4.2方差（教学课件）数学新教材湘教版八年级下册

4.2 方差 第4章 数据分析 导入新课 我们前面学习了哪些量能反映一组数据的集中趋势？ 众数 平均数（算术平均数）： x = (x1+ x2 + x3+… + xn) n 1 x1w1 + x2w2 +…+ xnwn 加权平均数： 中位数 在数据分析中还有其他情况出现：如：数据与其平均数的偏离程度。 今天，我们一起来学习 ——方差。 学 习 目 标 1 2 3 理解离差平方和、方差的意义（重点） 会计算一组数据的离差平方和、方差（重点） 能利用方差比较几组数据的离散程度或波动大小（难点） 新知探究 思 考 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. （1）两人的平均成绩分别是多少？ (1)刘亮成绩的平均数是 7+8+8+9+7+8+8+9+7+9 10 =8； 李飞成绩的平均数是 6+8+7+7+8+9+10+7+9+9 10 =8. 即两人的平均成绩相同. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 刘亮的射击成绩 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 李飞的射击成绩 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 将刘亮和李飞的射击成绩分别描在统计图中。 新知探究 观察统计图，你发现了什么？ 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 刘亮的射击成绩 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 李飞的射击成绩 新知探究 刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8环附近. 李飞的射击成绩与其平均成绩8的偏离程度较大. 一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小. 新知探究 探 究 如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？ 以小组为单位，小组合作完成 问题1：用各个数据与平均数的差之和能不能刻画这组数据的离散程度？ 问题2：用各个数据与平均数的差的绝对值之和能不能刻画这组数据的离散程度？ 问题3： 用各个数据与平均数的差的平方和能不能刻画这组数据的离散程度？ 不能刻画数据的离散程度. 能刻画数据的离散程度.和越大，离散程度就越大 能刻画数据的离散程度.和越大，离散程度就越大 以下列两组数据为例： （1）4，5，6，7，8；（2）3，6，6，6，9. 有两组数据：（1）4，5，6，7，8；（2）3，6，6，6，9. 对于（1）， =6，则这组数据与的差的绝对值之和： | 4－6 |+| 5－6 |+| 6－6 |+| 7－6 |+| 8－6 |=6 这组数据与的差的平方和： (4－6)2+(5－6)2+(6－6)2+(7－6)2+(8－6)2=10 对于（2）， =6，则这组数据与的差的绝对值之和： | 3－6 |+| 6－6 |+| 6－6 |+| 6－6 |+| 9－6 |=6 这组数据与的差的平方和： (3－6)2+(6－6)2+(6－6)2+(6－6)2+(9－6)2=18 可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度. 新知探究 新知探究 总结归纳 离差平方和的概念： 设一组数据为 x1，x2，…，xn，各个数据与平均数　 之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作 S2。 求离差平方和的公式： 离差平方和的意义： 离差平方和 S² 刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度. 如何刻画一组数据与其平均数的平均离散程度呢？ 方差 新知探究 总结归纳 方差的概念： 求方差的公式： 方差的意义： 设一组数据为 x1， x2，…， xn，各个数据与平均数 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作 s2. s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2]. x x x n 1 s2 = 方差反映了一组数据的离散程度或波动大小。 方差越小，说明数据越集中，数据离散或波动的程度就越小； 方差越大，说明数据越分散，数据离散或波动的程度也就越大。 典例分析 例1 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 分别计算刘亮和李飞的射击成绩的离差平方和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定. 因此，刘亮的射击成绩比李飞稳定. 典例分析 例2 有两个女声小合唱队，各由5 名队员组成.她们的身高（单位：cm）为： 甲队：160，162，159，160，159； 乙队：169，165，157，150，164. 试判断哪队队员身高比较整齐. 计算结果表明， 因此，甲队队员的身高比较整齐. 解：甲队队员的平均身高是 甲队队员身高的离差平方和是 于是方差 乙队队员的平均身高是 乙队队员身高的离差平方和是 于是方差 方差反映了一组数据的离散程度或波动大小。 方差越小，说明数据越集中，数据离散或波动的程度就越小； 方差越大，说明数据越分散，数据离散或波动的程度也就越大。 新知探究 总结归纳 求方差的公式： s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2]. x x x n 1 s2 = 基础巩固题 新知应用 1、要判断小楠同学的数学考试成绩是否稳定，请问需要知道他近几次数学考试成绩的（ ） A.方差 B.众数 C.平均数 D.中位数 A 2．有甲、乙两组数据，已知甲组数据的方差为0.5，乙组数据的方差为0.2，那么甲、乙两组数据的波动程度是（　　） A．甲组数据的波动比较大 B．乙组数据的波动比较大 C．甲、乙两组数据的波动程度相同 D．甲、乙两组数据的波动程度无法比较 A 方差反映了一组数据的离散程度或波动大小。 方差越小，说明数据越集中，数据离散或波动的程度就越小； 方差越大，说明数据越分散，数据离散或波动的程度也就越大。 基础巩固题 新知应用 3、甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表： 某同学分析上表后得出如下结论： ① 甲、乙两班学生成绩平均水平相同；② 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150 个为优秀)；③ 甲班成绩的波动比乙班大. 上述结论正确的有 . 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 ①②③ 方差反映了一组数据的离散程度或波动大小。 方差越小，说明数据越集中，数据离散或波动的程度就越小； 方差越大，说明数据越分散，数据离散或波动的程度也就越大。 基础巩固题 新知应用 4. 已知一组数据5，8，8，9，10，下列说法错误的是（ ） A. 平均数是8 B. 众数是8 C. 中位数是8 D. 方差是8 D 5. (鄂州中考)已知一组数据7，2，5，x，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为 （ ） A. 3 B. 4.5 C. 5.2 D. 6 C 解析：x=5×5-(7+2+5+8)=3. s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2]. x x x n 1 基础巩固题 新知应用 6. 求下列各组数据的离差平方和与方差： （1）24，24，31，31，47，47，62，84，95，95； （2）10.1，9.8，9.7，10.2，10.3，9.9，10.0. 解 （1）离差平方和：7282 方差：728.2 （2）离差平方和：0.28 方差：0.04 s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2]. x x x n 1 基础巩固题 新知应用 7.李明的班上要派一名选手参加学校田径运动会的 100 m 赛跑， 李明和张亮都希望自己能参加比赛，他们在训练中 10 次的测试成绩（单位：s）为： 李明： 14.5，14.9，14.2，15.0，14.7，14.1，14.4，13.9，15.5，14.8； 张亮： 14.8，14.4，15.5，14.1，14.3，14.6，14.1，14.8，15.1，14.3. 根据两人的成绩，应该派谁去参加比赛？ 基础巩固题 新知应用 李明＝×(14.5+14.9+14.2+15.0+14.7+14.1+14.4 + 13.9+15.5+14.8)= 14.6 (s), x 张亮＝×(14.8+14.4+15.5+14.1+14.3+14.6+14.1+14.8+15.1+14.3)= 14.6 (s), x 解: S2李明=× [(14.5-14.6)2+ (14.9-14.6) 2+ (14.2-14.6) 2+ (15.0-14.6) 2+ (14.7-14.6) 2+ (14.1-14.6) 2+ (14.4-14.6) 2+ (13.9-14.6) 2+ (15.5-14.6) 2+ (14.8-14.6) 2] =× 2.06 =0.206, 新知应用 基础巩固题 S2张亮=× [(14.8-14.6)2+ (14.4-14.6) 2+ (15.5- 14.6) 2+ (14.1-14.6) 2+ (14.3-14.6) 2+ (14.6-14.6) 2+ (14.1-14.6) 2+ (14.8-14.6) 2+ (15.1- 14.6) 2+ (14.3-14.6) 2] =× 1.86 =0.186, 因为两人测试成绩的平均数相同，且李明测试成绩的方差比张亮测试成绩的方差大，所以李明的测试成绩的波动比张亮大，所以应该派张亮去参加比赛. 能力提升题 新知应用 ① 数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3 的 平均数为 ，方差为 ； ② 数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3 的 平均数为 ，方差为 . 8.若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 ，方差为 s2，则 x + 3 x - 3 x s2 s2 能力提升题 新知应用 9.中考体育测试有一个项目是足球颠球，九年级学生赵明和何亮为了训练足球颠球，他们各进行了五次足球颠球训练，下面是他们每次训练的颠球个数： 赵明：25，23，27，29，21；何亮：24，25，23，26，27. 试求出赵明和何亮在训练中足球颠球个数的离差平方和与方差，并判断谁的足球颠球更稳定？ 解：赵明：平均数：25；离差平方和：40；方差：8 何亮：平均数：25；离差平方和：10；方差：2 何亮的足球颠球更稳定. 课堂小结 方差 方差的统计学意义(判断数据的波动大小)： 方差越大（小），数据的波动越大（小） 离差平方和： 刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度. 方差： s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2]. x x x n 1 感谢聆听! $