20.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦勾股定理逆定理的应用，通过复习勾股定理及其逆定理的互逆关系导入，搭建新旧知识联系的学习支架，为实际应用与综合应用探究奠定基础。 其亮点在于结合航海、边防巡逻等实际情境培养数学眼光，通过推理和运算发展数学思维，归纳解题步骤强化数学语言。如例1将航海问题转化为直角三角形判定，帮助学生提升应用意识，教师可借助资料高效开展教学。

第2课时 勾股定理的逆定理的应用 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第二十章 勾股定理 人教版八年级(下) 1 1. 理解勾股定理与其逆定理的区别和联系. 2. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识. (重点) 3. 割补思想、转化思想和数形结合思想的应用. (难点) 素养目标 A　 B　 C　 a b c 勾股定理： 在 Rt△ABC 中， 若∠C = 90°， 则___________ 勾股定理的逆定理： 回顾所学，并完成下列框图. 互逆定理 a2 + b2 = c2 在 △ABC 中，若 a2 + b2 = c2，则△ABC 为直角三角形且∠C = 90°. 复习导入 在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧. 素养目标 1 2 例1 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号 沿什么方向航行吗？ N E P Q R 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 新知探究 1 2 N E P Q R 实际问题：“海天”号沿哪个方向航行？ 16×1.5=24 12×1.5=18 30 24 18 30 “远航”号沿东北方向 ∠1 = 45° 抽象成数学问题 解决实际问题 1 2 N E P Q R 几何问题： 知______________， 求______________ PQ,PR,QR 的长 ∠2 的度数 利用勾股定理逆定理求度数 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 新知探究 解：根据题意， PQ = 16×1.5 = 24， PR = 12×1.5 = 18，QR = 30. 1 2 N E P Q R 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. 所以∠QPR = 90°. 因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2， 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 新知探究 归纳总结： 解决实际问题的步骤： ① 构建几何模型（从整体到局部）； ② 标注有用信息，明确已知和所求； ③ 应用数学知识求解. 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 新知探究 【变式题】 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 东 北 P A B C Q D 分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求 PD，然后再利用勾股定理便可求 CD. 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 新知探究 解：∵ AC = 10，AB = 6，BC = 8， ∴ AC2 = AB2 + BC2， 即△ABC 是直角三角形. 设 PQ 与 AC 相交于点 D，根据三 角形面积公式有 BC · AB = AC · BD， 即 6×8 = 10BD，解得 BD = 在Rt△BCD 中， 东 北 P A B C Q D 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 新知探究 又∵ 该船只的速度为 12.8 海里/时， 6.4÷12.8 = 0.5(小时)= 30(分钟)， ∴ 需要 30 分钟进入我领海，即最早晚上 10 时 58 分进入我领海. 探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用 新知探究 探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用 问题：勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？ 区别 联系 (1) 勾股定理是已知直角三角形，得出三边之间的关系；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边关系，得出直角三角形. (2) 勾股定理是直角三角形的性质定理， 而其逆定理是判定定理. 勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关. 新知探究 例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝3，AD＝ ，DC＝ . 如果 AC⊥BC，判断 AC 与AD 是否也垂直，并说明理由. 分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD. A B C D 探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用 新知探究 解：因为 AC⊥BC，所以∠ACB＝90°. 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， AC²＝AB²－BC²＝5²－3²＝16. 所以 AC＝4. 在△ACD 中， 所以 AC²＋AD²＝CD². 因此△ACD 是直角三角形，即AC⊥AD. A B C D 探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用 新知探究 【练一练】 1. 如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥DC，△ADC 的面积为 30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm， BC＝4 cm，求△ABC 的面积. 解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm. ∴ AC = 5 cm. 又∵ ∴△ABC 是直角三角形， ∠B 是直角. ∴ D C B A 探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用 新知探究 2. 如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现 AB＝DC＝8 m，AD ＝ BC ＝6 m，AC ＝9 m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解：∵ AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m， ∴ AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵ AC2＝92＝81， ∴ AB2＋BC2≠AC2. ∴ ∠ABC≠90°， ∴ 该农民挖的不合格． 【练一练】 探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用 新知探究 解：(1) 证明：∵ CD = 1，BC＝ ，BD = 2， ∴ CD2 + BD2 = BC2，∴△BDC 是直角三角形. (2) 设腰长 AB = AC = x， 在 Rt△ADB 中，∵ AB2 = AD2 + BD2， ∴ x2 = (x - 1)2 + 22，解得 用到了方程的思想 【练一练】3. 如图，△ABC 中，AB = AC，D 是 AC 边上的一点，CD = 1，BC＝ ，BD = 2． (1) 求证：△BCD 是直角三角形； (2) 求△ABC 的面积． ∴S△ADB = A B C D 探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用 新知探究 勾股定理的逆定理的应用 应用 航海问题 方法 认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆 定理来解决问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 课堂小结 1. 如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O 的北偏西50°方向，则点B在点O的(　A　) A. 北偏东40°的方向上 B. 北偏东50°的方向上 C. 南偏东40°的方向上 D. 南偏东50°的方向上 A 2. 一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个 三角形最长边上的高线长为 ⁠. 　 当堂反馈 3. 如图，学校要在一块四边形空地ABCD上种植草 皮，测得∠ABC＝90°，AB＝3m，BC＝4m， CD＝12m，AD＝13m.若每平方米草皮需要200元，则学校需要投入多少钱？ 当堂反馈 解：如图，连接AC，∵∠B＝90°，AB＝3m， BC＝4m， ∴AC＝ ＝ ＝5(m). ∵CD＝12m，AD＝13m， ∴AC2＋CD2＝AD2. ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°. ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ ×3×4＋ ×5×12＝36(m2)，200×36＝7200(元). ∴学校需要投入7200元. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $