20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

这是一份初中数学人教版八年级下册勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）同步教学课件，包含知识回顾、问题探究、归纳、课堂练习及小结。通过知识回顾梳理勾股定理及逆定理，结合航海问题和四边形垂直判断问题展开探究，归纳解题要点，辅以3道课堂练习巩固。 资料注重转化思想与核心素养培养，以航海问题将实际方位转化为三角形边长和角度问题，用勾股定理逆定理判断直角，体现用数学眼光观察、思维推理和语言表达现实世界。课堂练习涵盖不同情境，帮助学生掌握综合运用方法，为教师提供结构化教学流程和实例，提升教学效率。八年级学生处于逻辑思维发展关键期，需通过实际问题理解抽象定理，本资料通过具体实例和分层练习，巩固知识并培养应用能力，为后续几何学习和中考复习奠定基础。

勾股定理的逆定理及其应用（第2课时） 数学人教版八年级下册 1 我们学习了勾股定理及其逆定理，请用文字语言表述这两个定理． 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2． 求直角三角形的未知边长 判断三角形是不是直角三角形 问题1 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile．它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile．如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 速度 时间 RQ ∠1＝45° 可求PQ，PR 思考1：怎样确定“海天”号的航向？ 求出两艘轮船的航向所成角（∠RPQ），就能知道“海天”号的航向． 问题1 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile．它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile．如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 速度 时间 RQ ∠1＝45° 可求PQ ，PR 思考2：如何将航海问题转化为数学问题？想一想，图中的哪些条件是已知的？要求什么？ 构造△PQR，QR＝30，PQ＝24，PR＝18，∠1＝45°，要求∠RPQ，进而求出∠2． 45° 30 18 24 问题1 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile．它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile．如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 速度 时间 RQ ∠1＝45° 可求PQ ，PR 思考3：要求∠RPQ，你认为△PQR 的三边会满足什么关系？你有怎样的猜想？ 猜想△PQR 是直角三角形，它的三边满足勾股定理的逆定理． 45° 30 18 24 解：根据题意， PQ＝16×1.5＝24， PR＝12×1.5＝18， QR＝30． 因为 242＋182＝302，即 PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°． 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°． 因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行． 远航号 P 海天号 E Q R 1 2 45° N 问题1 30 18 24 归纳 “航海类”问题的解题要点 （1）转化思想：将航海中的方位、路程转化为三角形的角度与边长的问题； （2）解题步骤：①根据“路程＝速度×时间”算出三角形的边长；②用勾股定理的逆定理判断三角形的形状并得到直角；③结合方位角确定航行方向． 7 问题2 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝3，AD＝ ，DC＝ ． 如果 AC⊥BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由． 思考1：怎样判断 AC 与 AD 是否垂直？ 要判断 AC 与 AD 是否垂直，就需要判断△ACD 是不是直角三角形，也就要知道△ACD 的三条边长． 怎么求 AC ？ 问题2 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝3，AD＝ ，DC＝ ． 如果 AC⊥BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由． 思考2：在△ACD 中，题目已知了AD 和 DC 的长度，并没有告诉我们 AC 的长度，你能想办法求出 AC 的长度吗？ 在△ABC 中，已知 AB 和 BC ，由勾股定理可以求出 AC． 怎么求 AC ？ 问题2 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝3，AD＝ ，DC＝ ． 如果 AC⊥BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由． 解题步骤： （1）在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，计算 AC； （2）在△ACD 中，根据勾股定理的逆定理判断△ACD 是不是直角三角形． 解：因为 AC⊥BC，所以 ∠ACB＝90°． 在 Rt△ABC 中，AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16． 所以 AC＝4． 在 △ACD 中， AC2＋AD2＝42＋ ＝ ，CD2＝ ＝ ， 所以 AC2＋AD2＝CD2． 因此 △ACD 是直角三角形，即 AC⊥AD． 问题2 归纳 综合运用勾股定理及其逆定理解题的一般思路 （1）观察图形，找出直角三角形，用勾股定理计算未知边长； （2） 利用勾股定理的逆定理判断目标三角形是否为直角三角形； （3） 结合图形，说明垂直或角度关系． 12 　　1．A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？ 　 解：由图知，在△ABC 中，AB＝12，BC＝5，AC＝13． 因为 AB2＋BC2＝122＋52＝169， AC2＝132＝169， 所以 AB2＋BC2＝AC2． 所以△ABC 为直角三角形，且∠B＝90°． 由于 A 地在 B 地的正东方向，所以 C 地在 B 地的正北方向． 　　2．高师傅有 5 根长度（单位：dm）分别为 a＝6，b＝8，c＝10，d＝24，e＝26的钢条，准备选 3 根焊接一个直角三角形钢架．请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合． 　　分析：要使找到的钢条组合能焊接出一个直角三角形钢架，就要使钢条组合的长度满足勾股定理的逆定理． 　　直接观察 a，b，c，d，e 的长度不易判断，可以先分别计算出它们的平方值，再进行观察． 　　2．高师傅有 5 根长度（单位：dm）分别为 a＝6，b＝8，c＝10，d＝24，e＝26的钢条，准备选 3 根焊接一个直角三角形钢架．请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合． 　　解：a2＝36，b2＝64，c2＝100，d2＝576，e2＝676， 所以 a2＋b2＝c2，c2＋d2＝e2， 　　可能的钢条组合有 2 种，长度分别为 a，b，c 的钢条和长度分别为 c，d，e 的钢条． 　　3．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形 ABCD 的面积． 分析： 在△ABC 中，利用 勾股定理求出AC 利用逆定理判断△ACD 为直角三角形 把四边形ABCD分割为两个直角三角形，求面积之和 4 3 12 13 解：因为 AB＝3，BC＝4，∠B＝90°， 所以 S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ ＋ ＝36． 　　3．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形 ABCD 的面积． 由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝25，AC＝5． 在△ACD 中，AC＝5，CD＝12，AD＝13， 所以 AD2＝AC2＋CD2， 所以△ACD 是直角三角形，∠ACD＝90°． 勾股定理及其逆定理的应用 转化思想 实际问题 直角三角形 不同作用 勾股定理：计算直角三角形中的未知边长 逆定理：判断三角形是否是直角三角形 $