专题08 函数的探究问题（6大题型专练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08 函数的探究问题 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 函数的新定义问题 题型02 有关函数的规律探究 题型03 含参函数的性质探究 题型04 函数与几何综合探究 题型05 函数图象作图与猜想 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 函数的新定义问题 典例引领 【典例01】（2025·浙江嘉兴·一模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为4，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【典例02】（2025·浙江丽水·二模）定义：若点满足，则称该点为“k倍点”．已知二次函数（c为常数）． (1)当时，求出该函数图像上的“二倍点”坐标； (2)若该函数图像上存在唯一的“二倍点”，求c的值； (3)在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“三倍点”，求c的取值范围． 方法透视 考向解读 1. 理解新定义：仔细阅读新运算的定义，理解运算规则和适用条件，如“k倍点”“关联函数”“纵横值”等。 2. 分类讨论：根据新定义的条件进行分类讨论，如自变量取值范围、参数正负等。 3. 方程求解：根据新定义建立方程（组），求解未知数的值。 4. 验证结果：将求得的解代入原式验证是否符合条件，注意定义域和隐含条件。 5. 数形结合：将新定义的代数条件转化为函数图象的交点问题，利用图象求解参数范围。 方法技能 新定义要先读懂，规则条件要分清； 分类讨论不遗漏，方程建立求未知； 验证结果看条件，数形结合解范围。 变式演练 【变式01】（2015·浙江杭州·一模）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题： 定义运算“※”为：a※b=，求1※（﹣4）的值． 小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=﹣4，又b＜0，所以1※（﹣4）=， 请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算：3※7； （2）若15※m=，求m的值； （3）函数y=4※x（x≠0）的图象大致是 ． A． B． C． D． 【变式02】（24-25九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 【变式03】（25-26九年级上·山东淄博·期中）新定义：对于给定的二次函数（），把形如的函数称为二次函数的“关联函数”． 运用新定义解决问题：已知二次函数． (1)请直接写出这个二次函数的“关联函数”的表达式； (2)若点A在这个二次函数的“关联函数”的图象上，求m的值； (3)当时，请直接写出这个二次函数的“关联函数”的最大值和最小值． 题型02 有关函数的规律探究 典例引领 【典例01】（2023·浙江台州·二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题： 如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为______．    【典例02】（20-21九年级上·浙江·期末）已知抛物线C1：y1＝﹣2（x﹣1）2+k1交x轴于点（0，0）和点A1（b1，0），抛物线C2：y2＝﹣（x﹣b1）2+k2交x轴于点（0，0）和点A2（b2，0），抛物线C3：y3＝﹣交x轴于点（0，0）和点A3（b3，0）…按此规律，得抛物线Cn：yn＝﹣交x轴于点（0，0）和点An（bn，0）（其中n为正整数），我们把抛物线C1，C2，C3…Cn称为抛物线簇． (1)求b1，b2，b3的值以及抛物线y2的解析式； (2)请用含n的代数式表示线段An﹣1An的长； (3)是否存在某条直线经过以上抛物线簇所有的顶点，若存在请求出直线解析式，若不存在，请说明理由． 方法透视 考向解读 1. 观察点的坐标规律：根据题目给出的点坐标，找出横纵坐标随序号变化的规律，如第 ( n ) 个点的坐标为 ( (f(n), g(n)) )。 2. 裂项相消法：利用等公式求和。 3. 函数图象上的规律：探究函数图象上点的纵坐标（或线段长）的规律，如，再求和。 4. 周期性规律：根据点的运动轨迹或函数图象的周期性，求第 ( n ) 次变化后的坐标。 方法技能 规律探究看序号，坐标通项先找到； 裂项相消巧求和，周期问题用余数。 变式演练 【变式01】（2023·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为______．    【变式02】（25-26九年级上·浙江·期末）观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，，则______． 【变式03】（2024·浙江温州·二模）实践活动：最多可以将几个杯子放进橱柜？周末，小洲同学在家整理杯子时，想把一些规格相同的杯子（如图1），尽可能多地叠放在一起（如图2），放入高为的橱柜里，于是他开始了以下探究： 【测量数据】 小洲同学经过探究测量后，将图2方式叠放杯子的总高度与杯子的个数的数据情况记录如下表： 杯子的个数（个） 1 2 3 4 5 杯子的总高度 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8 【建立模型】 根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中描出对应点，依据你所学的知识选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式． 【应用模型】 请根据你所探究出的规律，帮助小洲算算看，他最多可以将多少个杯子放入橱柜里． 题型03 含参函数的性质探究 典例引领 【典例01】（2026·浙江湖州·一模）已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【典例02】（2026·浙江宁波·一模）已知二次函数（为常数）的图象过点． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标． (2)已知，为二次函数图象上两点，其中，． ①当且时，求点的坐标． ②若与的差的最大值为9，求的值． 方法透视 考向解读 1. 含参二次函数：利用顶点坐标、对称轴、判别式等分析函数性质，如最值、增减性、与坐标轴交点。 2. 参数范围问题：根据函数在给定区间上的最值或函数值的大小关系，列不等式（组）求参数范围。 3. 函数值比较：利用点与对称轴的距离比较函数值大小，或作差法比较。 4. 新定义与含参函数结合：理解新定义，将条件转化为含参方程或不等式，利用判别式、根的分布等求解。 方法技能 含参函数看顶点，对称轴定增减性； 最值范围列不等式，作差比较定大小。 变式演练 【变式01】（2026·浙江湖州·模拟预测）定义：对于y关于x的函数，在范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m． (1)对于一次函数，在的范围内，分别求出M和m的值． (2)对于二次函数，甲、乙两位同学有以下说法： 甲同学说：“在的范围内，，．” 乙同学说：“在的范围内，若，则，．” 甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由 【变式02】（2025·浙江丽水·二模）定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级摆动点”．例如，点的“2级摆动点”是点，即点． (1)点的3级摆动点是否在一次函数的图象上？请说明理由； (2)若函数的图象上存在点的“级摆动点”，求的值； (3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级摆动点”都在直线上，并且同时满足：，求证：． 【变式03】（2023·浙江·模拟预测）设函数，函数（，，b是常数，，，）．已知函数的图象与y轴交于点A，与函数的图象的一个交点为点． (1)若，． ①求函数的表达式． ②当时，直接写出x的取值范围． (2)设点A关于x轴的对称点为点C，将点C向左平移2个单位得到点D．若点D恰好也是函数，图象的交点，试写出，之间的等量关系，并说明理由． 题型04 函数与几何综合探究 典例引领 【典例01】（2023·浙江·模拟）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【典例02】（2024·浙江·模拟预测）我们定义：若点M绕点A逆时针方向旋转，得到的对应点设为N，则称点N为点M的“点”． （1）概念理解： 在平面直角坐标系中，已知点，设点P的“点”为Q．若点，则点P的坐标为_____ （2）问题探究： 如图1，已知点，点D在直线上，若点D的“点”在坐标轴上，求点D的坐标． （3）应用拓展： 如图2，已知线段EF的端点为和，边长为6的正方形以点O为中心，各边分别与坐标轴平行．点M在线段上，点N在正方形上，若存在点，使得点M的“点”为点N，请直接写出t的取值范围． 方法透视 考向解读 1. 函数与图形面积：利用函数解析式求点坐标，结合几何图形面积公式（如三角形、矩形面积）列方程。 2. 相似与全等：在函数背景下证明三角形相似或全等，利用对应边成比例求线段长或点坐标。 3. 动点问题：根据点的运动建立函数关系，结合几何性质（如等腰、直角、等边）求最值或参数。 4. 旋转与平移：利用旋转、平移的坐标变换规律，结合函数解析式求点坐标或轨迹。 方法技能 函数几何相结合，坐标面积与相似； 动点建模找等量，旋转平移用公式。 变式演练 【变式01】（2023·浙江温州·三模）【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：如图1，窗子的形状是一个五边形，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆． 已知边框，设为a，窗子的高度h（窗子的最高点到边框的距离）． 【初步探究】 （1）若，． ①与之间的距离为，求此时的面积． ②与之间的距离为x，试将通风口的面积y表示成关于x的函数． ③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？ 【拓展提升】 （2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．h需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 （用含a，h的代数式表示） 【变式02】（2019·浙江金华·一模）定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在F的左边），E（1，0）且EF＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3）将抛物线y1＝﹣x2+2x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2．抛物线y2的顶点为P，与x轴的两个交点分别为M、N（M在N左侧），把△PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标． 【变式03】（2023·浙江宁波·模拟预测）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即、分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点与直线之间的距离．当时，线段的长度也是与之间的距离． (1)如图2，在等腰直角三角形中，，，点为边上一点，过点作交于点．若，，则与之间的距离是__________； (2)如图3，已知直线：与双曲线：交于与两点，点与点之间的距离是__________，点与双曲线之间的距离是__________； 【拓展】 (3)按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南一西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？ 题型05 函数图象作图与猜想 典例引领 【典例01】（2022·浙江金华·一模）某班“数学兴趣小组”对函数y＝的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完成： (1)下表是y与x的几组对应值，请直接写出m，n的值：m＝_______；n＝_______． x －2 －1 0 n 2 3 4 y m 0 －1 －3 5 3 2 (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中的对应值为坐标的一些点，请再描出其它的点并画出函数图象； (3)通过观察函数图象，小明发现该函数图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象形状相同，是轴对称图形，请直接写出该函数图象的对称轴的表达式：_______； (4)当－2≤x≤时，关于x的方程kx＋3＝有实数解，求k的取值范围． 【典例02】（20-21九年级上·浙江·开学考试）启航同学根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完成： （1）函数 的自变量x 的取值范围是__________； （2）列表，找出y 与x 的几组对应值，列表如下： x … -2 -1 0 2 3 ．． y … a 1 2 2 1 … 其中， a=_______； （3）在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对 应值为坐标的点，并画出该函数的图象并写出该函数的一条性质：______________________ 方法透视 考向解读 1. 描点法作图：根据函数解析式列表、描点、连线，画出函数图象，注意取值范围和特殊点（如渐近线、间断点）。 2. 图象性质猜想：从图象中观察函数的增减性、对称性、最值、取值范围等性质。 3. 交点问题：利用函数图象的交点，求解方程或不等式的解集。 4. 新函数图象探究：对含有绝对值、分段函数等新函数，分区间讨论后作图，再分析性质。 方法技能 描点作图五步走，列表描点连成线； 图象性质看趋势，交点求解除不等。 变式演练 【变式01】（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对任意三点，，给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差称为“横距”，纵坐标的最大值与最小值的差称为“纵距”，若三点的“横距”与“纵距”相等，我们称这三点为“等距点”． 【提出问题】如果点，点，动点是“等距点”，请探索动点在x轴上方平面的轨迹． 【解决问题】（1）列表、描点、连线：先将下表补充完整，然后在图中描出动点在x轴上方平面的轨迹． … … ________ ________ ________ ________ （2）根据动点在x轴上方平面的轨迹，求出该轨迹的函数解析式． 【拓展应用】在x轴上方平面中，若函数的图像上存在点，使得，，是“等距点”，求出的取值范围． … … 4 【变式02】（2021·浙江衢州·一模）某班“数学兴趣小组”对函数y＝（0≤x≤6）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)①列表： x（cm） 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0 y（cm） 0 0.55 1.2 1.58 m 2.47 3 4.29 5.08 n 表中m＝　 　，n＝　 　． ②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）． ③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象． (2)结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论． (3)结合函数图象，写出不等式的解． x 0 2 y 0 3 【变式03】（2023·浙江温州·一模）已知函数，为常数且．已知当时，；当时，．请对该函数及图象进行如下探究： (1)求该函数的解析式，并直接写出该函数自变量x的取值范围； (2)请在下列直角坐标系中画出该函数的图象； (3)请你在上方直角坐标系中画出函数的图象，结合上述函数的图象，写出不等式的解集． 题●型●训●练 1．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知函数，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，随的增大而减小；③若、两点在该图象上，且，则．其中说法正确的是（   ） A．①③ B．② C．③ D．①② 2．（2023·浙江台州·模拟预测）小明向连通容器内匀速注水，容器内水的深度h(单位：)与注水时间t(单位：)的函数关系如图所示．以下各连通容器的示意图中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，正方形的四个顶点在正八边形的四条边上，A为边上一点（不与M，N重合），八边形对角线交正方形一组对边于点E，F，设，四边形的面积为y，y关于x的函数图像如图2所示，最低点为，则下列关于a，b的关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，轴，轴，，分别以点、点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，若点在双曲线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24九年级上·浙江温州·期末）已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数m，使得，则称函数和符合“特定规律”，以下函数和符合“特定规律”的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．（24-25九年级下·浙江·三轮复习）如图所示，已知一次函数与反比例函数交于点P，，A为一次函数上一点，作等腰直角与使得N、C在x轴正半轴上，延长交于点D，连接，若，D为中点，，则__ ． 8．（2025·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，双曲线 分别交，于点D，E，，以为边向下方作， 使与矩形面积相等，连结，，则______，的面积是________． 9．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)若，抛物线的顶点为，它与轴交于两点，，且为等边三角形，求的值． (2)若，且，求的最小值． 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点在第二象限抛物线上，连接并延长交轴于点，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，点的纵坐标为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取点，使得，在的延长线上取点，使得，连接，当时，求点的坐标． 11．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点，，．      (1)求直线的解析式． (2)点在第三象限的直线上，轴交直线于点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，点在第四象限的的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转至（点的对应点为点），旋转角等于，直线交线段于点，连接，，，，的面积为8，求的面积． 12．（2023·浙江金华·模拟预测）定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式；满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，如：是二元一次不等式，等都是该不等式的解．因为有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，二元一次不等式（组）的解集就可看成直角坐标系内的点构成的集合．所以的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为如图，阴影部分区域G．    (1)设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为F． ①在图1中画出图形F（用阴影部分表示），并求出图形F的面积； ②反比例函数（）的图象和图形F有公共点，求k的取值范围； (2)设的解集围成的图形为M，直接写出抛物线与图形M有交点时m的取值范围． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 函数的探究问题 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 函数的新定义问题 题型02 有关函数的规律探究 题型03 含参函数的性质探究 题型04 函数与几何综合探究 题型05 函数图象作图与猜想 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 函数的新定义问题 典例引领 【典例01】（2025·浙江嘉兴·一模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为4，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，二次函数一般式化顶点式，理解新定义是解答本题的关键． 设存在一点，使得，把变形为，根据新定义列出方程组求解即可． 【详解】解：设存在一点，使得， ∴， ∴， ∴， 由题意，得 ， 解得． 故选：B． 【典例02】（2025·浙江丽水·二模）定义：若点满足，则称该点为“k倍点”．已知二次函数（c为常数）． (1)当时，求出该函数图像上的“二倍点”坐标； (2)若该函数图像上存在唯一的“二倍点”，求c的值； (3)在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“三倍点”，求c的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】题目主要考查关于二次函数的新定义题型，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意设这个“二倍点”坐标为，代入求解计算即可； （2）设这个“二倍点”坐标为，根据题意列出方程求解即可； （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数与x轴至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 设这个“二倍点”坐标为， 代入得：， 解得：或， ∴或， ∴“二倍点”坐标为或； （2）解：设这个“二倍点”坐标为， 代入得：， 整理得：， ∵存在唯一的“二倍点”， ∴， 解得：； （3）解：由题意得，三倍点所在的直线为， ∵在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则，解得； 设，开口向上， 对称轴为， 使得在之间与x轴至少有一个交点， ∴在的最小值为：当时，， 最大值为：当时，， ∴， 解得：． 方法透视 考向解读 1. 理解新定义：仔细阅读新运算的定义，理解运算规则和适用条件，如“k倍点”“关联函数”“纵横值”等。 2. 分类讨论：根据新定义的条件进行分类讨论，如自变量取值范围、参数正负等。 3. 方程求解：根据新定义建立方程（组），求解未知数的值。 4. 验证结果：将求得的解代入原式验证是否符合条件，注意定义域和隐含条件。 5. 数形结合：将新定义的代数条件转化为函数图象的交点问题，利用图象求解参数范围。 方法技能 新定义要先读懂，规则条件要分清； 分类讨论不遗漏，方程建立求未知； 验证结果看条件，数形结合解范围。 变式演练 【变式01】（2015·浙江杭州·一模）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题： 定义运算“※”为：a※b=，求1※（﹣4）的值． 小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=﹣4，又b＜0，所以1※（﹣4）=， 请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算：3※7； （2）若15※m=，求m的值； （3）函数y=4※x（x≠0）的图象大致是 ． A． B． C． D． 【答案】（1）；（2）4或-4；（3）D． 【详解】试题分析：（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）分m大于0与小于0两种情况，利用题中的新定义计算即可求出m的值； （3）分x大于0与x小于0两种情况化简函数解析式，做出函数图象即可． 试题解析：解：（1）根据题中的新定义得：3※7=； （2）当m＞0时，已知等式变形得：，即m=4； 当m＜0时，已知等式变形得：﹣，即m=﹣4； （3）当x＞0时，函数解析式为y=， 当x＜0时，函数解析式为y=﹣，图象大致为D． 故选D． 考点：解分式方程；有理数的混合运算；反比例函数的图象． 【变式02】（24-25九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 【答案】（1）①3；②81    （2），    （3）最优纵横值为 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵横值”的定义计算即可； （2）先求出二次函数，再根据“最优纵横值”的定义可知，求出c的值即可； （3）根据“最优纵横值”的定义可知，分类讨论：当时，当时，逐一求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴点的“纵横值”为3； 故答案为：3． ② 当时，随的增大而减小 当时，取得最大值81 函数（）的“最优纵横值”是81； （2）二次函数的对称轴为直线 ，解得 “最优纵横值”为3， ， （3） 当时，随时取最大值，即最大值为 “最优纵横值”是 当时，随时取最大值， 即最大值为 “最优纵横值”是 综上所述，最优纵横值为. 【变式03】（25-26九年级上·山东淄博·期中）新定义：对于给定的二次函数（），把形如的函数称为二次函数的“关联函数”． 运用新定义解决问题：已知二次函数． (1)请直接写出这个二次函数的“关联函数”的表达式； (2)若点A在这个二次函数的“关联函数”的图象上，求m的值； (3)当时，请直接写出这个二次函数的“关联函数”的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)当点在这个二次函数的＂关联函数＂的图象上时，的值为或或 (3)当时，这个二次函数的“关联函数”的最大值为，最小值为 【分析】本题考查了新定义，二次函数的其他应用，二次函数的图象性质，公式法进行解方程．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解“关联函数”的定义，再结合二次函数，进行分析，即可作答． （2）理解题意，再进行分类讨论，即当时，把代入，得，再解出或（舍去）；当时，把代入，得，或，即可作答． （3）理解题意，再进行分类讨论，当时，分析函数的图象性质，得有最大值为，最小值为；当时，则分析函数，则的最大值为，最小值为，即可作答． 【详解】（1）解：∵的函数称为二次函数的“关联函数”．且二次函数． ∴这个二次函数的“关联函数”的表达式； （2）解：依题意，这个二次函数的“关联函数”的表达式：， 当时，把代入，得， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍去）； 当时，把代入，得， ∴， ∴， 解得或； 综上：当点在这个二次函数的＂关联函数＂的图象上时，的值为或或； （3）解：∵二次函数． ∴这个二次函数的“关联函数”的表达式， ∵， 当时，则， ∵， ∴开口方向向上，对称轴为直线， 在时，函数有最小值，且为， 在时，则， 在时，则， 综上：当时，则有最大值为，最小值为； 当时，则， ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，函数有最大值，且为， 当时，则， 综上：当时，则的最大值为，最小值为； 综上：当时，这个二次函数的“关联函数”的最大值为，最小值为. 题型02 有关函数的规律探究 典例引领 【典例01】（2023·浙江台州·二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题： 如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为______．    【答案】 【分析】先求出的坐标，然后求出的长.运用观察到的规律求出的值，即可求出的值. 【详解】由，得      故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据二次函数表达式求点的坐标，根据一次函数表达式求点的坐标，及平行于y轴的直线上的两点间的距离.观察规律，理解规律，并会正确应用是解题的关键. 【典例02】（20-21九年级上·浙江·期末）已知抛物线C1：y1＝﹣2（x﹣1）2+k1交x轴于点（0，0）和点A1（b1，0），抛物线C2：y2＝﹣（x﹣b1）2+k2交x轴于点（0，0）和点A2（b2，0），抛物线C3：y3＝﹣交x轴于点（0，0）和点A3（b3，0）…按此规律，得抛物线Cn：yn＝﹣交x轴于点（0，0）和点An（bn，0）（其中n为正整数），我们把抛物线C1，C2，C3…Cn称为抛物线簇． (1)求b1，b2，b3的值以及抛物线y2的解析式； (2)请用含n的代数式表示线段An﹣1An的长； (3)是否存在某条直线经过以上抛物线簇所有的顶点，若存在请求出直线解析式，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)b1＝2，b2＝4，b3＝8， (2)2n﹣2n﹣1 (3)存在， y＝2x 【分析】（1）根据抛物线的性质可得问题的答案； （2）根据（1）的规律可得问题的答案； （3）将（0，0）代入C1：y1＝﹣2（x﹣1）2+k1，得k1＝2，将（0，0）代入C2：y2＝﹣（x﹣2）2+k2，得k2＝4，将（0，0）代入C3：y3＝﹣（x﹣4）2+k3，得k3＝8，根据规律可得点的坐标，由点的坐标可得直线的解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线C1：y1＝﹣2（x﹣1）2+k1交x轴于点（0，0），对称轴为 ∴抛物线与x轴另一交点为（2，0） ∴b1＝2 同理可得，b2＝4，b3＝8， 将（0，0）代入C2：y2＝﹣（x﹣2）2+k2，0＝﹣（﹣2）2+k2， ∴k2＝4， ∴， （2）由（1）规律可得，b1＝2，b2＝22，b3＝23…bn＝2n， ∴An﹣1An＝An﹣An﹣1＝bn﹣bn﹣1＝2n﹣2n﹣1 （3）存在， 将（0，0）代入C1：y1＝﹣2（x﹣1）2+k1，得k1＝2， 将（0，0）代入C2：y2＝﹣（x﹣2）2+k2，得k2＝4， 将（0，0）代入C3：y3＝﹣（x﹣4）2+k3，得k3＝8， 由规律可得，将（0，0）代入Cn：yn＝﹣（x﹣2n﹣1）2+kn，得kn＝2n， 抛物线族顶点坐标可表达为（bn﹣1，kn），即（2n﹣1，2n）， 则直线解析式为y＝2x． 【点睛】考查了二次函数综合题，主要利用了二次函数点的坐标与顶点坐标求解问题的答案，要结合图形进行分析． 方法透视 考向解读 1. 观察点的坐标规律：根据题目给出的点坐标，找出横纵坐标随序号变化的规律，如第 ( n ) 个点的坐标为 ( (f(n), g(n)) )。 2. 裂项相消法：利用等公式求和。 3. 函数图象上的规律：探究函数图象上点的纵坐标（或线段长）的规律，如，再求和。 4. 周期性规律：根据点的运动轨迹或函数图象的周期性，求第 ( n ) 次变化后的坐标。 方法技能 规律探究看序号，坐标通项先找到； 裂项相消巧求和，周期问题用余数。 变式演练 【变式01】（2023·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为______．    【答案】 【分析】根据各个点的位置关系，可得出从开始，下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，所以点的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：由图知，令（n为整数）， 从开始，在第4象限，在第3象限，在第2象限，在第1象限， 由规律可得，， ∴点的在第四象限的角平分线上，坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，根据前几个点的坐标，总结出４个一循环的规律是解题的关键. 【变式02】（25-26九年级上·浙江·期末）观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，先分别求解，，，，，…，，再代入计算即可． 【详解】解：∵直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，， ∴，，，，，…，， ∴ ． 故答案为：. 【变式03】（2024·浙江温州·二模）实践活动：最多可以将几个杯子放进橱柜？周末，小洲同学在家整理杯子时，想把一些规格相同的杯子（如图1），尽可能多地叠放在一起（如图2），放入高为的橱柜里，于是他开始了以下探究： 【测量数据】 小洲同学经过探究测量后，将图2方式叠放杯子的总高度与杯子的个数的数据情况记录如下表： 杯子的个数（个） 1 2 3 4 5 杯子的总高度 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8 【建立模型】 根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中描出对应点，依据你所学的知识选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式． 【应用模型】 请根据你所探究出的规律，帮助小洲算算看，他最多可以将多少个杯子放入橱柜里． 【答案】画图见解析，，最多可以将23个杯子放入橱柜里． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握利用待定系数法求出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 先描点、连线，画出函数图像，根据函数图像判断函数类型，然后用待定系数法求得函数解析式，将函数关系式代入，求出n的最大值即可． 【详解】解：【建立模型】根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中画出函数图像如下： 这些点在一条直线上，即该函数为一次函数， 设y与x之间的函数关系式为． 将点、代入可得： ，解得 ∴y与x之间的函数关系式为． 【应用模型】当时，有，解得：， 所以最多可以将23个杯子放入橱柜里． 题型03 含参函数的性质探究 典例引领 【典例01】（2026·浙江湖州·一模）已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：令，则有，解得， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； （3）解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， 当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即． 【典例02】（2026·浙江宁波·一模）已知二次函数（为常数）的图象过点． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标． (2)已知，为二次函数图象上两点，其中，． ①当且时，求点的坐标． ②若与的差的最大值为9，求的值． 【答案】(1)， (2)①点坐标为，② 【分析】（1）用待定系数法，配方法求解即可； （2）①，当时，，分类求解． ②分和时，求解． 【详解】（1）解： 二次函数的图象过点， ， 解得， 该二次函数的表达式为． ， 图象的顶点坐标为． （2）解：（2）①， 当时，， 当时，取得最大值0， 当时，， 当时，取得最大值3， ， 又， 与同时取得最大值． 点坐标为． ②情况一：当时， ， 当时，取得最小值为． ， 当时，取得最大值为． ， 又的最大值为9， 该情况不成立． 情况二：当时， ， 当时，取得最小值为． ， 时，取得最大值为， 的最大值为9． ， 解得（舍）或． 综上所述：． 方法透视 考向解读 1. 含参二次函数：利用顶点坐标、对称轴、判别式等分析函数性质，如最值、增减性、与坐标轴交点。 2. 参数范围问题：根据函数在给定区间上的最值或函数值的大小关系，列不等式（组）求参数范围。 3. 函数值比较：利用点与对称轴的距离比较函数值大小，或作差法比较。 4. 新定义与含参函数结合：理解新定义，将条件转化为含参方程或不等式，利用判别式、根的分布等求解。 方法技能 含参函数看顶点，对称轴定增减性； 最值范围列不等式，作差比较定大小。 变式演练 【变式01】（2026·浙江湖州·模拟预测）定义：对于y关于x的函数，在范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m． (1)对于一次函数，在的范围内，分别求出M和m的值． (2)对于二次函数，甲、乙两位同学有以下说法： 甲同学说：“在的范围内，，．” 乙同学说：“在的范围内，若，则，．” 甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由 【答案】(1)； (2)甲同学说法错误；乙同学说法错误，理由见解析 【分析】（1）根据一次函数的增减性得到最值即可； （2）先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲、乙同学的推断即可． 【详解】（1）解：因为一次函数的函数值y随自变量x的增大而增大， 所以当时，；当时，． （2）解：甲同学说法错误；乙同学说法错误． 对“甲同学说法”的判断理由如下： ， ∵抛物线开口向上，在的范围内， ∴当时，函数最小值为， 当时，， 当时， ∴在的范围内函数最大值； 对“乙同学说法”的判断理由如下： 二次函数，对称轴为， 时，则在的范围内，随的增大而减小， 时，二次函数有最大值，时，最小值， ∵， ∴，即， ∵， ∴一元二次方程没有实数根， ∴不符合题意； 时， 时，二次函数有最大值，当时，有最小值， ，不符合题意； 时， 当时，有最大值，当时，最小值， ， 若，则， 解得， 只有当时符合题意； 综上，“在的范围内，若，则，”这种说法是错误的， 即甲同学说法错误，乙同学说法错误． 【变式02】（2025·浙江丽水·二模）定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级摆动点”．例如，点的“2级摆动点”是点，即点． (1)点的3级摆动点是否在一次函数的图象上？请说明理由； (2)若函数的图象上存在点的“级摆动点”，求的值； (3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级摆动点”都在直线上，并且同时满足：，求证：． 【答案】(1)在一次函数的图象上，见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）点的3级摆动点为即，代入一次函数计算解答即可； （2）确定点的“级摆动点”为，结合已知，得，解方程解答即可； （3）根据这两个点的“1级摆动点”都在直线上，结合点在抛物线上，求得，,构造一元二次方程，利用根的判别式确定，结合，展开移项变形，构造不等式解答即可． 【详解】（1）解：点的3级摆动点为即， 当时，， 故在一次函数的图象上． （2）解：根据题意，得点的“级摆动点”为， 由函数的图象上存在点的“级摆动点” 得， 整理，得， 解得（舍去）， 故． （3）解：∵点，的“1级摆动点”坐标分别为 ，，且这两个点的“1级摆动点”都在直线上， ∴，， ∴，， ∴，， ∵的二次函数的图象上恰有两个点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根, ∴ ∵， ∴, ∴, ∵, ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，构造一元二次方程，根的判别式的应用，解不等式，完全平方公式的变形应用． 【变式03】（2023·浙江·模拟预测）设函数，函数（，，b是常数，，，）．已知函数的图象与y轴交于点A，与函数的图象的一个交点为点． (1)若，． ①求函数的表达式． ②当时，直接写出x的取值范围． (2)设点A关于x轴的对称点为点C，将点C向左平移2个单位得到点D．若点D恰好也是函数，图象的交点，试写出，之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②． (2)，理由见解析 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；②画出图象，根据求时，x的取值范围，即求函数的图象位于直线的图象上方时，位于函数的图象下方时x的取值范围，再结合图象即可解答； （2）利用一次函数解析式求出点A的坐标，再根据轴对称和平移的性质得出点D的坐标．由点D是函数，图象的交点，即说明点D的坐标满足两个函数的解析式，从而即可解答． 【详解】（1）解：①若，则函数． ∵点在函数的图象上， ∴， ∴，， ∴， ∴函数． ∵点在函数的图象上， ∴， 解的：， ∴函数的表达式为； ②根据两函数解析式可画出图象如下， ∵求时，x的取值范围，即求函数的图象位于直线的图象上方时，位于函数的图象下方时x的取值范围， 又∵由图象可知当时，函数的图象位于直线的图象上方，位于函数的图象下方， ∴当时，x的取值范围是； （2）解：． 理由：对于，令，则， ∴． ∵点A关于x轴的对称点为点C， ∴． ∵将点C向左平移2个单位得到点D， ∴． ∵点D恰好也是函数，图象的交点， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，图象法解不等式，一次函数与坐标轴的交点问题，坐标与图形的变化—轴对称，坐标与图形的变化—平移变换，一次函数与反比例函数的交点问题．掌握函数图象上的点的坐标满足该函数解析式是解题关键． 题型04 函数与几何综合探究 典例引领 【典例01】（2023·浙江·模拟）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 【典例02】（2024·浙江·模拟预测）我们定义：若点M绕点A逆时针方向旋转，得到的对应点设为N，则称点N为点M的“点”． （1）概念理解： 在平面直角坐标系中，已知点，设点P的“点”为Q．若点，则点P的坐标为_____ （2）问题探究： 如图1，已知点，点D在直线上，若点D的“点”在坐标轴上，求点D的坐标． （3）应用拓展： 如图2，已知线段EF的端点为和，边长为6的正方形以点O为中心，各边分别与坐标轴平行．点M在线段上，点N在正方形上，若存在点，使得点M的“点”为点N，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）；（2）点D的坐标为或；（3）t的取值范围是或 【详解】本题主要考查了一次函数综合题，合理运用旋转的性质，旋转的坐标变换以及全等三角形的判定与性质是本题解题的关键. （1）连接， 过作 轴于，过作 轴于，根据全等三角形的判定与性质求解； （2）根据坐标轴的不同分类讨论，根据（1）的方法求解即可； （3）根据与轴的位置关系分类讨论，求出点的坐标，然后根据在不同边上时，点坐标的取值来分类讨论求解即可. 解：（1）连接， 过作轴于，过作 轴于， 如图： 由旋转的性质可知， ， ， 又 ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）①若点的“点”在轴上， 如图： 则 ， 代入直线方程得，， ； ②若点的“点”在轴上， 如图： 由（1）知，， ， ∴； 综上所述，或； （3）设直线的表达式为： 直线EF所在直线的表达式为．     设点，其中． 当点T在x轴上方时，如图． 分别过点M，N作y轴的垂线，垂足分别为，， 易证，， ∴点． ①若点N落在CD上， 则且， 而，则． ②若点N落在AD上， 则且， 而，则， ∴．     当点T在x轴下方时，如图． 同理可得点． ①若点N落在AB上， 则且， 而，则． ②若点N落在BC上， 则且． 而，则． 综上所述，t的取值范围是或． 方法透视 考向解读 1. 函数与图形面积：利用函数解析式求点坐标，结合几何图形面积公式（如三角形、矩形面积）列方程。 2. 相似与全等：在函数背景下证明三角形相似或全等，利用对应边成比例求线段长或点坐标。 3. 动点问题：根据点的运动建立函数关系，结合几何性质（如等腰、直角、等边）求最值或参数。 4. 旋转与平移：利用旋转、平移的坐标变换规律，结合函数解析式求点坐标或轨迹。 方法技能 函数几何相结合，坐标面积与相似； 动点建模找等量，旋转平移用公式。 变式演练 【变式01】（2023·浙江温州·三模）【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：如图1，窗子的形状是一个五边形，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆． 已知边框，设为a，窗子的高度h（窗子的最高点到边框的距离）． 【初步探究】 （1）若，． ①与之间的距离为，求此时的面积． ②与之间的距离为x，试将通风口的面积y表示成关于x的函数． ③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？ 【拓展提升】 （2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．h需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 （用含a，h的代数式表示） 【答案】（1）①1.5平方米；②；③金属杆移动到所在的位置时，最大面积是3平方米；（2）； 【分析】（1）①当时，，将代入即可； ②过E作，垂足为F，分别与、相交于点G、H，当时，；当时，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，再证明，运用相似三角形性质即可得出结论． ③根据②的结论进行分析计算即可； （2）①在中有内接矩形，易证当为中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半；延长、交直线于F、G，则为的中位线时，矩形的面积最大；要想金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需与边平行的中位线在上方即可，作于S交于J，证明，利用相似三角形性质即可得到结论． 【详解】解：（1）①由题意知， ∵与之间的距离为， ∴； ∴与之间的距离为1时的面积为1.5； ②当时，， 当时，如图，过E作于点F，分别与、交于点G、H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴， 又、分别是和对应的高， ∴即 化简，得：． ∴； 综上可知，； ③当时，， 因此，当时，最大值是3． 当时，， 因此，当时，最大值是3． 综上所述，当时，最大值是3． 因此，金属杆移动到所在的位置时，最大面积是3． （2）如图， 已知在中有内接矩形，其中M、N在、上，P、Q在边上，可知当为中位线时，矩形的面积最大，且为面积的一半， 在图中，延长、交直线于点F、G，如图， 则为的中位线时，矩形的面积最大， 所以要想金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值， 只需与边平行的中位线在上方即可， 即，此时矩形的面积最大，为面积的一半， 作于S交于J， ∵， ∴， ∴，即 ∴ ， 则通风口的面积为矩形面积的最大值的一半， 即 故答案为：；． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质，最值问题，勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键． 【变式02】（2019·浙江金华·一模）定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在F的左边），E（1，0）且EF＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3）将抛物线y1＝﹣x2+2x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2．抛物线y2的顶点为P，与x轴的两个交点分别为M、N（M在N左侧），把△PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标． 【答案】（1）详见解析；（2）y＝或y＝；（3）当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（4039，3）． 【分析】（1）由Rt△ABC中AD是斜边BC的中线可得AD＝CD，由抛物线对称性可得AD＝AC，即证得△ACD是等边三角形． （2）设抛物线顶点为G，根据正抛物线定义得△EFG是等边三角形，又易求E、F坐标，即能求G点坐标．由于不确定点G纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式． （3）根据题意求出抛物线y2的解析式，并按题意求出P、M、N的坐标，得到等边△PMN，所以当△PMN翻滚时，每3次为一个周期，点P回到x轴上方，且横坐标每多一个周期即加6，其规律为当翻滚次数n能被3整除时，横坐标为： +n×2＝（2n+1）．2019能被3整除，代入即能求此时点P坐标． 【详解】解：（1）证明：∠BAC＝90°，点D是BC的中点 ∴AD＝BD＝CD＝BC ∵抛物线以A为顶点与x轴交于D、C两点 ∴AD＝AC ∴AD＝AC＝CD ∴△ACD是等边三角形 ∴以A为顶点与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线． （2）∵E（1，0）且EF＝2，点F在x轴上且E在F的左边 ∴F（3，0） ∵一条经过x轴的两点E、F的抛物线为正抛物线，设顶点为G ∴△EFG是等边三角形 ∴xG＝ ①当G（2，）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+ 把点E（1，0）代入得：a+＝0 ∴a＝﹣ ∴y＝﹣（x﹣2）2+ ②当G（2，﹣）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣ 把点E（1，0）代入得：a﹣＝0 ∴a＝ ∴y＝（x﹣2）2﹣ 综上所述，这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+或y＝（x﹣2）2﹣ （3）∵抛物线y1＝﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣）2+12 ∴y1向下平移9个单位后得抛物线y2＝﹣（x﹣）2+3 ∴P（，3），M（0，0），N（2，0） ∴PM＝MN＝PN＝2 ∴△PMN是等边三角形 ∴第一次翻滚顶点P的坐标变为P1（4，0），第二次翻滚得P2与P1相同，第三次翻滚得P3（7，3） 即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n能被3整除时，点P纵坐标为3，横坐标为： +n×2＝（2n+1） ∵2019÷3＝673 ∴（2×2019+1）×＝4039 ∴当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（4039，3）． 【点睛】本题考查了新定义的理解、性质运用，二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质．第（3）题的解题关键是发现等边△PMN每3次翻滚看作一个周期，点P对应点坐标的特征，是规律探索的典型题． 【变式03】（2023·浙江宁波·模拟预测）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即、分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点与直线之间的距离．当时，线段的长度也是与之间的距离． (1)如图2，在等腰直角三角形中，，，点为边上一点，过点作交于点．若，，则与之间的距离是__________； (2)如图3，已知直线：与双曲线：交于与两点，点与点之间的距离是__________，点与双曲线之间的距离是__________； 【拓展】 (3)按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南一西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？ 【答案】(1) (2)， (3)40米 【分析】（1）过点作于点，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可； （2）先根据一次函数解析式求出点，然后再求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可； （3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、，先求出直线的解析式，然后求出点、的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：把代入中，得：， ， 把代入，得：， ， 双曲线的解析式为， 联立，得：， 即， 解得：，， ， ； 如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为， 则， 整理得：， ， 或（不符合题意，舍去）， 直线的解析式为， 由， 解得：， ， ； 故答案为：，； （3）解：如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、， 则， 直线平分第二、四象限角， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 代入，得， 解得：， ， 联立得：， 解得：或， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式，准确计算． 题型05 函数图象作图与猜想 典例引领 【典例01】（2022·浙江金华·一模）某班“数学兴趣小组”对函数y＝的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完成： (1)下表是y与x的几组对应值，请直接写出m，n的值：m＝_______；n＝_______． x －2 －1 0 n 2 3 4 y m 0 －1 －3 5 3 2 (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中的对应值为坐标的一些点，请再描出其它的点并画出函数图象； (3)通过观察函数图象，小明发现该函数图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象形状相同，是轴对称图形，请直接写出该函数图象的对称轴的表达式：_______； (4)当－2≤x≤时，关于x的方程kx＋3＝有实数解，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)y=x，y=－x+2 (4)或 【分析】（1）当x=﹣1求出对应函数值，当y=3时求出对应x的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）根据函数的图象和轴对称的概念即可解答； （4）根据两函数图象的交点情况即可解答． 【详解】（1）x=﹣1时，y=， ∴m=． 当y=3时，则3=，解得x=， ∴n=， 故答案为，； （2）函数图象如图所示： （3）该函数的图象关于y=x，y=－x+2成轴对称； （4）如图： 当x=-2时，函数y=kx+3过点（-2，）， ∴将点（-2，）代入y=kx+3中得； =-2k+3，解得k= 当x=时，函数y=kx+3过点（，-1）， ∴将点（，-1）代入y=kx+3中得； -1=k+3，解得k=-8． ∴k的取值范围：或． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件、反比例函数的性质、轴对称以及运用函数图像解不等式，掌握反比例函数的性质和数形结合思想是解答本题的关键． 【典例02】（20-21九年级上·浙江·开学考试）启航同学根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完成： （1）函数 的自变量x 的取值范围是__________； （2）列表，找出y 与x 的几组对应值，列表如下： x … -2 -1 0 2 3 ．． y … a 1 2 2 1 … 其中， a=_______； （3）在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对 应值为坐标的点，并画出该函数的图象并写出该函数的一条性质：______________________ 【答案】（1）x≠1；（2）；（3）图像见解析，函数图像经过第一、二象限（答案不唯一） 【分析】（1）根据分式有意义的条件即可得出结论； （2）把x=-2代入函数解析式，求出y的值即可； （3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可得到图像，再根据函数图象即可得性质． 【详解】解：（1）在函数中， ， 解得：x≠1， ∴自变量x 的取值范围是x≠1， 故答案为：x≠1； （2）∵当x=-2时，a==， 故答案为：； （3）函数图像如图所示， 由图可知： 函数图像经过第一、二象限（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了函数的图象、函数自变量的取值范围，解决本题的关键是根据表格数据作出函数图象． 方法透视 考向解读 1. 描点法作图：根据函数解析式列表、描点、连线，画出函数图象，注意取值范围和特殊点（如渐近线、间断点）。 2. 图象性质猜想：从图象中观察函数的增减性、对称性、最值、取值范围等性质。 3. 交点问题：利用函数图象的交点，求解方程或不等式的解集。 4. 新函数图象探究：对含有绝对值、分段函数等新函数，分区间讨论后作图，再分析性质。 方法技能 描点作图五步走，列表描点连成线； 图象性质看趋势，交点求解除不等。 变式演练 【变式01】（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对任意三点，，给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差称为“横距”，纵坐标的最大值与最小值的差称为“纵距”，若三点的“横距”与“纵距”相等，我们称这三点为“等距点”． 【提出问题】如果点，点，动点是“等距点”，请探索动点在x轴上方平面的轨迹． 【解决问题】（1）列表、描点、连线：先将下表补充完整，然后在图中描出动点在x轴上方平面的轨迹． … … ________ ________ ________ ________ （2）根据动点在x轴上方平面的轨迹，求出该轨迹的函数解析式． 【拓展应用】在x轴上方平面中，若函数的图像上存在点，使得，，是“等距点”，求出的取值范围． 【答案】[解决问题]（1）填表见解析，作图见解析；（2）；[拓展应用] 【分析】本题考查了“等距点”的定义，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，注意分类讨论思想的应用． （1）根据“等距点”的定义分别求得时的横距，进而确定纵距，确定点的坐标，完成填表，画图； （2）根据图形待定系数法求解析式，即可求解； （3）分别代入点和点，得出的值，观察图形，即可求解． 【详解】解：（1）根据定义，当时，横距纵距，， 当时，横距纵距,则， 当时，横距纵距，， 当时，横距纵距,则， 补全表格． … … 4 如图， （2）∵当时，经过点， 设直线解析为，代入， 得解得： ∴ 同理可得当时， ∴点P轨迹的函数解析式为 [拓展应用]如图， 当经过点时， 解得：， 当经过点时， ， 解得： ∴. 【变式02】（2021·浙江衢州·一模）某班“数学兴趣小组”对函数y＝（0≤x≤6）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)①列表： x（cm） 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0 y（cm） 0 0.55 1.2 1.58 m 2.47 3 4.29 5.08 n 表中m＝　 　，n＝　 　． ②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）． ③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象． (2)结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论． (3)结合函数图象，写出不等式的解． 【答案】(1)①2，6；②见解析；③见解析 (2)①当0≤x≤6时，y随x的增大而减小；②x＝0时，函数有最大值6（答案不唯一） (3)0≤x<2 【分析】（1）①将x＝3，x＝0分别代入函数y＝（0≤x≤6）求函数值即可求解； ②根据①求得的结果描出即可； ③用平滑的曲线将所描点连接即可； （2）可以从增减性，对称性入手，言之有理即可； （3）在同一坐标系中画出的函数图象，利用图象的交点可求不等式解集． 【详解】（1）解：（1）①当x＝3时，代入y＝（0≤x≤6）得y＝2， ∴m＝2， 当x＝0时，代入y＝（0≤x≤6）得y＝6， ∴n＝6， 故答案为：2，6； ②如图所示：根据表格剩余的两点分别为（3，2），（6，0）， 在平面直角坐标系中描点（3，2），（6，0）， ③如图所示：用平滑曲线顺次连接各点，得函数图像 （2）解：观察图象，可知：①当0≤x≤6时，y随x的增大而减小；②x＝0时，函数有最大值6（答案不唯一）； （3）解：在同一坐标系中画出的函数图象， 列表 x 0 2 y 0 3 描点（0，0），（2，3）， 的解集就是y＝的图像在函数图像的上方，即两函数交点（2，3）的左侧部分，y轴的右侧， ∴不等式的解集为0≤x<2． 【点睛】本题考查求函数值，描点法画函数图像，函数的性质，利用函数图像的交点求不等式的解集，掌握求函数值，描点法画函数图像，函数的性质，利用函数图像的交点求不等式的解集是解题关键． 【变式03】（2023·浙江温州·一模）已知函数，为常数且．已知当时，；当时，．请对该函数及图象进行如下探究： (1)求该函数的解析式，并直接写出该函数自变量x的取值范围； (2)请在下列直角坐标系中画出该函数的图象； (3)请你在上方直角坐标系中画出函数的图象，结合上述函数的图象，写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析 (3)画图见解析；或； 【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论； （2）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可，利用描点法画出图象即可． （3）利用图象即可解决问题． 【详解】（1）把时，；时，代入得， 解得， 该函数的解析式为 （2）该函数的图象如图所示； （3）的图象如图， 与的交点为，， 结合函数图象的解集为或； 【点睛】本题考查反比例函数图象及性质，函数图象上点的特点；掌握待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． 题●型●训●练 1．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知函数，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，随的增大而减小；③若、两点在该图象上，且，则．其中说法正确的是（   ） A．①③ B．② C．③ D．①② 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：， ， 该函数的图象在第一、二象限， 且该函数的图象关于轴对称， ①说法错误， ， 当时，随着的增大而减小， 又图象关于轴对称， 当时，随着的增大而增大， ②说法错误， 当时，、两点关于轴对称， ， ③说法正确， 故选：C． 2．（2023·浙江台州·模拟预测）小明向连通容器内匀速注水，容器内水的深度h(单位：)与注水时间t(单位：)的函数关系如图所示．以下各连通容器的示意图中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象可得，第一段和第二段所花时间是相同的，表示甲、乙两个容器的宽度是一样的，由第三段时间比较长，可以得出连通的位置在容器靠底部一些，由此即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，第一段：从原点出发，直线上升，斜率较大，表示在开始阶段，水的深度随着时间的增加而快速增加， 第二段：图象为水平线，表示随着时间的增加，水的深度保持不变； 第三段：直线上升，斜率较第一段小，表示水的深度随着时间的增加而慢速增加， 由图象可得，第一段和第二段所花时间是相同的，表示甲、乙两个容器的宽度是一样的，由第三段时间比较长，可以得出连通的位置在容器靠底部一些，符合的图象如图所示： 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，正方形的四个顶点在正八边形的四条边上，A为边上一点（不与M，N重合），八边形对角线交正方形一组对边于点E，F，设，四边形的面积为y，y关于x的函数图像如图2所示，最低点为，则下列关于a，b的关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、函数图像等知识点，从函数图像上获取所需信息是解题的关键． 如图：取的中点O，连接，过点O作交于点H，，即．再分点A与点H重合、点A与点M重合分别得到、，最后在中运用勾股定理求解即可 【详解】解：如图：取的中点O，连接，过点O作交于点H，，即． 当点A与点H重合时，取到最小值1，即，此时， 当点A与点M重合时，取到最大值b，即， 在中，，即． 故选：A． 4．（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键；利用表格中x的增加值和y的减小值的特点，即可判断选项． 【详解】解：根据表格可知，x的值每增加1，y的值就减少2，则可判断是一次函数，且y随x的增大而减小， 故选：． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，轴，轴，，分别以点、点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，若点在双曲线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】该题考查了正方形的性质和判定，反比例函数的图象和性质，先证明四边形是正方形，得出，再根据点在双曲线上，求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 解得：或， ∵点在第一象限内， ∴， 故选：A． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期末）已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数m，使得，则称函数和符合“特定规律”，以下函数和符合“特定规律”的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数的性质．根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项． 【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得， A、有，，所以不存在实数m，故不符合题意； B、有，，所以存在实数m，故符合题意； C、有，，所以不存在实数m，故不符合题意； D、有，，所以不存在实数m，故不符合题意； 故选：B． 7．（24-25九年级下·浙江·三轮复习）如图所示，已知一次函数与反比例函数交于点P，，A为一次函数上一点，作等腰直角与使得N、C在x轴正半轴上，延长交于点D，连接，若，D为中点，，则__ ． 【答案】20 【分析】过点作轴于点，过点作，交延长线于点，证明，则有，，从而可得点的横坐标与点的横坐标相同为 1 ，再根据轴及等腰三角形的性质可得出，点的纵坐标为 6 ，则点，再求出点，设解析式为，从而有解析式为，联立，求出点即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点， ， ∵与是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点M的横坐标与点B的横坐标相同为1， 轴， ， ， ， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同， ， ， 当时，， ∴，点的纵坐标为 6 ， ∴点， ∵为中点， ∴点， 设解析式为， ∴，解得， ∴解析式为， 联立：，解得， ∴点， ∵反比例函数图象过点， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 8．（2025·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，双曲线 分别交，于点D，E，，以为边向下方作， 使与矩形面积相等，连结，，则______，的面积是________． 【答案】 3 /0.75 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键；过点D作于点H，由题意易得四边形都是矩形，由可设，则有，则有，，然后问题可求解；连接，过点O作，并延长，交于点Q，则有，进而问题可求解． 【详解】解：过点D作于点H，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形都是矩形， ∴， 由可设，则有， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接，过点O作，并延长，交于点Q，如图所示： 由反比例函数k的几何意义可知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为3，． 9．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)若，抛物线的顶点为，它与轴交于两点，，且为等边三角形，求的值． (2)若，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用及不等式的相关知识，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）将代入抛物线的解析式中，结合，可得出、之间的关系式，根据等边三角形，得到倍BC的长正好是点纵坐标的绝对值，联立、的关系式可求出的值． （2）根据已知条件易知，根据抛物线经过点，可得，结合，可将、看作是一元二次方程的两实根，根据，求得，分或两种情况讨论， 求解的最小值即可． 【详解】（1）解：当时，， 抛物线经过点， ，即， 抛物线顶点为， 设，， ，， ， ， 为等边三角形， ，即， ， ， ， ，即， 解得． （2）解：若，， ，， ，与矛盾， ， 抛物线经过点， ，即， 又， ，是一元二次方程的两实根， ， ，即， 故． ， 或． 若， ，与矛盾， 故此情况不符合题意； 若，则， ， ， 当，时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故的最小值为． 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点在第二象限抛物线上，连接并延长交轴于点，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，点的纵坐标为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取点，使得，在的延长线上取点，使得，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用抛物线的对称性求得，再利用待定系数法求解即可； （2）由题意，得，，则，据此列式计算即可求解； （3）过作，且，连接，，在上取点，使，连接交于点．证明和求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得对称轴为直线， 设对称轴交于点，则． 又∵， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ∴； （2）解：由题意，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴，， 过作，且，连接，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 在上取点，使，连接交于点．则． ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， （舍）或． ∴． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． 11．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点，，．      (1)求直线的解析式． (2)点在第三象限的直线上，轴交直线于点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，点在第四象限的的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转至（点的对应点为点），旋转角等于，直线交线段于点，连接，，，，的面积为8，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积为． 【分析】（1）先求得，，再根据题意求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）过作于点，延长交于，联立求得，证明得到，，，，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）连接，设与的交点为．证明，推出，，，过作于点，过作于点，和，得到，，利用三角形面积公式和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过作于点，延长交于， 联立， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，点的横坐标为1， 由题意，得， ∴， ∴， ∵，点、在上， ∴点的纵坐标与点纵坐标相同，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，设与的交点为． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 过作于点，过作于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的面积为． 【点睛】本题是综合题，其中涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 12．（2023·浙江金华·模拟预测）定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式；满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，如：是二元一次不等式，等都是该不等式的解．因为有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，二元一次不等式（组）的解集就可看成直角坐标系内的点构成的集合．所以的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为如图，阴影部分区域G．    (1)设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为F． ①在图1中画出图形F（用阴影部分表示），并求出图形F的面积； ②反比例函数（）的图象和图形F有公共点，求k的取值范围； (2)设的解集围成的图形为M，直接写出抛物线与图形M有交点时m的取值范围． 【答案】(1)①见解析，4.5；② (2)且 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数以及二次函数的综合问题，还涉及到二元一次不等式组的有关知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①在直角坐标系中画出直线，，，它们所围成的图形即为所求；②求出函数（）经过点时，，当 有唯一一个解时，，进而即可求解； （2）分别画出直线所围成的图形M，再根据当时， 当时，求出对应的m值，从而求出m的取值范围． 【详解】（1）解：①， 由①得， 由②得， 由③得， 如图所示： ∴； ②图象F为等腰直角三角形，三个顶点分别为， 当函数（）经过点时，， 当 有唯一一个解时，即， ∴， 解得， ∴时，反比例函数（）的图象和图形F有公共点； （2）图形M如图： 当时，当有唯一一个解时，即， 解得； 当时，当经过点时，， 解得； ∴且时，抛物线与图形M有交点．    公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $