专项09 圆中的证明与计算6大题型（大题专练）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专项09圆中的证明与计算 内容学航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 ☑ PART 命题解码•定方向 近五年广东中考，圆是必考核心内容，分值约10-15分。题型覆盖选择、填空、解答，解答题常位于第 22-24题中档位置。考查重点为圆周角定理、垂径定理、切线的判定与性质、弧长与扇形面积计算。常 与相似三角形、勾股定理、锐角三角函数深度融合，2022年考查圆内接四边形与等腰直角三角形综合， 2021年结合角平分线求直径。 #二、全国2026年命题趋势分析 2026年全国中考圆板块命题将延续“基础+应用+综合”格局，呈现三大趋势： *一是基础考查稳定*。选择题、填空题将重点考查垂径定理、圆周角定理、弧长与扇形面积、圆锥 侧面展开图等核心知识，难度中等，注重对基本概念的理解与运用。 *二是解答题注重切线综合*。切线的判定与性质仍是解答题热点，常与相似三角形、勾股定理、锐 角三角函数、平行四边形等知识融合，要求考生具备较强的几何推理和计算能力。圆中求线段长、角 度大小的计算题将成为中档题主力。 *三是创新题型涌现*。部分考区可能出现“作图+证明”综合题（如无刻度直尺在圆中作图），或将 圆与最值问题、动点轨迹问题结合。跨学科情境（如与物理光学、齿轮传动结合）的试题也值得关注。 #三、全国2026年预测 2026年中考，圆的切线与圆周角综合题仍是解答题热点，需熟练掌握切线的判定与性质。垂径定理与 勾股定理结合的求弦长问题必考。弧长与扇形面积计算以小题形式稳定出现。圆与相似三角形、三角 函数的融合题难度较大，可能出现在压轴题位置。备考应强化“连半径、作垂直、构造直角三角形” 的辅助线技巧。 1/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ☑PART 02 解题建模•通技法 >题型01利用圆的性质计算<《 折典例建模理✉ 1.(2026广东珠海·一模)如题图，AB是⊙O的直径，点C为⊙0上一点，CD平分∠ACB交⊙O于点 D,连接BD.若D=25,4C=25,求BC的长 研考点通技法✉ 1.活用垂径定理 过圆心作弦的垂线，得弦中点与弧中点。设半径R、弦心距d、半弦长a,有R=d+a2。已知其中两个 量可求第三个。 2.圆周角与圆心角互化 同弧所对圆周角是圆心角的一半，直径所对圆周角为90°。通过导角构造直角三角形，使用三角函数或勾 股定理解边长。 3.切线性质应用 切线与过切点的半径垂直。已知切线长t、半径，则圆心到切线点的距离为VP+r2。利用切线长定理 将等线段转化，列方程求未知量，注意检验点是否在圆上。 破类题提能力 1.(2026广东江门一模)综合应用：已知正方形ABCD,以BC为直径作⊙O,点E在射线DC上运动， 连接AE. 2/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B M E C C C 图1 图2 图3 (I)如图1，当BC=4,DE=3时，AE与⊙O相切于F,求EF. (2)如图2，当E运动到BC右侧，连接AE,BE交⊙O于点M, BE ①在E运动过程中，求4E的最小值： ②AE与BC交于点G,与CM相交于点K,顺时针旋转△GKC使得点C落在AG上的点H上，得△GTH, 当HT∥BC时，求tan∠BED 2.(2026广东东莞一模)如图，C,D两点在以AB为直径的半圆上，点O是半圆圆心，半圆O的半径 ∠C0D=90 为”， ,点E在CD上运动（不与点C,D重合），连接E,BE,分别交OC,OD于点 M,N. E D y O 0 O 图1 图2 图3 【问题发现】 1)如题图1，当∠40C=45°，且E是CD的中点时，试猜想OM+ON与r之间的数量关系，并说明理由。 【类比探究】 2如题图2，当40C=45°，且E不是CD的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由. 【拓展延伸】 (3)如题图3，若∠AOC=30°，r=3,OM=2,求ON的长. >题型02圆中的证明与计算<《 3/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 析典例建模翠 1. (2026广东东莞·一模)如图，在⊙O中，点A、B、C、D为圆周的四等分点，AE为切线，连接ED, 并延长交⊙O于点F,连接BF交AC于点G. G B E (I)求证：AD平分∠CAE: (2)求证：△ADE≌△ABG 研考点通技法✉ 1.利用垂径定理 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理建立方程。常用于已知半径、弦心距、半弦长中任 意两个量时求第三个量，或证弧相等（垂径平分弧）。 2.圆周角与圆心角互化 同弧所对圆周角相等（转移角），直径对直角（得垂直、勾股）。通过导角证等腰三角形或相似三角 形，利用比例式求线段长。 3.隐圆与四点共圆 若证角等或边关系，可寻找隐圆（共斜边的直角三角形、对角互补四边形）。证出四点共圆后，使用圆 内接四边形外角等于内对角等性质，将角度关系转化到圆中三角形上，再列方程计算。 破类题提能力、 1.(2026广东广州一模)如图，△ABC为等腰三角形，点O是底边BC上的一点，以O为圆心作⊙O, 分别与AB,AC相切于点D,E,连接OD,OE. 4/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D (1)证明：△BOD≌△COE: 2若A=120°，BC=12,求DE的长（结果保留). 2.(2026广东惠州一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD为直径，点E在BC的延长线上，且DE 是⊙0的切线. (I)求证：∠DEC=∠BAC: (2)若AC∥DE,AB=8,⊙O的半径为5，求DE的长. >题型03圆中的切线证明与计算< 析典例建模理 1.(2026广东佛山一模)如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，以A为圆心的圆过点D. D (1)求证：BC与⊙A相切： (2)若4B=10,sinB=) 2,求阴影部分的面积. 研考点通技法 5/15 函学科网·上好课 www .zxxk com 上好每一堂课 1.切线证明的常用方法 -连半径，证垂直：若直线过圆上一点，连接该点与圆心，证明半径与直线垂直（利用勾股逆定理、直径 对直角、全等三角形等导角)。 -作垂直，证半径：若直线与圆无已知交点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 2.利用切线性质计算 -切线与过切点的半径垂直，构造直角三角形，结合勾股定理或三角函数求边长。 -切线长定理：从圆外一点引两条切线，切线长相等，常用于等线段转化。 3.综合应用列方程 结合切线性质、垂径定理、圆周角定理等，设未知数表示相关线段，利用相似三角形或勾股定理列出方 程求解，最后检验解的合理性（如线段长度为正）。 破类题提能力 1.(2026广东珠海一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是边AB上一点，以BE为直径的半 圆O交AC于点D,连接ED并延长，交BC的延长线于点F,且BF=BE,连接BD (I)求证：AC是⊙0的切线： (2)若∠A=30°，BC=9,求阴影部分的面积. 2.(2026广东梅州模拟预测)如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙0上，∠B=∠DCA,AD∥BC, 连接OD、AC B (I)求证：CD是⊙O的切线： (2)求证：△ACBP△DAC AC 5 3)若BC=2,0D=3W6,求AB的长. 6/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 >题型04圆中的尺规作图与证明计算了 折典例建模理 1.(2026广东江门一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. B (1)尺规作图：作⊙O,使得BC为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在(1)的条件下，若∠ABC=60°，AB=4,求⊙0与△ABC重叠部分的面积. 研考点通技法 「学握基本作图 熟悉作弦的垂直平分线（找圆心）、作切线（连接半径、作垂线）、作等弧（等分圆周）等尺规作图方 法。明确作图痕迹与圆中半径、弦、弧的对应关系。 2.由作图导条件 根据作图结果（如垂直、中点、等角)，结合圆的性质（垂径定理、圆心角定理）推出边等、角等或平 行关系，用于证明三角形全等或相似。 3.列方程计算 设未知数（如半径R、弦长一半)，利用作图产生的线段长度或角度关系（如勾股定理、切线长定理） 列方程。注意作图可能产生多解（如圆内与圆外），需分类讨论并验证。 破类题提能力、 1.(2026广东一模)如图，在⊙0中，半径为5，AB=6 7/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)请用尺规作图法过点O作AB的垂线，交AB于点C,交劣弧AB于点D,保留作图痕迹（不写作法）； (2)求CD的长 2. (2026广东汕头一模)如图，已知Rt△ABC中，∠C=90° B (1)求作：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ①在边AB上找一点P,以点P为圆心，PA为半径作OP,使得⊙P与BC相切于点D: ②过点B作⊙P的切线BE切⊙P于点E. (2)求证：直线BE为⊙P的切线， 题型05圆中的新定义型综合问题<《 折典例建模型 1.(2026广东东莞·一模)【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90 度的和，则称这个钝角三角形为正度三角形，这个锐角叫做正度角. B E D 图1 图2 图3 【概念理解】 (1)根据概念，完成下列问题： ①如图1，△ABC是正度三角形，∠C是正度角.若∠B=130°，则∠C= ②若正度三角形是等腰三角形时，则正度角的度数为 【性质探究】 8/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC (2)如图2，数学兴趣小组发现，当△ABC是正度三角形，∠B是钝角，∠4是正度角时，存在aA= AC 的结论，亲爱的同学，请你深入思考并证明这个结论： 【拓展应用】 (3)如图3，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E.连接AD,BD,△ACE 和△BCD都是正度三角形，且∠CAB、∠DCB分别为正度角时，求∠CAB的度数. 研考点通技法 1.理解新定义 将新定义中的概念（如“关联点”“和谐弦”“倍角弧”）转化为圆中的几何关系。例如“到圆心距离 等于半径倍的点”即圆与圆的位置关系；“弦上有点满足某角”可联想圆周角或圆心角。 2.结合圆的性质 利用圆心角、圆周角、垂径定理、切线性质等将定义翻译成具体的边角或数量关系。若定义涉及“定点 与动点”，可构造隐圆或使用轨迹思想。 3.分类讨论与方程 根据定义中项点的对应关系或点的可能位置（如在弧上、弦上、圆内、圆外）分情况讨论。设未知数表 示角度或长度，用勾股定理、相似或三角函数列方程，解后验证是否满足定义中的限制条件。 破类题提能力、 1.(2025广东深圳二模)如图1，在△ABC中，AB=AC,如果AE,AF为∠BAC的三等分线，交底 边BC于点E,F,且BE=nEF,那么我们把△ABC叫做n型等腰三角形，若n=2,则△ABC就叫做2型 等腰三角形， 图1 图2 (1)在n型等腰三角形中， ①求证：BE=CF: 9/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ②若AE=BE,求n的值； 如图2.⊙A ⊙A (2) ，在中，ABAC 和 为半径，E,为∠BMC的三等分线，分别交O4于点M,N若 AB △ABC为2型等腰三角形，求BC的值： (3)对于n型等腰三角形，若顶角为锐角，请直接写出n的取值范围， 2.(2025广东韶关·一模)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点 到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上 一点，连接AD,若AD=BDCD,则称点D是△ABC中BC边上的“中项点”· B D 图1 图2 图3 (1)如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，每个单元格的边长相等，点K在格点上，连接CK交AB于 点M,求证：点M是AB边上的一个“中项点”. (2)如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D.点H是△BCD中 CD边上的“中项点”. ①求证：OH⊥AB: ②若OH80,00的半径为，且8D,求号的值 DH 4 题型06圆与函数的综合问题<〈 折典例建模犁 1.(2024广东清远二模)综合探究 如盟图，抛物线y=产+r+c的顶点为M,与销交于点d-20和点B80,与y轴交于点C,OD 4 经过A、B、C三点，且圆心D在x轴上. 10/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的解析式： (2)直线CM与⊙D相切吗？请说明理由： (3)过点C作直线CE,交x轴于点E,当直线CE与抛物线只有一个交点时，直线CE是否与⊙D相切？若相 切，请证明：若不相切，请直接写出直线CE与⊙D的另外一个交点的坐标， 研考点通技法 1.坐标化几何条件 设圆心坐标O(m,n),半径r,圆上点P(x,y)满足(x-m)+(y-n)=r2。将几何条件（如相切、弦长)转化为代 数方程，与函数解析式联立。 2.利用垂直与距离 直线与圆相切等价于圆心到直线距离等于半径，相交弦中点满足垂径定理（斜率积为1）。利用点到直 线距离公式、两点间距离公式结合待定系数法求参数。 3.数形结合找范围 根据图形位置（如圆在直线上方）列出不等式组。联立方程后，利用判别式判断交点个数，根据函数增 减性和圆的范围确定参数临界值。注意圆与坐标轴交点可能产生多解，需通过图像验证。 破类题提能力、 1.(2025广东广州二模)已知抛物线=+4r+12经过点1-9,0)，与*轴另一个交点为B,交》轴 于点C,△ABC的外接圆⊙M,与抛物线的第四个交点为点D,AB切△BOC内切圆⊙I于点E. 11/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D (1)抛物线的对称轴是直线 ；解析式是 (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使∠APB=2∠ACB,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请 说明理由： (3)点F在'轴上，当△LAE∽△DFC时，则CF=· 2.(226矿东佛r模拟猴)如图1所不，在平面直角坐标系中，已知二次面数y=日+赋+m的 3 8 图像交x轴于点4.0，B,0x<0<)交y轴于点C 图1 图2 (1)此二次函数图像是否过定点，若是求出定点坐标，若不是请说明理由： (2)若以线段AB为直径的圆恰好经过点C. ①求二次函数的表达式： ②如图2，点L是AB的中点，点K、N分别在线段AL、BC上，满足CK=NK,作线段NM∥CL交x轴 于点M,求证：△CKL≌△KNM: (3)在(2)的条件下，对于平面直角坐标系xO少中的图形M,N,给出如下定义：P为图形M上任意一点， Q为图形N上任意一点，如果P,Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距 离”，记作dM,N,⊙7的圆心为T,,半径为2，若d(o7,a4BC)=2,直接写出1的取值范围. 12/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ☑PART 03 实战刷题•冲高分 (建议用时：45分钟) 刷模拟 1.(2025广东潮州模拟预测)“板车”具有悠久的历史，20世纪90年代以前是农村主要运输交通工具， 它发挥过重要的作用.如图2是板车侧面部分的示意图.AB是车轮⊙0的直径，过圆心O的车架AC一端 点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D,连接AD,BD. B D 图1 图2 (I)求证：∠A=∠BDC: (2)若an1=5,CB=4,求车轮的半径长. 2.(2026广东珠海一模)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，且AC=8,BC=6. )尺规作图：过点O作4C的垂线，交劣弧4C于点D,连接CD(保留作图痕迹，不写作法)： (2)在(1)所作的图形中，求tan∠ACD的值. 3.(2024广东·模拟预测)如图1，AB,BC是⊙O的两条弦，M是弧AC中点，MD⊥BC于点D,点E 为CD上一点，且CE=AB,连接AM、BM、CM、EM. 13/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 0 图1 图2 (I)求证：△ABM≌△CEM: (2)求证：AB+BD=DC: )【揆究应用】如图2，已知等边△1C内接于©0,48=35，D为O0 上一点， ∠ABD=45°，连接 CD,过点A作AE⊥BD于点E,求△BDC的周长 4.(2025广东云浮.一模)如图1，⊙0是以OA的长为半径的圆，点O在矩形ABCD的对角线AC上， OO与矩形ABCD的三边AD,AC,AB分别交于点E,F,G,其中∠DCE=∠ACB. D D E E F G B G 图1 图2 CD2=AD.ED: (1)求证： (2)求证：直线CE是⊙O的切线： (3)如图2，若点E落在线段AC的垂直平分线上，CD=9,求阴影部分的面积. 5.(2025广东肇庆·一模)如图(1)，在⊙0中，AB是直径，EC为弦，AB,EC相交于点F,直线 MN与⊙O相切于点B,且EC∥MN. F F G M B M B M B N 图(1) 图(2) 图(3) (1)求证：点F是EC的中点. 14/15 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图(2)，CD是⊙O的直径，连接AC,AD,线段AB上存在一点G,满足∠ECD=∠ADG,求证： DG=AC. ③)如图(3)，将△E0C绕点O顺时针旋转&得到△E0C0<a<360),连接EF,CF,当△EFC的面 积最大时，求的大小. 2W3 6。(2025:广东清远：二模)在平面直角坐标系x0中，已知点P是反比例函数'= 2（x>0 图象上一个 动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A. B 1图 2图 3图 (1)如1图，当OP运动到与x轴相切，设切点为K. ①试判断四边形OKPA的形状，并说明理由. 1,1 ②如2图，过点p作直线，分别交x轴的正半轴于点F,交y轴的正半轴于点N,则OF+ON是否为定 值？若是，请证明：若不是，请说明理由. (2)如3图，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时，在过A,B,C三点的抛物 线上是否存在点M,使△MBP的面积是菱形ABCP面积的2？若存在，求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，试说明理由. 15/15 专项09 圆中的证明与计算 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近五年广东中考，圆是必考核心内容，分值约10-15分。题型覆盖选择、填空、解答，解答题常位于第22-24题中档位置。考查重点为圆周角定理、垂径定理、切线的判定与性质、弧长与扇形面积计算。常与相似三角形、勾股定理、锐角三角函数深度融合，2022年考查圆内接四边形与等腰直角三角形综合，2021年结合角平分线求直径。 ## 二、全国2026年命题趋势分析 2026年全国中考圆板块命题将延续“基础+应用+综合”格局，呈现三大趋势： **一是基础考查稳定**。选择题、填空题将重点考查垂径定理、圆周角定理、弧长与扇形面积、圆锥侧面展开图等核心知识，难度中等，注重对基本概念的理解与运用。 **二是解答题注重切线综合**。切线的判定与性质仍是解答题热点，常与相似三角形、勾股定理、锐角三角函数、平行四边形等知识融合，要求考生具备较强的几何推理和计算能力。圆中求线段长、角度大小的计算题将成为中档题主力。 **三是创新题型涌现**。部分考区可能出现“作图+证明”综合题（如无刻度直尺在圆中作图），或将圆与最值问题、动点轨迹问题结合。跨学科情境（如与物理光学、齿轮传动结合）的试题也值得关注。 ## 三、全国2026年预测 2026年中考，圆的切线与圆周角综合题仍是解答题热点，需熟练掌握切线的判定与性质。垂径定理与勾股定理结合的求弦长问题必考。弧长与扇形面积计算以小题形式稳定出现。圆与相似三角形、三角函数的融合题难度较大，可能出现在压轴题位置。备考应强化“连半径、作垂直、构造直角三角形”的辅助线技巧。 题型01 利用圆的性质计算 析典例·建模型 1．（2026·广东珠海·一模）如题图，是的直径，点C为上一点，平分交于点D，连接．若，，求的长． 【答案】2 【分析】连接，则，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，解直角三角形求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 研考点·通技法 1. 活用垂径定理 过圆心作弦的垂线，得弦中点与弧中点。设半径R、弦心距d、半弦长a，有R2 = d2+ a2。已知其中两个量可求第三个。 2. 圆周角与圆心角互化 同弧所对圆周角是圆心角的一半，直径所对圆周角为90°。通过导角构造直角三角形，使用三角函数或勾股定理解边长。 3. 切线性质应用 切线与过切点的半径垂直。已知切线长t、半径r，则圆心到切线点的距离为 。利用切线长定理将等线段转化，列方程求未知量，注意检验点是否在圆上。 破类题·提能力 1．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 【答案】(1)1 (2)①；② 【分析】本题考查切线长定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，点与圆的位置关系，全等三角形的性质和判定； （1）根据切线长定理可得，再根据正方形的性质求出即可； （2）①连接，先证明得出，再结合，可证明，得出,要求最小值，即求最小值，即求的最大值，连接并延长交于点，此时的最大值为，求出，即可求出的最小值； ②顺时针旋转到，可证明，得出，设，则，由，可得出，可得出，即，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，与相切于点， ∵与相切于， ∴． （2）解：①连接， ∵是上一点，为直径, ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵, ∴, ∴, 又∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵要求最小值，即求最小值， 又∵为已知正方形的边长，为定值， ∴最小值，即求的最大值， 连接并延长交于点，此时的最大值为， , ∴． ②∵顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴，解得：（舍去负根）或， ∴． 2．（2026·广东东莞·一模）如图，C，D两点在以为直径的半圆上，点O是半圆圆心，半圆O的半径为r，，点E在上运动（不与点C，D重合），连接，，分别交，于点M，N． 【问题发现】 (1)如题图1，当，且E是的中点时，试猜想与r之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 (2)如题图2，当，且E不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)如题图3，若，，，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据题意，得，证明四边形是正方形，求解即可． （2）取的中点F，连接,分别交于点G，H，分点E在上和点E在上两种情况证明即可． （3）过点A作于点Q，并延长交半圆于点P，连接，交于点T，通过证明，求解即可． 【详解】（1）解：与r之间的数量关系为．理由如下： 连接，根据题意，得， E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， ， ． （2）解：结论仍然成立．理由如下： 取的中点F，连接,分别交于点G，H， 根据（1）的证明，知四边形是正方形，， ， 当点E在上时，如图所示， 根据（1）的证明，知都是等腰直角三角形， ，， ，为半圆的直径, ， 根据四边形内角和，得， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 当点E在上时，如图所示，同理可证， ∴， ∴ ． （3）解：过点A作于点Q，并延长交半圆于点P，连接，交于点T， ，， ， ， ， ，， ，， 为半圆的直径, ， ， ， 根据（2）的证明，可证明， ∴， ∴， ∴， 解得， ． 题型02 圆中的证明与计算 析典例·建模型 1．（2026·广东东莞·一模）如图，在中，点、、、为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点，连接交于点． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由点、、、为圆周的四等分点，得出，根据切线的性质，得，即可证出平分； （2）由点、、、为圆周的四等分点，得出，根据圆内接四边形得，即可通过证明． 【详解】（1）解：∵点、、、为圆周的四等分点， ∴所对的弧长为圆周长的， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵平分； ∴， ∵点、、、为圆周的四等分点， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴． 研考点·通技法 1. 利用垂径定理 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理建立方程。常用于已知半径、弦心距、半弦长中任意两个量时求第三个量，或证弧相等（垂径平分弧）。 2. 圆周角与圆心角互化 同弧所对圆周角相等（转移角），直径对直角（得垂直、勾股）。通过导角证等腰三角形或相似三角形，利用比例式求线段长。 3. 隐圆与四点共圆 若证角等或边关系，可寻找隐圆（共斜边的直角三角形、对角互补四边形）。证出四点共圆后，使用圆内接四边形外角等于内对角等性质，将角度关系转化到圆中三角形上，再列方程计算。 破类题·提能力 1．（2026·广东广州·一模）如图，为等腰三角形，点是底边上的一点，以为圆心作，分别与，相切于点，，连接，． (1)证明：； (2)若，，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，证明即可； （2）先根据四边形内角和定理得出，再根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，最后根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵分别与，相切于点，， ∴，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据解析（1）可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·广东惠州·一模）如图，四边形内接于，为直径，点在的延长线上，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，的半径为5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）方法一：根据：“直径所对的圆周角等于”可得，则可得，再根据切线的性质可得，进而可得，根据圆周角定理可得，进而可得． 方法二：先证明，则可得，根据圆周角定理可得，进而可得． （2）方法一：先由勾股定理得，再证，则可得，进而可得求得的长； 方法二：由垂径定理得，再由勾股定理得，再证 则可得，进而可得求得的长． 【详解】（1）（1）方法一： 是的直径， ， ， 是的切线，，即：， ， ， 由圆周角定理得， ； 方法二： 是的直径， ， 是的切线， ， 为和的公共角， ， ， 由圆周角定理得， ； （2）方法一： 在中，由勾股定理得：， ， ， 由圆周角定理得， ∴， 又∵， ， ，即， 解得． 方法二： ，， ， 直径垂直平分， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ，即， 解得． 题型03 圆中的切线证明与计算 析典例·建模型 1．（2026·广东佛山·一模）如图，在中，，点D是的中点，以A为圆心的圆过点D． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）推导出，是的半径，则与相切，即可解答； （2）先求出，，得到，继而推导出，，再根据，即可解答 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点 ∴ ∵以点A为圆心，且过点D ∴是的半径 ∴与相切； （2）解：在中，， ∴ ∴，， ∴， ∵点D是的中点 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 答：阴影部分的面积为． 研考点·通技法 1. 切线证明的常用方法 - 连半径，证垂直：若直线过圆上一点，连接该点与圆心，证明半径与直线垂直（利用勾股逆定理、直径对直角、全等三角形等导角）。 - 作垂直，证半径：若直线与圆无已知交点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 2. 利用切线性质计算 - 切线与过切点的半径垂直，构造直角三角形，结合勾股定理或三角函数求边长。 - 切线长定理：从圆外一点引两条切线，切线长相等，常用于等线段转化。 3. 综合应用列方程 结合切线性质、垂径定理、圆周角定理等，设未知数表示相关线段，利用相似三角形或勾股定理列出方程求解，最后检验解的合理性（如线段长度为正）。 破类题·提能力 1．（2026·广东珠海·一模）如图，在中，，点E是边上一点，以为直径的半圆O交于点D，连接并延长，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，则，由等边对等角得出，，等量代换可得出，即可得出，由平行线的性质得出，即可证明是的切线． （2）由含30度直角三角形的性质得出，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，进一步得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，勾股定理求出，由同底等高得出，由圆周角定理得出，最后由代入计算即可． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 2．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． (1)求证：是的切线； (2)求证： (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）连接，由直径可得，利用等边对等角可推出，从而得出，即可得证； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （3）由相似三角形对应边成比例，得出，在中，利用勾股定理列方程，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是半的直径， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 又是半径， 是的切线； （2）证明：， ， 又， ； （3）解：由（2）可知，， ， ， ， ， 在中，，， ， 解得：（负值舍去）， ． 题型04 圆中的尺规作图与证明计算 析典例·建模型 1．（2026·广东江门·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先作的垂直平分线，找到圆心，然后画圆即可； （2）连接，根据求解即可. 【详解】（1）解：作 的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆， 如图所示即为所求. （2）解：设与的另一个交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴. 研考点·通技法 1. 掌握基本作图 熟悉作弦的垂直平分线（找圆心）、作切线（连接半径、作垂线）、作等弧（等分圆周）等尺规作图方法。明确作图痕迹与圆中半径、弦、弧的对应关系。 2. 由作图导条件 根据作图结果（如垂直、中点、等角），结合圆的性质（垂径定理、圆心角定理）推出边等、角等或平行关系，用于证明三角形全等或相似。 3. 列方程计算 设未知数（如半径R、弦长一半a），利用作图产生的线段长度或角度关系（如勾股定理、切线长定理）列方程。注意作图可能产生多解（如圆内与圆外），需分类讨论并验证。 破类题·提能力 1．（2026·广东·一模）如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作图，即可； （2）根据垂径定理可得，进而根据勾股定理，求得，再求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）∵， ∴， ∵半径， ∴在中，， ∴． 2．（2026·广东汕头·一模）如图，已知中，． (1)求作：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ①在边上找一点P，以点P为圆心，为半径作，使得与相切于点D； ②过点B作的切线切于点E． (2)求证：直线为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）①作的角平分线交于，过作的垂线交于，以为圆心、长为半径作，即满足要求； ②以为圆心，长为半径画弧，交于异于侧的点，连接，即为所求切线； （2）连接，由作法可知，易证明，进而得到，从而得出结论． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； 证明：平分， ， 、， ， ， ， ， ， 与相切； （2）证明：连接， 与相切， ， 由作法可知：， 在和中， ， ， ， ， 为的半径， 直线为的切线． 题型05 圆中的新定义型综合问题 析典例·建模型 1．（2026·广东东莞·一模）【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为正度三角形，这个锐角叫做正度角． 【概念理解】 (1)根据概念，完成下列问题： ①如图1，是正度三角形，是正度角．若，则________； ②若正度三角形是等腰三角形时，则正度角的度数为________． 【性质探究】 (2)如图2，数学兴趣小组发现，当是正度三角形，是钝角，是正度角时，存在的结论，亲爱的同学，请你深入思考并证明这个结论； 【拓展应用】 (3)如图3，是的直径，点、是圆上的两点，弦与交于点．连接，，和都是正度三角形，且、分别为正度角时，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①根据新定义进行列式计算，即可作答． ②根据新定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理列方程再求解即可； （2）作，根据新定义可得，再证明，利用相似三角形的性质和锐角的正切的比例关系证明即可； （3）设，结合、分别为正度角，得出，，运用三角形内角和性质，得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵是正度三角形，是正度角，， ∴， 则， ②设正度角的度数为x． 根据题意可得：， 解得：， ∴正度角的度数为； （2）证明：如图1，作交于D， ∴， ∵是正度三角形，是钝角，是正度角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示： 设， ∵是正度角， 则 ∵是直径， ∴， 则， ∵是正度角， ∴在中，， ∵， ∴， 由内角和可得， 解得， ∴． 研考点·通技法 1. 理解新定义 将新定义中的概念（如“关联点”“和谐弦”“倍角弧”）转化为圆中的几何关系。例如“到圆心距离等于半径倍的点”即圆与圆的位置关系；“弦上有点满足某角”可联想圆周角或圆心角。 2. 结合圆的性质 利用圆心角、圆周角、垂径定理、切线性质等将定义翻译成具体的边角或数量关系。若定义涉及“定点与动点”，可构造隐圆或使用轨迹思想。 3. 分类讨论与方程 根据定义中顶点的对应关系或点的可能位置（如在弧上、弦上、圆内、圆外）分情况讨论。设未知数表示角度或长度，用勾股定理、相似或三角函数列方程，解后验证是否满足定义中的限制条件。 破类题·提能力 1．（2025·广东深圳·二模）如图，在中，，如果，为的三等分线，交底边于点，，且，那么我们把叫做型等腰三角形，若，则就叫做型等腰三角形． (1)在型等腰三角形中， 求证：； 若，求的值； (2)，在中，和为半径，，为的三等分线，分别交于点，若为型等腰三角形，求的值； (3)对于型等腰三角形，若顶角为锐角，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【分析】（1）通过证明得证对应线段相等；通过等腰三角形的性质得到角度之间的等量关系，利用“三角形内角和为”求出度数，再利用得到对应线段成比例，建立方程求解； （2）通过圆周角定理，“同弧所对圆周角相等，圆心角是圆周角的一半”等得到角度之间的等量关系，运用“内错角相等，两直线平行”证明，再利用等腰三角形的性质和“平行线分线段成比例”得到线段之间的等量关系，结合得到对应线段成比例，建立方程求解； （3）考虑特殊情况当三角形是直角三角形时，求出的值，再根据顶角变小时的的变化得到的的取值范围． 【详解】（1）解：证明：如图中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 解：由可知，， ， ， ，设，则， 在中， ， ， ， ， ， ， ，设，， ， ， ， 或舍弃， ， ． （2）如图中，连接、、、． 为型等腰三角形， ，设，则， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，设， ， ， ， ， ，， ． （3）如图中，当时，作于，于，设， ， ， ， ， 在中，， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ． 由题意知， 所以，即， 型等腰三角形，若顶角为锐角，的取值范围是． 2．（2025·广东韶关·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． (1)如图，的顶点是网格图的格点，每个单元格的边长相等，点在格点上，连接交于点，求证：点是边上的一个“中项点”． (2)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． 求证：； 若，的半径为，且，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； ． 【分析】利用网格图证明，得出，利用直角三角形中角的关系可以证明，利用相似三角形对应边成比例可证点是边上的一个“中项点”； 利用圆周角定理可证，根据相似三角形的性质可证，根据点是中边上的“中项点”，可证，利用垂径定理可证结论成立； 由可知，，根据平行线的性质可证是直角，根据圆周角定理可证是的直径，设，则，，利用勾股定理可以求出，，又因为，可得：，从而可求． 【详解】（1）证明：如下图所示， ∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 点是边上的一个“中项点”； （2）证明：如下图所示，连接， ， 又， ， ， ， 点是中边上的“中项点”， ， ， ， ； 解：如下图所示，连接， 由可知，， 又， ， ， 是的直径， ， 设，则， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 题型06 圆与函数的综合问题 析典例·建模型 1．（2024·广东清远·二模）综合探究 如题图，抛物线的顶点为M，与x轴交于点和点，与y轴交于点C，经过A、B、C三点，且圆心D在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与相切吗?请说明理由； (3)过点C作直线，交x轴于点E，当直线与抛物线只有一个交点时，直线是否与相切?若相切，请证明：若不相切，请直接写出直线与的另外一个交点的坐标． 【答案】(1) (2)直线与相切，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式，圆与二次函数综合，勾股定理逆定理； （1）由抛物线与x轴交于点和点，得到即可求解； （2）由求出，，再利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，即可得到为的直径，，再由勾股定理逆定理得到是直角三角形，，即可证明直线与相切； （3）设直线解析式为，当时，由直线与抛物线只有一个交点，得到，解得，即可得到直线解析式为，再由勾股定理逆定理得到不是直角三角形，，则直线与不相切，设直线与的另外一个交点为，由列方程求出． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为M，与x轴交于点和点， ∴； （2）解：直线与相切，理由如下： ∵抛物线的顶点为M，与x轴交于点和点，与y轴交于点C， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵经过A、B、C三点， ∴为的直径， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵为半径， ∴直线与相切； （3）解：∵， ∴设直线解析式为， 当时，直线与抛物线有两个交点，不合题意； 当时， 联立，得到， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∴与轴交点为， ∵，， ∴，，， ∴， ∴不是直角三角形，， ∴直线与不相切， 设直线与的另外一个交点为，则， ∴， ∴， 解得或（与重合，故舍去）， ∴， 综上所述，直线与的另外一个交点的坐标为． 研考点·通技法 1. 坐标化几何条件 设圆心坐标O(m,n)，半径r，圆上点P(x,y)满足(x-m)2+(y-n)2=r2。将几何条件（如相切、弦长）转化为代数方程，与函数解析式联立。 2. 利用垂直与距离 直线与圆相切等价于圆心到直线距离等于半径，相交弦中点满足垂径定理（斜率积为-1）。利用点到直线距离公式、两点间距离公式结合待定系数法求参数。 3. 数形结合找范围 根据图形位置（如圆在直线上方）列出不等式组。联立方程后，利用判别式判断交点个数，根据函数增减性和圆的范围确定参数临界值。注意圆与坐标轴交点可能产生多解，需通过图像验证。 破类题·提能力 1．（2025·广东广州·二模）已知抛物线经过点，与轴另一个交点为，交轴于点，的外接圆，与抛物线的第四个交点为点，切内切圆于点． (1)抛物线的对称轴是直线______；解析式是______． (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点在轴上，当时，则______． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3) 【分析】（1）根据对称轴方程代入化简即可得对称轴，代入点坐标可解得的值，故而可得解析式； （2）先判断在的中垂线上，从而也在抛物线的对称轴上．设，，根据，即，解得，故由圆周角定理可知，且点在对称轴上，故，利用对称性可得另一个点； （3）由，，利用对称性质，可得，由为直角三角形，可得内切圆半径，故，由点在轴上，可得为直角三角形，当∽时，有，故，即，解得． 【详解】（1）解：由可知,对称轴为直线， 把代入中， 得， 解得， 故解析式为． 故答案为：，． （2）解：存在，理由如下： ， 在的中垂线上，从而也在抛物线的对称轴上． 设， ∵， ， 即， 解得， 故 由圆周角定理可知，且点在对称轴上， 故或 （3）解：，，对称轴为直线， ，． ． 为直角三角形， 内切圆半径， 故，． 由点在轴上，可得为直角三角形， 当∽时，有， 故， 即， 解得， 故答案为：． 2．（2026·广东佛山·模拟预测）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像交x轴于点，交y轴于点C． (1)此二次函数图像是否过定点，若是求出定点坐标，若不是请说明理由； (2)若以线段为直径的圆恰好经过点C． ①求二次函数的表达式； ②如图2，点L是的中点，点K、N分别在线段、上，满足，作线段交x轴于点M，求证：； (3)在（2）的条件下，对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)此二次函数图像经过定点，定点坐标是 (2)①；②见解析 (3)t的取值范围为或或 【分析】（1）将二次函数整理为，令含的系数，解得，代入得，故函数恒过定点，即可判断； （2）①由为直径得，由相似三角形的性质可得，即，得，即可求出解析式；②由角度推导得全等条件，即可证明； （3）由半径为，，可得圆心到三边的最小距离为，分别计算到、的距离，结合到距离已满足，得的取值范围． 【详解】（1）解：此二次函数图像经过定点，定点坐标是． 理由如下：由题意得，， 当，即时，的值与无关， 此时，即图像经过定点； （2）解：①令，即， ， 是圆的直径， ， 又， ， ， ， ， ， 依题意，， ， 二次函数的表达式为； ②点是的中点，， ， ， ， ， ，， ， ∵， ， ，， ； （3）解：令， 解得，， ，， 令得， ； 的圆心为，半径为， 点在直线上移动，且上的点到轴最小距离为，即； 设圆心到三边的最短距离为， ，即圆上到的最小距离为， 又∵的半径为，即， ∴圆心到、、三边的最小距离为， 当到的最小距离为时，过作于，设直线交于，则， ， ， ，， 设直线解析式为， 把代入得， 解得， 直线解析式为， 当时，， 解得， ， ， ， ， 解得， 同理求得当到的最小距离为时，， 当，的取值范围为或或． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2025·广东潮州·模拟预测）“板车”具有悠久的历史，20世纪90年代以前是农村主要运输交通工具，它发挥过重要的作用．如图2是板车侧面部分的示意图．是车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求车轮的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)车轮的半径长为 【分析】本题考查了圆周角定理的推论、切线的性质、相似三角形的判定和性质以及三角函数等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； （1）连接，根据是车轮的直径可得，结合切线的性质可得，再根据等腰三角形的性质即得结论； （2）证明，根据相似三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接， 是车轮的直径， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， ； （2）解：在中，， ， ， ， ， ， ， ，即车轮的半径长为． 2．（2026·广东珠海·一模）如图，是的直径，点C在上，且，． (1)尺规作图：过点O作的垂线，交劣弧于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，作的垂直平分线，与圆的交点即为，连接即可； （2）利用勾股定理求出，得到，如图，记与的交点为E，则是的中位线，得到，然后利用正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； ； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，记与的交点为E， ∵， ∴点E是中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·广东·模拟预测）如图1，，是的两条弦，M是弧中点，于点D，点E为上一点，且，连接、、、． (1)求证：； (2)求证：； (3)【探究应用】如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，连接，过点A作于点E，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，再由M是弧中点得出，最后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可得证； （3）在上截取，连接，证明得出，再证明得出，解直角三角形可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 为的中点， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ， ， ， ； （3）解：如图2，在上截取，连接， 由题意可得：，， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 则的周长是． 4．（2025·广东云浮·一模）如图1，是以的长为半径的圆，点O在矩形的对角线上，与矩形的三边，，分别交于点E，F，G，其中 (1)求证： (2)求证：直线是的切线； (3)如图2，若点 E落在线段的垂直平分线上，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，结合，证明，，再结合，可得结论； （2）连接，证明，，，由，可得，，即，从而可得结论； （3）证明，可得，．求解，，，，，证明，再利用相似三角形的性质可得，再根据阴影部分的面积，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形． ∴， ∵， ∴． ∴， 则， 即 （2）证明：连接，    ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴直线与相切； （3）解：∵点E落在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 由（1）得，   ∴． 在中，， ∴， ∵，， ∴，， 则， ∴ ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 解得. 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直径， 即三点共线， ∴ ． 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查的是求不规则的图形的面积，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，锐角三角函数的应用，熟练的利用以上知识解题是关键. 5．（2025·广东肇庆·一模）如图（1），在中，是直径，为弦，，相交于点，直线与相切于点B，且． (1)求证：点是的中点． (2)如图（2），是的直径，连接，，线段上存在一点，满足，求证：． (3)如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接，当的面积最大时，求的大小 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质可得，根据垂径定理即可得到结论； （2）连接，可以推导得到，即可得到，进而得到，然后证明，得到，根据等量代换得到结论即可； （3）根据旋转可得，当点F到的距离最大时，的面积取得最大值，即，即可得到旋转角的度数． 【详解】（1）证明：直线与相切于点B，为直径， ， ∵， 即， 点F是的中点． （2）证明：如图，连接， 由（1）可知， 为直径， ， ， ． 又， ． ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：将绕点顺时针旋转得到， ， 面积点F到的距离点到的距离， 当点F到的距离最大时，的面积取得最大值． 如图（3），分析可知，当时，点到的距离最大，此时的面积最大． ， ． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，掌握切线的性质是解题的关键． 6．（2025·广东清远·二模）在平面直角坐标系中，已知点是反比例函数图象上一个动点，以为圆心的圆始终与轴相切，设切点为． (1)如1图，当运动到与轴相切，设切点为． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如2图，过点作直线，分别交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，则是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由． (2)如3图，运动到与轴相交，设交点为．当四边形是菱形时，在过三点的抛物线上是否存在点，使的面积是菱形面积的？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)①四边形是正方形，理由见解析  ②是定值 (2) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、特殊四边形和圆的基本知识； （1）①先证明四边形是矩形，又，故四边形是正方形； ②设点的坐标为，则，即a为定值，求出直线l的解析式，即可求出，的长，然后代入计算解题即可； （2）证明为等边三角形，再求点的坐标，进而求出点、、的坐标，依次求出二次函数、直线、直线的表达式，联立直线和二次函数的解析式求出交点坐标即可求解． 【详解】（1）①解：四边形是正方形，证明如下： ∵分别与两坐标轴相切， ， ， 又∵， ， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形； ②解：设点的坐标为， ∴，即a为定值， 设直线l的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线l的解析式为， 当时，，令，则， ∴，， ∴为定值； （2）解：连接， 过点作于， ∵四边形为菱形， (半径)， 为等边三角形， 在中， ， ∴代入 解之得：(负值舍去)， 则 ∵四边形是矩形， ∴ ， ； 设二次函数解析式为：过点， 解得， ∴二次函数解析式为：； 设直线的解析式为： 据题意得：，解得： ， ∴直线的解析式为 过点作直线，则可得直线的解析式为， 解方程组： 解得 或 ， 过点作直线，则可设直线的解析式为：， ，解得 ， ∴直线的解析式为， 解方程组： ，解得 或 ， 综上可知，满足条件的的坐标有四个，分别为． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $