11.2一元一次不等式（第1课时 一元一次不等式及其解法）（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

11.2 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式及解法 第十一章 不等式 人教版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解一元一次不等式的概念，能准确识别一元一次不等式；掌握解一元一次不等式的基本步骤，会解简单的一元一次不等式；能熟练在数轴上表示不等式的解集. 经历类比一元一次方程探究一元一次不等式概念与解法的过程，提升类比归纳、知识迁移的能力；在解不等式的过程中，体会化归思想，培养逻辑推理与规范解题能力. 感受方程与不等式知识的内在联系，体会数学知识的连贯性；通过自主探究解题方法，激发数学学习兴趣，养成严谨、规范的解题习惯. 定义 特征 🔹 只含有一个未知数 (如 x) 🔹 未知数的最高次数为 1 🔹 必须是等式 (含有“=”号) 标准形式 ax +b= 0 解题五步法 1. 去分母 (注意：两边同乘公分母) 2. 去括号 (注意：括号前的符号) 3. 移项 (注意：移项要变号) 4. 合并同类项 5. 系数化为 1 知识回顾 什么是一元一次方程？解一元一次方程的步骤是什么？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。 💡 提示： 整式方程是指分母中不含有未知数的方程。 导入新课 ① x–7=26； ② 3x = 2x + 1； ④ -4x = 3 . （1）对照一元一次方程的定义，观察这些式子的特征. 1.只含有一个未知数 2.未知数的次数是1 3.等式两边都是整式 一元一次方程 （2）观察下面的不等式：它们有哪些共同特征？ ① x–7>26； ② 3x<2x + 1； ④ -4x ＞ 3 . 1.只含有一个未知数 2.未知数的次数是1 3.不等式两边都是整式 一元一次 . 不等式 一元一次方程 一元一次不等式 相同点 未知数个数 1 1 未知数次数 1 1 式子特点 含有未知数的式子均为整式 含有未知数的式子均为整式 不同点 表示关系 相等 不等 新知探究 探究点1 一元一次不等式的概念 归一归 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式. 1.一元一次不等式的概念： 2.一元一次不等式与一元一次方程对比 新知探究 探究点1 一元一次不等式的概念 议一议 （1） ✔ 是 符合一元一次不等式定义 （2） ✘ 不是 未知数的最高次数是2 （3） ✘ 不是 左边不是整式，是分式 （4）4x - 5 ≤ 3 ✔ 是 符合一元一次不等式定义 （5） ✘ 不是 含有两个未知数(x, y) (6) ✔ 是 符合一元一次不等式定义 判断下列式子是否为一元一次不等式， 试一试 类比一元一次方程的解法，结合不等式性质解不等式：x-7 > 26. 新知探究 探究点2 探究一元一次不等式的解法 解：x-7 > 26. x > 26+7 x > 33 移项 根据不等式的性质1 ，不等式两边同时加上7得： x-7+7 > 26+7 方法：不等号不变 , 把一项从等式的一边移到另一边后要改变符号. 结论：解一元一次不等式时，移项法则也适用 总结：解一元一次不等式，就是利用不等式性质和移项， 将不等式逐步化为： x>a（或x≥a、x<a、x≤a） 新知探究 探究点3 类比一元一次不等式与一元一次方程的解法 试一试 类比解一元一次方程步骤解下列一元一次不等式. （1） 解：去分母，得 3(2+x) = 2(2x-1) 去括号，得 6+3x = 4x-2 移项，得 3x-4x = -2-6 合并同类项，得 -x = -8 系数化为1，得 x = 8 （2） 解：去分母，得 3(2+x) > 2(2x-1) 去括号，得 6+3x > 4x-2 移项，得 3x-4x > -2-6 合并同类项，得 -x > -8 系数化为1，得 x > 8 x = a x > a 或 x< a 新知探究 探究点3 类比一元一次不等式与一元一次方程的解法 归一归 解一元一次不等式的基本步骤 步骤 依据 具体方法 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 不等式的基本法则2或3 同时乘分母的最小公倍数 去括号法则 利用法则把括号都去掉 不等式的基本法则1 含未知数的项移到不等号的左边，常数项移到不等号的右边 合并同类项法则 不等号两边同时合并同类项 不等式的基本法则2或3 两边同时除以未知数的系数 系数化为1时要看未知数系数的符号： 若未知数的系数是正数，则不等号的方向不变； 若未知数的系数是负数，则不等号的方向改变； 新知探究 探究点3 类比一元一次不等式与一元一次方程的解法 议一议 一元一次不等式 一元一次方程 相同点 解法 步骤 不同点 依据 解的 个数 解（集）的形式 解一元一次不等式与解一元一次方程对比 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1 注意：解不等式时，去分母、系数化为1时， 若两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 不等式的性质 等式的性质 有无数个解 只有一个解 x<a (x≤a)或 x>a(x≥a) x=a 典例分析 例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）3(x-1) < x-2 （1）解： 去括号，得 3x-3 < x-2. 移项，得 3x-x < -2+3. 合并同类项，得 2x < 1. 系数化为 1，得 x < . 0 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. （2）解： 去分母，得3(x-5)+2×12≥2(5x+1). 去括号，得 3x-15+24 ≥ 10x+2. 移项，得 3x-10x ≥ 2+15-24. 合并同类项，得 -7x ≥ -7. 系数化为 1，得 x ≤ 1. 0 1 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. （2） 典例分析 例2．已知关于x的方程解为负数，求m的取值范围． 解：∵， ∴即， 解得：， ∵关于x的方程解为负数， ∴， ∴， 解得：. 新知巩固 [教材 P132 练习] 1. 解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）5x+15＞4x-1； （2）2(x+5) ≤ 3(x-5)； （3） （4） . 解（1） 移项，得5x-4x＞-1-15. 合并同类项，得x＞-16. 将解集用数轴表示，则如下图. 0 -16 （2） 去括号，得2x+10≤3x-15. 移项，得2x-3x≤-15-10. 合并同类项，得-x≤-25. 系数化为1，得x≥25 . 将解集用数轴表示，则如右图. 25 0 新知巩固 [教材 P132 练习] 1. 解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）5x+15＞4x-1； （2）2(x+5) ≤ 3(x-5)； （3） （4） . （3）去分母，得3（x-1）＞7（2x+5）. 移项，得3x-14x ＞ 35+3. 合并同类项，得-11x ＞ 38. 系数化为1，得x＜ . 将解集用数轴表示，则如图. 0 去括号，得3x-3＞14x+35. 新知巩固 [教材 P132 练习] 1. 解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）5x+15＞4x-1； （2）2(x+5) ≤ 3(x-5)； （3） （4） . （4）去分母，得2（x+1）≥3（2x-5）+12. 移项，得2x-6x ≥ -15+12-2. 合并同类项，得-4x ≥ -5. 系数化为1，得x ≤ . 将解集用数轴表示，则如图. 0 去括号，得2x+2≥6x-15+12. （1）2（x+1）大于或等于 1； （2）4x 与 7 的和不小于 6； 新知巩固 2. 当 x 或 y 满足什么条件时，下列关系成立？ [教材 P132 练习] 解：由题意得： 2（x+1）≥1 x ≥ 解：由题意得： 4x+7≥6 x≥ 解：由题意得： y-1≤2y-3 y≥2 y＜-5 解：由题意得： （3y+7）＜-2 （3）y 与 1 的差不大于 2y 与 3 的差； （4）3y 与 7 的和的 小于 -2. 拓展提升 1．对于有理数a，b定义一种新运算“*”，规定，例如：． (1)计算的值； (2)判断的正负． （1） ； 解： 拓展提升 1．对于有理数a，b定义一种新运算“*”，规定，例如：． (1)计算的值； (2)判断的正负． （2） ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为正数． 解： 真题感知 1．（2025•福建）不等式x+1≤2的解集在数轴上表示正确的是（　　） 解：∵x+1≤2， ∴x≤2﹣1， 则 x≤2， C 2．（2025•江西）不等式﹣x+1＞0的解集为　 　 ． 解：﹣x+1＞0， ﹣x＞﹣1， x＜1， x＜1 A． B． C． D． 真题感知 3．求不等式的最大整数解． 解 ， ， ， ， ∴x可取的最大整数解为3． 1.本节课学习了一元一次不等式的定义，把握三个核心要素： 一个未知数、未知数次数为1、整式不等式； 掌握了解一元一次不等式的基本步骤： 移项、合并同类项、系数化为1（含去括号题型需先去括号）； 3.学会将不等式解集在数轴上直观表示.2. 课堂小结 知 识 总 结 1.学习一元一次不等式采用类比一元一次方程的方法，实现知识迁移； 2.解不等式的核心是利用不等式性质进行等价变形，最终化为最简形式； 3.解题时遵循“先判断步骤依据，再进行运算”的原则，数形结合表示解集. 课堂小结 方 法 总 结 （1）系数化为1时，除以或乘负数，必须改变不等号方向，这是最易出错的地方； （2）移项时要注意变号，和一元一次方程移项规则一致； （3）去括号时，避免漏乘项、符号出错； （4）数轴表示解集时，区分空心圆圈（不包含）和实心圆点（包含）. 课堂小结 易 错 提 醒 课后练习 教材p136页. 1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） 3(2x+5) > 2(4x+3)； （2） 10-4(x-4) ≤ 2(x-1)； （3） （4） （5） （6） 解：（1）去括号，得 6x+15 > 8x+6. 移项，得 6x-8x > 6-15. 合并同类项，得 -2x > -9. 系数化为1，得 x ＜ . 0 习题11.2 （2）去括号，得 10-4x+16 ≤ 2x-2. 移项，得 -4x-2x ≤ -2-10-16. 合并同类项，得 -6x ≤ -28. 系数化为1，得 x ≥ . 0 课后练习 教材p136页. 1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） 3(2x+5) > 2(4x+3)； （2） 10-4(x-4) ≤ 2(x-1)； （3） （4） （5） （6） 习题11.2 （3）去分母，得 2(2x-4) ＜ 7(x-5). 去括号，得 4x-8 ＜ 7x-35. 移项，得 4x-7x ＜-35+8. 合并同类项，得 -3x ＜ -27. 系数化为1，得 x＞9. 0 9 （4）去分母，得 2(2x-1) ≤ 3x-4. 去括号，得 4x-2 ≤ 3x-4. 移项，得 4x-3x ≤ -4+2. 合并同类项，得 x ≤ -2. 0 -2 课后练习 教材p136页. 1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） 3(2x+5) > 2(4x+3)； （2） 10-4(x-4) ≤ 2(x-1)； （3） （4） （5） （6） 习题11.2 （5）去分母，得 4(3y-1)-40 ＞ 5(y+1). 去括号，得 12y-4-40 ＞ 5y+5. 移项，得 12y-5y ＞5+4+40. 合并同类项，得 7y ＞ 49. 系数化为1，得 y＞7. 0 7 课后练习 教材p136页. 1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） 3(2x+5) > 2(4x+3)； （2） 10-4(x-4) ≤ 2(x-1)； （3） （4） （5） （6） 习题11.2 （6）去分母，得 2(y+1)-3(2y-5) ≥ 12. 去括号，得 2y+2-6y+15 ≥ 12. 移项，得 2y-6y ≥ 12-2-15. 合并同类项，得 -4y ≥ -5. 系数化为1，得 y ≤ . 0 课后练习 （1）正数； （2）小于－ 2的数； （3）0. 2. a 取什么值时，代数式 表示下列数？ 解：（1）由题意，得＞0. 解得 a＞ －. （2）由题意，得 ＜-2. 解得 a＜－ . （3）由题意，得 =0. 解得 a =－. 教材p136页. 习题11.2 课后练习 3. 下列解不等式的过程是否正确？如果不正确，请加以改正. （1） -3x+2 ≥-4； （2） x-4 ＜ 2x+1. （1）解：移项，得 -3x ≥ -6. 两边都除以-3， 得 x ≤ 2 （2）解：移项，得 -4-1< 2x-x. 合并同类项，得 -5 < x. 即 x＞ -5. x ≤ 2 x ＞ -5 教材p136页. 习题11.2 课后练习 （1）x+2 ＜ 6； （2）2x+5 ＜ 10； 解：（1）解得 x ＜ 4； 则 x 可取的正整数为： 1，2，3. （2）解得 x ＜ 2.5； 则 x 可取的正整数为：1，2. （3）解得 x ≤ 1； 则 x 可取的正整数为：1. （4）解得 x ≤ 20； 则 x 可取的正整数为： 1，2，3，···，20. 4. 求满足下列条件的正整数 x 的值： （3） （4） 教材p136页. 习题11.2 谢谢聆听 $