精品解析：2026年陕西省商洛市部分学校中考二模九年级数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0．5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 下列符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图．若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是的中线，于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，将直线向上平移个单位长度后恰好经过线段的中点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在矩形中，，对角线和相交于点，于点．若，则矩形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点，且，若在点，之间（含点，）的抛物线上存在两点，（点，不重合），使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 不等式的解集为______________． 10. 如图，正五边形中，过顶点作，垂足为，连接交于点，则的度数为______________． 11. 七巧板（如图①）是由可以错综分合的案几（即“燕几”）演变而来，它是一种拼板玩具，体现我国古代劳动人民的智慧，图②是由图①拼成的风车形状，连接，，，，则______________． 12. 如图，内接于是的直径，过点的切线与的延长线交于点．若，则的度数为_____． 13. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，直线与一次函数的图象的交点纵坐标为，与反比例函数的图象的交点纵坐标为，若，则，，的大小关系为_____________．（用“”连接） 14. 如图，在菱形中，，，M为对角线上一动点，N为菱形外一点，且，，连接，，则的最小值为_____________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，在等腰中，，，请用尺规作图法，在上找一点，在上找一点，使且（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在四边形中，，分别延长，至点，，使，连接，分别交，于点，，．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，将在第一象限放大2倍，得到，请在所给的网格图中画出； （2）在网格中描出格点，使点到，，的距离相等，并直接写出点的坐标． 20. 某校开展“我是小小推荐官，西安景点我知道”的演讲活动，需要从“大唐不夜城（雁塔区）”“陕西历史博物馆（雁塔区）”“钟鼓楼（莲湖区）”“秦始皇兵马俑（临潼区）”中任选一个景点进行介绍．规则如下：将分别写有“大唐不夜城”“陕西历史博物馆”“钟鼓楼”“秦始皇兵马俑”的四个小球放在一个不透明的盒子里，摇匀后，由参与者抽取，抽取后不放回，摇匀后再由下一个参与者抽取．这四个小球除标记的字外，其余完全相同． （1）若随机抽取一个小球，则抽到“秦始皇兵马俑”的概率为__________； （2）华华和文文也参与了本次活动，请你用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人抽中的景点在西安市雁塔区的概率． 21. 兴教寺塔，是中国现存最古老的楼阁式塔．某校“综合与实践”小组的同学计划开展实践活动，测量兴教寺塔的高度，设计了如下测量方案及报告： 实践主题 测量兴教寺塔的高度 工具准备 测角仪、卷尺等 实验过程 1．站在与兴教寺塔底部同一水平地面的处，测得处到兴教寺塔顶部的仰角； 2．在水平地面沿方向找一点，测量，两点间的距离； 3．沿着方向继续前进，测量处与前方台阶顶端形成的坡度； 4．测量台阶的高度； 5．测得台阶顶端到兴教寺塔顶部处的仰角（此时点，，，在同一条水平地面上） 实验图示 测量数据 1．； 2．米； 3．处与台阶顶端形成的坡度为1:3； 4．米； 5．． 备注 测角仪的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据： 请你根据以上实验过程和测量数据，计算兴教寺塔的高度． 22. 为落实“阳光体育活动”要求，增强学生体质，某校倡导学生每天坚持课外体育锻炼，小祺积极参加体育锻炼，选择骑脚踏车和快走两种运动方式．已知骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，某天，小祺骑脚踏车和快走的锻炼时间共1小时．设小祺快走的时间为分钟，这1小时运动总共消耗的热量为千焦． （1）求与之间的函数关系式； （2）若这1小时小祺通过这两种运动共消耗1550千焦热量，则小祺快走和骑脚踏车各用了多长时间？ 23. 粮食安全是国家发展的重要根基，小麦作为主要粮食作物，其品种的抗病性与丰产性研究对提升粮食产量、抵御病害威胁意义重大．科研人员通过对试验田小麦的抗病性、丰产性进行打分分析，旨在筛选优质品种，为粮食稳定供应提供支撑．基于该研究数据，工作人员从试验田里随机选择10株小麦，对其抗病性和丰产性进行研究并打分（满分为10分），将得分数据整理成如图所示的折线统计图． 该品种小麦的抗病性和丰产性得分情况如下表： 平均数 中位数 众数 抗病性 9 9 丰产性 8.8 9.5 （1）该品种小麦抗病性得分的平均数___________，丰产性得分的众数___________； （2）记该品种小麦抗病性得分的方差为，丰产性得分的方差为，则____________；（填“>”“<”或“=”） （3）根据以上数据你认为该品种小麦的抗病性和丰产性哪个更优？并说明理由． 24. 如图，已知内接于，且．连接并延长，交于点，连接，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 已知抛物线与轴交于，两点． （1）求，的值； （2）若抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，则在抛物线或上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 26. 问题情境：如图①，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，得到折痕，将正方形纸片沿剪开，得到矩形和矩形（与重合），取的中点，将矩形以点为旋转中心，逆时针旋转． 初步探究： （1）如图②，当点与点重合，点落在线段上时，判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸： （2）在旋转的过程中，线段与线段交于点． ①如图③，当点为的中点时，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； ②若正方形纸片的边长为6，当点为线段的三等分点时，请直接写出，两点间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0．5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 下列符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 由轴对称图形和中心对称图形的定义可知，四个选项中只有B选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形． 3. 如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图．若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，过点作的平行线， ，， ，， ， ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、平方差公式、完全平方公式对各项依次判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算正确，符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 5. 如图，在中，，是的中线，于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：利用直角三角形斜边中线的性质得出，利用勾股定理得出，利用的正弦函数得出，求出的长即可；解法二：同理求出，，利用等面积法得出，求出的长即可． 【详解】解：解法一：是的中线，， ， ，， ， ， ， ． 解法二：是的中线，， ， ， ， ∵， ，即， ． 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，将直线向上平移个单位长度后恰好经过线段的中点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定线段的中点的坐标，设平移后直线的表达式为，然后将代入求解即可． 【详解】解：，， 线段的中点的坐标为， 由题意，可设平移后直线的表达式为， 将代入中， 可得，解得． 7. 如图，在矩形中，，对角线和相交于点，于点．若，则矩形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质，和题目中线段的比例关系，可得出，再由勾股定理求出矩形的长和面积． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， ∵，设，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 8. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点，且，若在点，之间（含点，）的抛物线上存在两点，（点，不重合），使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的对称轴，分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：， 对称轴为直线； （ⅰ）当时，， 点在对称轴左侧，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， ， 点也在对称轴左侧，如图答图①， ， ， ， 此时，在点，之间（含点，）的抛物线上不存在两点，，使得；（在对称轴同侧的两点不可能存在纵坐标相等的情况） （ⅱ）当时，， 点在对称轴右侧，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ，点在对称轴左侧，点的对称点在对称轴右侧，如答图②，（关于抛物线对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，且纵坐标相等） ， ， ， 此时，在点，之间的抛物线上存在关于对称轴对称的两点，，使得； 综上所述，的取值范围为．（当点，位于对称轴异侧时，在抛物线上点，之间的部分关于对称轴对称的部分上的对应点均满足） 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 不等式的解集为______________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 移项，合并同类项得， 化系数为1，得． 10. 如图，正五边形中，过顶点作，垂足为，连接交于点，则的度数为______________． 【答案】##126度 【解析】 【分析】首先根据正多边形的性质确定，，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质确定的值，结合易得，然后由求解即可． 【详解】解：多边形为正五边形， ，， ， ， ， ． 11. 七巧板（如图①）是由可以错综分合的案几（即“燕几”）演变而来，它是一种拼板玩具，体现我国古代劳动人民的智慧，图②是由图①拼成的风车形状，连接，，，，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据七巧板的几何特征及图2所示的风车形状，设图1中正方形的边长为，从而求得图2中的相关线段的表达式，进而求得正切值． 【详解】解：如图所示，标注点，，，设图①中大正方形的边长为， 根据七巧板的性质可得，，， ． 12. 如图，内接于是的直径，过点的切线与的延长线交于点．若，则的度数为_____． 【答案】##115度 【解析】 【分析】连接，由是的切线，可得，可得，再可得，由四边形是的内接四边形，即可得的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 13. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，直线与一次函数的图象的交点纵坐标为，与反比例函数的图象的交点纵坐标为，若，则，，的大小关系为_____________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的性质，由，则点在第二象限，又因为一次函数图象过，故有，，然后根据性质求解即可． 【详解】， 点在第二象限， 一次函数图象过定点， ，， ， ，， ，，的大小关系为． 14. 如图，在菱形中，，，M为对角线上一动点，N为菱形外一点，且，，连接，，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，图形对称的性质，最值问题．连接交于点O，连接．证明，证得；作点D关于所在直线的对称点E，过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，．通过证明四边形为矩形，在中，由勾股定理，求出相关线段长度，从而求出，的长，最后求得的长度，由，求得的最小值． 【详解】解：如图1，连接交于点O，连接． ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图2，作点D关于所在直线的对称点E，过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，，由对称性知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得． ∵， ∴当C，N，E三点共线时，取等号，此时的值最小， 故的最小值为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 等号两边同时乘以，可得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 17. 如图，在等腰中，，，请用尺规作图法，在上找一点，在上找一点，使且（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 （作法一）如答案图①，点，即为所求． （作法二）如答案图②，点，即为所求． 【解析】 【分析】作法一：作交于点，根据等边对等角和三角形外角的性质可知此时；然后以为圆心，为半径作弧交于点，连接，根据等边对等角推出，则，即可求解； 作法二：作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质、等边对等角和三角形外角的性质可知此时；作的角平分线交于点，连接，结合和，可推出，则，即可求解． 【详解】略 18. 如图，在四边形中，，分别延长，至点，，使，连接，分别交，于点，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先证明，，再利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵，点，分别在，的延长线上， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，将在第一象限放大2倍，得到，请在所给的网格图中画出； （2）在网格中描出格点，使点到，，的距离相等，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，点即为所求，坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用位似的概念画出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的判定与网格的特征找出点，然后根据点的位置写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某校开展“我是小小推荐官，西安景点我知道”的演讲活动，需要从“大唐不夜城（雁塔区）”“陕西历史博物馆（雁塔区）”“钟鼓楼（莲湖区）”“秦始皇兵马俑（临潼区）”中任选一个景点进行介绍．规则如下：将分别写有“大唐不夜城”“陕西历史博物馆”“钟鼓楼”“秦始皇兵马俑”的四个小球放在一个不透明的盒子里，摇匀后，由参与者抽取，抽取后不放回，摇匀后再由下一个参与者抽取．这四个小球除标记的字外，其余完全相同． （1）若随机抽取一个小球，则抽到“秦始皇兵马俑”的概率为__________； （2）华华和文文也参与了本次活动，请你用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人抽中的景点在西安市雁塔区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单概率公式求解即可； （2）令“大唐不夜城”“陕西历史博物馆”“钟鼓楼”“秦始皇兵马俑”分别为，，，，根据题意作出列表，结合列表求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，随机抽取一个小球，则抽到“秦始皇兵马俑”的概率为； 【小问2详解】 令“大唐不夜城”“陕西历史博物馆”“钟鼓楼”“秦始皇兵马俑”分别为，，，，根据题意，列表如下： 文文 华华 － － － － 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中两人中至少有一人抽中的景点在西安市雁塔区的结果有10种， ∴两人中至少有一人抽中的景点在西安市雁塔区． 21. 兴教寺塔，是中国现存最古老的楼阁式塔．某校“综合与实践”小组的同学计划开展实践活动，测量兴教寺塔的高度，设计了如下测量方案及报告： 实践主题 测量兴教寺塔的高度 工具准备 测角仪、卷尺等 实验过程 1．站在与兴教寺塔底部同一水平地面的处，测得处到兴教寺塔顶部的仰角； 2．在水平地面沿方向找一点，测量，两点间的距离； 3．沿着方向继续前进，测量处与前方台阶顶端形成的坡度； 4．测量台阶的高度； 5．测得台阶顶端到兴教寺塔顶部处的仰角（此时点，，，在同一条水平地面上） 实验图示 测量数据 1．； 2．米； 3．处与台阶顶端形成的坡度为1:3； 4．米； 5．． 备注 测角仪的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据： 请你根据以上实验过程和测量数据，计算兴教寺塔的高度． 【答案】兴教寺塔的高度约为21米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是理解题意，作出辅助线，构造出直角三角形． 延长交于点，则，设米，由题意可得，米，米，米，得到关系的方程，求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，则 米，处与台阶顶端形成的坡度为1:3， 米， 米， （米） ， 在中，， ， 设米，米，米． 由题意得，， 四边形为矩形， 米，米， ， 在中，， 米， 米， ， 解得， 米， 答：兴教寺塔的高度约为21米． 22. 为落实“阳光体育活动”要求，增强学生体质，某校倡导学生每天坚持课外体育锻炼，小祺积极参加体育锻炼，选择骑脚踏车和快走两种运动方式．已知骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，某天，小祺骑脚踏车和快走的锻炼时间共1小时．设小祺快走的时间为分钟，这1小时运动总共消耗的热量为千焦． （1）求与之间的函数关系式； （2）若这1小时小祺通过这两种运动共消耗1550千焦热量，则小祺快走和骑脚踏车各用了多长时间？ 【答案】（1） （2）小祺快走用了50分钟，骑脚踏车用了10分钟 【解析】 【分析】（1）根据题意写出关系式即可； （2）将代入（1）中所得的关系式，求出的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，小祺快走的时间为分钟，骑脚踏车的时间为分钟， ∴； 【小问2详解】 解：将代入，得， ， 解得， （分钟） 答：小祺快走用了50分钟，骑脚踏车用了10分钟． 23. 粮食安全是国家发展的重要根基，小麦作为主要粮食作物，其品种的抗病性与丰产性研究对提升粮食产量、抵御病害威胁意义重大．科研人员通过对试验田小麦的抗病性、丰产性进行打分分析，旨在筛选优质品种，为粮食稳定供应提供支撑．基于该研究数据，工作人员从试验田里随机选择10株小麦，对其抗病性和丰产性进行研究并打分（满分为10分），将得分数据整理成如图所示的折线统计图． 该品种小麦的抗病性和丰产性得分情况如下表： 平均数 中位数 众数 抗病性 9 9 丰产性 8.8 9.5 （1）该品种小麦抗病性得分的平均数___________，丰产性得分的众数___________； （2）记该品种小麦抗病性得分的方差为，丰产性得分的方差为，则____________；（填“>”“<”或“=”） （3）根据以上数据你认为该品种小麦的抗病性和丰产性哪个更优？并说明理由． 【答案】（1）8.5，10 （2） （3） 解：该品种小麦的丰产性更优，因为丰产性得分的平均数、中位数及众数更高或该品种小麦的抗病性更优，因为抗病性得分更稳定．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查方差，平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）根据平均数和众数的求法求解即可； （2）根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小； （3）开放题型（答案不唯一，合理即可）． 【小问1详解】 解：， ∵丰产性得分中10分出现了5次，出现的次数最多， ． 【小问2详解】 解：从折线统计图可以看出，抗病性得分更稳定，； 【小问3详解】 略 24. 如图，已知内接于，且．连接并延长，交于点，连接，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）由为的直径可得，再证明，再由，可得，从而得出，最后可得结果； （2）连接，过点作于点，先求得，可得，设，则，由中位线性质可得，，由勾股定理可列方程，解得，求得，，，再证明，可求得，最后求得结果． 【小问1详解】 证明：为的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， 为的直径， ， ， ， ， 设，则， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，， 在中，， 即，解得（负值已舍去）， ，，， 由（1）知， ， ， 又， ， ， ， ． 25. 已知抛物线与轴交于，两点． （1）求，的值； （2）若抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，则在抛物线或上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）符合条件的点坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）先求解抛物线的函数表达式，再分类当为边时，与当为对角线时这两种情况，作图求解坐标即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ，解得， 即； 【小问2详解】 解：存在， 由（1）得抛物线， 抛物线与抛物线关于轴对称， 抛物线与抛物线上对应点的横坐标相反，纵坐标相等， ， 抛物线的函数表达式为， 令，解得，， 点在点左侧， ，， 当时，， 以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ①当为边时，有，且， ， 如答案图①，当点在抛物线上时， ， 解得，（舍去）， ，且， 点符合题意； 如答案图②，当点在抛物线上时， 同理， 解得，（舍）， ，且， 点符合题意； ②当为对角线时，令的中点为， ，，， ， 令， 则，得，，得， 则， 将代入中，得， 将代入中，得， 点不符合题意． 综上所述，符合条件的点坐标为或 26. 问题情境：如图①，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，得到折痕，将正方形纸片沿剪开，得到矩形和矩形（与重合），取的中点，将矩形以点为旋转中心，逆时针旋转． 初步探究： （1）如图②，当点与点重合，点落在线段上时，判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸： （2）在旋转的过程中，线段与线段交于点． ①如图③，当点为的中点时，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； ②若正方形纸片的边长为6，当点为线段的三等分点时，请直接写出，两点间的距离． 【答案】（1） 四边形为正方形，理由如下： 四边形和四边形为矩形，点与点重合， ，， 四边形为矩形， 点为和的中点，且， ， 四边形为正方形； （2） ①，理由如下： 如答案图①，连接， 点为和的中点，且， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 点为中点， ， 由旋转的性质得， ， ， ， ， ， ； ②当点为线段的三等分点时，，两点间的距离为或 【解析】 【分析】第（1）小问根据一组邻边相等的矩形是正方形即可得出； 第（2）小问第①题：通过条件先证，得到，因为O为，中点，所以，可得，可得，所以，由旋转性质可得，所以，通过证可得，综上可得． 第（2）小问第②题：根据，再分和探究即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②由①得，，，， ，，，分以下两种情况讨论： I．当时，如图②，连接交于点， 正方形纸片的边长为6，，， ，点为的中点，，，， 由勾股定理得，易得垂直平分，， ，， ，； Ⅱ．当时，如图③，连接交于点，同理可得，，，垂直平分，由勾股定理得， ， ，， ，． 综上所述，当点为线段的三等分点时，，两点间的距离为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $