精品解析：河南省郑州市金水区 河南省实验中学2025-2026学年下学期期中七年级数学 试卷

2025—2026学年下期期中试卷 七年级数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B. 在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球 C. 抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D. 九年级 370名学生中至少有2名学生生日是同一天 4. 小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点C，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是（ ） A. 点到直线的垂线段的长度 B. 直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间的所有连线中，线段最短 6. 将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边，含角的直角三角尺的直角顶点在含角的直角三角尺的斜边上，且点在的延长线上，的度数是（　　　） A. B. C. D. 7. 如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，点A，B，D分别在直线a，b上，，，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，： ③若，，时，； ④若与全等，则或． 其中正确的有（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. _________． 12. 一个角的余角为，则这个角的补角为______°． 13. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为6，中间有边长为1的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是____．（保留π） 14. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形来解释的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的各项系数．例如三角形第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，此三角形称为“杨辉三角”． 请观察这些系数的规律，探究的展开式中项的系数是______． 15. 如图，在中，，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 18. 如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． （1）P（转出的数字为奇数）； （2）两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 19. 如图，已知． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 20. 如图，已知，C为射线上一点，F为射线上一点，连接． （1）请按要求完成尺规作图：在射线下方作出射线，使得（不写作法，只保留作图痕迹）； （2）在（1）的结论下，证明：．请完成下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 证明：∵（已知）， ∴______①（__________________②）， ∴______③（__________________④）， ∵______⑤（已知）， ∴（等量代换）． 21. 如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到．标记此时直杆的底端点； 第三步：测量的长度，即为点距地面的高度． （1）请你说明这样设计的理由； （2）若测得，求的长度． 22. 阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ②； ③； …… [归纳] （1）由此可得：______； [应用] （2）______； （3）计算：． 23. 【学习概念】 三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：，， _____， 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （1）【问题探究】 ①如图2，已知：，且，则_____； ②如图3，已知，且，当_____，①中的结论仍然成立； （2）【应用结论】 如图4，，，，，请说明：． （3）【拓展应用】 如图5，四边形，， ，，，，则的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下期期中试卷 七年级数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个小于1的正数用科学记数法表示，n为负数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位,确定a值，写成的形式即可． 【详解】解：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘、除法法则、幂的乘方、合并同类项法则、逐个计算得结论． 【详解】解：A．，故结论正确； B．，故结论错误； C．，故结论正确； D．与不是同类项，不能合并，故结论错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘、除法法则是解决本题的关键． 3. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B. 在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球 C. 抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D. 九年级 370名学生中至少有2名学生生日是同一天 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数，是随机事件； B、在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球，是不可能事件； C、抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上，是随机事件； D、一年365天， 370名学生中至少有2名学生生日是同一天，是必然事件； 故选：D． 4. 小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所选木条为最长边确定不等关系，结合三角形三边关系求出第三边的取值范围，再匹配选项得到结果． 【详解】解：设所选木条长度为 ∵是三角形的最长边，已有两边长为和 ∴ 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得 ， 即 因此的取值范围为 结合选项可知，只有满足该范围． 5. 如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点C，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是（ ） A. 点到直线的垂线段的长度 B. 直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据“垂线段最短”即可求解． 【详解】解：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短． 故选：B 6. 将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边，含角的直角三角尺的直角顶点在含角的直角三角尺的斜边上，且点在的延长线上，的度数是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质得出，根据三角板中各个角度的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在三角板中，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形板中角度的计算问题，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 7. 如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．由“”可证，可得，可证就是的平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， 故选：B． 8. 如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积，两数和的完全平方公式是解题的关键．用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设，， ∵长方形的周长是，长方形的面积为 ∴，， ∴， 故选：A． 9. 如图，，点A，B，D分别在直线a，b上，，，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，利用平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：作，则， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 10. 已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，： ③若，，时，； ④若与全等，则或． 其中正确的有（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置．本题根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，可判断③，分2种情况求出x的值可判断④． 【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示， 当，时， 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴和不全等，故③错误； ④当时，则，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴若与全等，则或，故④正确． 综上所述，正确的选项为①②④． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先把原式变形为，进一步变形为 ，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 一个角的余角为，则这个角的补角为______°． 【答案】125 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，如果两个角的和等于，就说这两个角互余，如果两个角的和等于，就说这两个角互补，先求出这个角的度数，再求补角即可，熟练掌握余角和补角的定义是解此题的关键． 【详解】解：一个角的余角为， 这个角的度数为， 这个角的补角为， 故答案为：． 13. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为6，中间有边长为1的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是____．（保留π） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了几何概率，根据满足题意的题意的图形面积除以总面积即可求出答案． 【详解】解：∵铜钱的面积为，而中间正方形小孔的面积为， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是． 故答案为： 14. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形来解释的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的各项系数．例如三角形第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，此三角形称为“杨辉三角”． 请观察这些系数的规律，探究的展开式中项的系数是______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据公式可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴的展开式中项是. 15. 如图，在中，，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键； 分三种情况讨论，一是，则，求得，由折叠得，则，求得；二是，则，由，求得；三是由D是线段上的一个动点，说明不存在的情况，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，， ， ， ， 把沿折叠，点C落在点处， ， ， ， ； 如图2，， ， ， 由折叠得， ， ， ； 是线段上的一个动点， 不存在的情况， 综上所述，等于或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】原式=，当，时，原式=-4． 【解析】 【分析】直接利用乘法公式化简以及多项式除以单项式化简，进而合并同类项，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 17. 若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得：，可得，进一步可得答案； （2）由条件可得：，可得，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． （1）P（转出的数字为奇数）； （2）两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：应选择方式，理由如下： 由题意可得，A．猜“是3的倍数”有；B．猜“是大于等于5的数”有， ∴，，， ∵， ∴方式获胜的可能性更大， ∴应选择方式． 【解析】 【分析】本题考查随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． （1）根据概率公式可计算出转出的数字为奇数的概率； （2）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：转出的数字有9种结果，并且每种结果出现的可能性相同， 其中奇数有1，3，5，7，9共5种， ∴P（转出的数字为奇数）； 【小问2详解】 略 19. 如图，已知． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据等量关系得出，证明，根据平行线的性质得出，再根据等量代换得出，根据同位角相等，即可得出两直线平行； （2）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得出，最后利用平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，已知，C为射线上一点，F为射线上一点，连接． （1）请按要求完成尺规作图：在射线下方作出射线，使得（不写作法，只保留作图痕迹）； （2）在（1）的结论下，证明：．请完成下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 证明：∵（已知）， ∴______①（__________________②）， ∴______③（__________________④）， ∵______⑤（已知）， ∴（等量代换）． 【答案】（1） 解：如图所示： （2）①，②同位角相等，两直线平行，③，④两直线平行，内错角相等，⑤． 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作图步骤作图即可； （2）根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到．标记此时直杆的底端点； 第三步：测量的长度，即为点距地面的高度． （1）请你说明这样设计的理由； （2）若测得，求的长度． 【答案】（1） 解：， ， 在与中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）由垂直的定义可得出，由题意可知，，结合已知条件利用证明，由全等三角形的性质可得出． （2）利用全等三角形的性质可得出，，根据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， ， 即 22. 阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ②； ③； …… [归纳] （1）由此可得：______； [应用] （2）______； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）认真分析题干过程，进行总结归纳，即可作答． （2）充分理解题意，运用进行分析，即可作答． （3）先把整理得出，再结合前面的结论进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，； 【小问2详解】 解：由（1）得 ； 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 23. 【学习概念】 三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：，， _____， 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （1）【问题探究】 ①如图2，已知：，且，则_____； ②如图3，已知，且，当_____，①中的结论仍然成立； （2）【应用结论】 如图4，，，，，请说明：． （3）【拓展应用】 如图5，四边形，， ，，，，则的长为________． 【答案】（1）①；②45； （2） 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①由邻补角互补可知，由三角形外角的性质可知，等量代换得，进而可证和全等；②当时，，证法同（1）①； （2）证明，可得，进而可证； （3）在上取一点F使，由角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，然后可证，进而可得． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ②当时，，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故当时，； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，在上取一点F，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $