11.2一元一次不等式（第2课时 解一元一次不等式）（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

11.2 一元一次不等式 第2课时 解一元一次不等式 第十一章 不等式 人教版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 熟练掌握解含括号、分母的一元一次不等式的完整步骤；能规范、准确求解复杂一元一次不等式，并在数轴上表示解集；能清晰区分解一元一次方程与一元一次不等式的区别. 经历复杂一元一次不等式的求解过程，提升代数变形、运算的严谨性；通过步骤梳理与易错辨析，培养逻辑推理与规范解题能力；体会化归思想在不等式求解中的应用. 通过攻克复杂不等式求解难点，增强数学学习自信心；养成严谨细致、规范书写的解题习惯；感受数学知识的系统性，提升代数运算的核心素养. 解一元一次不等式的“五步法” 01 去分母 注意每一项都要乘不要漏乘不含分母的项！ 02 去括号 注意括号前的符号以及不要漏乘括号内的项 03 移项 把含未知数的项移到一边把常数项移到另一边 记得变号！ 04 合并同类项 将不等式化为 ax > b 或 ax < b (a≠0) 的最简形式 05 系数化为 1 不等式两边同时除以a 特别注意： 除以负数要变号！ 知识回顾 解一元一次不等式与解一元一次不等式对比 相同点：解法逻辑一致 • 步骤基本一致： 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 • 核心规则相同：移项时，必须变号 适用对象 •一元一次不等式： 解的结果通常是一个取值范围（解集） •一元一次方程： 解的结果通常是一个确定的值（解） 解一元一次不等式 •理论依据：不等式的性质 (1-3) •关键差异：系数化为1时，若两边同乘或除以一个负数，必须改变不等号的方向（“＞”变“＜”，“≥”变“≤”）。 解一元一次方程 •理论依据：等式的性质 (1-2) •关键差异：系数化为1时，两边同时乘或除以同一个不为0的数，等号方向始终保持不变，无需考虑正负。 知识回顾 导入新课 基础练习：解不等式 2(x-3)-5<3x， 解：去括号，得 2x-6-5 < 3x. 移项，得2x -3x < 6+5. 合并同类项，得 - x < 11. 系数化为 1，得 x ＞ - 11. 注意：去括号时，极易“漏乘”括号外的系数！ 错误示范：2x - 3 - 5 < 3x （此处“2”漏乘了“-3”） 新知探究 探究点1 复习巩固完整解法 练一练 解一元一次不等式： 解：去分母，得：2(2x1)≤63(x2) 去括号，得： 4 x2 ≤63x+6 移项，得：4 x+3x ≤6+6+2 合并同类项，得 ：7x ≤14 系数化为1 ，得： x ≤ 2 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 分析：不等式含分母，两边同乘分母最小公倍数6，化为整数系数 易错点一：常数项漏乘 “1”也是一项！两边同乘时，常数项也必须乘 6。 ❌ 错例：2(2x - 1) ≤ 1 - 3(x - 2) 易错点二：分子多项式忘加括号 去分母后，若分子是多项式，必须加上括号以保证符号正确。 ❌ 错例：2×2x - 1 ≤ 6 - 3x - 2 新知探究 探究点2 用不等式表示实际问题中的不等关系并求解 议一议 与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题、进而通过解不等式得到实际问题的答案. （1）七年级举办占诗闻知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不容都扣5分，如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级? （2）本问题中涉及的数量关系是: 答对的得分－答错或不答的扣分＞90 （1）“初赛成绩超过90分”表示什么意思？ 总得分 > 90分 （3）可以根据这个不等关系列出什么不等式？ 10x - 5(20 - x) > 90 新知探究 探究点2 用不等式表示实际问题中的不等关系并求解 议一议 （1）七年级举办占诗闻知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不容都扣5分，如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级? 解：设初赛答对了x道题. 根据“初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式 10x – 100 + 5x ＞ 90. 15x ＞ 190. 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为 1，得 答：初赛至少要答对13道题才能成功晋级. 10x-5（20-x）＞90. x ＞ . 由 x 应为正整数，可得 x 至少为 13. 新知探究 探究点2 用不等式表示实际问题中的不等关系并求解 议一议 实际问题 数量关系 一元一次不等式数学模型 题干中不等关系词 厘清 建立 提取 明确 1.设定变量； 2. 寻找不等关系； 3. 列出不等式； 4.求解； 5.并检验作答 说一说列不等式解实际问题思路 新知探究 探究点2 用不等式表示实际问题中的不等关系并求解 议一议 （2）某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少? 说明：万元地区生产总值能耗是指每万元地区生产总值所消费的能源总量(折算为标准煤)，其下降率是街量一个地区节能减排成效的重要指标. 分析：本问题中涉及的数量关系是： 去年万元地区生产总值能耗 – 今年万元地区生产总值能耗 去年万元地区生产总值能耗 ×100%≥ 5%. 新知探究 探究点2 用不等式表示实际问题中的不等关系并求解 议一议 解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为 x t 标准煤. 根据题意，列得不等式 0.320 – x ≥ 0.320×5%. - x ≥ - 0.304. 去分母，得 移项，合并同类项，得 系数化为 1，得 答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为 0.304 t 标准煤. x ≤ 0.304. （2）某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少? 新知探究 探究点2 用不等式表示实际问题中的不等关系并求解 议一议 实际问题中常用关键词与不等号的关系 词汇 不等号 大于、多余、高于、超过等 ＞ 小于、少于、低于、不足等 ＜ 不小于、不少于、不低于、不亚于、至少等 ≥ 不大于、不多于、不高于、不超过、至多等 ≤ 典例分析 例1. 有学生若干人，住若干间宿舍．若每间住4人，则有20人无法安排住宿；若每间住8人，则有一间宿舍不满也不空，问宿舍间数是多少？ 解：设宿舍间数为，学生人数为． 根据题意，得： ， 解得：． ∵是正整数 ∴． 答：宿舍间数有6间． 分析：不等关系 每间住8人有（x-1）间住满，最后一间宿舍不满也不空 不满也不空 住的人数比0大，比8小 学生总人数： 典例分析 例2．黄星年级欲购买甲、乙两种奖品以鼓励在本学期有进步的学生，甲种奖品每件15元，乙种奖品每件3元．现要购买甲、乙两种奖品共100件，总费用不超过800元，那么甲种奖品最多购买多少件？ 解：设甲种奖品购买了m件，则乙种奖品购买了件， 根据题意可得， 解得 ∵m是正整数， ∴m的最大值为41． ∴甲种奖品最多购买41件． 新知巩固 [教材 P134 练习] 1. 某工程队计划在 10 天内修路 6 km. 施工前 2 天修完 1.2 km 后，计划发生变化，准备至少提前 2 天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 解：设以后几天内平均每天要修路 x km． 根据题意，得：1.2+(10-2-2)x ≥ 6. 6x ≥ 4.8. 系数化为1，得x ≥ 0.8. 答：以后几天内平均每天至少要修路 0.8 km． 新知巩固 2. 一家商店以每辆 340元的进价购入一批自行车共150辆，并以每辆 450元的价格销售.两个月后，自行车的销售额已超过这批自行车进货的总费用，这时至少已售出多少辆自行车？ 解：设已售出 x 辆自行车. 根据题意，得：450x ＞ 340×150. 系数化为 1，得 x ＞. ∵x 为正整数，可得 x 至少为114. 答：这时至少已售出 114 辆自行车. [教材 P134 练习] 拓展提升 1.“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B，需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元． (1)求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？ (2)若个体户从淘宝网上购买A款羽绒服25件，按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？ （1）解：设A款羽绒服在网上的售价a元， B款羽绒服在网上的售价b元，可得： ， 解得：， 答：A款羽绒服在网上的售价是400元， B款羽绒服在网上的售价是300元； 拓展提升 1.“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B，需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元． (1)求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？ (2)若个体户从淘宝网上购买A款羽绒服25件，按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？ （2）解：设让利的羽绒服有x件， 则已售出的有件，根据题意可得： ， 解得：， 的最大整数解是5， 答：个体户让利销售的羽绒服最多是5件． 真题感知 1．（2025•宜宾）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 解：设小明要答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题， 根据题意得：10x﹣5（20﹣x）≥80， 解得：x≥12， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对的题数是12道． C 真题感知 2．（2025•台湾）如图为金银河影城的价目表．某社团16人去此影城看电影，打算以比赛奖金6000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买多少盒爆米花？（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：设可以买x盒爆米花，根据题意得：320×16+35（16﹣x）+90x≤6000， 解得：x， 又∵x为正整数，∴x的最大值为5， ∴最多可买5盒爆米花． C 真题感知 3.（2025.淮南校考）解不等式：，并把解集表示在数轴上． 解：， 去分母，得：3（3x﹣1）≤2（2x+1）， 去括号，得：9x﹣3≤4x+2， 移项，得: 9x﹣4x≤2+3， 合并同类项，得: 5x≤5， 系数化为1，得: x≤1， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 1.本节课完善了一元一次不等式的完整解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后在数轴上表示解集； 2.掌握了含分母、括号的复杂不等式求解方法； 3.明确了一元一次方程与一元一次不等式解法的核心区别.通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题、进而通过解不等式得到实际问题的答案. 课堂小结 知 识 总 结 1.解复杂一元一次不等式遵循化归思想，逐步将复杂不等式化为x>a（或x≥a、x<a、x≤a）的最简形式； 2.解题时按步骤有序操作，每一步紧盯符号、不等号方向、是否漏乘；去分母时牢记“两边同乘、各项都乘”的原则. 3.根据实际问题中的不等关系，把实际问题转化为实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为不等式的数学问题、进而通过解得到实际问题的答案. 课堂小结 方 法 总 结 （1）去分母时，常数项也要乘分母的最小公倍数，严禁漏乘；分子是多项式时，去分母后要加括号. （2）去括号、移项时，注意符号变化，避免符号出错. （3）去分母、系数化为1时，乘除负数必须改变不等号方向. （4）数轴表示解集，区分好空心圆圈和实心圆点，避免画错方向. 课堂小结 易 错 提 醒 课后练习 5. 长跑比赛中，刘伟跑在前面，在离终点 100 m 时，他以 6.5 m/s 的速度向终点冲刺. 在他身后 10 m 的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在刘伟之前到达终点？ 解：设李明需以 x m/s 的速度同时开始冲刺. 根据题意，得 . 解不等式，得. 答：李明需以大于 7.15m/s 的速度同时开始冲刺，才能够在刘伟之前到达终点. 教材p137页. 习题11.2 课后练习 6. 电脑专营店销售一批笔记本电脑，第一个月以 5500元/台的价格售出60台，第二个月起降价，以 5000 元/台的价格将这批笔记本电脑全部售出，销售款总额超过 55 万元. 这批笔记本电脑至少有多少台？ 解：设这批笔记本电脑有 x 台. 由题意，得:5500×60 + 5000（x－60）＞ 550000. 解不等式，得: x ＞ 104. 因为 x 为正整数，所以 x 取105. 答：这批电脑至少有 105 台. 教材p137页. 习题11.2 课后练习 7. 一批苹果的进价是 8.55 元/kg，销售中估计有 5%的苹果正常损耗. 商家把售价至少定为多少，才能避免亏本？ 解：设商家把售价定为 x 元/kg. 由题意，得（1-5%）x ≥ 8.55， 解不等式，得 x ≥ 9. 答：商家把售价至少定为 9元/kg，才能避免亏本. 教材p137页. 习题11.2 谢谢聆听 $