精品解析：2026年天津市和平区中考二模考试数学试题

九年级数学试题 温馨提示：本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，试卷满分120分．考试时间100分钟．祝你考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 6 C. D. 9 2. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计2的值在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，预计2024年度销量将达到1286.6万辆．将数据12866000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 计算的结果等于（ ） A. B. 0 C. D. 1 9. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接；②以点为圆心，长为半径作弧，与边相交于点，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. D. 12. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（ ） A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有8个球，其中有1个红球、2个黄球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为___． 14. 计算：__________． 15. 计算的结果等于_____________. 16. 直线（为常数）的图象经过第一、三、四象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 17. 如图，在正方形中，，其外部有一个正方形，对角线的延长线经过点，． （1）对角线的长为___； （2）连接，点是的中点，点是边的中点，则线段的长为___． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）线段的长为___； （2）经过点，的圆与网格线相交于点，与相交于点，圆心记为．点在上．满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）____． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得____； （2）解不等式②，得___； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为____． 20. 为了解某校八年级学生植树棵数的情况，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生植树的棵数数据的众数和中位数分别为________和________； （2）求统计的这组学生植树的棵数数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有学生2400人，估计该校学生植树4棵的人数约为多少？ 21. 已知为的直径，，，为上的点，连接，，，，． （1）如图①，求的度数； （2）如图②，当时，且，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的长． 22. 天津大沽灯塔是我国自主设计、建造的第一座海上灯塔，年被列为天津市不可移动文物．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏东方向 时，渔船航行至灯塔南偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东南方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，）： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离（结果取整数）； （2）若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头． 23. 已知小华的学校、书店、博物馆依次在同一条直线上，书店离学校，博物馆离学校．小华从学校出发，和同学一起乘车匀速前往博物馆，到达博物馆，在博物馆参观学习一段时间，之后匀速骑行到书店，在书店停留后，再用匀速骑车回学校．下面图中表示时间，表示离学校的距离．图象反映了这个过程中小华离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开学校的时间 小华离学校的距离 ②填空：小华在博物馆参观学习的时间为___； ③填空：小华从书店返回学校的速度为____； ④当时，请直接写出小华离学校的距离关于时间的函数解析式； （2）在小华离开博物馆前，同学李明从博物馆出发匀速步行返回学校，和小华同时到达学校．在小华从博物馆到学校的过程中，对于同一个的值，小华离学校的距离为，李明离学校的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 24. 将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，顶点，都在第一象限，，，． （1）填空：如图①，点的坐标为____，点的坐标为___； （2）若点在边上（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后四边形与梯形重叠部分为四边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（，为常数，）的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，对称轴与轴相交于点，点在对称轴上，以为边的正方形的顶点在轴下方． （1）若，． ①求点和点的坐标； ②当点在抛物线上时，求点的坐标； （2）若点的坐标为，点是的中点，对角线和相交于点，当取得最小值为时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 温馨提示：本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，试卷满分120分．考试时间100分钟．祝你考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】解：表示个相乘， ． 2. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看到的视图是主视图． 根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形， 故选：． 3. 估计2的值在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】把2平方，然后确定平方在哪两个整数的平方之间即可． 【详解】∵（2）2=12，9＜12＜16， ∴3＜2＜4． 故选C． 【点睛】本题考查了估计无理数的大小，常用的方法是根据平方，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：B选项中的汉字沿一条直线折叠后能够互相重合，是轴对称图形，其余ACD选项中的汉字不是轴对称图形． 5. 中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，预计2024年度销量将达到1286.6万辆．将数据12866000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值是解题关键，当原数绝对值时，等于原数的整数位数减． 【详解】∵原数是位整数。 ∴，． 可得． 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得出的图象在一、三象限，在各象限，随的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴图象在一、三象限，在各象限，随的增大而减小， ∵，， ∴，， ∴． 8. 计算的结果等于（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】异分母分式的加减运算，先通分，再按同分母分式加减法法则运算． 【详解】解：． 9. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，． 10. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接；②以点为圆心，长为半径作弧，与边相交于点，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，，根据垂直平分线的性质、全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定与性质及三角形外角性质逐一判断即可得答案． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定正确，故A选项不符合题意； ∵与不一定相等，与不一定相等， ∴与不一定全等，故B选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故C选项一定正确，符合题意； ∵与不一定相等，，，， ∴与不一定相等，故D选项不一定正确，不符合题意． 11. 如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由旋转性质得到相关边与角的等量关系，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理得出是直角三角形，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转性质可得，，，， ， 则， ，， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得． 12. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 第II卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有8个球，其中有1个红球、2个黄球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵不透明袋子中装有8个球，其中有1个红球、2个黄球、5个绿球 ∴从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为． 14. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项，即可求解． 【详解】解：原式= =， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握去括号法则以及合并同类项法则，是解题的关键． 15. 计算的结果等于_____________. 【答案】9 【解析】 【分析】应用平方差公式即可求解. 【详解】. 【点睛】考查二次根式的乘法运算，应用平方差公式可化简解题的步骤. 16. 直线（为常数）的图象经过第一、三、四象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】-1（答案不唯一，b＜0即可） 【解析】 【分析】由一次函数图象经过第一、三、四象限，可知k＞0，b＜0，在范围内确定b的值即可． 【详解】解：因为一次函数（为常数）的图象经过第一、三、四象限， 所以k＞0，b＜0， 所以b可以取-1， 故答案为：-1（答案不唯一，b＜0即可） 【点睛】此题考查一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围． 17. 如图，在正方形中，，其外部有一个正方形，对角线的延长线经过点，． （1）对角线的长为___； （2）连接，点是的中点，点是边的中点，则线段的长为___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形得，，再利用勾股定理即可求的长； （2）连接、，先通过证明得，再结合正方形对角线性质和勾股定理求出的长度，最后利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴； （2）如图，连接，，交于点， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线交点， ∴，，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）线段的长为___； （2）经过点，的圆与网格线相交于点，与相交于点，圆心记为．点在上．满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）____． 【答案】 ①. ②. 图见解析，取圆与格线的交点T，连接交于点O，取格点G，H，连接分别与格线交于点K，L，连接交圆于点R，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）取圆与格线的交点T，连接交于点O，取格点G，H，连接分别与格线交于点K，L，连接，，连接交圆于点R，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求；由90度的圆周角所对的弦是直径可得是直径，由平行线分线段成比例定理可证明点O为的中点，则点O为圆心，同理可证明K、L分别是的中点，则可得到，则垂直平分，则，故，进而可得，再由得到，则，即． 【详解】解：（1）由题意得，； （2）如图所示，点P即为所求； 取圆与格线的交点T，连接交于点O，取格点G，H，连接分别与格线交于点K，L，连接交圆于点R，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得____； （2）解不等式②，得___； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为____． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【小问1详解】 解：解不等式①， 去括号得， 移项得， 合并同类项得，； 【小问2详解】 解：解不等式②， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问3详解】 解：数轴表示如下： 【小问4详解】 解：由（3）得，原不等式组的解集为． 20. 为了解某校八年级学生植树棵数的情况，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生植树的棵数数据的众数和中位数分别为________和________； （2）求统计的这组学生植树的棵数数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有学生2400人，估计该校学生植树4棵的人数约为多少？ 【答案】（1）；；3；3 （2）3 （3）360人 【解析】 【分析】（1）将条形统计图的频数相加可得a，再用单位“1”分别减去其他四组的百分数可得m；然后根据众数和中位数的定义解答； （2）根据平均数的定义解答； （3）用总人数乘以植树4棵所占的百分比得出答案． 【小问1详解】 解：，，则； 植树3棵的人数最多，所以众数是3； 中位数是第20和21个，都是3棵，所以中位数是3； 【小问2详解】 解：， 所以这组学生植树的棵数数据的平均数是3； 【小问3详解】 解：， 所以该校学生植树4棵的人数约为360人． 21. 已知为的直径，，，为上的点，连接，，，，． （1）如图①，求的度数； （2）如图②，当时，且，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，先由圆内接四边形对角互补及已知条件求出，再由圆周角定理得到、的角度，最后由直角三角形两锐角互余即可； （2）连接，先证是等边三角形，得到，再由平行线性质及圆周角定理的推论确定是的直径，进而得到是等腰直角三角形，求出圆的半径及，最后在中，解直角三角形即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接、，如图所示： 在圆内接四边形中，， ， ， ， ， 为的直径， ， 则； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 则， 由（1）知， ， 是等边三角形， 则， ， ， 在中，，则， 是的直径， 则， 由可得，即是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，，解得． 22. 天津大沽灯塔是我国自主设计、建造的第一座海上灯塔，年被列为天津市不可移动文物．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏东方向 时，渔船航行至灯塔南偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东南方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，）： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离（结果取整数）； （2）若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头． 【答案】（1）渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 （2）不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【解析】 【分析】（1）根据速度及时间求出，设海里，根据方向角及三角函数列方程求出的值即可； （2）先求出，利用三角函数求出，即可求出海里，得出从到达码头所用时间为小时，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵渔船自南向北以每小时海里的速度向码头航行，从处到处的航行时间为小时， ∴（海里）， 如图，由题意得，，，，，， ∴，， ∴， 设海里，则海里， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴从到达码头所用时间为（小时）， ∵到是小时，， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 23. 已知小华的学校、书店、博物馆依次在同一条直线上，书店离学校，博物馆离学校．小华从学校出发，和同学一起乘车匀速前往博物馆，到达博物馆，在博物馆参观学习一段时间，之后匀速骑行到书店，在书店停留后，再用匀速骑车回学校．下面图中表示时间，表示离学校的距离．图象反映了这个过程中小华离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开学校的时间 小华离学校的距离 ②填空：小华在博物馆参观学习的时间为___； ③填空：小华从书店返回学校的速度为____； ④当时，请直接写出小华离学校的距离关于时间的函数解析式； （2）在小华离开博物馆前，同学李明从博物馆出发匀速步行返回学校，和小华同时到达学校．在小华从博物馆到学校的过程中，对于同一个的值，小华离学校的距离为，李明离学校的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①，，；②；③；④ （2） 【解析】 【分析】（1）①根据图像读取各阶段的速度、位置，直接计算或读取距离值；②根据图像可直接求解；③书店到学校，用时，据此计算速度即可；④按图像的三个区间，用待定系数法分别求直线解析式； （2）先根据李明的行程求出他的距离函数，再分区间与小华的距离函数对比，解不等式得到的取值范围． 【小问1详解】 解：①根据图像可知，小华匀速骑行到博物馆的速度为， 则当，小华离学校的距离为， 当，小华在博物馆参观学习，离学校的距离为， 当，小华在书店，离学校的距离为； ②根据图像可知，小华在博物馆参观学习的时间为：； ③小华从书店到学校的距离为，用时，则速度为． ④当，设， 将，代入，可得 ， 解得， 则函数解析式为； 当，函数解析式为； 当，设函数解析式为， 将，代入，可得 ， 解得， 则函数解析式为， 综上，关于时间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：设李明离学校的距离关于时间的函数解析式为， 根据题意，可知该函数图像过和，代入可得 ， 解得， 则， 据（1）可知，关于时间的函数解析式为， 当，可得，解得； 当，可得，解得， 综上，当，的取值范围为． 24. 将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，顶点，都在第一象限，，，． （1）填空：如图①，点的坐标为____，点的坐标为___； （2）若点在边上（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后四边形与梯形重叠部分为四边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）过点作轴，过点作轴，由等腰梯形的性质可得，通过解直角三角形即可求出点、点的坐标； （2）①寻找临界情形：当经过点时为临界情形，此时重叠部分为，求出此时，当时，重叠部分为四边形；由平行线的性质和折叠性质可得是等边三角形，得出，最后利用，即可得出结果；②当时，即重叠部分的面积随着的增大而增大，当时，不会随着的变化而变化，即，当时，随着的增大而减小，所以重叠部分的最大值为，当时重叠部分面积为，当时重叠部分面积为，所以重叠部分面积最小值为． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作轴于M，过点作轴于N， ∵，，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 同理可得：，， ∵点， ∴， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：①如图所示，当经过点时，此时重叠部分为， ∵， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴此时， ∵点在边上（点不与点，重合）， ∴当时，折叠后四边形与梯形重叠部分为四边形，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，； ②当时，重叠部分为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 由折叠性质可得：， ∵， ∴当时，即重叠部分的面积随着的增大而增大， ∴当时，即， 过点作轴于M，则， ∴当时，，即重叠部分面积为， ∴当时，， 当时，重叠部分为，如图所示： ∵， ∴， 由折叠性质可得：， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作轴于M， 则， ∴， ∵，在平行线之间， ∴当时，不会随着的变化而变化，即， 当时，由（1）得：重叠部分为梯形，如图所示： 延长交于点F，过点作轴于N，如图， ∵，是等边三角形， ∴是等边三角形， 由图可知：， ∴，且随着的增大，在增大，即在增大， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由（1）得是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， 综上：当时，的最小值为，的最大值为； ∴当时，． 25. 已知抛物线（，为常数，）的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，对称轴与轴相交于点，点在对称轴上，以为边的正方形的顶点在轴下方． （1）若，． ①求点和点的坐标； ②当点在抛物线上时，求点的坐标； （2）若点的坐标为，点是的中点，对角线和相交于点，当取得最小值为时，求点的坐标． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①考查二次函数的基础性质，通过配方求顶点坐标、解方程求与 x 轴交点，直接利用抛物线的解析式和性质解决基础问题； ②结合二次函数与正方形的综合问题，利用一线三垂直（型全等）模型，用含参数的代数式表示出点的坐标，再代入抛物线解析式列方程求解，同时结合 “在轴下方” 的条件筛选解； （2）先利用点在抛物线上求出参数与的关系，再结合正方形的性质、中点坐标公式，表示出相关点、、的坐标，求出；最后通过最短路径问题，将折线和的最小值问题转化为两点之间的线段问题，结合两点之间的距离公式列方程求解，体现数形结合与转化思想． 【小问1详解】 解：①，代入得， 点的坐标为， 令得， ，， 点在点的左侧， 点的坐标为； ②过点作轴于点， ， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ，， 设点的坐标为， ，， 点的坐标为， 将点代入中得 ， 解得，两种情况都符合题意． 点的坐标为或． 【小问2详解】 将点的坐标代入中得， ， 令得， 即 ，解得，， 点的坐标为，对称轴为直线， ， 设点的坐标为， 点是的中点， 点的坐标为， 由正方形的性质可知点的坐标为，点的坐标为， 点在直线上运动， ， ， ， 四边形是正方形，为中点， ， 如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，当点与点重合时，此时最小， ， 解得，（舍去）， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ， 把代入得，即， ， 点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数与几何图形的综合压轴题，融合了二次函数的性质、正方形的性质、一线三垂直全等模型、坐标变换及最短路径问题．解题核心是通过坐标法表示点的位置，结合几何性质转化为代数方程求解，同时利用对称性解决最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $