专题08 平面向量高频考点与常见5大题型（高频考点专练）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08 平面向量高频考点与常见5大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 向量的基本概念与表示 题型二 向量的线性运算（加法、减法、数乘） 题型三 向量的分解与合成 题型四 向量在几何证明中的应用 题型五 向量与图型运动综合 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 平面向量是上海中考数学的特色考点，也是区别于全国卷的重要板块。向量在上海中考中通常出现在选择题第5题或填空题第13-14题（4分），偶尔在解答题第19-20题中涉及向量的基本运算，分值约4-8分，占全卷的3%-5%。专家指出，向量是连接代数与几何的桥梁，考查学生运用向量工具解决几何问题的能力。 从近五年考情看，向量的考点主要集中在以下方面：向量的线性运算（加法、减法、数乘，5年4考）、向量的分解（用有公共起点的两个向量表示第三个向量，5年3考）、向量在几何中的应用（如用向量证明线段平行、三点共线等，5年2考）。2026年中考命题中，向量的考查预计将保持稳定，难度以基础题为主，侧重对向量运算法则的理解和运用。 向量题型的核心能力要求包括：向量运算法则的熟练运用（三角形法则、平行四边形法则）、向量分解的基本方法（用两个不共线向量表示平面内任一向量）、几何意义的理解（能将向量关系翻译为几何关系，反之亦然）。 2026中考预测： 题型稳定：向量的基本运算（加法、减法、数乘）将继续稳定在选择或填空位置，考查形式可能为直接计算型或几何意义辨析型。向量的分解（如在平行四边形或三角形背景中表示向量）是高频考点，预计2026年仍会出现。向量与平行四边形、三角形中位线等几何知识的结合是命题的常见模式。 难度平稳：向量题的难度通常控制在0.75-0.85之间，属于基础到中档题。题目的运算量不大，更强调对运算法则和几何意义的正确理解。学生在向量题目上的主要失分原因是运算法则混淆（如减法方向搞反）和向量分解时找错基向量。 命题趋势：向量与图形运动（平移）的结合是近年来的新趋势。平移本质上就是向量的加法，用向量的观点看待图形运动成为新视角。同时，向量与平面直角坐标系的结合也可能出现，如用坐标表示向量并进行运算。 题型一 向量的基本概念与表示 【真题呈现01】（2026·上海·黄浦二模） 已知向量与方向相反，且，那么_____（用向量表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得到向量与的模长关系和方向关系，根据共线向量的性质解答即可． 【详解】解：∵向量与方向相反，且， ∴， ∵两个向量方向相反，系数为负， ∴． 故答案为． 【变式01】（2026·上海·浦东二模） 已知 ，下列说法中，不正确的是（　　） A． B．与方向相同 C． D． 【答案】A 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、，故该选项说法错误，符合题意； B、因为，所以与方向相同，故该选项说法正确，不符合题意； C、因为，所以，故该选项说法正确，不符合题意； D、因为，所以，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行． 【变式02】（2026·上海·宝山一模）下列关于向量的说法中，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果（为非零向量），那么 C. 如果是单位向量，那么 D. 如果与互为相反向量，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查向量的基本概念，包括零向量、单位向量、平行向量和相反向量，若，则可为任意数，据此可判断A；根据平行向量的定义可判断B；单位向量的模为1，据此可判断C；根据相反向量的定义可判断D． 【详解】解：A、若，则可为任意数，不一定有，原说法错误，不符合题意； B、如果（为非零向量），那么，原说法正确，符合题意； C、如果是单位向量，那么，原说法错误，不符合题意； D、如果与互为相反向量，那么，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式03】（2026·上海·徐汇二模）在中，、分别是边、的中点，下列说法不正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】结合向量平行、相等、模长的概念，以及三角形中位线的性质，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， 对于选项A，，因此，A说法正确； 对于选项B，与模长相等，但方向相反，满足，因此，B说法不正确； 对于选项C，E是中点，，因此，C说法正确； 对于选项D，是的中位线，且，方向相同，因此，D说法正确； 综上，答案选B． 【变式04】（2026·上海·杨浦二模）在中，点D在边上，，设，，那么可用、表示为______． 【答案】 【解析】【分析】先根据线段比例关系得到向量与的关系，再利用平面向量的三角形法则将转化为已知向量的线性组合， 即可得到结果. 【详解】解：∵点在边上，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 题型二 向量的线性运算（加法、减法、数乘） 【真题呈现02】（2025年上海市中考数学真题）在正方形中，值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了向量、向量的加法及向量模，理解这些知识是关键；在正方形中，向量相加的模长即为正方形对角线的长，它与边长的比值可通过勾股定理直接计算即可． 【详解】解：设正方形边长为，由勾股定理得：； 在正方形中， 表示从A到B再到C的路径，其结果为向量，即； ∴． 故选：C． 【变式01】（2026·上海·崇明二模） 在梯形中，，，AC与BD交于点P，令，，那么____________；（用向量、表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量的运算法则求出，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，画图如下： ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式02】（2026·上海·金山二模） 在中，设，，点在边上且，用、的线性组合表示__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据得到，最后利用向量加法运算求出． 【详解】解：，， ， 点在边上，且， ， ． 【变式03】（2026·上海·闵行二模） 在中，，，，那么____． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理计算，然后根据向量加法的三角形法则求解． 【详解】解：如图， 在中，，，， 由勾股定理得， ∴． 【变式04】（2026·上海·嘉定二模）如图，已知、分别为的边、的中点，设，，则向量______．（用向量、表示） 【答案】 【解析】 【分析】、分别为的边、的中点，则有，， 【详解】，， 【点睛】本题考查向量的减法运算，以及三角形的中位线定理. 【变式05】（2026·上海·黄浦一模）已知直角坐标平面内点，，记向量，，如果，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中向量线性运算，掌握向量坐标的加减和数乘规则是解题的关键． 根据向量坐标运算规则，直接计算的表达式即可． 【详解】根据题意， 则， ∴ 点的坐标为． 故选：B． 题型三 向量的分解与合成 【真题呈现03】（2026·上海·宝山二模）如图，在中，的平分线交于点E，，设，，那么用向量、表示向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，再根据三角形法则进行计算即可. 【详解】解：∵中，的平分线交于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式01】（2026·上海·奉贤二模） 已知，垂足为，设，那么用向量、表示为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一可得D为中点，再利用平面向量的加减运算法则，将用，表示即可． 【详解】解：，， ， 又，， ， 【变式02】（2026·上海·静安二模） 在中，点是边的中点，，，那么________________．（用、表示） 【答案】 【解析】 【分析】延长到，使得，连接．首先证明，，利用三角形法则求出即可解决问题； 【详解】解：延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式03】（2026·上海·普陀二模）如图，菱形的对角线相交于点，如果，那么的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由菱形性质、勾股定理及向量加法的平行四边形法则求解即可． 【详解】解：， ， 菱形的对角线相交于点， ，，，且， 在中，，设，则，由勾股定理可得， ，， 则． 题型四 向量在几何证明中的应用 【真题呈现04】（2024年上海市中考数学真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，=，若，则___________（结果用含，的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 是上一点，， ， ， ， 故答案为：． 【变式01】（2026·上海·虹口二模） 如图，在中，对角线、交于点，为的重心，连接并延长交于点，设，，那么用向量、表示是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质三角形法则求出，根据重心的性质，相似三角形的判定与性质求出，即可求解． 【详解】解：∵在中，对角线、交于点，，， ∴，，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式02】（2026·上海·松江二模） 如图，已知点是的重心，如果，，那么______．（结果含、的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点D，先求出，再利用三角形法则求出，然后利用三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：延长交于点D， ∵点是的重心，， ∴是的中线， ∴， 又， ∴， ∵点G是的重心， ∴， 【变式03】（2026·上海·长宁二模） 在正方形中，是其对角线，那么的值为________． 【答案】 【解析】【分析】本题可通过设正方形边长，建立平面直角坐标系，求出对应向量的坐标，再根据模长公式计算两个模长，最后求解比值． 【详解】解：设正方形的边长为，建立平面直角坐标系，令，，，，可得 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∴． 【变式04】（2026·上海·黄浦一模） 如图，正方形中，、分别为边、的中点，与交于点．设，，那么________．（用向量、表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 依题意，设，得到，再由，化简可得，进而得到，解方程组即可． 【详解】解：设， 正方形中，为边的中点， ， ， 为边的中点， ， 、、三点共线， 存在实数，， ， ，解得， ． 故答案为：． 题型五 向量与图型运动综合 【真题呈现05】（2023年上海市中考数学真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵向量，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键 【变式01】（2026·上海·宝山一模） 如图，在梯形中， ，连接，过点作交于点、． （1）设，试用的线性组合表示向量； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了向量的线性运算，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）先表示出，再由四边形法则求解即可； （2）先解求出，然后证明四边形为平行四边形，再由求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式02】（2026·上海·静安一模） 如图，已知点是的重心，点，分别在边、上，线段经过点，且，设，，那么用向量、表示向量为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，向量的线性运算，重心的性质等知识，求出，再根据相似三角形的判定和性质证明，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴ ∵点，分别在边、上，线段经过点，且， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【变式03】（2026·上海·杨浦一模）如图，中，点D在边上，． （1）设，，那么______．（用含有向量和表示） （2）如果，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算和相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算法则和相似三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意可推出，则有，再根据计算即可解答； （2）根据题意易证，得到，结合，，即可求得长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． （限时训练：20分钟） 1.（2026·上海·金山一模）下列命题中真命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果两个相等的向量相减，那么结果为0 C. 如果和都是单位向量，那么 D. 如果，那么 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查向量的基本概念，包括向量的平行、相等、单位向量和模长 【详解】对于A: ∵， ∴ 与 平行，命题真； 对于B: ∵ 两个相等向量相减结果为零向量（），而不是数量0，假命题； 对于C: ∵ 单位向量模长均为1但方向可能不同， ∴ 与 不一定相等，命题假； 对于D: ∵ 只表示模长相等方向可能不同， ∴ 与 不一定相等，命题假． ∴ 真命题是A． 故选：A． 2.（2026·上海·金山一模）在中，设，点是的边的中点，如果用的线性组合表示向量，那么的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量的简单计算问题，熟练掌握平面向量的简单计算是解题的关键． 点是边的中点，根据中点公式，向量可以表示为向量和的线性组合，且系数之和为1． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 因此，， ∴， 故答案为：1． 3.（2026·上海·杨浦一模）已知向量与单位向量方向相反，且，那么________．（用向量的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量以及向量反向的定义是解题的关键． 根据单位向量的定义和向量方向相反的条件，结合模长关系求解． 【详解】∵ 向量 与单位向量 方向相反，且 ，， ∴ ． 故答案为：． 4.（2026·上海·闵行一模）下列说法中，一定正确的是（） A. 如果、是非零向量，且，那么 B. 如果是单位向量，那么 C. 向量与是相等向量 D. 如果是非零向量，那么 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查向量，根据向量的基本概念和平行向量的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：∵选项A中, 且非零， ∴是的标量倍数，方向相反， ∴，故A正确； ∵选项B中，单位向量的模为1，但向量不等于标量1，故B错误； ∵选项C中，向量与方向相反，不是相等向量，故C错误； ∵选项D中，当时,是零向量，但等式中“0”可能表示标量，向量不等于标量，故D错误； 故选： A． 5.（2026·上海·闵行一模）计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算，先根据向量的数乘分配律去括号，再合并同类向量． 【详解】解：． 故答案为：． 6. （2026·上海·浦东一模）计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线性向量、向量的加减等知识点，掌握数的运算律同样适用于向量是解题的关键． 先用分配律计算，再合并同类向量即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7. （2026·上海·普陀一模）设非零向量、、，如果，，那么下列说法中错误的是（　　） A. B. 与方向相反 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，根据非零向量、、，有，，即可推出，然后逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：∵，且， ∴， 对于 A：∵，∴，正确； 对于 B：∵ ，∴ 与 方向相反，正确； 对于 C：，正确； 对于 D：，错误； 故选 D． 8. （2026·上海·青浦一模）已知实数及非零向量，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，根据向量模的性质，标量乘法后的模等于标量的绝对值乘以向量的模． 【详解】解：A、对于任意实数和非零向量，有，故此选项正确，符合题意； B、选项中左边为向量，右边为标量，类型不匹配，故此选项错误，不符合题意； C、选项中左边为向量，右边为标量，类型不匹配，故此选项错误，不符合题意； D、选项中当时，，故不成立，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 9.（2026·上海·青浦一模）已知四边形对角线交于点，如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，向量的相关知识，若两个非零向量满足（其中k是实数，且），那么，且，则，证明得到，据此可判断A、B；可证明与不平行，与不平行，据此可判断C、D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，故A正确，B不正确， ∵四边形的对角线交于点， ∴与不平行， ∴，故C不正确； ∵， ∴四边形不是平行四边形， ∴与不平行， ∴，故D不正确； 故选：A。 10.（2026·上海·松江一模）如果向量、和满足，那么_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查向量的运算． 利用等式性质解向量方程即可． 【详解】解：由， 得， 移项，得， 所以． 故答案为：． 11.（2026·上海·浦东一模）如图，在中，点在边上，且，点在的延长线上，．已知，． （1）用向量分别表示向量___________，___________． （2）作出向量分别在方向上的分向量． （写出结论，不要求写作法）． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的知识和平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用． （1）根据向量减法的三角形法则就可求出向量，由，，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，继而求得，又因为，即可求得； （2）做出的图形中，在、上的分向量分别为，． 【小问1详解】 解：∵，， ∵，， ∴， ∴， ∵与方向相同， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 在、上的分向量如图所示： 作法：（1）将向上平移使得点A与点B重合，平移后的向量记为 （2）过点D作，交于点M，为在上的分向量； （3）过点D作，交于点N，为在上的分向量； 做出的图形中，在、上的分向量分别为，． 12.（2026·上海·闵行一模）如图，已知平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设． （1）填空：向量___________，向量___________． （注：本题结果用含向量的式子表示） （2）作出向量分别在方向上的分向量． （注：画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平面向量、三角形中位线定理、平行四边形的性质、作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得．由平行四边形的性质得，，可得，则,．由题意得，则可得,． （2）结合平面向量的分向量的定义作图即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴ 【小问2详解】 解：在上的分向量为，在上的分向量为 13.（2026·上海·普陀一模）如图，已知线段与交于点O，点E、F分别在和上，，射线与交于点G，，． （1）求的长； （2）连接，设，，那么___________，___________．（用向量、表示） 【答案】（1）4 （2）， 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，平面向量的加减运算； （1）由题意得，，，求得，，列比例方程求解即可； （2）由题意得，，，，根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴，； ∴，即， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示： ∵，， ∴，； ∴； ∵， ∴， ∴，． 14.（2026·上海·青浦一模）如图，在梯形中，，已知，点E是中点，连接交于点G． （1）如果的面积等于5，求的面积； （2）设，，求向量关于向量、的分解式． 【答案】（1）45 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，向量的线性计算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，根据相似三角形的面积比等于相似比进行求解即可； （2）作，证明，推出，，证明四边形为平行四边形，得到，再根据三角形法则，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，点E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的面积等于5， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∴， 作， 则， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 15.（2026·上海·长宁一模）如图，已知点是的重心，连接并延长交边于点，连接，过点作交边于点． （1）如果设，试用表示． （2）当，，时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形法则求出，再根据，即可解决问题． （2）首先证明，推出，由勾股定理得出，求出，再证明，利用相似三角形的性质求出的面积． 【小问1详解】 解：∵G是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面向量高频考点与常见5大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 向量的基本概念与表示 题型二 向量的线性运算（加法、减法、数乘） 题型三 向量的分解与合成 题型四 向量在几何证明中的应用 题型五 向量与图型运动综合 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 平面向量是上海中考数学的特色考点，也是区别于全国卷的重要板块。向量在上海中考中通常出现在选择题第5题或填空题第13-14题（4分），偶尔在解答题第19-20题中涉及向量的基本运算，分值约4-8分，占全卷的3%-5%。专家指出，向量是连接代数与几何的桥梁，考查学生运用向量工具解决几何问题的能力。 从近五年考情看，向量的考点主要集中在以下方面：向量的线性运算（加法、减法、数乘，5年4考）、向量的分解（用有公共起点的两个向量表示第三个向量，5年3考）、向量在几何中的应用（如用向量证明线段平行、三点共线等，5年2考）。2026年中考命题中，向量的考查预计将保持稳定，难度以基础题为主，侧重对向量运算法则的理解和运用。 向量题型的核心能力要求包括：向量运算法则的熟练运用（三角形法则、平行四边形法则）、向量分解的基本方法（用两个不共线向量表示平面内任一向量）、几何意义的理解（能将向量关系翻译为几何关系，反之亦然）。 2026中考预测： 题型稳定：向量的基本运算（加法、减法、数乘）将继续稳定在选择或填空位置，考查形式可能为直接计算型或几何意义辨析型。向量的分解（如在平行四边形或三角形背景中表示向量）是高频考点，预计2026年仍会出现。向量与平行四边形、三角形中位线等几何知识的结合是命题的常见模式。 难度平稳：向量题的难度通常控制在0.75-0.85之间，属于基础到中档题。题目的运算量不大，更强调对运算法则和几何意义的正确理解。学生在向量题目上的主要失分原因是运算法则混淆（如减法方向搞反）和向量分解时找错基向量。 命题趋势：向量与图形运动（平移）的结合是近年来的新趋势。平移本质上就是向量的加法，用向量的观点看待图形运动成为新视角。同时，向量与平面直角坐标系的结合也可能出现，如用坐标表示向量并进行运算。 题型一 向量的基本概念与表示 【真题呈现01】（2026·上海·黄浦二模） 已知向量与方向相反，且，那么_____（用向量表示）． 【变式01】（2026·上海·浦东二模） 已知 ，下列说法中，不正确的是（　　） A． B．与方向相同 C． D． 【变式02】（2026·上海·宝山一模）下列关于向量的说法中，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果（为非零向量），那么 C. 如果是单位向量，那么 D. 如果与互为相反向量，那么 【变式03】（2026·上海·徐汇二模）在中，、分别是边、的中点，下列说法不正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【变式04】（2026·上海·杨浦二模）在中，点D在边上，，设，，那么可用、表示为______． 题型二 向量的线性运算（加法、减法、数乘） 【真题呈现02】（2025年上海市中考数学真题）在正方形中，值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【变式01】（2026·上海·崇明二模） 在梯形中，，，AC与BD交于点P，令，，那么____________；（用向量、表示） 【变式02】（2026·上海·金山二模） 在中，设，，点在边上且，用、的线性组合表示__________． 【变式03】（2026·上海·闵行二模） 在中，，，，那么____． 【变式04】（2026·上海·嘉定二模）如图，已知、分别为的边、的中点，设，，则向量______．（用向量、表示） 【变式05】（2026·上海·黄浦一模）已知直角坐标平面内点，，记向量，，如果，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 题型三 向量的分解与合成 【真题呈现03】（2026·上海·宝山二模）如图，在中，的平分线交于点E，，设，，那么用向量、表示向量是______． 【变式01】（2026·上海·奉贤二模） 已知，垂足为，设，那么用向量、表示为___________ 【变式02】（2026·上海·静安二模） 在中，点是边的中点，，，那么________________．（用、表示） 【变式03】（2026·上海·普陀二模）如图，菱形的对角线相交于点，如果，那么的值为________． 题型四 向量在几何证明中的应用 【真题呈现04】（2024年上海市中考数学真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，=，若，则___________（结果用含，的式子表示）． 【变式01】（2026·上海·虹口二模） 如图，在中，对角线、交于点，为的重心，连接并延长交于点，设，，那么用向量、表示是______． 【变式02】（2026·上海·松江二模） 如图，已知点是的重心，如果，，那么______．（结果含、的式子表示） 【变式03】（2026·上海·长宁二模） 在正方形中，是其对角线，那么的值为________． 【变式04】（2026·上海·黄浦一模） 如图，正方形中，、分别为边、的中点，与交于点．设，，那么________．（用向量、表示） 题型五 向量与图型运动综合 【真题呈现05】（2023年上海市中考数学真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示________． 【变式01】（2026·上海·宝山一模） 如图，在梯形中， ，连接，过点作交于点、． （1）设，试用的线性组合表示向量； （2）已知，，求的值． 【变式02】（2026·上海·静安一模） 如图，已知点是的重心，点，分别在边、上，线段经过点，且，设，，那么用向量、表示向量为_____． 【变式03】（2026·上海·杨浦一模）如图，中，点D在边上，． （1）设，，那么______．（用含有向量和表示） （2）如果，，求的长． （限时训练：20分钟） 1.（2026·上海·金山一模）下列命题中真命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果两个相等的向量相减，那么结果为0 C. 如果和都是单位向量，那么 D. 如果，那么 2.（2026·上海·金山一模）在中，设，点是的边的中点，如果用的线性组合表示向量，那么的值为____． 3.（2026·上海·杨浦一模）已知向量与单位向量方向相反，且，那么________．（用向量的式子表示） 4.（2026·上海·闵行一模）下列说法中，一定正确的是（） A. 如果、是非零向量，且，那么 B. 如果是单位向量，那么 C. 向量与是相等向量 D. 如果是非零向量，那么 5.（2026·上海·闵行一模）计算：___________． 6. （2026·上海·浦东一模）计算：___________． 7. （2026·上海·普陀一模）设非零向量、、，如果，，那么下列说法中错误的是（　　） A. B. 与方向相反 C. D. 8. （2026·上海·青浦一模）已知实数及非零向量，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9.（2026·上海·青浦一模）已知四边形对角线交于点，如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10.（2026·上海·松江一模）如果向量、和满足，那么_____________． 11.（2026·上海·浦东一模）如图，在中，点在边上，且，点在的延长线上，．已知，． （1）用向量分别表示向量___________，___________． （2）作出向量分别在方向上的分向量． （写出结论，不要求写作法）． 12.（2026·上海·闵行一模）如图，已知平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设． （1）填空：向量___________，向量___________． （注：本题结果用含向量的式子表示） （2）作出向量分别在方向上的分向量． （注：画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 13.（2026·上海·普陀一模）如图，已知线段与交于点O，点E、F分别在和上，，射线与交于点G，，． （1）求的长； （2）连接，设，，那么___________，___________．（用向量、表示） 14.（2026·上海·青浦一模）如图，在梯形中，，已知，点E是中点，连接交于点G． （1）如果的面积等于5，求的面积； （2）设，，求向量关于向量、的分解式． 15.（2026·上海·长宁一模）如图，已知点是的重心，连接并延长交边于点，连接，过点作交边于点． （1）如果设，试用表示． （2）当，，时，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $向量：大小+方向；模a≥0 零向量：0三0，方向任意 知识要点O 单位向量：e=1 相等向量：模等+同向 相反向量：模等十反向 相等判定：先模后方向 题型一向量的基本概念与表示。 求模：距离公式 解题步骤o 零向量：判模是否为0 画向量：定起点、方向、长度 相等向量与起点无关 0不能作基向量 易错提醒 AB与BA为相反向量 单位向量方向不唯 加法： 三角形法则、平行四边形法则 知识要点o 减法：同起点、a-b=a+(-b) 数乘：ka=·a;k>0同向，k<0反向 加法：平移首尾相接 题型二向量的线性运算○ 解题步骤o 减法：转化加相反向量 数乘：分配律、结合律化简 减法方向易画反 易错提醒0 平行四边形法则需共起点 数乘运算律勿展开出错 平面基本定理：a=ce1+ye2,e1,e2不共线 知识要点。 常见模型：平行四边形、中线、重心向量 选取不共线基底AB,AC 标注向量路径、按法则分解 题型三向量的分解与合成○ 解题步骤0 利用中点/比例求系数 整理为ca十yb形式 基向量必须不共线 易错提醒O 分解系数唯 不同起点需平移转化 三点共线：AC=入AB 知识要点○ 中点公式：OD=2(OA+OB) 平行四边形： AB=DC 向量平行：存在入使a=入b 几何条件转向量语言 题型四向量在几何证明中的应用○ 用基底表示相关向量 解题步骤○ 建立等式/比例关系 解方程推导结论 共线证明需同一起点 易错提醒O 四边形向量方向勿颠倒 向量平行书线段重合 平移：各点加同一向量 知识要点O 翻折/旋转：模不变，方向改变 平移中对应向量保持不变 确定运动类型与参数 找运动前后对应点 题型五向量与图形运动综合。 解题步骤⊙ 向量表示位置关系 结合相似、比例列方程求解 平移坐标变、向量不变 易错提醒○ 翻折不保证向量相等 旋转区分顺/逆时针