学易金卷：高二数学下学期第三次月考（北京专用）（范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册第七章）

**基本信息** 高二数学月考卷聚焦选择性必修第二、三册核心内容，通过基础题、创新情境题和综合探究题，考查导数、概率、排列组合等知识，培养数学抽象、逻辑推理和数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|导数计算、二项分布、函数图像|结合杨辉三角（题9）考查二项式系数性质，体现文化传承| |填空题|5/25|导数应用、条件概率、二项式系数|质点移动概率题（14）融合随机变量，培养数据意识| |解答题|6/85|导数综合、概率应用、新定义探究|招聘情境题（20）考查概率计算与分布列，体现数学建模；新定义“凸函数”（19）及集合乘积（21）培养创新意识|

2025-2026学年高二数学下学期第三次月考（人教A版) 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前， 考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 错误填涂×！1[/1 4保持卡面而清洁.不要折叠.不要玉破 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1.1AJIBJIC]ID] 5.1AIIB]ICIID] 9.IAJIBJICIID] 2.[AIIBI[CJIDI 6.1AIIBIICIIDI 10.[AJIBIICI[D] 3.JAlIBIICIIDI 7.JAlIBIICIIDI 4.1A1IBIICIIDI 8AIIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分) 11. 12. 13. 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(14分) 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. (15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12． ____________________ ___________________ 13． ____________________ 14．___________________ ____________________ 15.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考（人教A版）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章-选择性必修第三册第七章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算的值为（    ） A．17 B．20 C．26 D．29 2．已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 3．已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 4．城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（    ）种不同的安排方式 A．9 B．12 C．14 D．16 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A．B． C． D． 7．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 8．一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 9．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知函数，则的值为__________  . 12．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则___________. 13．若的展开式中的系数为30，则__________ 14．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则___________．    15．已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 17．（13分）A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为，现从这三个地区中任选一人． (1)求这个人有“强基计划”报名资格的概率； (2)如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校的概率． 18．（14分） 已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 19．（14分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 20．（15分）某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 21．（15分）对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请直接写出集合和； （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； （3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考（人教A版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章-选择性必修第三册第七章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算的值为（    ） A．17 B．20 C．26 D．29 2．已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 3．已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 4．城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（    ）种不同的安排方式 A．9 B．12 C．14 D．16 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A．B． C． D． 7．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 8．一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 9．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知函数，则的值为__________  . 12．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则___________. 13．若的展开式中的系数为30，则__________ 14．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则___________．    15．已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 17．（13分）A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为，现从这三个地区中任选一人． (1)求这个人有“强基计划”报名资格的概率； (2)如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校的概率． 18．（14分） 已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 19．（14分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 20．（15分）某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 21．（15分）对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请直接写出集合和； （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； （3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考（人教A版） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章-选择性必修第三册第七章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算的值为（    ） A．17 B．20 C．26 D．29 【答案】A 【详解】. 2．已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 3．已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二项分布概率公式计算求解. 【解答过程】∵随机变量X服从二项分布，∴， 故选：A． 4．城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（    ）种不同的安排方式 A．9 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：， 情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：， 所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）. 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因为，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 6．已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，所以在上单调递增，则，即，所以. 7．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 【答案】D 【分析】分别用5种颜色，4种颜色和3种颜色，根据相邻的区域不能涂同一种颜色求解. 【详解】如图所示： 当选择5种颜色时，从6种颜色中选5种共有种方法, 将选出的5种颜色分配给5个区域有种方法,总方法数为种， 当选择4种颜色时，从6种颜色中选4种共有种方法, 从（A,D）或（B,C）中选择一组涂同一颜色，有2种选择， 比如选择（A,D）组，将选出的4种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 当选择3种颜色时，从6种颜色中选3种共有种方法, 则（A,D），（B,C）各涂同一颜色，有1种选择， 将选出的3种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 则所有的方法数为种. 8．一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得. 【解答过程】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式，故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情况有种， 故， 所以 . 故选：C. 9．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到第3行到第10行的各行的第4个数的和为，结合组合数的性质，即可求解. 【详解】由二项式， 可得第3行到第10行的各行的第4个数的和为， 又由组合数的性质知：且 所以，即第3行到第10行的各行的第4个数的和为. 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建函数，利用导数可证，即可得，在结合正弦函数的性质分析判断. 【详解】构建函数，则， 令，得；令，得； 可知在上单调递减，在上单调递增，则， 可得，当且仅当时取等号， 则， 由正弦函数的有界性可知，则， 又因为，则，所以． 故选：C． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知函数，则的值为__________  . 【答案】 【分析】求导可得，令即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，解得. 故答案为： 12．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则___________. 【答案】 【解题思路】应用条件概率公式及概率基本性质计算求解. 【解答过程】由，有， 又由， 可得. 故答案为：. 13．若的展开式中的系数为30，则__________ 【答案】 【详解】因为的展开式的通项公式为，其中， 令，得，即， 所以的展开式中的系数为，解得. 14．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则___________．    【答案】 【解题思路】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【解答过程】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 故答案为：. 15．已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】 【分析】将条件变形可得，令，利用导数求得的单调性，可得，即，令，利用导数求得的单调性和最值，分析即可得答案. 【详解】由题意，，可得， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 又， 所以，对任意的恒成立， 所以，只需即可， 设，，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 又，且， 所以， 所以，则实数的最大值为. 故答案为： 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 17．（13分）A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为，现从这三个地区中任选一人． (1)求这个人有“强基计划”报名资格的概率； (2)如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校的概率． 【答案】(1)0.05 (2)0.36 【解题思路】（1）首先求得，，，，，，然后结合全概率公式即可求解. （2）由条件概率公式即可求解. 【解答过程】（1）记事件D：选取的这个人有“强基计划”报名资格，记事件E：此人来自A学校，记事件F：此人来自B学校，记事件G：此人来自C学校， 则，且E，F，G彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 ． （2）由条件概率公式可得. 18．（14分） 已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)1 (2)18 (3) 【分析】（1）应用赋值法计算求解； （2）先左右求导，再应用赋值法计算求解； （3）应用换元法化简，再应用二项式通项公式计算求解. 【详解】（1）令，可得； （2）两边求导可得， 再令，可得； （3）令， 即求， 中的系数为， 所以. 19．（14分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2)1个 【分析】（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式在恒成立即可求得的取值范围； （2）易知，由导函数求得其在上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1个. 【详解】（1）由可得其定义域为，且， 所以， 若在上为“凸函数”可得在恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，需满足，可得； 综上可得的取值范围为； （2）若，可得，所以， 令，则； 易知在区间上恒成立， 因此可得在上单调递减； 显然，； 根据零点存在定理可得存在使得， 因此可知当时，，即在上为单调递增； 当时，，即在上为单调递减； 又，显然在上不存在零点； 而，结合单调性可得在上存在一个零点； 综上可知，在区间上仅有1个零点. 20．（15分）某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)不正确 (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面试的概率，比较大小，即可求解； （3）根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为. （2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为， 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误. （3）解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， , 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望. 21．（15分）对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请直接写出集合和； （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； （3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 【答案】（1）， （2）最大值为31，最小值为11 （3）最小值为13，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算； （2）根据新定义可得当集合中的数字由大于1的因子组成时，中元素个数最大，当集合中的数字构成等比数列时，中元素个数最小，然后求最值即可； （3）对集合和分类，得到，，然后分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有31个元素， 可能构造如下：， 则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中的数字由大于1的因子组成； 最小值：不妨设，显然有， 则， 则至少有11个元素， 可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可. 【小问3详解】 中至少有13个元素，可能得构造如下：， 所以， 证明如下： 考虑对集合进行分类：，，， 设，，，表示集合中元素的个数， 则，， 设，在对集合进行分类： ，，， 设，，，分析与的关系： 对集合中的元素：，则， 则①； 对集合中的元素：②； 对集合中的元素：， 则， 则③； ①+②+③得到 ， 因为，则当时，，当或时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立， 从而元素个数至少为13. 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考（人教A版） 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D A D A B D C A C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12． 13． 14. 15. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即.(6分) （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和.（14分） 17．（13分） 【详解】（1）记事件D：选取的这个人有“强基计划”报名资格，记事件E：此人来自A学校，记事件F：此人来自B学校，记事件G：此人来自C学校， 则，且E，F，G彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 ．（8分） （2）由条件概率公式可得.（13分） 18．（14分） 【详解】（1）令，可得；（4分） （2）两边求导可得， 再令，可得；（8分） （3）令， 即求， 中的系数为， 所以.（14分） 19．（14分） 【详解】（1）由可得其定义域为，且， 所以， 若在上为“凸函数”可得在恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，需满足，可得； 综上可得的取值范围为；（6分） （2）若，可得，所以， 令，则； 易知在区间上恒成立， 因此可得在上单调递减； 显然，； 根据零点存在定理可得存在使得， 因此可知当时，，即在上为单调递增； 当时，，即在上为单调递减； 又，显然在上不存在零点； 而，结合单调性可得在上存在一个零点； 综上可知，在区间上仅有1个零点.（14分） 20．（15分） 【详解】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为.（4分） （2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为， 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误.（8分） （3）解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， , 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望.（15分） 21．（15分） 【小问1详解】 ，.（2分） 【小问2详解】 最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有31个元素， 可能构造如下：， 则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中的数字由大于1的因子组成； 最小值：不妨设，显然有， 则， 则至少有11个元素， 可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可.（6分） 【小问3详解】 中至少有13个元素，可能得构造如下：， 所以，（8分） 证明如下： 考虑对集合进行分类：，，， 设，，，表示集合中元素的个数， 则，， 设，在对集合进行分类： ，，， 设，，，分析与的关系： 对集合中的元素：，则， 则①； 对集合中的元素：②； 对集合中的元素：， 则， 则③； ①+②+③得到 ， 因为，则当时，，当或时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立， 从而元素个数至少为13.（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $