精品解析：江西南昌市南昌中学三经路校区2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区期中考试 高一数学 命题人：谢姝颖 审题人：张志明 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理，. 由为三角形内角，所以. 2. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【详解】易知， 故要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位长度. 3. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 4. 已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进一步得到，再结合投影向量定义即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，所以与共线且同向，且，所以在上的投影向量为, 因为与共线且同向，所以，所以在上的投影向量为. 5. 如图，在边长为2的正五边形ABCDF中，（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量求解易得. 【详解】连接，作于点E，那么即在方向上的投影向量， 由于，所以，， . 6. 在中，若，，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰但不等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且，所以. 因为，由正弦定理得， 因为 ，所以. 因为，所以，所以. 故为等边三角形． 7. 已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数建立方程求解，按照大小顺序列举出方程的解，根据题意建立不等式，可得答案. 【详解】由，解得或， 化简可得或， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 由题意可得，解得. 故选：A. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给出的向量关系得到三角形的形状，并运用极化恒等式将所求数量积转化为有关线段的函数，当线段取最小值，也就是点到直线垂线段最短时，取得最小值. 【详解】 因为表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量， 根据平行四边形法则，所以所在直线是的角平分线， 又， 所以的角平分线与边垂直， 所以是等腰三角形，， 取中点，则有， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以根据勾股定理， 根据极化恒等式，， 要使得取得最小值，即线段最小，此时， 在直角三角形中，由等面积法，得到， 所以的最小值为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在上的最小值为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为的最小正周期为， 所以，解得，故A正确. 对于B，因为，所以，故B错误. 对于C，因为，故C正确. 对于D，因为，所以，所以，故D错误. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知向量与单位向量同向，且，，则 B. 若是钝角三角形且，，，则实数的取值范围为 C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 D. 是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，计算单位向量即可；对于B，注意构成三角形的基本条件，两边之和大于第三边，利用大角对大边，找到最大角其余弦值小于零；对于C，利用投影向量公式计算即可；对于D，设，利用三点共线求出的值，然后判断出，寻求其面积的比例关系进行求解. 【详解】对于A，因为，，所以，所以，所以，故A正确. 对于B，因为是钝角三角形，且，，， 显然是最大角，所以， 所以，解得， 又因为两边之和大于第三边，所以，解得 综上，故B错误. 对于C，在上的投影向量为，故C正确. 对于D， 延长交于于点，设 因为点三点共线，所以，解得，所以， 所以，整理得，所以，， 所以，故D正确. 11. 如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（ ） A. 的最大值为4 B. C. D. 当取最大值时，三点共线 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由外接圆直径为的最大值可判断；对于B，由向量投影与数量积的关系可判断； 对于C，由等边三角形重心的向量性质可判断；对于D，由的几何意义与点的位置可判断. 【详解】对于A，因为的边长为，外接圆的半径，所以的最大值为，故A正确； 对于B，由题意知，所以，故B正确； 对于C，等边三角形的外接圆圆心也是重心，所以，所以，故C正确； 对于D，当取最大值时，点是圆的最右边的点，即过点O的水平线与圆在右侧的交点， 此时在上的投影向量的模最大，显然不满足，三点共线，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则不等式的解集为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】由，即，所以， 又，所以， 即不等式的解集为. 故答案为： 13. 在中，，，，若满足条件的有两个，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】运用正弦定理得到关于的解析式，运用两个函数的交点解决解的个数问题. 【详解】由正弦定理得， 所以 考虑直线，与函数的图像有两个交点 如图 所以 14. 在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，把转化为，利用二次函数求最值即可. 【详解】   如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则：、 不妨设 则 ∴， ∴的最小值为，当且仅当时取得. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知平面内三个向量，，. （1）若，求实数的值； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平面向量的线性坐标运算求得和的坐标，然后利用平面向量共线的坐标运算列式求解即可. （2）先利用平面向量的线性坐标运算求得的坐标，然后利用向量模的坐标运算列式，利用二次函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 因为，， 又， 所以，即，解得. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以当时，取最小值. 16. 已知中，，，分别为内角，，的对边，且； （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先由正弦定理将条件变为，化简后用余弦定理即可； （2）首先需列出，代入已知条件即可得出. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及得： ，化简可得：， 由余弦定理得，又，所以. 【小问2详解】 是的角平分线，则， 由可得 ， 因为，，即有，故. 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. （1）求角； （2）若，，求的面积； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的共线结合正弦定理可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得，再由基本不等式可得最大值. 【小问1详解】 因为向量，，且， 所以. 又由正弦定理得， 因为，所以 又因为，所以. 【小问2详解】 因为中，，，由（1）知， 由余弦定理， 即，所以， 解得或（舍去）. 所以的面积. 【小问3详解】 由（1）知，且，由余弦定理， 得， 即，，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为8. 又 的周长取值范围为 18. 如图，已知函数的图象过点和，且满足. （1）求的解析式； （2）求的递增区间和对称轴方程； （3）当时，求函数值域. 【答案】（1） （2）递增区间为，；对称轴为， （3） 【解析】 【小问1详解】 由，，， 得，，则 又，即，得， 由，得， 根据图象可知，解得 . 【小问2详解】 ， 的递增区间为， 令 解得， 因此函数的对称轴为， 【小问3详解】 ，， 故， ，即的值域为. 19. 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为. （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，，且与的夹角. ①求； ②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据定义及向量数量积的运算律即可求解； （2）①根据定义及向量夹角的计算公式即可求解；②设，，，根据向量数量积的运算律，余弦定理，均值不等式即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 ①因为，， 所以，， 得到， 则， 化简并整理得， 解得或（舍去），则. ②依题意设，，， 同理 则 在中，，，，， 依据余弦定理得， 整理得 所以 ，当且仅当时等号成立 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区期中考试 高一数学 命题人：谢姝颖 审题人：张志明 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 3. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在边长为2的正五边形ABCDF中，（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 在中，若，，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰但不等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在上的最小值为 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知向量与单位向量同向，且，，则 B. 若是钝角三角形且，，，则实数的取值范围为 C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 D. 是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 11. 如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（ ） A. 的最大值为4 B. C. D. 当取最大值时，三点共线 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则不等式的解集为_______________． 13. 在中，，，，若满足条件的有两个，则的取值范围是________. 14. 在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知平面内三个向量，，. （1）若，求实数的值； （2）已知，求的最小值. 16. 已知中，，，分别为内角，，的对边，且； （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度. 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. （1）求角； （2）若，，求的面积； （3）若，求周长的取值范围. 18. 如图，已知函数的图象过点和，且满足. （1）求的解析式； （2）求的递增区间和对称轴方程； （3）当时，求函数值域. 19. 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为. （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，，且与的夹角. ①求； ②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $