数学（甘肃兰州卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．立春为二十四节气之首，2026年立春这天北京、武汉、哈尔滨、长沙四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴这些气温中最低的是． 2．机器人“夸父”是我国全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时的平面示意图．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得 ，从而求出 的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 3．若点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵ 点在第四象限， ∴ ， 解不等式，得． 解不等式，得，即． ∴ 的取值范围是． 4．如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，，由平行线的性质及直角三角形的性质求出，根据折叠的性质可得，进而可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 由折叠可知：， ， ， ． 5．中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意，除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取两张，则这两张卡片是“骐骐”“骥骥”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是“骐骐”“骥骥”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是“骐骐”“骥骥”的结果有2种，即、， ∴这两张卡片是“骐骐”“骥骥”的概率是． 6．如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为G，这个正六边形的边心距的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用正多边形的内角公式，求出，根据圆内接多边形的性质，可知平分，最后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：由正多边形的内角公式，得， 由圆内接多边形的性质，得， ∴． 7．算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产，它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华拨了一颗上珠和一颗下珠作为一个三位数的百位数字，若个位数字与十位数字的和等于百位数字的2倍，且个位数字比十位数字多4，则这个三位数为多少？设个位数字为x，十位数字为y，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得百位数字为，利用已知条件列出方程组即可． 【详解】解：根据题意可得：百位数字有一颗上珠和一颗下珠组成，即百位数字为， 设个位数字为x，十位数字为y， 个位数字与十位数字的和等于百位数字的2倍， ，即， 个位数字比十位数字多4， ， 可列方程组为． 8．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，再结合分式方程的解为正数且分式有意义的条件，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】原方程变形为 ， ∴ ， ∴ ， 解得， ∵分式方程的解为正数，且分式要有意义， ∴ 解不等式得且． 9．如图，在中，平分．尺规作图如下：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于点、；以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；延长，交于点、边于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 由作法得，， ∵， ， ∴， ∴， ∴C选项是正确的，符合题意； 根据题意无法得到与，与，与的关系， ∴A，B，D不符合题意， 故选C． 10．已知抛物线和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作差法分解因式，判断因式符号后，根据恒成立条件即可求出a的取值范围. 【详解】解：∵， 在抛物线 上， ∴，， ∴， ∵ 对任意 ，都有 ，即 ， ∵，， ∴ ， ∴ 要满足，需对所有恒成立， ∴， ∴，解得. 11．如图，在矩形中，，，点是平面内一点，且，过点作直线的垂线交直线于点，当点在平面内运动时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作交于点，根据角的和差关系得出，即可证明，得出，当最小时，最小，根据勾股定理得出，当最小时，最大，根据得出点在以为圆心，为半径的圆上，可得时，最大，此时，与相切，利用勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，作交于点， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵， ∴当最小时，最大， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴当且仅当点与点重合，即时，最大，此时，与相切，切点为点， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴的最小值为． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．因式分解：________． 【答案】 【详解】解：． 13．若为方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 3 【分析】由一元二次方程的解的定义和根与系数的关系可得到，，，则，再代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵ 是方程 的实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 14．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 【答案】2.2 【分析】利用勾股定理算出梯子的长度，再利用勾股定理算出，根据即可解题． 【详解】解：如图： 根据题意，可知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．定义：若实数满足（为常数，且），则在平面直角坐标系中称点为点的“级变点”．例如：为的“3级变点”． （1）若点的“级变点”的坐标为，则的值为___； （2）若点是点的“级变点”，且点在函数的图象上，则线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】（1）根据“级变点”的定义列出方程，整理得，即可解答； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，根据点Q在反比例函数图象上，代入后推出，再根据两点间距离公式和配方法解出最值即可． 【详解】解：（1）∵点的“级变点”的坐标为， ∴，， ∵为常数，且， ∴将两边乘以k，得， ∴， ∴； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∵点在函数的图象上， ∴， 整理得， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）化简：． 【答案】 【分析】根据乘法公式解题即可． 【详解】解：原式 ． 17．（5分）解方程：． 【答案】 【分析】先对分母因式分解，确定最简公分母，然后去分母，将原式化为整式方程求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 当时，，，， 故是原方程的解． 18．（5分）解不等式组：，并写出它所有的正整数解． 【答案】不等式组的正整数解为1、2 【分析】分别求解不等式组中两个不等式的解集，求出两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，再在总解集中找出所有正整数即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 原不等式组的解为： 则不等式组的正整数解为：1、2． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2) 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合应用题，主要考查：函数图象上点的坐标特征，求反比例函数的解析式和平行于轴的线段长度的计算方法． （1）利用一次函数求点的坐标，然后利用点求反比例函数的； （2）利用反比例函数求点的坐标，再利用一次函数求点的坐标，最后计算的长． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入，得：，即． ∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得，即． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等， 将代入，得：，解得，即． ∴． 20．（7分）项目课测量河对岸两栋建筑物之间的距离．（不过河） 问题情境：如图①，河对岸有，两栋建筑物，河岸线，与两栋建筑物的底部位于同一水平面，且所在直线与，平行． 测量工具：皮尺（可测量距离小于的长度），测角仪（测量角度）． 方案设计：实践小组设计了如下不完整的测量方案． 如图②，在建筑物对岸的陆地上选取，两点，使交河岸于点，．利用测角仪测得，并用皮尺测得米，米．（图中各点均在同一水平面上） 问题解决： (1)任务一：根据上面不完整方案（如图②）是否可求出点到建筑物的距离？若能，请求出；若不能，请说明理由； (2)任务二：若要求出两栋建筑物，之间的距离，请帮助实践小组在图②中补全方案示意图，并在图中标注需补充的测量数据（长度，角度可分别用字母，，等表示），求出两栋建筑物，之间的距离．（结果用含标注的字母的代数式表示） 【答案】(1)能，米 (2)两栋建筑物，之间的距离米． 【分析】（1）先根据已知条件判断出是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质求出的长度，最后用减去得到的长度． （2）通过在河岸上选取一点，构造直角三角形，利用平行线的性质和三角函数表示出的长度，再根据与的关系求出的长度． 【详解】（1）解：，， ． ． ， 是等腰直角三角形． ． ， ． 米， 米， ∴能求出的长，米． （2）解：补全方案示意图说明：在的延长线上取点，使于，连接，测得． ， ∴， ∵，， ∴， 四边形是平行四边形， ．米． 于，， ， ． ，米， （米） ∴两栋建筑物，之间的距离米． 21．（7分）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． (1)求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； (2)已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； (3)若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 【答案】(1)，图像见解析 (2)点左侧所挂物体所受的重力为 (3) 【分析】（1）根据表格信息可得，进一步可得解析式，再描点画图即可； （2）设重力为，可得，进一步可得答案； （3）根据及木棒的中点为可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， 如图， （2）解：设重力为， ∴， 解得：． （3）解：∵弹簧测力计的示数不超过， ∴， 解得：， ∵为一根长的匀质木杆的中点， ∴， 综上：． 22．（7分）综合实践 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折叠，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形EHGF（如图1），则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形AECF，则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF，与AD边交于点E，与BC边交于F，连接AF，CE，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形． 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为______． (2)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)若在矩形ABCD中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)15 【分析】（1）菱形的对角线与矩形边长相等，分成的四个直角三角形面积和为两条对角线相乘除以2，也就是原矩形面积的一半； （2）尺规作图，作对角线的垂直平分线； （3）方法一：矩形面积的一半；方法二：利用勾股定理求出菱形边长，高与矩形宽相同，边长乘以高，得到面积；方法三：同方法二；综合比较得出结果． 【详解】（1）解：菱形对角线垂直平分，且，与矩形边长相等，分成的四个直角三角形面积和为两条对角线相乘除以2，也就是原矩形面积的一半； （2）四边形AECF即为所求，如下图所示： （3）解：方法一：在矩形ABCD中，，， ∴， 由（1）可知，菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为， ∴菱形EHGF的面积为； 方法二：设菱形AECF边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即，解得， ∴菱形AECF边长为5， ∴菱形AECF的面积为； 方法三：由方法二可知，同理可得菱形AECF边长为5， ∴菱形AECF的面积为15； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为15． 23．（7分）随着科学技术的发展，人工智能在生产、生活中发挥着越来越大的作用．某中学为了解学生对智能助手的使用体验，随机抽取了名学生对四款智能助手的满意度进行评分（十分制），收集数据并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．对两款智能助手满意度的评分数据的折线图： ．对款智能助手满意度的评分数据： ．对四款智能助手满意度的评分数据的平均数、中位数、众数和方差： 智能助手 平均数 中位数 众数 方差 (1)表中的值为 ，的值为 ； (2)表中的取值范围是 （填序号）； ①   ②   ③ (3)如果按照以下规则：先比较平均数，平均数较大者满意度更高；若平均数相同，则比较方差，方差较小者满意度更高；若平均数，方差均相同，则比较中位数，中位数较大者满意度更高；若平均数，方差，中位数均相同，则比较众数，众数较大者满意度更高，请对四款智能助手的满意度按照由高到低排序 ． 【答案】(1)，； (2)②； (3)． 【分析】（1）由图求出对款智能助手满意度的评分数据，根据众数定义即可求解； 由对款智能助手满意度的评分数据，根据中位数定义即可求解； （2）由图求出对款智能助手满意度的评分数据结合表格的平均数，即可求出的取值范围； （3）根据数据结合题意比较即可求解． 【详解】（1）由的折线图可知，对款智能助手满意度的评分数据：， 排序后为，即众数为； 由对款智能助手满意度的评分数据：， 即中位数的值为； （2）由的折线图可知对款智能助手满意度的评分数据：， 排序后为， 由表格可知的平均数为， ∴， ∴的取值范围是②， （3）先比较平均数，的平均数的平均数的平均数的平均数， 若平均数相同，则比较方差，的方差的方差的方差, 若平均数，方差均相同，则比较中位数，的中位数的中位数， 若平均数，方差，中位数均相同，则比较众数，的众数的众数， ∴四款智能助手的满意度按照由高到低排序为． 24．（7分）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数求出的长． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ， ． 25．（9分）综合与实践主题：废料再利用，瓷砖的密铺与优化设计 【项目情境】某工地在铺设地面过程中，产生了一批规格相同的三角形瓷砖废料．为了废料利用，工人师傅希望从这些三角形瓷砖中，切割出对边分别平行且相等的六边形（称为“平行六边形”）瓷砖，并用于地面铺设．现需解决两个问题：仅用这种平行六边形能否铺满地面；在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大． 【活动一：密铺可行性探究】猜想：仅用规格相同的“平行六边形”可以铺满地面，铺设效果如图1所示．如图2，平行六边形中，，． 试说明：平行六边形可以铺满地面． 证明：连接， ， ① ， ② ， 同理，， 六边形的内角和为， ， ③ ． 即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面． 【活动二：废料图形性质探究】按图3的方式，从三角形瓷砖中切割出一个平行六边形后，会产生三个新的小三角形：，它们都与相似，记它们与的相似比分别为，探究的数量关系． 【活动三：面积最大化探究】在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大?记，六边形，的面积分别为，S，探究的最大值． 阅读以上材料，并回答下列问题： (1)补全活动一证明过程①②③所缺的内容； (2)活动二探究中，是否定值，若是，请说明理由；若不是，请举一个反例说明． (3)活动三探究中，当时，求的最大值． 【答案】(1)①，②，③ (2)是定值，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用平行线的内错角相等，可证对角相等，再结合六边形内角和为 ，推出三个相邻内角之和为 ，从而说明三个平行六边形可在顶点处拼成周角； （2） 利用相似三角形的性质，三个小三角形都与 相似，通过边的比例关系，探究 是否为定值； （3） 已知 ，则 ，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，将六边形面积表示为总面积减去三个小三角形面积，再求比值的最大值． 【详解】（1）证明：连接 ， ，， ， ， ， 同理，，， 六边形的内角和为 ， ， ． 即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面． （2）解： 是定值，且 ． 理由如下： ∵由平行六边形有，，， ∴，相似比为 ， ，即 ， ； 同理：，相似比为 ，得 ， ，相似比为 ，得 ， 在 中，由边的关系： ， 即： ， ， , ， ； （3）解：设的面积为， 由相似三角形面积比等于相似比的平方， ， ， 六边形面积：， ， ， 由 ，设 ，则 ， ， 当 时， 取最小值． 此时 取最大值：． 26．（9分）某校九年级数学社团学习小组，为了学习二次函数问题，经历了实践——应用——探究的过程． (1)【实践】学习小组对即将开通的某隧道进行了测量，该隧道横截面其轮廓可看作是抛物线的一部分．学习小组成员小皓测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，按照如图1所示的方式建立了平面直角坐标系，请你求出抛物线的解析式． (2)【应用】该隧道设计为单向双车道通行，按相关规定机动车辆通过隧道时，车辆顶部与隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔1米（中心线宽度不计）．学习小组成员小莉说：若两辆宽为2.5米，高为3.5米的大型客车并列行驶是安全的．请你判断小莉的说法是否正确，并说明理由． (3)【探究】该课题学习小组为了进一步探究抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，提出以下数学问题，请你予以解决： 如图2，过原点作直线，交抛物线于点，点是抛物线对称轴上一动点，点是平面直角坐标系内的一点，是否存在以点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)小莉的说法正确，理由见解析． (3)存在，或或或． 【分析】（1）先求出和顶点坐标为，然后用待定系数法求解即可； （2）设对称轴与x轴交于点K，矩形表示两辆货车，延长交抛物线于点C，求出，进而求出，再求出货车安全行驶时需要的高度即可解答； （3）设，求出，设．根据勾股定理求出，，．①当为矩形的一边且点Q和点M在直线的上方时，如图，连接，根据求出，然后利用平移的性质求解；②当为矩形的一边且点Q和点M在直线的下方时，如图，连接，根据求出，然后利用平移的性质求解；③当为矩形的对角线时，如图和图，根据求出，然后利用中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：∵隧道的路面宽为10米， ∴ ∴， ∵隧道顶部最高处距地面6.25米， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：如图1，设对称轴与x轴交于点K，矩形表示两辆货车，延长交抛物线于点C， ∵， ∴对称轴为直线， ∵两车至少间隔1米， ∴当时，． ∵车辆宽为2.5米， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴． ∵货车高为3.5米，隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，， ∴刚好满足安全要求，因此说法正确 （3）解：设． 解得，， ∴． ∵对称轴为直线， ∴设． ∴，，． ①当为矩形的一边且点Q和点M在直线的上方时，如图，连接， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴把点P先向左移动1个单位，再向上移动1个单位可得点Q， ∴把点O先向左移动1个单位，再向上移动1个单位可得点M， ∴． ②当为矩形的一边且点Q和点M在直线的下方时，如图，连接， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴把点O先向右移动5个单位，再向下移动5个单位可得点Q， ∴把点P先向右移动5个单位，再向下移动5个单位可得点M， ∴． ③当为矩形的对角线时，如图和图， ∵， ∴， 解得， ∴或， ∵的中点坐标为， ∴或即或． 综上可知，点的坐标为或或或． 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C C B B C C B C C D C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12． 13．3 14． 15． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（5分）【详解】解：原式 ．...............5分 17.（5分）【详解】解：， ， ， ， ， ， ，...............3分 当时，，，， 故是原方程的解．..............5分 18.（5分）【详解】解： 解不等式①得：..............2分 解不等式②得：..............3分 原不等式组的解为：.............4分 则不等式组的正整数解为：1、2．..............5分 19.（7分）【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入，得：，即． ∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得． ∴反比例函数的表达式为；..............3分 （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得，即．..............4分 ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，..............5分 将代入，得：，解得，即． ∴．..............7分 20.（7分)【详解】（1）解：，， ． ． ， 是等腰直角三角形．..............1分 ． ， ． 米， 米， ∴能求出的长，米．..............2分 （2）解：补全方案示意图说明：在的延长线上取点，使于，连接，测得． ， ∴， ∵，， ∴， 四边形是平行四边形，..............4分 ．米． 于，， ， ． ，米， （米） ∴两栋建筑物，之间的距离米．..............7分 21.（7分）【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，..............1分 如图， ..............2分 （2）解：设重力为， ∴， 解得：．..............3分 （3）解：∵弹簧测力计的示数不超过， ∴， 解得：，..............5分 ∵为一根长的匀质木杆的中点， ∴， 综上：．..............7分 22.（7分）【详解】（1）解：菱形对角线垂直平分，且，与矩形边长相等，分成的四个直角三角形面积和为两条对角线相乘除以2，也就是原矩形面积的一半；..............2分 （2）四边形AECF即为所求，如下图所示： ..............3分 （3）解：方法一：在矩形ABCD中，，， ∴，..............4分 由（1）可知，菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为， ∴菱形EHGF的面积为； 方法二：设菱形AECF边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即，解得， ∴菱形AECF边长为5， ∴菱形AECF的面积为；..............5分 方法三：由方法二可知，同理可得菱形AECF边长为5， ∴菱形AECF的面积为15； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为15．..............7分 23.（7分）【详解】（1）由的折线图可知，对款智能助手满意度的评分数据：， 排序后为，即众数为； 由对款智能助手满意度的评分数据：， 即中位数的值为；..............2分 （2）由的折线图可知对款智能助手满意度的评分数据：， 排序后为， 由表格可知的平均数为， ∴， ∴的取值范围是②，..............5分 （3）先比较平均数，的平均数的平均数的平均数的平均数， 若平均数相同，则比较方差，的方差的方差的方差, 若平均数，方差均相同，则比较中位数，的中位数的中位数， 若平均数，方差，中位数均相同，则比较众数，的众数的众数， ∴四款智能助手的满意度按照由高到低排序为．..............7分 24.（7分）【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ；..............2分 （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得，..............4分 ， ， ． 为的直径， ．..............5分 在中，， ， ．..............7分 25.（9分）【详解】（1）证明：连接 ， ，， ， ， ， 同理，，， 六边形的内角和为 ， ， ．..............2分 即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面． （2）解： 是定值，且 ．..............3分 理由如下： ∵由平行六边形有，，， ∴，相似比为 ， ，即 ， ；..............4分 同理：，相似比为 ，得 ， ，相似比为 ，得 ， 在 中，由边的关系： ， 即： ， ， , ， ；..............5分 （3）解：设的面积为， 由相似三角形面积比等于相似比的平方， ， ， 六边形面积：， ， ，..............6分 由 ，设 ，则 ， ， 当 时， 取最小值．..............8分 此时 取最大值：．..............9分 26.（9分）【详解】（1）解：∵隧道的路面宽为10米， ∴ ∴， ∵隧道顶部最高处距地面6.25米， ∴顶点坐标为，..............1分 设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴；..............2分 （2）解：如图1，设对称轴与x轴交于点K，矩形表示两辆货车，延长交抛物线于点C， ∵， ∴对称轴为直线， ∵两车至少间隔1米， ∴当时，． ∵车辆宽为2.5米， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴．..............3分 ∵货车高为3.5米，隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，， ∴刚好满足安全要求，因此说法正确..............4分 （3）解：设． 解得，， ∴．..............5分 ∵对称轴为直线， ∴设． ∴，，． ①当为矩形的一边且点Q和点M在直线的上方时，如图，连接， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴把点P先向左移动1个单位，再向上移动1个单位可得点Q， ∴把点O先向左移动1个单位，再向上移动1个单位可得点M， ∴．..............6分 ②当为矩形的一边且点Q和点M在直线的下方时，如图，连接， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴把点O先向右移动5个单位，再向下移动5个单位可得点Q， ∴把点P先向右移动5个单位，再向下移动5个单位可得点M， ∴．..............7分 ③当为矩形的对角线时，如图和图， ∵， ∴， 解得， ∴或，..............9分 ∵的中点坐标为， ∴或即或． 综上可知，点的坐标为或或或．..............9分 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．立春为二十四节气之首，2026年立春这天北京、武汉、哈尔滨、长沙四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（   ） A． B． C． D． 2．机器人“夸父”是我国全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时的平面示意图．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．若点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意，除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取两张，则这两张卡片是“骐骐”“骥骥”的概率是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为G，这个正六边形的边心距的长为（   ） A．1 B． C． D．2 7．算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产，它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华拨了一颗上珠和一颗下珠作为一个三位数的百位数字，若个位数字与十位数字的和等于百位数字的2倍，且个位数字比十位数字多4，则这个三位数为多少？设个位数字为x，十位数字为y，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 9．如图，在中，平分．尺规作图如下：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于点、；以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；延长，交于点、边于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在矩形中，，，点是平面内一点，且，过点作直线的垂线交直线于点，当点在平面内运动时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．因式分解：________． 13．若为方程的两个实数根，则的值为______． 14．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 15．定义：若实数满足（为常数，且），则在平面直角坐标系中称点为点的“级变点”．例如：为的“3级变点”． （1）若点的“级变点”的坐标为，则的值为___； （2）若点是点的“级变点”，且点在函数的图象上，则线段的最小值为_____． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）化简：． 17．（5分）解方程：． 18．解不等式组：，并写出它所有的正整数解． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 20．（7分）项目课测量河对岸两栋建筑物之间的距离．（不过河） 问题情境：如图①，河对岸有，两栋建筑物，河岸线，与两栋建筑物的底部位于同一水平面，且所在直线与，平行． 测量工具：皮尺（可测量距离小于的长度），测角仪（测量角度）． 方案设计：实践小组设计了如下不完整的测量方案． 如图②，在建筑物对岸的陆地上选取，两点，使交河岸于点，．利用测角仪测得，并用皮尺测得米，米．（图中各点均在同一水平面上） 问题解决： (1)任务一：根据上面不完整方案（如图②）是否可求出点到建筑物的距离？若能，请求出；若不能，请说明理由； (2)任务二：若要求出两栋建筑物，之间的距离，请帮助实践小组在图②中补全方案示意图，并在图中标注需补充的测量数据（长度，角度可分别用字母，，等表示），求出两栋建筑物，之间的距离．（结果用含标注的字母的代数式表示） 21．（7分）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． (1)求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； (2)已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； (3)若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 22．（7分）综合实践 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折叠，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形EHGF（如图1），则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形AECF，则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF，与AD边交于点E，与BC边交于F，连接AF，CE，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形． 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为______． (2)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)若在矩形ABCD中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 23．（7分）随着科学技术的发展，人工智能在生产、生活中发挥着越来越大的作用．某中学为了解学生对智能助手的使用体验，随机抽取了名学生对四款智能助手的满意度进行评分（十分制），收集数据并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．对两款智能助手满意度的评分数据的折线图： ．对款智能助手满意度的评分数据： ．对四款智能助手满意度的评分数据的平均数、中位数、众数和方差： 智能助手 平均数 中位数 众数 方差 (1)表中的值为 ，的值为 ； (2)表中的取值范围是 （填序号）； ①   ②   ③ (3)如果按照以下规则：先比较平均数，平均数较大者满意度更高；若平均数相同，则比较方差，方差较小者满意度更高；若平均数，方差均相同，则比较中位数，中位数较大者满意度更高；若平均数，方差，中位数均相同，则比较众数，众数较大者满意度更高，请对四款智能助手的满意度按照由高到低排序 ． 24．（7分）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（9分）综合与实践主题：废料再利用，瓷砖的密铺与优化设计 【项目情境】某工地在铺设地面过程中，产生了一批规格相同的三角形瓷砖废料．为了废料利用，工人师傅希望从这些三角形瓷砖中，切割出对边分别平行且相等的六边形（称为“平行六边形”）瓷砖，并用于地面铺设．现需解决两个问题：仅用这种平行六边形能否铺满地面；在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大． 【活动一：密铺可行性探究】猜想：仅用规格相同的“平行六边形”可以铺满地面，铺设效果如图1所示．如图2，平行六边形中，，． 试说明：平行六边形可以铺满地面． 证明：连接， ， ① ， ② ， 同理，， 六边形的内角和为， ， ③ ． 即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面． 【活动二：废料图形性质探究】按图3的方式，从三角形瓷砖中切割出一个平行六边形后，会产生三个新的小三角形：，它们都与相似，记它们与的相似比分别为，探究的数量关系． 【活动三：面积最大化探究】在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大?记，六边形，的面积分别为，S，探究的最大值． 阅读以上材料，并回答下列问题： (1)补全活动一证明过程①②③所缺的内容； (2)活动二探究中，是否定值，若是，请说明理由；若不是，请举一个反例说明． (3)活动三探究中，当时，求的最大值． 26．（9分）某校九年级数学社团学习小组，为了学习二次函数问题，经历了实践——应用——探究的过程． (1)【实践】学习小组对即将开通的某隧道进行了测量，该隧道横截面其轮廓可看作是抛物线的一部分．学习小组成员小皓测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，按照如图1所示的方式建立了平面直角坐标系，请你求出抛物线的解析式． (2)【应用】该隧道设计为单向双车道通行，按相关规定机动车辆通过隧道时，车辆顶部与隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔1米（中心线宽度不计）．学习小组成员小莉说：若两辆宽为2.5米，高为3.5米的大型客车并列行驶是安全的．请你判断小莉的说法是否正确，并说明理由． (3)【探究】该课题学习小组为了进一步探究抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，提出以下数学问题，请你予以解决： 如图2，过原点作直线，交抛物线于点，点是抛物线对称轴上一动点，点是平面直角坐标系内的一点，是否存在以点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．立春为二十四节气之首，2026年立春这天北京、武汉、哈尔滨、长沙四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（   ） A． B． C． D． 2．机器人“夸父”是我国全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时的平面示意图．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．若点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意，除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取两张，则这两张卡片是“骐骐”“骥骥”的概率是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为G，这个正六边形的边心距的长为（   ） A．1 B． C． D．2 7．算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产，它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华拨了一颗上珠和一颗下珠作为一个三位数的百位数字，若个位数字与十位数字的和等于百位数字的2倍，且个位数字比十位数字多4，则这个三位数为多少？设个位数字为x，十位数字为y，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 9．如图，在中，平分．尺规作图如下：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于点、；以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；延长，交于点、边于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在矩形中，，，点是平面内一点，且，过点作直线的垂线交直线于点，当点在平面内运动时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．因式分解：________． 13．若为方程的两个实数根，则的值为______． 14．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 15．定义：若实数满足（为常数，且），则在平面直角坐标系中称点为点的“级变点”．例如：为的“3级变点”． （1）若点的“级变点”的坐标为，则的值为___； （2）若点是点的“级变点”，且点在函数的图象上，则线段的最小值为_____． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）化简：． 17．（5分）解方程：． 18．（5分）解不等式组：，并写出它所有的正整数解． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 20．（7分）项目课测量河对岸两栋建筑物之间的距离．（不过河） 问题情境：如图①，河对岸有，两栋建筑物，河岸线，与两栋建筑物的底部位于同一水平面，且所在直线与，平行． 测量工具：皮尺（可测量距离小于的长度），测角仪（测量角度）． 方案设计：实践小组设计了如下不完整的测量方案． 如图②，在建筑物对岸的陆地上选取，两点，使交河岸于点，．利用测角仪测得，并用皮尺测得米，米．（图中各点均在同一水平面上） 问题解决： (1)任务一：根据上面不完整方案（如图②）是否可求出点到建筑物的距离？若能，请求出；若不能，请说明理由； (2)任务二：若要求出两栋建筑物，之间的距离，请帮助实践小组在图②中补全方案示意图，并在图中标注需补充的测量数据（长度，角度可分别用字母，，等表示），求出两栋建筑物，之间的距离．（结果用含标注的字母的代数式表示） 21．（7分）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． (1)求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； (2)已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； (3)若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 22．（7分）综合实践 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折叠，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形EHGF（如图1），则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形AECF，则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF，与AD边交于点E，与BC边交于F，连接AF，CE，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形． 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为______． (2)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)若在矩形ABCD中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 23．（7分）随着科学技术的发展，人工智能在生产、生活中发挥着越来越大的作用．某中学为了解学生对智能助手的使用体验，随机抽取了名学生对四款智能助手的满意度进行评分（十分制），收集数据并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．对两款智能助手满意度的评分数据的折线图： ．对款智能助手满意度的评分数据： ．对四款智能助手满意度的评分数据的平均数、中位数、众数和方差： 智能助手 平均数 中位数 众数 方差 (1)表中的值为 ，的值为 ； (2)表中的取值范围是 （填序号）； ①   ②   ③ (3)如果按照以下规则：先比较平均数，平均数较大者满意度更高；若平均数相同，则比较方差，方差较小者满意度更高；若平均数，方差均相同，则比较中位数，中位数较大者满意度更高；若平均数，方差，中位数均相同，则比较众数，众数较大者满意度更高，请对四款智能助手的满意度按照由高到低排序 ． 24．（7分）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（9分）综合与实践主题：废料再利用，瓷砖的密铺与优化设计 【项目情境】某工地在铺设地面过程中，产生了一批规格相同的三角形瓷砖废料．为了废料利用，工人师傅希望从这些三角形瓷砖中，切割出对边分别平行且相等的六边形（称为“平行六边形”）瓷砖，并用于地面铺设．现需解决两个问题：仅用这种平行六边形能否铺满地面；在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大． 【活动一：密铺可行性探究】猜想：仅用规格相同的“平行六边形”可以铺满地面，铺设效果如图1所示．如图2，平行六边形中，，． 试说明：平行六边形可以铺满地面． 证明：连接， ， ① ， ② ， 同理，， 六边形的内角和为， ， ③ ． 即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面． 【活动二：废料图形性质探究】按图3的方式，从三角形瓷砖中切割出一个平行六边形后，会产生三个新的小三角形：，它们都与相似，记它们与的相似比分别为，探究的数量关系． 【活动三：面积最大化探究】在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大?记，六边形，的面积分别为，S，探究的最大值． 阅读以上材料，并回答下列问题： (1)补全活动一证明过程①②③所缺的内容； (2)活动二探究中，是否定值，若是，请说明理由；若不是，请举一个反例说明． (3)活动三探究中，当时，求的最大值． 26．（9分）某校九年级数学社团学习小组，为了学习二次函数问题，经历了实践——应用——探究的过程． (1)【实践】学习小组对即将开通的某隧道进行了测量，该隧道横截面其轮廓可看作是抛物线的一部分．学习小组成员小皓测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，按照如图1所示的方式建立了平面直角坐标系，请你求出抛物线的解析式． (2)【应用】该隧道设计为单向双车道通行，按相关规定机动车辆通过隧道时，车辆顶部与隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔1米（中心线宽度不计）．学习小组成员小莉说：若两辆宽为2.5米，高为3.5米的大型客车并列行驶是安全的．请你判断小莉的说法是否正确，并说明理由． (3)【探究】该课题学习小组为了进一步探究抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，提出以下数学问题，请你予以解决： 如图2，过原点作直线，交抛物线于点，点是抛物线对称轴上一动点，点是平面直角坐标系内的一点，是否存在以点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 日 数学·答题卡 日 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 正确填涂■ 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 错误填涂1「√1「/1 4 保持卡而清洁。不要折叠.不要玉砧 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共33分) 1.AlIBIICIIDI 5.IAIIBIICIID 9[A]IBIICIID] 2.JAlIBIICIIDI 6.1AIIBIICIID] 10.[AJ[B]ICIID] 3.[A]IBIICIIDI 7.AlIBIICIIDI 11.AI[BIICIIDI 4.[AIIBIICIIDI 8.AIIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分) 12. 13. 14. 15 请在各题目的答圈区暖内作答，超出照色矩形边框限定区域的答案无效！“效 三、（本大题共11个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(5分)化简：-x+3y-x-3y+x-2y2. 23 17.(5分)解方程： x-2x+2x2-4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 3x+1≥4x+1① 18.(5分)解不等式组： 2x+1>2x-2② 并写出它所有的正整数解. 3 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(7分) m E 45 D 图① 图② 21.(7分) AF/N 120 100 80 王手王 60 9 o123456icm 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) A E A H D E G B B 图1 图2 图3 23.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(7分) C A E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) y 0 A 图1 1图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.1AIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 11.1AlIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分） 12. 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(5分)化简：(-+3)(--3)+(-2)2. 17(5分)解方程：品2-是= 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 3(+1)≥4+1① 18.(5分)解不等式组： 2+1>22② 并写出它所有的正整数解. 3 19.(7分) /o 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(7分) 45D 图① 图② 21.(7分) AFN 120 100 d 40 O123456Zcm 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) D A H A D D E G B B 图1 图2 图3 23.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(7分) C D F B G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) 0 A 图1 !图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！