二次函数与几何图形综合题（与特殊三角形问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考

二次函数与几何图形综合题（与特殊三角形问题）归纳练2026 年中考数学二轮复习备考 1.己知：如图，抛物线y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B(1,0),与y轴交于点 C连接AC,有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴 于点F,AB=4,设点D的横坐标为m D B x A B (1)求抛物线的解析式. (②)连接AE、CE,当△ACE的面积最大时，求点D的坐标. (3)当m为何值时，△CDE是等腰三角形 2.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴 交于点C,且OB=OC=3.点P是直线BC上一动点（点P不与点B,点C重合）， 过P作x轴的垂线交抛物线于点M,连接CM. B M (1)求抛物线的表达式： (2)当点P在线段BC上运动，且△PCM与△ABC相似时，求此时aPCM的面积； (3)点P在直线BC上运动的过程中，将aPCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落 在y轴上，请直接写出此时点P的坐标. 3.综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A(-2,0),B(4,0)且与y轴交于点C(0,4),点 试卷第1页，共3页 D是直线BC上方抛物线上的点. VA 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)点E是y轴上任意一点，若是△ACE以AC为腰的等腰三角形，求点E的坐标： (3)当ScD:S。4Bc=I:3时，在x轴上存在一点F,连接CF、DF,求CF+DF的最小值， 此时点F的坐标是多少 4.如图，直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,经过A、C两点的抛物线 4 y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为B(1,0). P 0 B 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (②)点P是该抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交AC于点E,设点P的横坐标 为t(-4<t<0). ①求△PAC面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ②当。PEC为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值. 5.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(3,0)和B(-1,0),交y轴于点C(0,3). 试卷第1页，共3页 备用图 (1)求抛物线的表达式； (②M是直线4C上方抛物线上一动点，连接OM交4C于点N,当 的值最大时，求点M ON 的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点且位于x轴下方，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当 △PQB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点Q的坐标 6.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点，与y 轴交于点C,点P是直线BC上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点P的横坐标 为m. (I)请直接写出a,b的值； (2)如图，若抛物线的对称轴为直线1，点D为直线1上一动点，当BC垂直平分PD时，求m 的值； A 0 (3)过点P作x轴的垂线交BC于点M,过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N,线 段PM,PN的长度之和记为d. ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况. 7.在平面直角坐标系中，抛物线y=-(x-1)2+4与x轴交于A,B两点(A在B的右侧)， 与y轴交于点C. 试卷第1页，共3页 备用图 (I)如图，直线x=m与抛物线在第一象限交于点D,交CA于点E,交x轴于点F, DG⊥CA于点G,若E为GA的中点，求m的值， (2)直线y=nx+n与抛物线交于M(x,y),N(x2,y2)两点，其中x<x2.若x2-x>3且 2->0,结合函数图象，探究的取值范围. (3)己知二次函数y=3x2-(2m+6)x+3. ①若该函数的取值恒为非负数，求实数m的取值范围. ②当3<x<4,该二次函数的增减性不发生变化，求实数m的取值范围. 8.已知对称轴为x=1的二次函数y=ax2+bx+4(a<0)的图像与x轴交于A,B(4,0),与 y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式： (2)点M是对称轴上的一个动点，连接AM,CM,是否存在点M使AM-CM最大，若存 在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由： (③)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的 坐标，若不存在请说明理由 9.如图，二次函数y=ax+2)(x-8)的图象与x轴交于A,B两点，与y轴正半轴交于点 C(O,m),点P是直线BC上方二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点D, 试卷第1页，共3页 交直线BC于点E. E B (1)当m=4时，求a的值： (2)在(1)的条件下，当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接AC,连接AP交BC于点M,记△ACM面积为S,,△PCM面积为S2,在点P运 动的过程中，对于任意m>0,判断 是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在， 请说明理由. 10.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A1,0)、点B,与y轴交于点C(0,-3). 图1 图2 ()求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当△ACN是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足∠DAC=3∠AC0时，求点D坐标， 11.如图，已知二次函数y=x2+bx+c经过A,B两点，BC⊥x轴于点C,且点A(-1,0), C(4,0),AC=BC. 试卷第1页，共3页 B (1)求抛物线的解析式： (2)点E是线段AB上一动点（不与A,B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F, 当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△4BF; (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？ 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由， 12.在平面直角坐标系中，已知图象P对应的解析式x=Vy+4m+m(其中m为常数)，且 P经过点(4,5). 备用图 (I)求P的解析式（整理为y关于x的函数形式，并写出自变量x的取值范围）： (2)如图，记点A(1,0),B(0,2),动点Q在P上，若以A、B、Q为顶点的三角形为直角三 角形，且∠BQA≠90°，求所有满足题意的Q点坐标： (3)设S是直线x=2上一点，过S分别作直线I、Z交P于点A、A与点B、B(四个点互 不重合)，试探究：在点S和两条直线变化的过程中，是否存 S4=SB?若存在，求出 SB2 SA2 直线与直线的斜率和；若不存在，请说明理由. 13.在平面直角坐标系中，直线y=)x-2与x轴交于点B,与y轴交于点C，二次函数 y=?+r+c的图象经过B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下 2 试卷第1页，共3页 方的二次函数图象上. 备用图 (1)求二次函数的表达式： (②)如图，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值： (3)如图，点M是直线BC上的点，是否存在点D,使得CDM为等腰直角三角形？若存在， 直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)y=-x2-2x+3 a2 (3)m=-2或-1或√2-3 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及等腰直角三角形的判定与性质等知识， 是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键 (1)根据题意解得点A(-3,0)、B(1,0),设抛物线的交点式解析式，代入点(0,3)利用待定 系数法解题即可； (2)先解得抛物线与y轴的交点C(0,3),再利用待定系数法求解直线AC的解析式，设直 线上的D(m,m+3),抛物线上的点E(m,-m2-2m+3),解得S,4cE=，DEx(xc-x,,用配 方法解得最值即可解题； (3)分三种情况讨论：①当点E为顶点时，②当点C为顶点时，③当点D为顶点时，根 据等腰三角形的性质解题。 【详解】(1)解：AB=4,B(L,0) .A(-3,0) 设抛物线关系式为y=a(x+3)(x-1),代入(0,3) 得：3=-3a, a=-1, .抛物线的解析式为y=-x2-2x+3; (2)令x=0,解得抛物线y=-x2-2x+3与y轴的交点C(0,3), 设直线AC为y=x+b,把A(-3,0八C(0,3), -3k+b=0 代入得 b=3· 「k=1 解得b=3 y=x+3, 设D(m,m+3),E(m,-m2-2m+3) 5a06- 答案第1页，共2页 -m-2m+3-(m+3]k3 =-3m2+3m 99 2 44 、3 2m+2 :当m=- 名时，8取得最大值 此时月： (3)点C(0,3),A(-3,0),即0A=0C=3, .LBAC=LAC0=45°， DE∥y轴， .∠EDC=∠AC0=45°， ①当点E为等腰三角形的顶点时，如解图1， 本y ∠EDC=∠ECD=45°，则∠CED=90°， F 解图1 CE∥x轴， 又CE=2, m=-2; ②当点C为等腰三角形的顶点时，∠EDC=∠DEC=45°，如解图2，则EC⊥CD,过点D 作CH⊥ED,垂足为H, 答案第1页，共2页 D 解图2 :EH DH,H(m,3), :D(m,m+3), .E(m,-m+3),代入解析式y=-x2-2x+3得-m2-2m+3=-m+3, m=-1(m=0不合题意舍去； ③当点D为等腰三角形的顶点时，DE=DC,如解图3， D x 解图3 如图，：D(m,m+3), .E(m,-m2-2m+3), .DE=(-m2-2m+3)-(m+3)=-m2-3m, CD=Vm2+(3-m-3)2=-√2m .-m2-3m=√2(-m), 解得m=√2-3，（m=0不合题意舍去)； 综上：m=-2或-1或√2-3 2.(1)y=x2-2x-3 8 3)3-2,-V2)或(3+2，) 答案第1页，共2页 【分析】(1)在抛物线y=ax2-2ar-3a(a>0)中，先得到点B、C坐标，然后根据待定系 数法求解析式即可： (2)先求直线BC的解析式，然后设M点坐标为m,m2-2m-3,则P(m,m-3),分 aCPM∽△CBA、aCPM∽aABC两种情况，由相似三角形的性质分别求解即可； (3)分两种情况情况，由等腰三角形的性质及折叠的性质可得出答案。 【详解】(1)解：OB=OC-3, 点B的坐标为3,0)，点C的坐标为(0，-3)， 代入y=x2+bx+c可得： 9+3b+c=0 b=-2 c=-3 ，解得 c=-31 .抛物线的解析式为y=x2-2x-3; (2)解：令y=0,则x2-2x-3=0, 解得x=-1或x=3, 点A的坐标为-1,0)， 设直线BC解析式为y=x+a, B(3,0,C(0,-3), 「3k+b=0 k=1 6=3,解得 b=-3 直线BC解析式为：y=x-3, 设M点坐标为m,m2-2m-3), :PM⊥x轴， P(m,m-3, ∴.PM=m-3-m2-2m-3=-m2+3m, ,OB=0C,∠BOC=90°： .CB=√2OB, .CP=√2m, 答案第1页，共2页 A-1,0）,B(3,0),C(0,-3, 0B=0C,AC=10,BC=32, ∴.∠PBA=∠OCB=45°=∠MPC, 若△PCM和△ABC相似，分两种情况： ①当△CPM∽aCBA, 、PCPM,即22=n2+3n 3V2 4 5 解得：m= 3 5.5.cw ②当ACPM-AABC, .PC_PM 即√2m=-m2+3m AB BC 4 32 3 解得：m=2 .S.cw-PMx= 13,15)327 (2+42=8 签上所运，。P0的面积为或， (3)设M点坐标为(m,m2-2m-3,当点P在M的上方时，由(2)知PM=-m2+3m, CP=√2m, B :aPCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上， :ZPCM =ZNCM 答案第1页，共2页 PMIy轴， :∠NCM=∠PMC, :∠PCM=∠PMC, :PC=PM .√2m=-m2+3m, 整理得：m2+(√2-3m=0, 解得：m=0(舍去)，m,=3-√2， .当m=3-√2时，m-3=-√2， p3-2,-2), 当点P在M点下方时，PM=m2-3m, 同理可得√2m=m2-3m, 解得m,=0(舍去)，m,=3+√2， P3+2,N2), 综上所述，点P的坐标为3-2，-V②)或(3+V2,√2) 【点晴】本题是二次函数的综合题，考查了折叠的性质，二次函数的图象及性质，待定系 数法，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定，折 叠的性质，数形结合思想是解题的关键， 30=+44 (2)E(0,-4)或(0,4+25或0,4-2V5 (3)最小值为217，F(1,0) 【分析】(1)由待定系数法及二次函数的交点式得可设y=a(x+2)x-4),将点C(0,4)代 入，即可求解： (2)设E(0,y),由勾股定理得AC=2√5，分类讨论：当AC=CE=2V5时，由等腰三角形 的定义得4-y=25,即可求解；当AC=AE=25时，同理可求： (3)过D作DM上r轴交BC于M,设Dx,+x+4: 由待定系数法得直线BC解析 答案第1页，共2页 式为y=-x+4,可设M(x,-x+4),由S.BCD=S.BDM+S.CDM可求出S△BcD,由三角形面积 得Sc=2x,-,)小0C,即可求解：取C关于x轴的对称点C,连接C"D交x轴于点F, 此时CF=CF,CF+DF=C'F+DF,C'F+DF≥C'D,即CF+DF最小值为C'D的长， 即可求解。 【详解】(1)解：：二次函数的图象经过点A(-2,0),B(4,0), 且与y轴交于点C(0,4), 设y=a(x+2)(x-4), 将点C0,4)代入得： a0+2)(0-4)=4, 即-8a=4, 解得a=2’ 1 y=-2x+2x-4到 :二次函数的解析式为y=-x+x+4. (2)解：设E(0,y), ·4C=-2-02+(0-42=25, :△ACE是以AC为腰的等腰三角形， 当AC=CE=2V5时， 4-y川=25， :4-y=2W5或4-y=-2V5, y=4-2V5或y=4+2V5, :E(0,4+25)或0,4-25) 当AC=AE=25时， AE=-2-0)2+0-y)2 答案第1页，共2页 =25, 4+y2=20, 解得：y1=4,2=-4, 其中y=4与C点重合， y=-4, ：点E(0,-4), 综上所述，E(0,-4)或(0,4+25)或(0,4-25 (3)解：过D作DM⊥x轴交BC于M, M A F 设直线BC的解析式为y=mx+n, 将B(4,0),C0,4)代入得， 4m+n=0 n=4 m=-1 解得=4' :直线BC解析式为y=-x+4, :M(x,-x+4, :DM=-x2+x+4-(-x+4) =-+2x S.8CD=S.DM+S.CDM 答案第1页，共2页 DM-(x。-xo+号DM(x-) 2 =DM-(x。-xn+n-x) 2 -号Dw4-0 小 =-x2+4x, 1 S.e-x(x-)OC =2×6×4=12, -x2+4x=4, 整理得：x2-4x+4=0, 解得x=x2=2, 分+4 =-×2+2+4=4, 2 点D(2,4). 取C关于x轴的对称点C, :C'（0,-4, 连接C'D交x轴于点F, B 此时CF=CF, 答案第1页，共2页 CF+DF =C'F +DF, :CF+DF≥C'D,即CF+DF最小值为C'D的长， :D2,4), ·CD=V2-0)2+(4+4)2=217, :CF+DF最小值为2√17， 设CD所在直线的表达式为y=px+qp≠O), 则 9=4 2p+9=4' 解得 p=4 9=-4' :CD所在直线的表达式为y=4x-4, 当y=0时， 4x-4=0, 解得x=1, :F(1,0). 【点晴】本题考查了二次函数综合，待定系数法，等腰三角形的定义，勾股定理，线段和最 小值问题，掌握待定系数法，能熟练利用等腰三角形腰的不同进行分类讨论及找到取得最小 值的条件是解题的关键。 4.)y=-3x-9 x+3: 4 4 7 2 6,S的最大值6：②满足条件的的值为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的 性质，分类讨论是解题的关键。 (1)设y=ax+4)(x-1),将点C(0,3)代入即可求解： (20由P--+3则E,子+3求PE=-3,再由Sc=分×40xPE 4 即可求解； ②分三种情况讨论：当PE=EC时，-3-31=-：当CP=CE时，过点C作CM1PD 4 答案第1页，共2页 交于M,则M为PE的中点；当PE=PC时，过点P作PN⊥EC交于N,则N是EC的中点： 分别求出t的值即可. 【详解】(1)解：直线=x+3与x轴，y轴的交点坐标分别为4-4,0，C0,3), :抛物线与x轴的另一交点为B(1,0), 设所求抛物线的函数表达式为y=a(x+4)(x-1), 把点C(0,3代入，得3=a(0+4)0-1, 架得a- :所求整物线的函数表达式为？=引+4一小，即y=子一 +3, PE=-39 -I- 44 A0=4,C0=3, S=S.me-7xAOxPE 1 =- 3 =-2+2+6, :-4<t<0, 当1=-2时，S有最大值6； ②过点C作CM⊥PD交于M, 则CM=t,ME=3- ∴CE=VCM2+ME2= 5 4 分三种情况讨论： 当PE=EC时，-3-3=- t, 4 4 解得1=-7或1=0（舍）， 3 当CP=CE时，则M为PE的中点，如图1， 答案第1页，共2页 M D B 图1 (-r得6 解得1=-2或t=0(舍)： 当PE=PC时，过点P作PN⊥EC交于N,则N是EC的中点，如图2， E D 0 B 图2 :PE-5 EN-5 EC, 3 6 -=- 4×6 解得1=4？或1=0（舍去： 18 综上所运：满足冬件的：的雀为了或-2或 18 5.(1)y=-x2+2x+3 a (3)1-V2,2或1-V6,-2或-2，-5) 【分析】(1)利用待定系数法即可求解： (2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式，设Mm,-m2+2m+3),求出 答案第1页，共2页 M=+3m,通过证明4 MHNOCN,得到M=M=-m+3m,再利用二次函数 ON OC 3 的性质即可求解： (3)由△PQB是以PB为腰的等腰直角三角形，分2种情况讨论：①当∠PBQ=90°，过点 Q作OF⊥x轴交于点F,通过证明△BQF≌aPBE得到QF=BE=2,设 Q(n,-n2+2n+3(n<1),列出方程求出的值可得出点Q的坐标；②当∠BPQ=90°，此时 点Q在x轴下方，过点Q作QG⊥PE交于点G,通过证明△PQG≌△BPE得到EG=QG+2, 设Q(n,-n2+2n+3(n<-1),列出方程求出的值可得出点Q的坐标，即可得出答案. 9a+3b+c=0 【详解】(1)解：将A(3,0)、B(-1,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0, c=3 a=-1 解得： b=2, c=3 :抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. (2)解：如图，过点M作MH∥y轴，交AC于点H, 设直线AC的解析式为y=kc+t, 3k+t=0 将A(3,0)、C(0,3)代入y=x+t,得 t=3 k=-1 解得： t=3 :直线AC的解析式为y=-x+3, 设Mm,-m2+2m+3,则H(m,-m+3), :MH=-m2+2m+3-(-m+3=-m2+3m, MH∥y轴， 答案第1页，共2页 aMHN∽aOCN, MNMH -m+3m1m 323 ON OC 3 3m-2) 4 3 当m=时， ON 有最大值4 此时-m2+2m+3= 3) 3 15 +2×二+3= 2 4 315 :点M的坐标为 2'4 (3)解：由题意得，抛物线对称轴为x=1+3=1, 2 设抛物线对称轴与x轴交于点E,则E(1,0), △PQB是以PB为腰的等腰直角三角形， .∴∠PBQ=90°或∠BPQ=90° ①当∠PBQ=90°，过点Q作OF⊥x轴交x轴于点F,令对称轴交x轴于E,如图： “QF1x轴， .∠QFB=90°， ∴.∠QBF+∠BQF=90°， ∠QBF+∠PBE=90°， ∴∠QBF+∠BQF=∠QBF+∠PBE,即∠BQF=∠PBE, 又：BQ=BP,∠QFB=∠BEP=90°， '△BQF≌APBE, QF=BE=B0+0E=1--1=2, 设Qn,-n2+2n+3)(n<1,则F(,0), 若点0在x轴上方，则QF=-n2+2n+3=2, 解得：n=1-V2,n2=1+√2（舍去）， 答案第1页，共2页 :01-v2,2: 若点0在x轴下方， y 则QF=--n2+2n+3=2, 解得：m,=1-V6,n2=1+V6(舍去)， “01-6,-2； ②当∠BPQ=90°，此时点Q在x轴下方，过点Q作QG⊥PE交于点G,如图： y C A .QG⊥PE, -IG L0GP=90°， .∠PQG+∠GPQ=90°， ∠BPQ=90°， ∴∠BPE+∠GPQ=90°， ∴∠PQG+∠GPQ=∠BPE+∠GPQ,即∠PQG=∠BPE, 又BP=PQ,∠QGP=∠PEB=90°， △PQG≌△BPE, ∴.QG=PE,PG=BE=2, 答案第1页，共2页 ..EG=PE+PG=OG+2, 设0(n,-n2+2n+3(n<-1,则G1,-n2+2n+3), .--n2+2n+3=1-n+2, 解得：1=-2，n2=3（舍去)， 此时-n2+2n+3=-(-2+2×(-2)+3=-5, 0-2,-5)； :综上所述，点Q的坐标为1-√2,2)或1-6，-2或-2，-5). 【点晴】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与 判定、全等三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，学会添加适 当的辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键.本题属于函数与几何压轴题，需要 较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决难题的学生. 6.(0a= 2’6=1 1 (2)m=1+V5 1 -三m2+2(0<m<1 (3)①d= 1 m2+4m-21<m<4) 2 国当d<2时，P点有2个，当25<6时，P点只有1个 【分析】(1)把A-2,0),B(4,0),两点坐标代入y=ax2+bx+4,求出a,b的值即可； (2)过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q,连接DQ,证明DQ∥x轴，得出直线BC的解析式 为y=-x+4,设Pm-m2+m+4 根据DQ=PQ,建立方程，解方程，即可求解； 2 (3)①设Pm,- )m2+m+4,0<m<4且m1,则M(m,-m+4),根据对称性可得 y2-mm+m+4则PM=方+2n,PN=m2-mH2m-注面分类时论得 1 m2+2(0<m<1) 出d= 2 二m2+4m-2(1<m<4) ②分别求得两段二次函数的最值，进而画出图象，结合函数图象即可求解. 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：把A-2,0),B(4,0)两点坐标代入y=ax2+bx+4,得： 4a-2b+4=0 16a+4b+4=01 1 a=- 解得， 2 b=1 (2)如图1所示，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q,连接D2, D B 图1 由(1)可得抛物线解析式为y=- r4. 对称轴为直线x=-力=1， 2a 当x=0时，y=4,则C(0,4), :B(4,0),则0B=0C=4, :△OBC是等腰直角三角形， .∠BC0=45o, :PQ⊥x轴， .POllCo, LDP0=45°， :BC垂直平分PD, QP=DQ,DP⊥BC, DPQ是等腰直角三角形， .DQ∥x轴， 设直线BC的解析式为y=kx+b,将C(0,4),B4,0代入得： 答案第1页，共2页 [b=4 4k+b=0' [b=4 解得： k=-1' 所以直线BC的解析式为y=-x+4, 设P+4. :点P是直线BC上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，则0<m<4且m≠1，则 0m,-m+4), D0=m-l,P0=-m+m+4-m+4到=-+2m .DO=PO, 电m1三7m2+2m7 解得：m=1+√5或m=1-√5（舍去）： (3)如图2所示， M 图2 户m,)m2+m+4,0<m<4且m,则Mm,=m+4 过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N, 则N点与P点关于x=1对称， N个2-m方+烟+小 :PM=-m2+2m,PN=m-(2-m)H2m-2斗， d=PM +PN=-1m m2+2m+2m-2|: 2 答案第1页，共2页 当0<m<1时，d=-}m2+2m+2-2m=- 1 m2+2, 2 2 当1<m<4时，d=-m2+4m-2, 2 〔1 m2+2(0<m<1 .d= 2 2m+4m-21<m<4 1 1 -二m2+2(0<m<1) ②：d= 2 [2m+4m-21<m<4到 1 当m=1时，d=3 :当1<m<4时，d=-m2+4m-2=-m-42+6, 2 2 对称轴为直线m=4,开口向下，当1<m<4时，d随m的增大而增大，上限为6（取不到）， 当m=1时，d=)} 2m2+2, 1 当0<m<1时，d= 对称轴为直线m=0,开口向下，当0<m<1时，d随m的增大而减小， 当m=0时，d=2(取不到) 函数图象如图所示， d 3 -2-10123456m -1 图3 :当3 a<2时，P点有2个，当2≤d<6时，P点只有1个 【点晴】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合问题，难度较大，运用数 形结合思想解题是解题的关键。 7.(①)m=2 (2)0<n<1或n>7 答案第1页，共2页 (3)①-6≤m≤0；②m≥9或m≤6 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质等知识，解题的关 键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度、分类讨论思想的应用， (1)根据直线x:m与抛物线在第一象限交于点D,交CA于点E,交x轴于点F,设 Dm,-m-1)+4,且0<m<3,则E(m,-m+3),F(m,0),从而AF=3-m, DE=-m2+3m,而△EAF是等腰直角三角形，可得AE=√2AF=3√2-√2m,△DEG是等 腰直角三角形，即可列-m2+3m=√2(3√2-√2m),解得m=2或m=3(舍去)： a由化4么0如0请国4，裙 、或 y=01 x2-x>3且y2-y1>0,可得3-n-(-1)>3,且-n2+4n-0>0,即解得0<n<1;②若 3-n<-1,即n>4,可得：-1-(3-n)>3且0-(-n2+4n)>0,即解得n>7; (3)①根据抛物线的性质即可解答； ②根据抛物线的性质即可解答 【详解】(1)解：在y=-(x-1)2+4中，令x=0得y=3,令y=0得x=-1或3， .A(3,0),B(-1,0),C(0,3), 0=3k+b k=-1 设直线CA的解析式为y=x+b,则 3=b ，解得 b=3· :直线CA的解析式为y=-x+3, :直线x=m与抛物线在第一象限交于点D,交CA于点E,交x轴于点F, 设Dm,-(m-1)2+4,且0<m<3,则E(m,-m+3),F(m,0), .AF=3-m,DE=-(m-1)2+4-(-m+3=-m2+3m, A3,0,C(0,3, .∠EAF=45°，△EAF是等腰直角三角形， ∴.AE=√2AF=3V2-√2m,LDEG=LAEF=45°， △DEG是等腰直角三角形， :DE=2GE, :E为GA的中点， 答案第1页，共2页 .GE=AE=32-√2m, -m2+3m=V2(32-2m, 解得m=2或m=3, m=3时，D与A重合，舍去， .m=2; y=nx+n x=-1 x=3-n (2)解：由 -(x-2+4得： 或 y=0 y=-n2+4n 若3-n>-1,即n<4, x2-x1>3且y2-y1>0, 3-n-(-1>3,且-n2+4n-0>0, 解得0<n<1; 若3-n<-1,即n>4, 可得：-1-（3-n)>3且0-（-n2+4n>0, 解得n>7. 综上所述，n的取值范围是0<n<1或n>7. (3)解：①由条件知抛物线y=3x2-(2m+6)x+3落在x轴上方或与x轴只有唯一一个交点， 设0=3x2-(2m+6)x+3,则△≤0，即△=(2m+6)2-4×3×3≤0， 可得4m2+24m≤0， 设w=4m2+24m, 得0=4m2+24m,解得x=0,x2=-6, 则w=4m2+24m与x轴的交点为0,0)，(-6,0)， :w=4m2+24m开口向上， :当4m2+24m≤0时，解得-6≤m≤0. ②由抛物线y=3x2-(2m+6)x+3的对称轴是直线x=m+3 3 由题意可知m+3之4或m+3≤3 3 3 解得m≥9或m≤6. 答案第1页，共2页 1 8.(1)抛物线解析式为y=-。x2+x+4,直线BC的解析式为y=-x+4 (2)存在点M,M(1,6 (3)存在点P,使△BCP是直角三角形，点P的坐标为1,5)或(1，-3)或1,2+√7或1,2-V7) 【分析】(D由题意得：山，再将B40代入三+x+4a<0,求解即可：泛 直线BC的解析式为y=x+t,把B4,0),C(0,4代入，然后解方程组即可； (2)连接AM,CM,则AM-CM≤AC,当A、C、M三点共线时，AM-CM有最大 值，延长AC交对称轴于点M,AM-CM=AC,解方程得到A(-2,0),设直线AC的解析 式为y=mx+4,得到直线AC解析式为y=2x+4,当x=1时，求出y的值即可； (3)根据题意对称轴为直线x=1,设P(1,n,根据勾股定理BC2=42+42=32, BP2=(4-1)2+n2,PC2=12+4-n2,分①当∠BCP=90°时，②当∠CBP=90°时，③当 ∠BPC=90°时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解. 【详解】(1)解：：对称轴为x=1的二次函数y=ar2+bx+4a<0)的图像与x轴交于A, B4,0), b .16a+4b+4=0,- =1, 2a 解得：a= 2b=1, 1 1 抛物线解析式为)=2+x+4, 当x=0时，y=4, .C(0,4, 设直线BC的解析式为y=x+t,过点B(4,0),C(0,4), [4k+t=0 1t=4 k=-1 解得： t=4 .直线BC的解析式为y=-x+4; (2)存在点M,连接AM,CM,则AM-CM≤AC, 答案第1页，共2页 M 当A、C、M三点共线时，AM-CM有最大值， 延长AC交对称轴于点M,则AM-CM=AC, 二次函数y行+x+4的图像与x轴交于A,B4,0 当y=0时，- 440. 解得：x1=4,x2=-2, .A-2,0, 设直线AC的解析式为y=mx+4,过点A(-2,0), 0=-2m+4, 解得：m=2, 直线AC解析式为y=2x+4, 当x=1时，y=6, .M(1,6): (3)存在点P,使△BCP是直角三角形， 点P对称轴x=1上， 设P(1,n, :B(4,0),C(0,4, BC2=42+42=32,Bp2=(4-12+n2=9+n2,PC2=12+4-n=1+(4-n2, ①当∠BCP=90°时，BP2=BC2+PC2, 9+n2=32+1+(4-n2, 解得：n=5, .P(1,5); 答案第1页，共2页 ②当∠CBP=90°时，PC2=BC2+BP2, .1+(4-n2=9+n2+32, 解得：n=-3, P1,-3; ③当∠BPC=90°时，BC2=BP2+PC2, .32=9+n2+1+(4-n2, 解得：x=2+√万或x=2-万， 点P坐标为1,2+V7)或1,2-V7: 综上所述：点P坐标为1,5)或1，-3)或1,2+V7或1,2-√7. 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质， 求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 90a=-4 (2)P(4,6) 阅存在，专 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，等腰三角形的性质，解直角三角，掌握以上知识 是解题的关键； (1)当m=4时，C(0,4),进而代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解： 1 (2)根据题意得出B(8,0),进而得出直线BC的解析式为y=一2x+4,设 过点C作CF⊥PE于点F根据题意得出F的纵坐标 为4，进而得出x=4,即可求解； (3)过点P作PQ⊥BC于点Q,过点A作AG⊥BC于点G,根据题意得出 S.2CMxPO Pe ,进而解直角三角形，求得PQ,AG的表达式，进而根据二次函数的性 N1CM×AGAG1 质，即可求解. 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：当m=4时，C(0,4)代入y=ax+2)(x-8), .-16a=4, 1 解得：a=-4' 2由0可得y=+2x-到=号+兰4 当0时，-x+2川x-8到=0， 解得：x1=-2,x2=8 .B(8,0 设直线BC的解析式为y=x+b,代入B(8,0),C(0,4) 8k+b=0 .1b=4 解得： 2 b=4 :直线8C的解析式为y=弓+4， 过点C作CF⊥PE于点F C F E △CEP是以PE为底边的等腰三角形， PF=FE,CF∥x轴， .F的纵坐标为4 +3+4-x .42 +4 2 一=4 2 答案第1页，共2页 号0 解得：x=0(舍去)或x=4 P(4,6 (3)解：如图所示，过点P作PQ⊥BC于点Q,过点A作AG⊥BC于点G YA O 记△ACM面积为S,,△PCM面积为S2, 5-CMxPO 1 PO ·.SCM×AG AG 2 二次函数y=a(x+2)(x-8)的图象与x轴交于A,B两点， 当y=0时，a(x+2)(x-8)=0 解得：x1=-2,x2=8 A-2,0),B8,0 .AB=10 设直线BC的解析式为y=kx+b,代入B(8,0),C0,m) 8k+b=0 b=m 解得： k=_m 8 b=m 8t+m, ·直线BC的解析式为y=- :抛物线与y轴正半轴交于点C(0,m), .m=a0+2)(0-8 答案第1页，共2页 a=-m 16 设Pat+2-8列则-g+m PE=alt+21-8到+g-m=a2+-6a-m-l16如 8 M E D :sin∠ABC=OC m AG BC8+m AB' .AG= 10m V82+m2 :∠PEQ=∠BED .∠EPQ=90°-∠PEQ=90°-∠BED=∠ABC cos∠EPO=cos∠ABC=OB=8 BC√82+m2 :PQ=PEcos LEPQ=at+mL-6at-m-16a 8 8 82+m 又a=-m 6 -6at-m-16a 8 V82+m3 S 10m V82+m ar2tmt -6at+m-16a 5m 8 、4 4 at2+ 124a.64 -a- 5m 105m 5m 5 12+ 2 205 、1 <0, 20 3为 ÷受存在能大值，放大值为如c公。 4a 4 20 答案第1页，共2页 10.(1)y=-x2+4x-3,B(3,0) a22) 或(2，-1或(2，-2) 得9】 【分析】(I)利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令y=0,求出x的值，从而求得点B 的坐标： (2)先求出抛物线的对称轴，设N(2,),由勾股定理和两点间距离公式得出AC的长度， AN和CN的表达式，此时分情况讨论：①当A为直角顶点时；②当C为直角顶点时；③当 N为直角顶点时，利用勾股定理求得t的值，即可求得点N的坐标； (3)延长DA交y轴于F,在OC上取点E,使CE=AE,设CE=AE=1,则OE=3-t, 利用勾股定理列出方程求得1的值，即可得到0E-一子，4B一}，通过角度和差关系及等边 3 对等角可得到点F的坐标，利用待定系数法求得直线AF的解析式，最后联立抛物线解析式 即可得到点D的坐标。 【详解】(1)解：将C(0,-3)代入y=-x2+br+c得c=-3, 将A1,0)代入y=-x2+bx-3得：b=4, .抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3, 令y=0,0=-x2+4x-3,解得：x=1(舍)，x2=3, B(3,0. (2)解：：对称轴x=-6=-4 =2, 2a2×-1） .设N(2,, :A1,0),C(0,-3, 答案第1页，共2页 B :AC2=(1-0)2+[0-(-3]=10,AW2=(1-2+(0-)2=+1, CN2=(2-0)2+(-3-t)2=t2+6t+13, ①当A为直角顶点时，AC2+AN?=CN2, .10+t2+1=t2+6f+13, 1=3 1 1 N2,- ②当C为直角顶点时，AC2+CN2=AW2, .10+t2+6t+13=t2+1, :t=- 31 a》 ③当N为直角顶点时，AN2+CN2=AC2, .t2+1+t2+6t+13=10, 解得：t=-1,62=-2, .N(2,-1或(2，-2)， 综上所述，N点的坐标为2}或2}）或2-刂碳2，-2) (3)解：如图，延长DA交y轴于F,在OC上取点E,使CE=AE, 答案第1页，共2页 F E C 设CE=AE=t,则OE=3-t, 在Rt△AE0中，OE2+OA2=AE2, .12+(3-t)2=t2, 朝特： oE=子，AG了 3 :∠ACE+LCAE=∠AEO,LEAC=LECA, .ZAEO 22AC0, :∠DAC=3∠AC0,∠DAC=∠AC0+∠AF0=3∠AC0, ·LAF0=2LAC0, :ZAFO ZAEO, .OF=OE=4 , ·点F的坐标是0,4 ”3 :应A的华标是L0叭、点F的坐标是(Q》 设直线AF的解析式是y=x+b, 4 k+b=0 k= 3 可得： 4 ,解得： b= 4 3 b= 3 4.4 直线AF的解析式是y=- 3x+3 4.4 y=33 x+ 13 联立 ,解得：x=1（舍)，x2= y=-x2+4x-3 点D的坐标是 1340 3-9 答案第1页，共2页 11.(1)y=x2-2x-3 (2)点E的坐标为 (3)存在；点P的坐标为(1,8)或1，-2)或(1,6)或(1，-1) 【分析】(1)先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式： (2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式，点Et,1+1,则F(t,P-2t-3, 出=-2-到=-+ ,利用次所数求最馆方法进一步求解即可： (3)根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分 别讨论求解即可. 【详解】(1)解：：点A-1,0),C(4,0), .AC=5,0C=4, .AC=BC=5, B(4,5), 把A(-1,0)和B(4,5)代入二次函数y=x2+bx+c中得： [1-b+c=0 16+4b+c=5 b=-2 解得： c=-31 二次函数的解析式为：y=x2-2x-3; (2)解：如图1，：直线AB经过点A-1,0)和B(4,5, 设直线AB的解析式为y=kx+b, [-k+b=0 4k+b=51 [k=1 解得： b=1' 直线AB的解析式为：y=x+1, 答案第1页，共2页 :二次函数y=x2-2x-3, 图1 .设点E(1,t+1),则F(t,2-2t-3, F+--2-列--+5 当时 F的最大值为 4 点E的坐标为[引： 4 8 (3)解：存在， :y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .对称轴为直线x=1, 设P(1,m),分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB'=PA2, .(4-12+(m-5)2+(4+1)2+52=1+12+m2, 解得：m=8, .P(1,8); ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA+AB2=PB2, .(1+1)2+m2+(4+12+52=(4-1)2+(m-5)2, 解得：m=-2, .P(1,-2): 答案第1页，共2页 ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2=AB2, (1+1)2+m2+(4-1)2+(m-5)2=(4+12+52, 解得：m=6或m=-1, P(1,6)或P1,-1: 综上，点P的坐标为1,8)或1，-2)或(1,6)或(1，-1) 12.(1)y=x2-2x-3x21 5+V651+V65 5+V10521+V105 (2) 4,8 或 4 8 (3)不存在，理由见解析 【分析】(1)代入点(4,5)到P的解析式，求出m的值，再将解析式整理为y关于x的函数 形式，结合算术平方根的非负性即可写出自变量x的取值范围； (2)设点Q的坐标为1，t2-21-3,其中1≥1，分两种情况讨论：①当∠BA9=90°时，过 点Q作x轴的垂线交于点H,通过证明△BOAP△AHQ,得到 OB OA HQ日，进而列出关于1的 方程，求出t的值即可得到一个Q点坐标；②当∠ABQ=90°时，过点0作y轴的垂线交于 OA OB 点K,通过证明△1 OBBK0,得到B歌O水，进而列出关于1的方程，求出的值即可 得到另一个Q点坐标； (3)设点S的坐标为2，m,利用待定系数法可得直线的解析式为y=kx+m-2k,联立 直线与图象P的解析式，整理可得x2-（2+k)x+2k-m-3=0,设点A(x,y), A2x2y2),利用韦达定理以及一次函数的性质可得x1+x2=2+k,xx2=2k,-m-3, 片=kx+m-2k,y2=k2+m-2k,进而得出SASA2=1+k)m+3；设直线的解析式 为=+6，同理可料吸5识=+)加+8，银器受列出方程，射得5 或k1=k,或k=-k,再分情况讨论即可得出答案. 【详解】(1)解：代入点(4,5)到x=Vy+4m+m,得4=√5+4m+m, 解得m=1, 答案第1页，共2页 .x=Vy+4+1, y=(x-1)2-4=x2-2x-3, Vy+420, .Vy+4+1≥1，即x21, P的解析式为y=x2-2x-3(x≥1； (2)解：设点Q的坐标为t,2-21-3,其中t≥1， ①当∠BAQ=90°时，如图1，过点Q作x轴的垂线交于点H, 图1 则∠AHQ=90°， .∠BAO=∠AQH=90°-∠QAH, :∠BOA=∠AHQ=90°， .△BOA∽△AHQ, OB OA ·AHQH' :Q1,t2-2t-3,A1,0),B(0,2, 0H=1,QH=t2-21-3,0A=1,0B=2, .AH=0H-0A=1-1, 2 1 ·t-1t2-21-3’ 整理得：2t2-5t-5=0, 解得6=5+65,6=5-v6 (舍去)， 4 ·AH=t-1=1+65 4 答案第1页，共2页 六QH=OA×AH 1x1+V6 4 1+√65， OB 2 P 5+V651+√65 点Q的坐标为 4,8 ②当∠ABQ=90°时，如图2，过点Q作y轴的垂线交于点K, 图2 则∠BKQ=90°， ∠ABO=∠BQK=90°-∠QBK, :∠AOB=∠BKQ=90°， △AOB△BKQ, 8限 :Qt,t2-2t-3,A(1,0),B(0,2), QK=t,OK=t2-2t-3,0A=1,0B=2, .BK=OK-OB=t2-2t-3-2=t2-2t-5, 12 P-21-57’ 整理得：22-5t-10=0, 解得1=5+10 ,5-05(舍去)， ，t= 4 “QK=5+i05 4 BK-04xOK 1x5+105 4= 5+V105, OB 2 8 ·OK=BK+OB=5+105 05+2=21+105 5+V10521+V105 点Q的坐标为 4 8 答案第1页，共2页 5+651+√65 5+V10521+√105 综上，点Q的坐标为 4’8 或 4,8 (3)解：不存在，理由如下： 设点S的坐标为2，m),直线的解析式为y=kx+b, 则2k+b=m, .b=m-2k1, 直线的解析式为y=kx+m-2k, 联立y=x2-2r-3 y=kx+m-2k' 消去y整理得：x2-(2+k)x+2k,-m-3=0, 设点Ax,),A2x2,y2), +x2=2+k,2=2k-m-3,=k+m-2k,2=kx2+m-2k, ·S4=Vx-2}2+(y-m)}2=Vx-22+(kx+m-2k-m)2=V1+kx-2, S4=Vx-22+(5-m2=V5-22+(kx+m-2k-m2=V1+kx-2, ·SA·SA,=(1+k)x-2(x3-2 =(1+k)xx2-2(x+x2）+4 =(（1+k2)2k,-m-3-2(2+k)+4 =(1+k2)m+3, 设直线的解析式为y=k,x+b2, 同理可得：SB·SB2=(1+好)m+3, :S4-58 ·SB2SA1 .SA,·SA2=SB1·SB2, 即1+k)m+3=(1+k)m+3, 答案第1页，共2页 解得m=-3或k1=k2或k=-k2, 当m=-3时，点S(2,-3恰好在图象P上，此时点A、A、B、B至少有两个点重合，不 符合题意： 当k=k2时，直线与☑重合，此时点A、A与点B、B重合，不符合题意； 当k=-k时，不妨假设k>0,k2<0, ∴.直线马中y随着x的增大而减小， 图象P:y=x2-2x-3=(x-12-4(x≥1， :图象P中y随着x的增大而增大， :直线马与图象P最多有1个交点，不符合题意； 综上，在点S和两条直线变化的过程中，不存在 SA SB SB,SA2 13.0方-3-2 (2)当x=2时，S有最大值，最大值为4 e好 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、全等三角 形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键. (1)先求得B(4,0),C(0,-2),然后代入求得b、c的值即可解答； 《2)如图：过点D作DE1r轴，垂足为E,交BC与点F,设Dx--2,则 F-2小0F=}x-2小-行r-x-2=分+2x.然后用x表示出8，然后限据 二次函数的性质求最值即可： （3设n[m-2p--2小0<14，然后分∠wc0:s0、tc0N=90、 ∠CMD=90°三种情况进行解答即可 【详解】(1)解：把x=0代y=2x-2得：y=-2, C(0,-2) 1 把7=0代y=2x-2得r=4, 答案第1页，共2页 B(4,0). 1 设抛物线的解析式为y=x-4(x-m, 将C(0,-2代入得：2m=-2,解得：m=-1, A-1,0. 上抛物线的解折式x-4x+小，即y-2。 (2)解：如图：过点D作DE⊥x轴，垂足为E,交BC与点F. 含-2小则r-小m--g--小+2 Sw080F=4+2x小-+4=-r-4+4-4到=--2r+4. 2 (2 :当x=2时，S有最大值，最大值为4. (3)解：B(4,0,C(0,-2, 0B=4,0C=2, ①当∠MCD=90°时，过D作BC的垂线，如图：与直线BC在下方的抛物线没有交点； ②当∠CDM=90°时，如图：则CD=DM,过D作DE⊥y轴于E,过M作MF⊥DE,交 ED延长线与F,则∠CED=∠F=90°， 2 .∠ECD+LCDE=90°， 答案第1页，共2页 ∠CDM=90°， .∠MDF+∠CDE=90°， .∠MDF=∠DCE, CD =DM aCED≌DFM(AAS, .CE=DF,DE=MF, 2--子-2m- m=- 整理得： 2 2, m2---2 m=12-t +--1,解得：1=0（不合题意合弃。 7 2 点D的横坐标为3： 7 ③如图：当∠CMD=90°时，作DM1⊥BC于M1,由②可得∠MCD=45°， D是等腰直角三角形，即点D的横坐病 综上，：D的资坐标为写， 答案第1页，共2页