3.2 导数与函数的单调性 导学案——2027届高三数学一轮复习

第二节　导数与函数的单调性 知识清单 函数的单调性与导数的关系 前提 条件 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上____________ f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上____________ f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是___________ 剖析　(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”的原则． (2)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (3)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件． (4)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　) (2)如果函数f(x)在某个区间上恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间上不具有单调性．(　　) (3)若函数在定义域上都有f′(x)>0，则在定义域上一定单调递增．(　　) (4)由于>0在(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立，且函数y＝－的导数y′＝，所以函数y＝－的单调递增区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) 2．(人教A版选修二P86例2改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(－3，0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(1，3)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0，2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(3，4)上是增函数 3．(人教A版选修二P87T1改编)函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 4．(人教A版选修二P103T7改编)函数f(x)＝的单调减区间为________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　函数的单调性 考向1　不含参函数的单调性 例1：(1)已知函数f(x)满足f(x)＝e2x－f′(0)ex，则f(x)的增区间为(　　) A．(－∞，－1] B．[ln 2，＋∞) C．[0，＋∞) D．[－ln 2，＋∞) (2)设函数f(x)＝sin 3x－3sin x，讨论f(x)的单调区间． 学霸笔记：(1)求函数的单调区间时应注意先求定义域； (2)使f ′(x)＞0的区间为f(x)的单调递增区间，使f ′(x)＜0的区间为f(x)的单调递减区间； (3)若函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 　跟踪训练　函数f(x)＝x ln (2x)的单调递减区间为(　　) A． B． C． D． 考向2　含参函数的单调性 例2：(链接·2023年新高考Ⅰ卷19题第(1)问)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.讨论f(x)的单调性． 真题探源　(源自人教A版选修二P104T19(1))讨论函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x的单调性． 学霸笔记：研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．分类讨论主要是讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： (1)最高次项系数是否为0. (2)导函数是否有零点． (3)导函数两零点的大小关系． (4)导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等． 注意：(1)若函数的导数中自变量的最高次数含参数，需要考虑参数的正负对函数单调性的影响． (2)若导函数的解析式的主要部分是二次多项式或者可转化为二次多项式且不能够因式分解，则需要考虑二次多项式是否存在零点，这里需要对判别式(Δ≤0和Δ>0)分类讨论． 命题点二　利用导数研究函数单调性的应用 考向1　利用导数研究函数的图象 例3：已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)为偶函数，f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 学霸笔记：函数图象与其导函数图象的关系：导函数f ′(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(增区间)，导函数f ′(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(减区间)． 　跟踪训练　 设函数y＝f(x)可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) 考向2　已知函数的单调性求参数 例4：(链接·2023年新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e-1 D．e-2 真题探源　(源自人教B版选修三P102B组T4)已知关于x的函数y＝x3－t2x－tx2＋t3在区间(－1，3)上单调递减，求t的取值范围． 学霸笔记：(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)(f ′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立； (2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在该区间上存在解集； (3)若已知f(x)在区间Ⅰ上的单调性，区间Ⅰ中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令Ⅰ是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 第二节　导数与函数的单调性 必备知识·助学教材 知识清单 单调递增　单调递减　常数函数 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．解析：对于A，当－3<x<0时，f′(x)<0，则f(x)在(－3，0)上单调递减，故A正确；对于B，当1<x<2时，f′(x)>0，当2<x<4时，f′(x)<0，则f(x)在(1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故B错误；对于C，当0<x<2时，f′(x)>0，则f(x)在(0，2)上单调递增，故C错误；对于D，当3<x<4时，f′(x)<0，则f(x)在(3，4)上单调递减，故D错误．故选A. 答案：A 3．解析：∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x>0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．故选A. 答案：A 4．解析：函数f(x)的定义域为R，而f′(x)＝.当x<0时，f′(x)<0，故函数f(x)的单调减区间为(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)f′(x)＝2e2x－f′(0)ex，则f′(0)＝2e0－f′(0)e0＝2－f′(0)，解得f′(0)＝1，所以f′(x)＝2e2x－ex＝ex(2ex－1)．因为ex>0，所以令f′(x)≥0，得2ex－1≥0，解得x≥ln ＝－ln 2，所以f(x)的增区间为[－ln 2，＋∞)．故选D. (2)因为f(x)＝sin3x－3sinx，则f′(x)＝3sin2x cosx－3cos x＝－3cos3x， 当x∈(，2kπ＋)(k∈Z)时，f′(x)<0， 当x∈(，2kπ＋)(k∈Z)时，f′(x)>0， 所以f(x)的单调增区间为(，2kπ＋)(k∈Z)， 单调减区间为(，2kπ＋)(k∈Z)． 答案：(1)D　(2)见解析 跟踪训练　解析：因为f(x)＝x ln (2x)(x>0)，所以f′(x)＝ln (2x)＋1(x>0)，由f′(x)<0⇒0<x<.所以f(x)的减区间为.故选A. 答案：A 例2　解析：因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝aex－1， 当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f′(x)＝aex－1<0恒成立， 所以f(x)在R上单调递减； 当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a， 当x<－ln a时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减； 当x>－ln a时，f′(x)>0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． 真题探源　解析：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)． (ⅰ)若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减． (ⅱ)若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝－ln a. 当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)＜0； 当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上可得，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． 例3　解析：当a<x<d时，f′(x)>0，所以f(x)在(a，d)上单调递增，故排除BCD.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：由题图知，x∈(－∞，0)，y＝f(x)单调递增，则f′(x)>0，故排除B，D.当x∈(0，＋∞)时，y＝f(x)的图象先增，后减，再增，所以y＝f′(x)的图象先正，后负，再正，所以A正确，C错误．故选A. 答案：A 例4　解析：因为函数f(x)＝aex－ln x，所以f′(x)＝aex－.因为函数f(x)＝aex－ln x在(1，2)上单调递增，所以f′(x)≥0在(1，2)上恒成立，即aex－≥0在(1，2)上恒成立，易知a>0，则0<≤xex在(1，2)上恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex.当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝e-1. 答案：C 真题探源　解析：∵f(x)＝x3－t2x－tx2＋t3在区间(－1，3)上单调递减， ∴f′(x)＝3x2－t2－2tx≤0在(－1，3)上恒成立， ∴⇒⇒t≤－9或t≥3.故t的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $