精品解析：黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

哈九中2025—2026学年度高一下学期 期中考试数学学科试卷 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求出复数所对应的点的坐标即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，化简后即可求解. 【详解】在中，， 因此可得 ，， 将其代入已知条件 ， 因为是三角形内角，，所以， 又是三角形内角，故， 所以此三角形是直角三角形. 4. 在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ） A. 相交 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交， 则与可能平行，也可能是异面直线. 5. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，而，则， 因此，又，所以与的夹角为． 6. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再利用几何体体积公式计算即可. 【详解】由题意，， 所以 ， 如图，原四边形 中，， 则以直角梯形的边为轴旋转一周得到的几何体为圆台， 故其体积为. 7. 直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且，在面对角线上存在一点P使P到和P到A的距离之和最小，则这个最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定和的形状，然后把这两个三角形沿 摊平，变成平面四边形，在平面图形中线段 就是所求最小值． 【详解】因为直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且 ， 所以，又是等腰直角三角形， ， 把和所在平面沿 摊平得四边形，如图， 是这个四边形的对称轴， 即为所求最小值． 故选：D． 【点睛】思路点睛：本题考查空间图形中距离的最小问题，解题方法是把空间不共面的图形展开后变成一个平面图形，利用平面上两点之间线段最短的性质求解． 8. 如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【详解】设棱台的高为，，则， ， ， 又， ， ，故C正确． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分. 9. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【详解】由余弦定理，得，故，A正确； 因为，所以是等腰三角形，平分， 所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确； 由，，所以， 因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确； 向量在上的投影向量为 ， ，故投影向量为，所以D正确. 10. （多选）已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，，的共轭复数为，故A错误； 对于B，的虚部为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 11. 如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 与所成角为45° C. 三棱锥的体积为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理判断A；由异面直线所成角定义计算判断B；由三棱锥体积计算公式计算判断C；根据等体积法计算判断D. 【详解】对A选项，如图，连接，则为中点， 又为的中点，所以， 又平面平面， 平面，故A选项正确； 对B选项，由A可知，为与所成角或其补角， 由正方体性质可知，，故B选项正确； 对C选项，三棱锥的体积为 ，故C选项错误； 对D选项，设点到平面的距离为，则， ，，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由正方体内切球半径为1，则该正方体棱长为， 故该正方体外接球的半径为该正方体体对角线一半，即为， 则该正方体外接球的表面积. 13. 将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲、乙两个圆锥的侧面，甲、乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解. 【详解】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则，所以， 又，则，所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故答案为：. 14. 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，， 所以的最大值为. 四、解答题：本题有5道题，总共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求； （2）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标运算及模的公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标公式列出方程求解即可. 【小问1详解】 由，， 可得：， 所以. 【小问2详解】 ，， 因为与垂直， 所以， 解得. 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【小问1详解】 由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 17. 如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等. （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积与表面积. 【答案】（1）3 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径； （2）根据三棱柱的体积和表面积公式求解即可. 【小问1详解】 设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为. 由题意. 即圆柱的底面半径为3. 【小问2详解】 因为为等边三角形，且其外接圆半径为3， 由正弦定理。，解得，则， 又三棱柱的高即圆柱的高为6，所以； 则三棱柱的表面积为. 18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2） 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接， 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求边长的最大值； （3）若的面积为，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出A，再由题意可求解； （2）由（1）知，由余弦定理和勾股定理得到，在中，利用余弦定理及基本不等式求解； （3）由余弦定理及面积公式转化为关于正切的三角函数，根据，利用正弦定理和正切函数求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，得， 又是锐角三角形，所以. 而分别是以为边的等边三角形的中心， 所以，从而. 【小问2详解】 由（1）知， 在中，设，， 由余弦定理得，即， 故，故，同理， 所以. 而在中由余弦定理有， . 当且仅当时等号成立，从而， 由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为. 【小问3详解】 由的面积为知， 在，中分别由余弦定理有 ①， ②. 联立①②，消去， 可得. 所以面积， 又， 所以. 从而得面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2025—2026学年度高一下学期 期中考试数学学科试卷 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 4. 在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ） A. 相交 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 5. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 7. 直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且，在面对角线上存在一点P使P到和P到A的距离之和最小，则这个最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分. 9. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 10. （多选）已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 11. 如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 与所成角为45° C. 三棱锥的体积为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________． 13. 将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲、乙两个圆锥的侧面，甲、乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和，若，则_____. 14. 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 四、解答题：本题有5道题，总共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求； （2）若与垂直，求实数的值. 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 17. 如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等. （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积与表面积. 18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求边长的最大值； （3）若的面积为，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $