：补全图形如图： ，理由如下： 如图， 在的延长线上截取， 连接，以点为圆心为半径作弧，交于点， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在等腰中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．已知：中，，直线上取一点D，连接，线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接交直线于G． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当D在边上的时候的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是_________(填＞，＝，＜中选一个)． (2)当D在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2， ①并在你补全的图2中找出与相等的角___________________________ ②在图2中探索(1)中小捷的猜想是否成立，若成立证明你的结论，若不成立，请你说明理由； (3)如图3，当D在边的反向延长线上时，直接写出的数量关系(用等式表示)． 【答案】(1)= (2) (3) 【分析】（1）过作于点E，证明，推出，得到，再证明，得到； （2）①根据已知补图即可，根据余角性质得到，，即可推出；②过作，交延长线于点H，证明，得到，再证明，得到； （3）过作，交延长线于点M，证明，得到，，推出，过点C作，交的延长线于N，得到四边形是矩形，推出，，根据勾股定理得到，进而推出． 【详解】（1）解：， 如图1，过作于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：=； （2）①补图如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②成立，即， 证明：过作，交延长线于点H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （3）如图，过作，交延长线于点M， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴， 过点C作，交的延长线于N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键． 3．如图，在中，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． (1)根据题意补全图形，并证明； (2)过点作直线的垂线，垂足为，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）利用旋转的性质，通过“同角减去公共角”证明两角相等； （2）通过两次证明全等和等腰三角形三线合一的性质，完成线段的等量代换，然后证明倍数关系． 【详解】（1）解：补全的图形如图所示： 证明：线段绕点顺时针旋转得到线段，， ， ， 即． （2）解：． 证明：如图，连接，作交的延长线于点． 根据题意可知，由（1）知， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 4．如图，等腰中，，，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段．连接与相交于点． (1)如图1，当时， ①依题意补全图形， ②证明； (2)如图，当时，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见详解；②证明见详解 (2)，理由见详解 【分析】核心考查图形的旋转与全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点． （1）①依题意补全图形即可． ②根据旋转角和角都是，以及同角的余角相等，得到． （2）在上截取，连接，分别过点，作，，垂足分别为，首先证明，继而证明，得到对应边和对应角相等，再证明，得到对应边相等，从而得证，得到． 【详解】（1）解：①如图，依题意补全图形； ②当时，旋转角， ， ， ； （2）解：，理由如下： 在上截取，连接，分别过点，作，，垂足分别为， ，， ∴， ， 又， ∴在和中， ， ， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 5．如图，在中，，，D是的中点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，线段交于E，连接，点F与点H关于直线对称，射线交于M． (1)补全图形，并求的大小； (2)用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析， (2)，见解析 【分析】（1）连接，先用表示出，根据旋转的性质推出是等边三角形，进而推出，，则可用表示出、，再根据即可求解； （2）连接、，先根据对称的性质得出，，进而可得，是等边三角形，再根据、得垂直平分，求出，得，即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如下： ∵在中，，， ∴， 连接， ∵将线段绕点B顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，连接、， ∵点F与点H关于直线对称， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵在中，，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，，，（），是的中点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点． (1)①依题意补全图形； ②求证：； (2)连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②根据题意得出，，，再由直角三角形两锐角互余即可证明； （2）延长至点H，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）①解：如图，即为所求； ； ②证明：连接， ∵，，是的中点， ∴，， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明如下： 延长至点H，使得，连接，如图所示： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，，是边上一点．为的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，连接． (1)依题意补全图形； (2)若点N是的中点，连接和，猜想线段与的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，证明见解析 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，，根据中位线定理可得，，，，可得、和都是等腰直角三角形，继而得到、和都是等腰直角三角形，证明，可得，，，从而得到，延长，，相交于点，证得，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由旋转得，． 如图所示，延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，， 、、分别是、、的中点， ，， ，， ，，， 且， 和都是等腰直角三角形， ∴， ，， ，，是的中点， ，， ， ， 、和都是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ，，， ， 延长，，相交于点， 在中，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， ，， ， 线段与的数量关系是，位置关系是． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，需要通过构造辅助线，利用以上知识来证明线段与的数量关系和位置关系． 8．如图，在中，，，是边上的高，点E是边上的一动点（不与点A，B重合），连接交于点F，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当是的角平分线时， ①求证：； ②直接写出_______°． (2)依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②45； (2)图见解析，，证明见解析． 【分析】（1）①利用等腰直角三角形，再由角平分线的定义得．然后由三角形外角性质得，，从而得，即可由等角对等边得出结论； ②过点C作于点C，交的延长线于点M．则，即可得，再证明．即可得． （2）过点C作于点C，交的延长线于点M．由可证得．则．再证明，得，即可由．得出结论． 【详解】（1）①证明：∵在中，，， ∴， ∵是边上的高， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵，． ∴． ∴． ②过点C作于点C，交的延长线于点M． ∵ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：依题意补全图形． 数量关系：． 证明：过点C作于点C，交的延长线于点M． ∵ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 9．在中，为上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． (1)如图1，若点在线段上，求证：； (2)如图2，若，点关于点的对称点为点，连接． ①依题意补全图2； ②直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据旋转得出，证明，根据等腰三角形判定得出，即可得出答案； （2）①先作出对称点F，再连接即可； ②，连接，取的中点，连接，证明，得出，证明．得出四点在以点为圆心，为半径的圆上．根据圆内接四边形性质 ．根据，求出结果即可． 【详解】（1）证明：线段绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ． ， ， ． （2）解：①补全图形如图： ②． 证明：如图，连接，取的中点，连接． 点关于点的对称点为， ． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 在中，， ． ． 四点在以点为圆心，为半径的圆上． ． ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，圆内接四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 10．如图，在中，，，D是的中点，E是的中点，连接．若射线与的夹角为，过点作交射线于点F． (1)①依题意补全图形；②求证：； (2)连接，，判断线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2)，证明见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质； （1）①根据题意补全图，即可求解；②连接，由等腰三角形的性质得，结合直角三角形的特征，即可得证； （2）延长至，使得，连接、，由线段垂直平分线的性质得 ，由可判定，由全等三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证； 掌握等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图， ②连接， ，，D是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：； 证明：延长至，使得，连接、， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 是的中点， ， 在和中， ， （）， ， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 几何证明压轴题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 探究数量关系 题型02 最值问题 题型03 含相似的几何证明 题型04 几何证明与三角函数综合 模块三、综合实战演练 1、 探究数量关系的解题方法： 1旋转构造法（应对旋转条件）：当题干出现“旋转”，大概率是要用“手拉手”模型。通过连接对应点，构造全等或相似三角形，实现线段的转移。 2中点处理法（应对中点条件）：看到“中点”，立马联想“倍长中线”、“中位线”或“斜边中线”。目的是构造平行四边形或利用中位线转移线段的二倍关系。 3平行线策略（应对相等或比例）：有平行线时，可以灵活构造“X型”或“A型”相似（即“八字形”或“金字塔形”），建立比例关系，或者利用平行转移角度。 2、 最值问题的解题方法： 1. 识别轨迹：动点 P 是在一条直线上，还是在一个圆上？ · 直线上 → 优先考虑将军饮马或胡不归。 · 圆上 → 优先考虑阿氏圆或辅助圆。 2. 找定长：题目中哪些线段长度是固定不变的？这往往是转化的桥梁。 3. 作转化：对称、构造三角函数或构造相似，把待求的折线段“拉直”或转为垂线段。 4. 算最值：计算两点间距离或点到直线的距离。 三、含相似的几何证明的解题方法： 第1步：标条件，找定角 把已知相等的角标上相同记号（如弧线）。 注意“隐身的等角”：对顶角、公共角、外角、余角补角、旋转前后的角等。 第2步：找目标三角形 结论是线段积→ 转化为比例式 → 找含这四条边的两个三角形 结论是线段比 → 直接找三角形。 第3步：倒角或倒边 倒角：利用内角和、外角、等腰、旋转、平行等推出等角。 倒边：若三角形不相似，找中间比过渡（利用中点、平行线分线段成比例）。 第4步：写过程 ·先证一对角相等。再证一对角相等（或夹角两边对应成比例）。 最后下结论。 四、几何证明与三角函数综合的解题方法： 1. 直角三角形 + 已知三角函数值，立即在相应直角三角形中设未知数（如对边k、邻边2k），用勾股定理求第三边。 2. 构造直角三角形 ，非直角三角形中出现已知角的三角函数值 。从顶点作垂线，构造直角三角形，将已知角或相等的角放入其中。 3. 相似 + 三角函数转化 ，两个相似三角形都有直角三角形 。通过相似得到比例关系，结合三角函数值求解。 题型01 探究数量关系 1．如图，在中，，，D为的中点，过点D作，交于点E，点F在线段上，且，连接． (1)求证：平分； (2)连接，将射线绕点F顺时针旋转，交的延长线于点G． ①依题意补全图形； ②用等式表示，与之间的数量关系，并证明． 2．在中，，D是的中点，E为边上一动点（不与点A，C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，交射线于点G． (1)如图1，当时，比较与的大小；用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系． 3．在正方形中，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过B作交于点G，连接． (1)如图1，求证：； (2)当时，依题意补全图2，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 4．已知正方形和一动点E，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当点E在正方形内部时， ①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，当点E在正方形外部时，连接，取中点M，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 5．如图，，，过点C作直线，点D，E是直线上的动点（D在E的右侧）且满足，连接，的平分线与射线交于点F，与射线交于点G． (1)如图1，当点C在线段上，且时，若，求线段的长； (2)如图2，当点D在点C左侧时， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 1截长补短：线段和差首选。在长边截取一段等于短边，再证剩余部分等于另一短边；或将短边延长至与长边相等。2 旋转集中：共顶点等线段时，旋转一个三角形可构造全等，将分散的边角集中到同一个三角形。 3勾股建模：出现平方和或直接问线段平方关系，立刻联想过某点作垂线构造直角三角形。4 从特殊到一般：动点问题先从特殊位置（中点、端点）猜结论，再推广到一般情况。 题型02最值问题 6．如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段EF，DF，BE之间的数量关系，并证明； （3）连接CE，若AB＝2，请直接写出线段CE长度的最小值． 7．如图1，P是正方形边上一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点F，连接．    (1)补全图形，求的大小； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)连接，G是的中点，，若点P从点B运动到点C，直接写出的最大值． 8．已知在中，，，点为射线上一点（与点不重合），过点作于点，且（点与点在射线同侧），连接，． （1）如图1，当点在线段上时，请直接写出的度数． （2）当点在线段的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）在（1）的条件下，与相交于点，若，直接写出的最大值． 9．已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E． (1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时， ①求证：CE +DE =AD； ②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明； (2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长． 10．在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点（可与点，重合），边关于对称的线段为，连接． (1)如图1若，依题意补全图形，此时__________°． (2)如图2依题意补全图后，延长，交射线于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若，面积的最大值是__________，此时的长是__________． 1. 确定运动轨迹：先明确动点是怎么运动的。常见的有： · 直线型：点在某线段或直线上滑动。 · 圆弧型：一个点绕固定点旋转，它的路径就是圆（或圆弧）。 2. 明确目标线段：想清楚要求的是哪条线段的最值，以及它的两个端点谁是动点、谁是定点。 3. 转化或构造：将目标线段与一个已知定长或特殊位置（如垂线段最短、点圆距离、三点共线）联系起来。 4. 计算求解：在确定的最优位置，利用勾股定理、相似或三角函数算出最终长度。 题型03 含相似几何证明 11．如图，在中，，点D在线段上，E在线段上，连接和交于点． (1)求的度数； (2)作点B关于直线的对称点G，连接，取的中点M． ①依题意补全图形 ②连接，猜想线段的数量关系，并证明． 12．如图，在中，，（），是边延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作的垂线，垂足为． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 13．在中，，，过点C的直线l与的夹角为，绕点A顺时针旋转后所在的直线与直线l相交于点D，过点B作⊥直线l于点E． (1)如图1，当时， ①依题意补全图形； ②______；和的数量关系为_______； (2)当，如图2的位置时，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． 14．如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接．       (1)依题意补全图形； (2)猜想的度数（用含α的式子表示），并证明． 15．在△中，，，是上的动点(不与点 重合)，且，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接． (1)依题意补全图形； (2)直接写出的大小，并证明． 1. 先找“确定”的角：公共角、对顶角、已知等角（由旋转/平行得到）往往是突破口。用铅笔标出所有相等角，相似三角形通常就“浮出水面”了。 2. 利用旋转造相似：共顶点且相等的线段（如旋转产生的对应边），常能构造出“手拉手”相似模型。例如，将三角形绕顶点旋转后，新图形与原图形中隐含着一对相似三角形。 3. 借助中间比例：直接证明相似困难时，通过等量代换找到比例关系。有时需要引入两个中间相似比来传递。 题型04 几何证明与三角函数综合 16．如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．    (1)求的值； (2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明． 17．在中，已知，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，若，求的值： (2)如图2，当时，点为中点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF． （1）依题意补全图1； （2）若DM＝1，求线段EF的长； （3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值． 19．如图1，中，，点为线段上一点，的平分线交于点，将线段绕点顺时针旋转，与射线交于点． (1)求证：； (2)若，如图2，连接，连接交射线于点． ①补全图形； ②判断与之间的数量关系，并证明． 20．如图，，，点D是延长线上一点，连接，点E和点B关于直线对称，连接交于点F，连接．    (1)依题意补全图形，并求的度数； (2)用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． ·模型一：已知特殊角 ·直接利用特殊角的三角函数值，表示边长比例，简化计算。 模型二：已知三角函数值 将该角放入直角三角形中，对边与邻边比例即为已知值，通常设为 k 表示两边长。 模型三：旋转+三角函数旋转角已知时，在旋转产生的等腰三角形中作高，利用顶角三角函数求底边或腰长。 1．如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； (2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2．已知：中，，直线上取一点D，连接，线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接交直线于G． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当D在边上的时候的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是_________(填＞，＝，＜中选一个)． (2)当D在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2， ①并在你补全的图2中找出与相等的角___________________________ ②在图2中探索(1)中小捷的猜想是否成立，若成立证明你的结论，若不成立，请你说明理由； (3)如图3，当D在边的反向延长线上时，直接写出的数量关系(用等式表示)． 3．如图，在中，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． (1)根据题意补全图形，并证明； (2)过点作直线的垂线，垂足为，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 4．如图，等腰中，，，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段．连接与相交于点． (1)如图1，当时， ①依题意补全图形， ②证明； (2)如图，当时，用等式表示和的数量关系，并证明． 5．如图，在中，，，D是的中点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，线段交于E，连接，点F与点H关于直线对称，射线交于M． (1)补全图形，并求的大小； (2)用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明． 6．如图，在中，，，（），是的中点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点． (1)①依题意补全图形； ②求证：； (2)连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 7．如图，在中，，，是边上一点．为的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，连接． (1)依题意补全图形； (2)若点N是的中点，连接和，猜想线段与的数量关系和位置关系，并证明． 8．如图，在中，，，是边上的高，点E是边上的一动点（不与点A，B重合），连接交于点F，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当是的角平分线时， ①求证：； ②直接写出_______°． (2)依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 9．在中，为上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． (1)如图1，若点在线段上，求证：； (2)如图2，若，点关于点的对称点为点，连接． ①依题意补全图2； ②直接写出的大小，并证明． 10．如图，在中，，，D是的中点，E是的中点，连接．若射线与的夹角为，过点作交射线于点F． (1)①依题意补全图形；②求证：； (2)连接，，判断线段，之间的数量关系，并证明． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $