专题07 函数的实际应用（6大题型专练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题07 函数的实际应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一次函数的实际应用 题型02 二次函数的实际应用 题型03 反比例函数的实际应用 题型04 函数与图形应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·浙江丽水·二模）共享电动车作为绿色便捷的交通工具，为短程出行带来很大的便利．如图反映了两种品牌共享电动车的收费元)与骑行时间（分）之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)当时，求关于的函数关系式； (2)小莲每天早上需骑共享电动车到单位上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300米／分，小莲家到单位的路程为4500米，问小莲选择这两种品牌共享电动车中的哪种骑行去单位会更省钱？省多少？ 【典例02】（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)完成这个光缆铺设工程用了多少天? (2)求乙队y关于x的函数关系式． (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 方法透视 考向解读 1. 分段函数问题：根据自变量取值范围分段表示函数关系，如。 2. 行程问题：利用“路程 = 速度 × 时间”建立函数关系，结合图象求交点、速度、时间等。 3. 方案选择问题：比较不同方案的费用，利用一次函数的增减性求最值。 4. 工程问题：利用“工作量 = 效率 × 时间”建立函数模型。 方法技能 一次函数解应用，分段行程与工程； 图象交点求速度，增减性定最值明。 变式演练 【变式01】（2023·浙江湖州·一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的． (1)求篮球、足球的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式； (3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 【变式02】（2026·浙江宁波·模拟预测）某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2． (1)求乙班返回时的速度． (2)求的函数表达式． (3)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值． 【变式03】（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 题型02 二次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2026·浙江宁波·模拟预测）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（    ） A．着陆坡的水平宽度米 B．点的坐标为 C． D．当的最大值为10米时， 【典例02】（2025·浙江宁波·模拟预测） 冰糖心苹果是阿克苏的特色农产品，它色泽光亮自然，水分足，果肉脆，口味甜， 深受市民喜爱．上市时， 王经理按市场价格 6 元/千克收购了 2000 千克苹果放入冷库中． 据预测，苹果的市场价格每天每千克将上涨 0.2 元，但冷库存放这批苹果每天需要支出各种费用 160 元，而且苹果在冷库中最多可以保存 50 天，同时，每天有 10 千克的苹果损坏不能出售． (1)若存放 天后，将这批苹果一次性出售，设这批苹果的销售总金额为 元，试写出 与 之间的函数解析式； (2)王经理想获得 3850 元的利润，需将这批苹果存放多少天后出售？(利润销售总金额收购成本各种费用) (3)王经理将这批苹果存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 方法透视 考向解读 1. 抛物线模型问题：如喷泉、投篮、拱桥等，建立二次函数模型，利用顶点坐标求最值。 2. 利润问题：利润 = (售价 − 进价) × 销量，得二次函数，求最大值。 3. 几何面积问题：利用面积公式建立二次函数，求最大面积。 4. 图象信息题：从图象中读取顶点坐标、与坐标轴交点等，用待定系数法求解析式。 方法技能 二次函数解应用，喷泉投篮抛物线； 利润最值配方法，顶点坐标是关键。 变式演练 【变式01】（2026·浙江·一模）如图1，中，，点P从A点出发沿折线运动，点Q从点A出发沿线段运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设P点运动时间为，的面积为．如图2是关于的函数图象，下列选项正确的是（    ） A． B． C．y的最大值为2.75 D．点在该函数图象上 【变式02】（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 【变式03】（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 题型03 反比例函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2023·浙江台州·模拟预测）如图甲是一款新能源智能汽车，车顶覆盖薄膜式太阳能电板；车窗采用“智能玻璃”，根据光照度可实现自动调节透明度．已知光照度和透明度关系如乙图所示．当光照度为200时，透明度为______． 【典例02】（2026·浙江湖州·模拟预测）为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂，下臂长均为．双臂对称张开时，始终保持水平，即． 【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计） 【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表： 旋转半径r（） 30 40 50 转动速度v（） 200 150 120 (1)请根据以上信息，求k的值（单位：）． (2)为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过，则旋转半径r至少为多少? (3)某动作设计需要机械双臂的转动速度v为，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角的正弦值． 方法透视 考向解读 1. 反比例模型问题：如压力与体积、速度与时间、电阻与电流等，满足（）。 2. 从表格或图象中确定 ( k ) 值：利用一组对应值代入求 ( k )。 3. 实际问题中的取值范围：结合反比例函数的增减性，求自变量的范围或函数值的范围。 4. 杠杆原理问题：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂，可转化为反比例关系。 方法技能 反比函数解应用，压力体积关系明； 表格图象求 ( k ) 值，增减范围要分清。 变式演练 【变式01】（2023·浙江台州·模拟预测）如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为； (1)求与的函数关系式； (2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由． 【变式02】（2025·浙江·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【变式03】（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 题型04 函数与图形应用 典例引领 【典例01】（2023·浙江台州·模拟预测）如图，将量角器放置在平面直角坐标系中，使0刻度线与x轴重合，且点O位于量角器边缘．双曲线经过量角器边缘上一点A，点A对应刻度为，点B是量角器中心，若，则k的值为（   ） A．9 B． C．18 D．18 【典例02】（2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 _____． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 _____． 方法透视 考向解读 1. 函数图象与几何图形结合：利用函数解析式求点坐标、线段长、面积等。 2. 面积分割问题：利用函数图象将图形分成面积相等的两部分，求直线解析式。 3. 最值问题：在几何图形中建立函数模型，利用函数性质求面积、周长的最值。 4. 动点问题：根据点的运动建立函数关系，结合图象分析函数变化趋势。 方法技能 函数图形相结合，坐标面积与周长； 动点建模求最值，数形结合是良方。 变式演练 【变式01】（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，一个边长为10的正方形，被2条平行于一组对边的直线，和2条平行于另一组对边的直线分成9个矩形，若中间矩形（标有“中”字样）的周长为10，则四个角落的矩形（阴影部分）面积之和的最大值为______． 【变式02】（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为_________． 【变式03】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点．点为轴上一点，连接，，当的周长最小时，点的坐标为_____． 题●型●训●练 1．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，当时，y的值为（   ） A．40L B．421 C．44L D．46L 3．（2023·浙江台州·二模）游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（    ）秒．    A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2023·浙江台州·一模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．（2025·浙江杭州·二模）如图，把一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将它悬挂．在中点的左侧与中点的距离为处挂一个重的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点时，弹簧秤的读数应为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江杭州·三模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度，是载重后总质量的反比例函数，已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度：当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 7．（2025·浙江温州·二模）如图，当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例．动力与动力臂的部分数据如表所示，则表中的值为______． 8．（2025·浙江台州·二模）如图1，在中，，点E是斜边上一个动点．过点E作，垂足为E，交边（或边）于点F，连接，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象如图2，已知，则________． 9．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______m时，水柱落点距离O点． 10．（2026·浙江杭州·模拟预测）某商店出售一批进价为每件20元的日用品，经调查发现，该日用品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足． (1)求日销售利润与销售单价之间的函数关系式． (2)销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 11．（2026·浙江宁波·一模）2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程与出发时间之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程与出发时间之间的函数关系如图2所示． (1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）． (2)求图中的值． (3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值． 12．（2025·浙江湖州·一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． (2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数的实际应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一次函数的实际应用 题型02 二次函数的实际应用 题型03 反比例函数的实际应用 题型04 函数与图形应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·浙江丽水·二模）共享电动车作为绿色便捷的交通工具，为短程出行带来很大的便利．如图反映了两种品牌共享电动车的收费元)与骑行时间（分）之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)当时，求关于的函数关系式； (2)小莲每天早上需骑共享电动车到单位上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300米／分，小莲家到单位的路程为4500米，问小莲选择这两种品牌共享电动车中的哪种骑行去单位会更省钱？省多少？ 【答案】(1) (2)小莲选择A品牌共享电动车骑行更省钱，省1元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，准确识图，数形结合思想解题是关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据小莲家到单位的距离和共享单车的速度可以求出小莲家到单位需要的时间，再根据两种共享单车的收费标准分别计算出两种共享单车所需要的费用，从而计算求解． 【详解】（1）解：当时，设， 由条件可知，解得， 所以； （2）解：设，由条件可知， 解得，所以． 因为， 所以（元）， （元）， （元）， 所以小莲选择A品牌共享电动车骑行更省钱，省1元． 【典例02】（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)完成这个光缆铺设工程用了多少天? (2)求乙队y关于x的函数关系式． (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 【答案】(1)14天 (2) (3)2天 【分析】（1）由函数图象即可得到答案； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）由原计划甲队y关于x的函数解析式，得到，求出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象得完成这个光缆铺设工程用了天； （2）解：设乙队y关于x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式； （3）解：， 原计划甲队y关于x的函数解析式， 甲、乙两队完成光缆工程需满足， 解得， （天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 方法透视 考向解读 1. 分段函数问题：根据自变量取值范围分段表示函数关系，如。 2. 行程问题：利用“路程 = 速度 × 时间”建立函数关系，结合图象求交点、速度、时间等。 3. 方案选择问题：比较不同方案的费用，利用一次函数的增减性求最值。 4. 工程问题：利用“工作量 = 效率 × 时间”建立函数模型。 方法技能 一次函数解应用，分段行程与工程； 图象交点求速度，增减性定最值明。 变式演练 【变式01】（2023·浙江湖州·一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的． (1)求篮球、足球的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式； (3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 【答案】(1)篮球每个100元，足球每个80元； (2)； (3)足球45个，篮球15，费用最少为5100元． 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要检验； （2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式； （3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少； 【详解】（1）设篮球每个x元，足球每个 元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 则足球的单价为： （元）， 答：篮球每个100元，足球每个80元； （2）由题意得：， 即w与m的函数关系式为； （3）由题意可得：， 解得：， ， 由（2）得：， ， 随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值， 此时元，，， 故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 【变式02】（2026·浙江宁波·模拟预测）某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2． (1)求乙班返回时的速度． (2)求的函数表达式． (3)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值． 【答案】(1) (2) (3)甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或 【分析】（1）根据函数关系图，利用速度路程时间即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出的函数表达式为，的函数表达式为，再根据函数关系图列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴乙班返回共用走完， ∴乙班返回时的速度为：． （2）解：∵， 设的表达式为，把代入得： ， 解得：， ∴的表达式为． （3）解：∵， 设的函数表达式为，则， 解得：， ∴的函数表达式为， 由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同， ∴， 解得：． ∵， 设的函数表达式为，则 ， 解得：， ∴的表达式为， 由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同， ∵的表达式为， ∴，解得：． 综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或． 【变式03】（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】(1)小丽，小明 (2) (3)8 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键． （1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：小丽的速度： 小丽到达点A的时间为， 小明到达点A的时间为：， 小明的速度：； （2）解：点B到点C所用时间为， 则点B的时间为， 点 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得，， 则线段的函数表达式为； （3）解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得， ， ， 解得，代入， ∴， 离山庄的路程为． 题型02 二次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2026·浙江宁波·模拟预测）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（    ） A．着陆坡的水平宽度米 B．点的坐标为 C． D．当的最大值为10米时， 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出，，解三角函数得到以及求出，即选项A和选项B错误；抛物线的函数表达式为，将代入，化简得到，即可得到选项C正确；设着陆坡所在直线的表达式为，求出一次函数解析式，得到，化简得，对于二次函数，其对称轴为，当时，有最大值，将代入，即，根据的最大值为10米，得到，即可得到选项D错误． 【详解】解：， ， 故， 解得，， 在中，， ， ， 米，故A错误； 在中，， ， 米，故，故B错误； 抛物线的函数表达式为， 将代入， 故， 化简得， ，故C正确； 设 设着陆坡所在直线的表达式为， 将代入， ， 解得，， ， ， ， 则， ， 对于二次函数，其对称轴为， 当时，有最大值，将代入， 即， ∵的最大值为10米， 即， 解得，故D错误. 【典例02】（2025·浙江宁波·模拟预测） 冰糖心苹果是阿克苏的特色农产品，它色泽光亮自然，水分足，果肉脆，口味甜， 深受市民喜爱．上市时， 王经理按市场价格 6 元/千克收购了 2000 千克苹果放入冷库中． 据预测，苹果的市场价格每天每千克将上涨 0.2 元，但冷库存放这批苹果每天需要支出各种费用 160 元，而且苹果在冷库中最多可以保存 50 天，同时，每天有 10 千克的苹果损坏不能出售． (1)若存放 天后，将这批苹果一次性出售，设这批苹果的销售总金额为 元，试写出 与 之间的函数解析式； (2)王经理想获得 3850 元的利润，需将这批苹果存放多少天后出售？(利润销售总金额收购成本各种费用) (3)王经理将这批苹果存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)需将这批苹果存放35天后出售 (3)王经理将这批苹果存放天后出售可获得最大利润，最大利润是4050元 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法． （1）根据苹果的单价乘以苹果的数量，可得函数关系式； （2）根据利润等于销售总金额减去收购成本、减去每天的费用，可得方程，根据解方程，可得答案； （3）根据利润等于销售总金额减去收购成本、减去每天的费用，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：由题意y与x之间的函数关系式为：（，且x为整数）； （2）解：由题意得： ， 解方程得：，（不合题意，舍去） 王经理想获得 3850 元的利润，需将这批苹果存放35天后出售； （3）解：设利润为w，由题意得 ， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∴时，， ，符合题意， ∴王经理将这批苹果存放天后出售可获得最大利润，最大利润是4050元． 方法透视 考向解读 1. 抛物线模型问题：如喷泉、投篮、拱桥等，建立二次函数模型，利用顶点坐标求最值。 2. 利润问题：利润 = (售价 − 进价) × 销量，得二次函数，求最大值。 3. 几何面积问题：利用面积公式建立二次函数，求最大面积。 4. 图象信息题：从图象中读取顶点坐标、与坐标轴交点等，用待定系数法求解析式。 方法技能 二次函数解应用，喷泉投篮抛物线； 利润最值配方法，顶点坐标是关键。 变式演练 【变式01】（2026·浙江·一模）如图1，中，，点P从A点出发沿折线运动，点Q从点A出发沿线段运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设P点运动时间为，的面积为．如图2是关于的函数图象，下列选项正确的是（    ） A． B． C．y的最大值为2.75 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】由题意可分当点P在线段上时，当点P在线段上时，然后得出y与x的函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示： ∵， ∴， ∴， 由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误； 当时，，说明此时点P与点B重合， ∴，故B错误； 当点P在线段上时，分别过点C、P作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，面积最大，最大值为，故C错误； ∴， ∴当时，，故D正确． 【变式02】（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 【答案】(1) (2)，投掷的距离为米 (3)改进后投掷实心球的距离能超过10米 【分析】（1）由表格分析出对称轴和顶点坐标，再将一个点坐标代入求出的值即可； （2）由（1）可得顶点坐标，令求出对应的的值即可； （3）先根据题意写出新的函数表达式，再令求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 结合表格可知，顶点坐标为， ∴，，， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米； （3）解：根据题意，改进后，， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）． ∵， 又∵， ∴， ∴． 答：改进后投掷实心球的距离能超过10米． 【变式03】（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 【答案】任务1：，最大水平距离为；任务2：；任务3：，见解析 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据函数值的最大值求出函数的另一个值对应的x的取值，进而来判断的取值范围，是解决本题的难点． 任务1：设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为用待定系数法求解，再求出其与轴交点，再求解即可； 任务2：由将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，可得优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为，设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为将代入，得，再求解即可； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将分别代入中，得，则有，解得，得，可得进一步优化后抛物线的函数表达式为 ，当时，，解得，求得接近黄金比，再求解即可． 【详解】解：任务1：由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 令，得， 解得（不符合题意，舍去）． 喷泉水流到喷水管的最大水平距离为 任务2：将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变， 优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 当时，， 优化后喷水口的竖直高度为； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将分别代入中， 得 ①，②， ， ②①，得， 解得（负值已舍去）， 代入①，得， 进一步优化后抛物线的函数表达式为 ， 当时，， 解得， ， 接近黄金比0.618， 所设计的喷泉比较美观． 题型03 反比例函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2023·浙江台州·模拟预测）如图甲是一款新能源智能汽车，车顶覆盖薄膜式太阳能电板；车窗采用“智能玻璃”，根据光照度可实现自动调节透明度．已知光照度和透明度关系如乙图所示．当光照度为200时，透明度为______． 【答案】30 【分析】求出透明度关于光照度的函数解析式即可． 【详解】解：由函数图象可得，透明度和光照度是反比例关系， 设透明度为，光照度为，函数关系式为， 代入得，， ∴， 当时，， ∴当光照度为200时，透明度为30． 【典例02】（2026·浙江湖州·模拟预测）为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂，下臂长均为．双臂对称张开时，始终保持水平，即． 【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计） 【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表： 旋转半径r（） 30 40 50 转动速度v（） 200 150 120 (1)请根据以上信息，求k的值（单位：）． (2)为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过，则旋转半径r至少为多少? (3)某动作设计需要机械双臂的转动速度v为，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角的正弦值． 【答案】(1) (2)旋转半径r至少为 (3) 【分析】（1）根据，结合表格信息代入计算即可； （2）当时，，结合反比例函数图象的性质求解即可； （3）根据题意，过点B作于点E，作于点F，，得四边形为矩形，，再根据正弦值的计算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：当时，， 因为反比例函数在的范围内，v随着r的增大而减小， 所以当时，， 即旋转半径r至少为． （3）解：当时，，即， 如图，过点B作于点E，作于点F， 因为， 所以， 因为四边形为矩形， 所以， 所以． 方法透视 考向解读 1. 反比例模型问题：如压力与体积、速度与时间、电阻与电流等，满足（）。 2. 从表格或图象中确定 ( k ) 值：利用一组对应值代入求 ( k )。 3. 实际问题中的取值范围：结合反比例函数的增减性，求自变量的范围或函数值的范围。 4. 杠杆原理问题：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂，可转化为反比例关系。 方法技能 反比函数解应用，压力体积关系明； 表格图象求 ( k ) 值，增减范围要分清。 变式演练 【变式01】（2023·浙江台州·模拟预测）如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为； (1)求与的函数关系式； (2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由． 【答案】(1) (2)够用，见解析 【分析】（1）根据题意列出反比例函数解析式即可； （2）根据函数解析式求出自变量的取值，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：热水输出容积为， ∴， ∴； （2）解：热水够用，理由如下： 当时，， 解得x=， 经检验：x=是原方程的解， ∵， ∴电热水器中的热水够用． 【变式02】（2025·浙江·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)压强由加压到，则气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． （1）设，利用待定系数法即可得到结论； （2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， 压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为； （2）在中，当时，，当时，， ， 压强由加压到，则气体体积压缩了． 【变式03】（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式． （1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值； （2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可； （3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解． 【详解】（1）解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式， 设， 将，代入解析式，得：， 解得， ， 当时， ， 此时 ， 即总电阻的值为； （2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知时，， ， 关于总电阻的函数表达式为； （3）解： ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，最小值为：， 此时取最小值，最小值为： ， ， 随x的增大而减小， 取最小值2时，x取最大值， 令，解得， 即该电子秤所称物品质量的最大值为． 题型04 函数与图形应用 典例引领 【典例01】（2023·浙江台州·模拟预测）如图，将量角器放置在平面直角坐标系中，使0刻度线与x轴重合，且点O位于量角器边缘．双曲线经过量角器边缘上一点A，点A对应刻度为，点B是量角器中心，若，则k的值为（   ） A．9 B． C．18 D．18 【答案】B 【分析】连接，过点作，根据题意可得，证出是等边三角形，求出，得出，再根据双曲线经过量角器边缘上一点A，即可求解． 【详解】解：连接，过点作， 根据题意可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵双曲线经过量角器边缘上一点A， ∴． 【典例02】（2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 _____． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 _____． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了祖暅原理，正确理解祖暅原理，利用祖暅原理将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键． （1）根据祖暅原理，得出曲变形的面积等于矩形的面积； （2）根据祖暅原理，将阴影部分面积转化为三角形面积进行求解． 【详解】解：（1）∵祖暅原理， ∴曲变形的面积＝矩形的面积， ∴曲变形的面积， 故答案为：4； （2）如图， 联立方程组， 解得，， ∴, 同理可得，， ∴, 由祖暅原理得，如图，将二次函数的图象向上平移2个单位， ，，,， ， ∵平行于，平行于的直线在平移前后图象上截得的线段长是2， ∴平移前后抛物线与线段、所围成的图形的面积等于矩形的面积，阴影部分面积， 故答案为：3． 方法透视 考向解读 1. 函数图象与几何图形结合：利用函数解析式求点坐标、线段长、面积等。 2. 面积分割问题：利用函数图象将图形分成面积相等的两部分，求直线解析式。 3. 最值问题：在几何图形中建立函数模型，利用函数性质求面积、周长的最值。 4. 动点问题：根据点的运动建立函数关系，结合图象分析函数变化趋势。 方法技能 函数图形相结合，坐标面积与周长； 动点建模求最值，数形结合是良方。 变式演练 【变式01】（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，一个边长为10的正方形，被2条平行于一组对边的直线，和2条平行于另一组对边的直线分成9个矩形，若中间矩形（标有“中”字样）的周长为10，则四个角落的矩形（阴影部分）面积之和的最大值为______． 【答案】 【分析】本题利用周长和面积考查二次函数的性质．设中间矩形的邻边长为a和b，则，由题意知四个角落的矩形可以拼接成一个邻边长为和的矩形，则面积之和为，代入利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】解：设中间矩形的邻边长为a和b， ∵中间矩形的周长为10， ∴，即， 又∵四个角落的矩形可以拼接成一个邻边长为和的矩形， ∴四个角落的矩形（阴影部分）面积之和为， 又∵， ∴， 则当时，S有最大值为， 故答案为：． 【变式02】（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为_________． 【答案】 【分析】此题考查了面积相等问题，用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是利用三角形的面积公式求出的长． 【详解】如图，过作于，易知， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ， 而， ， ， ∴A点坐标为， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线l解析式为． 故答案为：. 【变式03】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点．点为轴上一点，连接，，当的周长最小时，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】要使的周长最小，因为的长度是固定的，所以只需要最小。根据轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点． 【详解】解：对于，令， ，解得， ； 令，则， ． 为中点， M坐标为，即． 作点M关于轴的对称点， 关于y轴对称的点． 设直线解析式： 代入得， 解得， 直线解析式为． 点在轴上，令，则 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、中点坐标公式、轴对称——最短路径问题以及用待定系数法求一次函数解析式．通过作对称点将的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题是解题的关键． 题●型●训●练 1．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程，乙车行完全程用3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距可判断D． 【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误； 由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误； 设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 联立， 解得， ∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C正确； 由图象得A，B两地的距离为 甲车速度为， 所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误； 故选：C． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，当时，y的值为（   ） A．40L B．421 C．44L D．46L 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．依据题意，先求出时的函数关系式，然后将代入计算可以得解． 【详解】解：设当时的直线解析式为：． 图象过、， 可得．解得． 直线解析式为． 令， ． 故选：D． 3．（2023·浙江台州·二模）游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（    ）秒．    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据函数图象即可解答． 【详解】由函数图象发现当摆锤第一次到达左侧最高点到第一次到达右侧最高点一共用了4秒，从右侧最高点回到左侧最高点也是4秒， ∴摆锤从A点出发再次回到A点需要秒， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确从图象中获取信息是解题的关键． 4．（2023·浙江台州·一模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可． 【详解】以球出发的地方为原点建立直角坐标系， 由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线， ∴设二次函数解析式为， 代入原点得， 解得， ∴， 令得，解得 ∴一个球从出发到落地用时2秒， ∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起）， ∴，解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键． 5．（2025·浙江杭州·二模）如图，把一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将它悬挂．在中点的左侧与中点的距离为处挂一个重的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点时，弹簧秤的读数应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解杠杆原理是解题关键．由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比，即可求解． 【详解】解：由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比， 则弹簧秤的读数应为， 故选：B． 6．（2025·浙江杭州·三模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度，是载重后总质量的反比例函数，已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度：当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得：， ∴， ∴当时，则； 故答案为：． 7．（2025·浙江温州·二模）如图，当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例．动力与动力臂的部分数据如表所示，则表中的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数的定义可得，进而即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵动力与动力臂成反比例， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（2025·浙江台州·二模）如图1，在中，，点E是斜边上一个动点．过点E作，垂足为E，交边（或边）于点F，连接，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象如图2，已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了动点函数图形问题，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，正切的定义等知识，过点C作于点D，观察图象可发现：当点E运动到点D时，两点重合，不存在，当点E运动到点B时，两点重合，不存在，则对应函数图象上第二个和第三个空心零点，设，由函数图象对称的性质可得第二个和第三个空心零点的值分别为，则，再证明，推出，即可求出，利用正切的定义即可求解． 【详解】解：过点C作于点D， 观察图象可发现：当点E运动到点D时，两点重合，不存在，当点E运动到点B时，两点重合，不存在，则对应函数图象上第二个和第三个空心零点， 设， 由函数图象对称的性质可得第二个和第三个空心零点的值分别为， 则， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 10．（2026·浙江杭州·模拟预测）某商店出售一批进价为每件20元的日用品，经调查发现，该日用品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足． (1)求日销售利润与销售单价之间的函数关系式． (2)销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润为300元 【分析】（1）根据“日销售利润=单件利润×日销售量”，列出函数解析式，即可解答； （2）将二次函数配方成顶点式，结合二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：． （2）解：， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润为300元． 11．（2026·浙江宁波·一模）2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程与出发时间之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程与出发时间之间的函数关系如图2所示． (1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）． (2)求图中的值． (3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值． 【答案】(1)千米/分 (2)126 (3)出发时，两人相距最远为 【分析】（1）根据速度的定义求解即可； （2）设对应的函数表达式，待定系数法求解即可； （3）根据题意，分，， ， ，求解即可； 【详解】（1）解：小明跑步的速度为千米/分． （2）解：小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米， 故此时小聪跑的路程为（千米）， 故图象经过点， 设对应的函数表达式， 由题意得图象过点， ， 解得． 对应的函数表达式． 令， 解得． 的值为126． （3）解：当时，根据题意，得， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到60，故最大值小于5千米即； 小明跑完最后所需的时间为． 当时，根据题意，得小明跑的路程表达式为， 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变； 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到94，故最大值小于千米即； ， 当时，他们之间相距最远，且为千米． 12．（2025·浙江湖州·一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． (2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键． （1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值即可得到答案． 【详解】（1）解；根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系， 设，把代入中得：，解得， ∴． （2）解：当时，， ∴当该电磁波的频率为时，它的波长是． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $