11.2 一元一次不等式讲义（知识梳理+题型突破）2025-2026学年七年级数学下册人教版

11.2 一元一次不等式 讲义 基础知识梳理 （一）一元一次不等式的定义 1.核心定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，未知数的系数不为 0，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2.判定三要素： 只含一个未知数； 未知数最高次数为 1； 不等号两边都是整式，且未知数系数≠0。 （二）一元一次不等式的解与解集 1.解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解； 2.解集：一个含有未知数的不等式的所有解的全体，叫做这个不等式的解集； 3.解集在数轴上表示： ①大于向右画，小于向左画； ②有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。 （三）解一元一次不等式的步骤 1.去分母：不等式两边同乘各分母的最小公倍数（注意：负数要变号）； 2.去括号：遵循去括号法则，注意符号； 3.移项：移项要变号； 4.合并同类项：化为（）或（）形式； 5.系数化为 1：两边同除以未知数系数（系数为负，不等号方向改变）。 （四）不等式的基本性质（解不等式依据） 1.若，则； 2.若，，则，； 3.若，，则，。 易错提醒：两边乘除负数时，必须改变不等号方向。 （五）一元一次不等式的整数解 在不等式解集范围内，找出符合要求的整数（正整数、负整数、0）。 （六）实际应用 1.步骤：审→设→列→解→验→答； 2.关键：抓不等关系关键词（至少、至多、不少于、不超过、不足等）。 技巧总结归纳 1.判定技巧：一元一次不等式→“一个未知数、次数 1、整式、不等号” 四要素齐全； 2.解题技巧：系数化为 1 时，先看系数正负，再定不等号方向； 3.整数解技巧：先求解集，再在范围内按要求筛选整数； 4.易错点：去分母漏乘常数项、移项不变号、系数为负不变号、数轴虚实点混淆。 典例精讲与变式训练 考点 1：一元一次不等式的识别 例题 若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 变式 1已知是关于的一元一次不等式，则 ． 变式 2下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？ （1）3x+5＝0；（2）2x+3＞5；（3）；（4）≥2；（5）2x+y≤8 考点 2：一元一次不等式的解集 例题 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 变式 已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 考点 3：一元一次不等式的整数解 例题 不等式的最大整数解为（    ） A． B． C． D． 变式 1求满足不等式的正整数解． 变式 2若关于、的方程组的解满足，求的最小整数值． 考点 4：新定义（重难考点拓展） 例题 阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如．如果有，求的取值范围． 变式 定义一种关于*的运算：，如． (1)若，且为正整数，求的值； (2)若不等式的解集和关于的不等式的解集相同，求的值． 考点 5：实际应用 例题 我们度过了寒冬，迎来了充满希望的春天，同学们将走出教室进行适当的体育锻炼，7.1班想集体购买跳绳和毽子、第一次买20条跳绳和30个毽子共花了590元，第二次又买了10条跳绳和10个毽子共花了260元．请回答下面的两个问题： (1)求跳绳和毽子的单价是多少元？ (2)若7.9班也打算购买同样的跳绳和毽子共50个，且总花费不超过600元，问7.9班的跳绳最多买多少条？ 变式 政府计划为某村修建一条长为1000米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．已知若甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程．甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米． （1）求甲、乙两工程队每天各施工多少米？ （2）现计划由两工程队联合施工完成该工程，两工程队联合施工4天后，因甲队有事，剩下的部分由乙工程队独立完成，若要在12天内完成该项工程，则乙工程队每天至少应再多施工多少米？ 易错提醒 1.去分母时，常数项也要乘公分母； 2.移项必须变号； 3.系数为负数时，不等号一定要变向； 4.数轴表示解集：有等号实心，无等号空心。 题型一．一元一次不等式的定义 1．（2026春•奉贤区期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x+y＞﹣7 B． C． D．x2﹣5＞2 2．（2026春•香坊区校级同步）下列不等式中，一元一次不等式有（　　） ①x2+3＞2x ②3＞0 ③x﹣3＞2y ④5π ⑤3y＞﹣3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026春•杨浦区校级期中）若（a+2）x|a|﹣1＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝　 　 ． 题型二．解一元一次不等式 1．（2026•河源一模）不等式x+3＞0的解集是（　　） A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x＜3 D．x＜﹣3 2．（2026春•莱芜区期中）把不等式x+3＜2x+1的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026春•包河区校级期中）关于x的不等式x﹣m≥﹣3的解集如图所示，则m的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．3 D．4 4．（2026春•未央区校级期中）若关于x的不等式2（x﹣a）＜a+6的解集与不等式2x﹣4＜0的解集相同，则a的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2026•长安区一模）如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（　　） A．2x＞﹣4 B．﹣2x＞4 C．﹣2x≥4 D．2x≥﹣4 6．（2026春•宜阳县期中）若关于x的不等式ax﹣2＞3x+1的解集为x＜﹣2，则a的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2026春•淮安区校级期中）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＞﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1 8．（2026春•鼓楼区校级期中）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集（　　） A． B． C． D． 9．（2026春•昌平区期中）如图的框图表示解不等式3﹣5x＞4﹣2x的流程，其中“系数化为1”的结果是　　 ，这一步骤的依据是　 　 ． 10．（2026春•鼓楼区校级期中）如果方程组的解满足x+y＞1，则m的取值范围是　 ． 11．（2026•封开县一模）下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：3（3x﹣1）＞2（x﹣2）﹣3…第一步 9x﹣3＞4x﹣4﹣3…第二步 9x﹣4x＞﹣4﹣3﹣3…第三步 5x＞﹣10…第四步 x＞﹣2…第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据　 　 （运算律）进行变形的； ②第　 　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　 ； 任务二；请写出求该不等式解集的正确计算过程． 12．（2026春•集美区校级期中）解不等式： （1）3x+4＞﹣x； （2）． 13．（2026春•建邺区校级期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 14．（2026春•重庆期中）已知关于x，y的方程组的解满足以下条件： （1）若x+y＝2，求m的值． （2）若y为负数，求m的取值范围． 15．（2026春•梅县区期中）我们把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如2×5﹣3×4＝﹣2． （1）求不等式的解集； （2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值． 题型三．一元一次不等式的整数解 1．（2026春•武侯区校级期中）不等式的非负整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2026春•未央区校级期中）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解的和为（　　） A．2 B．3 C．0 D．1 3．（2026春•西城区校级期中）一元一次不等式x≤a的解集有且只有两个非负整数，则a的取值范围是（　　） A．2≤a＜3 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．0≤a≤1 4．（2026•龙华区二模）写出不等式的x﹣3＞0的一个整数解 　 ．（写出一个即可） 5．（2026春•黔江区期中）不等式3x+2≤9的最大整数解是　 　 ． 6．（2026春•普陀区期中）如果关于x不等式x﹣3≤m的正整数解有4个，那么m的取值范围是　 　 ． 7．（2026春•嵩县期中）若关于x的不等式x+a≥0有且仅有1个负整数解，则实数a的取值范围是　　 ． 8．（2026春•杨浦区校级月考）若关于x的不等式2x﹣3a+2≥0的最小整数解为﹣5，则a的取值范围是　　 ． 9．（2026春•徐汇区校级期中）对于任意实数a，b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b．例如，2※5＝2×5﹣2+5＝13．请根据上述的定义解决问题：若有不等式3※x＜5，则这个不等式的正整数解是　 ． 10．（2026春•鼓楼区校级期中）解不等式3（2x+5）＞2（4x+3），并写出它的非负整数解． 11．（2026春•上海校级月考）求一元一次不等式的最小正整数解． 12．（2026春•嘉定区期中）若不等式3（2x﹣3）＞5x﹣1的最小整数解是关于x的方程﹣x+a＝2（x﹣3）的解，求a的值． 13．（2026春•安徽月考）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为．例如：． （1）解不等式：x★6＞3； （2）求不等式x★2＜（﹣2）★（x+4）的最大整数解． 14．（2026春•新安县期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足2y﹣x＜0． （1）求该方程组的解；（用含a的式子表示） （2）求a的取值范围； （3）若关于x的不等式2ax﹣6x＞a﹣3的解集为，且a为整数，求a的值． 15．（2026春•海淀区校级期中）对实数x，y，我们定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by（其中a，b常数）．已知F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1，请解决以下问题． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，且m为正整数，求m的值； （3）若关于x的不等式F（﹣3x，4）≥2n恰好有3个正整数解，请直接写出n的取值范围． 题型四．由实际问题抽象出一元一次不等式 1．（2026春•合肥期中）一个数x的与4的差不大于这个数的2倍加上5所得的和”可列不等式为（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•成华区校级期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地．已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A．200x+70（40﹣x）＞2.5 B．200x+70（40﹣x）≥2500 C．200x﹣70（40﹣x）＜2.5 D．200x﹣70（40﹣x）≤2500 3．（2026•浙江一模）2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是（　　） A．5x﹣3（20﹣x）≤80 B．5x﹣3（20﹣x）≥80 C．5x﹣3（20﹣x）＜80 D．5x﹣3（20﹣x）＞80 题型五．一元一次不等式的应用 1．（2026春•思明区校级期中）在Monica的厨房里，橱柜里两个层板之间的间距是36厘米．已知8个相同的杯子摞在一起有42厘米高，2个同样的杯子摞在一起有18厘米高．问在一个层板上最多可以摞着放几个这样的杯子？（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026春•奉贤区期中）某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对　 　 道题． 3．（2026•福州模拟）某学校计划开展科技创新活动，计划采购A，B两款机器人共6台，付款总额不超过15万元，A，B两款机器人的售价分别为1万元/台和3万元/台，求该学校最多能采购B型机器人的台数． 4．（2026•山西模拟）晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱．近期，以晋剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销．学校计划用不超过6000元的经费购买这两种文创产品共80件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学．已知两种文创产品的价格如图所示． （1）学校最多可购买立体拼图多少件？ （2）商家对这两种产品的促销方案如下： 每购买10件发热桌垫或5件立体拼图，送一个晋剧冰箱贴． 当学校购买立体拼图的数量最多时，共可获得　 　 个晋剧冰箱贴． 5．（2026•成都模拟）为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元； （2）该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？ 6．（2026春•庐阳区校级期中）黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶5.5千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克． （1）某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？ （2）市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降5%，二级毛峰销售单价涨10%，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？ 7．（2026春•包河区校级期中）随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ （2）若该小区计划用不超过2.4万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2 一元一次不等式 讲义 基础知识梳理 （一）一元一次不等式的定义 1.核心定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，未知数的系数不为 0，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2.判定三要素： 只含一个未知数； 未知数最高次数为 1； 不等号两边都是整式，且未知数系数≠0。 （二）一元一次不等式的解与解集 1.解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解； 2.解集：一个含有未知数的不等式的所有解的全体，叫做这个不等式的解集； 3.解集在数轴上表示： ①大于向右画，小于向左画； ②有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。 （三）解一元一次不等式的步骤 1.去分母：不等式两边同乘各分母的最小公倍数（注意：负数要变号）； 2.去括号：遵循去括号法则，注意符号； 3.移项：移项要变号； 4.合并同类项：化为（）或（）形式； 5.系数化为 1：两边同除以未知数系数（系数为负，不等号方向改变）。 （四）不等式的基本性质（解不等式依据） 1.若，则； 2.若，，则，； 3.若，，则，。 易错提醒：两边乘除负数时，必须改变不等号方向。 （五）一元一次不等式的整数解 在不等式解集范围内，找出符合要求的整数（正整数、负整数、0）。 （六）实际应用 1.步骤：审→设→列→解→验→答； 2.关键：抓不等关系关键词（至少、至多、不少于、不超过、不足等）。 技巧总结归纳 1.判定技巧：一元一次不等式→“一个未知数、次数 1、整式、不等号” 四要素齐全； 2.解题技巧：系数化为 1 时，先看系数正负，再定不等号方向； 3.整数解技巧：先求解集，再在范围内按要求筛选整数； 4.易错点：去分母漏乘常数项、移项不变号、系数为负不变号、数轴虚实点混淆。 典例精讲与变式训练 考点 1：一元一次不等式的识别 例题 若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到，即可求出m． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得， 故选：B 变式 1已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，则或，且，解得， 故答案为： 变式 2下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？ （1）3x+5＝0；（2）2x+3＞5；（3）；（4）≥2；（5）2x+y≤8 【答案】（2）、（3）是一元一次不等式 【分析】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：（1）是等式；（4）不等式的左边不是整式；（5）含有两个未知数，所以不是一元一次不等式， 所以一元一次不等式有：（2）、（3） 考点 2：一元一次不等式的解集 例题 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由解集为，得；→→→。 变式 已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集及解一元一次不等式；根据题意求得，且，把代入不等式中，即可求解． 【详解】解：由，得， ∵关于x的不等式的解集为， ∴，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 把代入中，整理得：， ∴， 故答案为： 考点 3：一元一次不等式的整数解 例题 不等式的最大整数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的最大整数解，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最大整数解为， 故选：B 变式 1求满足不等式的正整数解． 【答案】正整数解为1、2、3、4、5． 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得其正整数解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴， ∴不等式的正整数解为1、2、3、4、5 变式 2若关于、的方程组的解满足，求的最小整数值． 【分析】先用②①得：，根据，得出，求出，即可得出答案． 【解答】解：， ②①得：， ， ， 解得：， 的最小整数值为2． 考点 4：新定义（重难考点拓展） 例题 阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如．如果有，求的取值范围． 【分析】此题考查了新定义运算和解一元一次不等式，根据题目给的运算法则，列出不等式求解即可，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：由，可得， ∴， ∴， ∴， 故的取值范围是 变式 定义一种关于*的运算：，如． (1)若，且为正整数，求的值； (2)若不等式的解集和关于的不等式的解集相同，求的值． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，解一元一次方程，正确理解新定义运算的含义是解题的关键． （1）利用题中的新定义得出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为正整数得出答案； （2）求出不等式的解集，利用题中的新定义得出关于a的不等式，解不等式求出，再根据两个不等式的解集相同求出a的值即可． 【详解】（1）由，得， 解得， 为正整数， ； （2）解不等式，得， 由，得， 解得， 不等式的解集和关于的不等式的解集相同， ， 解得 考点 5：实际应用 例题 我们度过了寒冬，迎来了充满希望的春天，同学们将走出教室进行适当的体育锻炼，7.1班想集体购买跳绳和毽子、第一次买20条跳绳和30个毽子共花了590元，第二次又买了10条跳绳和10个毽子共花了260元．请回答下面的两个问题： (1)求跳绳和毽子的单价是多少元？ (2)若7.9班也打算购买同样的跳绳和毽子共50个，且总花费不超过600元，问7.9班的跳绳最多买多少条？ 【分析】（1）设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元，然后找出两个等量关系：20根跳绳的钱数+ 30个毽子的钱数=590元；10根跳绳的钱数+10个毽子的钱数=260元．根据这两个等量关系可列出方程组，解方程组即可； （2）设7.9班购买m条跳绳，则购买个毽子，根据总花费不超过600元列不等式，求出m的值，最后取m的最大整数值即可． 本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：跳绳的单价是19元，毽子的单价是7元； （2）设7.9班购买m条跳绳，则购买个毽子， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为20． 答：7.9班的跳绳最多买20条 变式 政府计划为某村修建一条长为1000米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．已知若甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程．甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米． （1）求甲、乙两工程队每天各施工多少米？ （2）现计划由两工程队联合施工完成该工程，两工程队联合施工4天后，因甲队有事，剩下的部分由乙工程队独立完成，若要在12天内完成该项工程，则乙工程队每天至少应再多施工多少米？ 【分析】（1）设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据“甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程；甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设乙工程队每天应再多施工米，根据要在12天内完成该项工程，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲工程队每天施工50米，乙工程队每天施工40米； （2）设乙工程队每天应再多施工米， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为40． 答：乙工程队每天至少应再多施工40米． 易错提醒 1.去分母时，常数项也要乘公分母； 2.移项必须变号； 3.系数为负数时，不等号一定要变向； 4.数轴表示解集：有等号实心，无等号空心。 题型一．一元一次不等式的定义 1．（2026春•奉贤区期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x+y＞﹣7 B． C． D．x2﹣5＞2 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可． 【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； B、分母中含有x，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； C、是一元一次不等式，故此选项符合题意； D、未知数的次数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2026春•香坊区校级同步）下列不等式中，一元一次不等式有（　　） ①x2+3＞2x ②3＞0 ③x﹣3＞2y ④5π ⑤3y＞﹣3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【解答】解：①存在二次项，不符合题意； ②未知数在分母上，不符合题意； ③有两个未知数，所以都不是一元一次不等式，不符合题意； ④⑤是一元一次不等式． ①②③不符合，④中分母上的π是常数，所以④⑤符合一元一次不等式的定义． 故选：B． 3．（2026春•杨浦区校级期中）若（a+2）x|a|﹣1＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据一元一次不等式的定义可得：|a|﹣1＝1，且a+2≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：|a|﹣1＝1，且a+2≠0， 解得：a＝2． 故答案为：2． 题型二．解一元一次不等式 1．（2026•河源一模）不等式x+3＞0的解集是（　　） A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x＜3 D．x＜﹣3 【答案】B 【分析】根据解一元一次不等式的解法移项即可求解． 【解答】解：根据解一元一次不等式的解法可知： x+3＞0， 移项得 x＞﹣3． 故选：B． 2．（2026春•莱芜区期中）把不等式x+3＜2x+1的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：x+3＜2x+1， x﹣2x＜1﹣3， ﹣x＜﹣2， x＞2， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 故选：C． 3．（2026春•包河区校级期中）关于x的不等式x﹣m≥﹣3的解集如图所示，则m的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先用m表示出不等式的解集，再结合所给数轴得出关于m的等式，据此进行求解即可． 【解答】解：由x﹣m≥﹣3得， x≥m﹣3． 由数轴可知， 不等式的解集为x≥2， 所以m﹣3＝2， 解得m＝5． 故选：B． 4．（2026春•未央区校级期中）若关于x的不等式2（x﹣a）＜a+6的解集与不等式2x﹣4＜0的解集相同，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出两个不等式的解集，再根据两个解集相同列出关于a的方程，即可求解． 【解答】解：若关于x的不等式2（x﹣a）＜a+6的解集与不等式2x﹣4＜0的解集相同 解不等式2x﹣4＜0得，x＜2， 解不等式2（x﹣a）＜a+6得，， ∴， 解得． 故选：C． 5．（2026•长安区一模）如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（　　） A．2x＞﹣4 B．﹣2x＞4 C．﹣2x≥4 D．2x≥﹣4 【答案】C 【分析】分别解每个选项中的不等式，根据题干中不等式的解集进行判断即可． 【解答】解：A、解2x＞﹣4得x＞﹣2，故此选项不符合题意； B、解﹣2x＞4得x＜﹣2，故此选项不符合题意； C、解﹣2x≥4得x≤﹣2，故此选项符合题意； D、解2x≥﹣4得x≥﹣2，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．（2026春•宜阳县期中）若关于x的不等式ax﹣2＞3x+1的解集为x＜﹣2，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解含a的一元一次不等式，然后根据题意列得关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：ax﹣2＞3x+1， 整理得：（a﹣3）x＞3， ∵关于x的不等式ax﹣2＞3x+1的解集为x＜﹣2， ∴a﹣3， 解得：a， 故选：A． 7．（2026春•淮安区校级期中）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＞﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1 【答案】D 【分析】根据题意可得：1﹣a＞0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＞﹣1， ∴1﹣a＞0， 解得：a＜1， 故选：D． 8．（2026春•鼓楼区校级期中）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：mx﹣n＞0， mx＞n， ∵不等式mx﹣n＞0的解集是， ∴x， ∴m＜0，， ∴m＝4n， ∴4n＜0， ∴n＜0， ∵（m+n）x＜n﹣m， ∴5nx＜﹣3n， ∴x， 故选：B． 9．（2026春•昌平区期中）如图的框图表示解不等式3﹣5x＞4﹣2x的流程，其中“系数化为1”的结果是　　 ，这一步骤的依据是　不等式性质3：不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变　 ． 【答案】，不等式性质3：不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变． 【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤解不等式，再根据不等式的基本性质进行解答即可． 【解答】解：3﹣5x＞4﹣2x， ﹣5x+2x＞4﹣3， ﹣3x＞1， ， ∴“系数化为1”的结果是，这一步的依据是不等式性质3：不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变， 故答案为：，不等式性质3：不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变． 10．（2026春•鼓楼区校级期中）如果方程组的解满足x+y＞1，则m的取值范围是m＞1　 ． 【答案】m＞1． 【分析】由方程组可得出，结合x+y＞1，可得，解出m的取值范围即可． 【解答】解：， ①+②得， 若x+y＞1， 可得， 解得m＞1． 故答案为：m＞1． 11．（2026•封开县一模）下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：3（3x﹣1）＞2（x﹣2）﹣3…第一步 9x﹣3＞4x﹣4﹣3…第二步 9x﹣4x＞﹣4﹣3﹣3…第三步 5x＞﹣10…第四步 x＞﹣2…第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据　乘法分配律　 （运算律）进行变形的； ②第　二　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2　 ； 任务二；请写出求该不等式解集的正确计算过程． 【答案】任务一：①乘法分配律；②二；不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2； 任务二：x． 【分析】任务一：①根据题意可得，第二步依据是乘法分配律；②第二步中，不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2； 任务二：按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【解答】解：任务一：①由题意得，第二步是依据乘法分配律进行变形的； 故答案为：乘法分配律； ②第二步开始出现错误，错误原因是不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2； 故答案为：二，不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2； 任务二：原不等式整理得： 3（3x﹣1）＞2（x﹣2）﹣3， 9x﹣3＞2x﹣4﹣3， 9x﹣2x＞﹣4﹣3+3， 7x＞﹣4， x． 12．（2026春•集美区校级期中）解不等式： （1）3x+4＞﹣x； （2）． 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可． 【解答】解：（1）3x+4＞﹣x， 3x+x＞﹣4， 4x＞﹣4， x＞﹣1； （2）， ﹣4x+2﹣3＞0， ﹣4x＞﹣2+3， ﹣4x＞1， x． 13．（2026春•建邺区校级期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】这是一道含分母的一元一次不等式题，需先去分母，再按移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤求解，最后在数轴上表示解集． 【解答】解：解不等式： 1， 去分母得，2（x﹣1）﹣（3x+1）＞﹣4， 去括号得，2x﹣2﹣3x﹣1＞﹣4， 移项、合并同类项，﹣x＞﹣1， 系数化为1，x＜1． 把解集在数轴上表示如图所示： ． 14．（2026春•重庆期中）已知关于x，y的方程组的解满足以下条件： （1）若x+y＝2，求m的值． （2）若y为负数，求m的取值范围． 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，整理得到x+y关于m的表达式，代入x+y＝2即可求出m的值； （2）用加减消元法求出y关于m的表达式，根据y为负数列出不等式，解不等式得到m的取值范围． 【解答】解：（1）， ①+②得，2x+2y＝8+2m， ∴x+y＝4+m ∵x+y＝2 ∴4+m＝2 解得m＝﹣2； （2）， ①﹣②得：4y＝6﹣4m， ∴， ∵y为负数， ∴， 解得． 15．（2026春•梅县区期中）我们把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如2×5﹣3×4＝﹣2． （1）求不等式的解集； （2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值． 【分析】（1）按照定义的新运算可得2x﹣（3﹣x）＞0，然后进行计算，即可解答； （2）按照定义的新运算可得3m﹣4x＜0，然后进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵， ∴2x﹣（3﹣x）＞0， 解得：x＞1； （2）∵0， ∴3m﹣4x＜0， 解得：xm， ∵关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同， ∴m＝1， 解得：m． 题型三．一元一次不等式的整数解 1．（2026春•武侯区校级期中）不等式的非负整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题先求解一元一次不等式得到解集，再根据非负整数的定义找出解集中所有符合条件的数，统计个数即可求解． 【解答】解：由题意，∵， ∴， ∴满足题意的非负整数解有：0，1，2，3，共4个． 故选：C． 2．（2026春•未央区校级期中）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解的和为（　　） A．2 B．3 C．0 D．1 【答案】B 【分析】先求解一元一次不等式得到x的取值范围，再找出范围内的非负整数，计算它们的和即可得到结果． 【解答】解：6﹣4x≥3x﹣8， ﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6， ﹣7x≥﹣14， x≤2， ∴不等式的非负整数解为 0，1，2，其和为0+1+2＝3， 故选：B． 3．（2026春•西城区校级期中）一元一次不等式x≤a的解集有且只有两个非负整数，则a的取值范围是（　　） A．2≤a＜3 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．0≤a≤1 【答案】C 【分析】先明确非负整数的定义，再根据不等式x≤a有且只有两个非负整数，确定符合条件的非负整数，进而推导a的取值范围． 【解答】解：根据题意符合条件的两个非负整数只能是0和1， ∵解集需要包含0和1，且不能包含下一个非负整数2， ∴可得1≤a＜2． 故选：C． 4．（2026•龙华区二模）写出不等式的x﹣3＞0的一个整数解 x＝4（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【答案】x＝4（答案不唯一）． 【分析】先求得不等式的解集，再写出一个整数解即可． 【解答】解：不等式的x﹣3＞0的解集为x＞3， 则不等式的x﹣3＞0的一个整数解为x＝4， 故答案为：x＝4（答案不唯一）． 5．（2026春•黔江区期中）不等式3x+2≤9的最大整数解是　2　 ． 【答案】2． 【分析】按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再确定最大整数解即可． 【解答】解：3x+2≤9， 3x≤9﹣2， 3x≤7， ， ∴原不等式的最大整数解是2． 故答案为：2． 6．（2026春•普陀区期中）如果关于x不等式x﹣3≤m的正整数解有4个，那么m的取值范围是　1≤m＜2　 ． 【答案】1≤m＜2． 【分析】先解出不等式，再根据正整数解得到答案即可． 【解答】解：x﹣3≤m， ∴x≤m+3， 由关于x的不等式x﹣3≤m的正整数解有4个， ∴正整数解是1、2、3、4， ∴4≤m+3＜5， ∴m的取值范围是1≤m＜2． 故答案为：1≤m＜2． 7．（2026春•嵩县期中）若关于x的不等式x+a≥0有且仅有1个负整数解，则实数a的取值范围是　1≤a＜2　 ． 【答案】1≤a＜2． 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：x+a≥0， 解得：x≥﹣a， ∵关于x的不等式x+a≥0有且仅有1个负整数解， ∴﹣2＜﹣a≤﹣1， 即1≤a＜2， 故答案为：1≤a＜2． 8．（2026春•杨浦区校级月考）若关于x的不等式2x﹣3a+2≥0的最小整数解为﹣5，则a的取值范围是　　 ． 【答案】． 【分析】根据不等式的基本性质，先将a看作常数解关于x的不等式，得，根据最小整数解为﹣5，得，解出a即可． 【解答】解：2x﹣3a+2≥0， 2x≥3a﹣2， 解得， ∵不等式的最小整数解为﹣5， ∴， 解得． 故答案为：． 9．（2026春•徐汇区校级期中）对于任意实数a，b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b．例如，2※5＝2×5﹣2+5＝13．请根据上述的定义解决问题：若有不等式3※x＜5，则这个不等式的正整数解是x＝1　 ． 【答案】x＝1． 【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论． 【解答】解：∵3※x＝3x﹣3+x＜5， ∴x＜2， ∵x为正整数， ∴x＝1． 故答案为：x＝1． 10．（2026春•鼓楼区校级期中）解不等式3（2x+5）＞2（4x+3），并写出它的非负整数解． 【答案】x＜4.5，不等式的非负整数解为0，1，2，3，4． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并按要求写出非负整数解即可． 【解答】解：由题知， 3（2x+5）＞2（4x+3）， 6x+15＞8x+6， 6x﹣8x＞6﹣15， ﹣2x＞﹣9， x＜4.5， 则不等式的非负整数解为0，1，2，3，4． 11．（2026春•上海校级月考）求一元一次不等式的最小正整数解． 【答案】1． 【分析】按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，即可得到答案． 【解答】解：去分母得：2x﹣1﹣6x≤﹣2， 移项得：2x﹣6x≤﹣2+1， 合并同类项得：﹣4x≤﹣1， 系数化为1得：， ∴最小正整数解为：1． 12．（2026春•嘉定区期中）若不等式3（2x﹣3）＞5x﹣1的最小整数解是关于x的方程﹣x+a＝2（x﹣3）的解，求a的值． 【答案】21． 【分析】先求出不等式的解集，找到它的最小整数解，再将这个解代入方程中计算出的值． 【解答】解：解不等式3（2x﹣3）＞5x﹣1， 去括号：6x﹣9＞5x﹣1， 移项：6x﹣5x＞﹣1+9， 合并同类项：x＞8， ∴不等式的最小整数解时x＝9， 把x＝9代入方程﹣x+a＝2（x﹣3）， ﹣9+a＝2（9﹣3）， 化简：﹣9+a＝12， 解得：a＝21． 13．（2026春•安徽月考）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为．例如：． （1）解不等式：x★6＞3； （2）求不等式x★2＜（﹣2）★（x+4）的最大整数解． 【分析】（1）根据新定义进行列出不等式进行解答便可； （2）根据新定义列出不等式进行解答便可． 【解答】解：（1）由条件可得， 去括号得， 移项、合并同类项得， x系数化成1得x＞24． （2）化简不等式左边得， 化简不等式右边得， 所以， 解得x＜﹣2， 所以该不等式的最大整数解为﹣3． 14．（2026春•新安县期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足2y﹣x＜0． （1）求该方程组的解；（用含a的式子表示） （2）求a的取值范围； （3）若关于x的不等式2ax﹣6x＞a﹣3的解集为，且a为整数，求a的值． 【分析】（1）解方程组即可得出方程组的解， （2）根据2y﹣x＞0，列出不等式组，即可解答； （3）依据题意，由2ax﹣6x＞a﹣3，则2（a﹣3）x＞a﹣3，又不等式2ax﹣6x＞a﹣3的解集为，可得a﹣3＜0，则a＜3，结合a为整数，a＞﹣2，进而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵， ∴； （2）由题意，∵2y﹣x＜0， ∴2（﹣2a﹣1）﹣（2﹣2a）＜0， ∴a＞﹣2； （3）由题意，∵2ax﹣6x＞a﹣3， ∴2（a﹣3）x＞a﹣3． ∵不等式2ax﹣6x＞a﹣3的解集为， ∴a﹣3＜0，则a＜3． 又∵a为整数，a＞﹣2， ∴a＝﹣1，0，1，2． 15．（2026春•海淀区校级期中）对实数x，y，我们定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by（其中a，b常数）．已知F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1，请解决以下问题． （1）a＝　2　 ，b＝　1　 ； （2）若关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，且m为正整数，求m的值； （3）若关于x的不等式F（﹣3x，4）≥2n恰好有3个正整数解，请直接写出n的取值范围． 【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1即可得出答案； （2）根据，得出，将其两式相加，结合x+y＞0即可得到m的取值范围，再结合m为正整数即可求解； （3）根据F（﹣3x，4）≥2n求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围． 【解答】解：（1）∵F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1， ∴a+b＝3，a﹣b＝1， 解得：， 故答案为：2，1； （2）依题意， ①+②化简得x+y， ∵x+y＞0，即0， 解得m， 又∵m为正整数， ∴m的值为1或2． （3）依题意得﹣6x+4≥2n，解得x， ∵此不等式恰好有3个正整数解， ∴34， 解得﹣10＜n≤﹣7． 题型四．由实际问题抽象出一元一次不等式 1．（2026春•合肥期中）一个数x的与4的差不大于这个数的2倍加上5所得的和”可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将文字语言准确转化为代数式，明确“不大于”表示小于等于，对应不等号为≤，列出不等式即可． 【解答】解：由题意，可列不等式为． 故选：A． 2．（2026春•成华区校级期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地．已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A．200x+70（40﹣x）＞2.5 B．200x+70（40﹣x）≥2500 C．200x﹣70（40﹣x）＜2.5 D．200x﹣70（40﹣x）≤2500 【答案】B 【分析】先统一单位，再根据路程、速度、时间的关系找不等关系，据此列出不等式即可． 【解答】解：他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．总距离为2.5千米，即2500米， 设跑步时间为x分钟．根据题意，在40分钟内完成的总路程应不小于2500米． 基于此，假设用满40分钟，其中跑步x分钟，则步行（40﹣x）分钟，那么跑步路程为200x米，步行路程为70（40﹣x）米，此时总路程应大于或等于2500米，因此可列不等式200x+70（40﹣x）≥2500． 故选：B． 3．（2026•浙江一模）2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是（　　） A．5x﹣3（20﹣x）≤80 B．5x﹣3（20﹣x）≥80 C．5x﹣3（20﹣x）＜80 D．5x﹣3（20﹣x）＞80 【答案】B 【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到不等式5x﹣3（20﹣x）≥80． 【解答】解：由题意可得， 5x﹣3（20﹣x）≥80， 故选：B． 题型五．一元一次不等式的应用 1．（2026春•思明区校级期中）在Monica的厨房里，橱柜里两个层板之间的间距是36厘米．已知8个相同的杯子摞在一起有42厘米高，2个同样的杯子摞在一起有18厘米高．问在一个层板上最多可以摞着放几个这样的杯子？（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】已知两种摞放方式的高度，求出单杯高度和每增加一个杯子增加的高度，再根据总高度不超过层板间距列不等式，求解得到最大可摞放的杯子数量． 【解答】解：设一个杯子的高度为x厘米，每多摞一个杯子增加的高度为y厘米， 根据题意列二元一次方程组， ， 解得， 设层板上可以摞放m个杯子， 根据题意列一元一次不等式得，14+4（m﹣1）≤36， 整理得，4m≤26， 解得m≤6.5， ∵m为正整数， ∴m的最大值为6． 即最多可以摞放6个杯子． 故选：D． 2．（2026春•奉贤区期中）某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对　14　 道题． 【答案】14． 【分析】设他答对x道题，则答错和不答共（20﹣x）道，根据该生成绩要超过60分，可得出不等式，解出即可． 【解答】解：设他答对x道题，则答错或不答共（20﹣x）道， 由题意，得：5x﹣（20﹣x）＞60， 解得：x， 则他至少要答对14道题． 故答案为：14． 3．（2026•福州模拟）某学校计划开展科技创新活动，计划采购A，B两款机器人共6台，付款总额不超过15万元，A，B两款机器人的售价分别为1万元/台和3万元/台，求该学校最多能采购B型机器人的台数． 【分析】设采购B型机器人x台，则采购A型机器人（6﹣x）台，根据“付款总额不超过15万元”，列出一元一次不等式求解即可． 【解答】解：设采购B型机器人x台， 根据题意得6﹣x+3x≤15， 解得x≤4.5， ∵x为整数， ∴该学校最多能采购B型机器人4台． 4．（2026•山西模拟）晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱．近期，以晋剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销．学校计划用不超过6000元的经费购买这两种文创产品共80件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学．已知两种文创产品的价格如图所示． （1）学校最多可购买立体拼图多少件？ （2）商家对这两种产品的促销方案如下： 每购买10件发热桌垫或5件立体拼图，送一个晋剧冰箱贴． 当学校购买立体拼图的数量最多时，共可获得　13　 个晋剧冰箱贴． 【分析】（1）设可购买x件立体拼图，则可购买（80﹣x）件发热桌垫，根据学校计划用不超过6000元的经费购买这两种文创产品共80件作为奖品，列出一元一次不等式，解不等式即可； （2）由（1）可知，最多可购买立体拼图59件，购买21件发热桌垫，再根据每购买10件发热桌垫或5件立体拼图，送一个晋剧冰箱贴，即可解决问题． 【解答】解：（1）设可购买x件立体拼图，则可购买（80﹣x）件发热桌垫， 根据题意得：88x+38（80﹣x）≤6000， 解得：， ∵x为正整数， ∴x的最大值为59， 答：最多可购买立体拼图59件； （2）由（1）可知，最多可购买立体拼图59件，购买21件发热桌垫， ∵每购买10件发热桌垫或5件立体拼图，送一个晋剧冰箱贴，59÷5＝11……4，21÷10＝2……1， ∴11+2＝13，（个）， 即当学校购买立体拼图的数量最多时，共可获得13个晋剧冰箱贴， 故答案为：13． 5．（2026•成都模拟）为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元； （2）该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？ 【分析】（1）根据二元一次方程组的购买问题关系：总价格＝单价×数量，分别设甲、乙两种滑动变阻器的单价为x元，y元，再根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意，设购买a个甲种滑动变阻器，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【解答】解：（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，乙种滑动变阻器的单价为y元， 则根据题意列二元一次方程组得，， 解得， ∴甲种滑动变阻器的单价为34元，乙种滑动变阻器的单价为44元； （2）设购买a个甲种滑动变阻器，则购买（100﹣a）个乙种滑动变阻器 由题意得，34a+44（100﹣a）≤4200， 整理得，10a≥200， 解得a≥20， ∴此次至少需购买20个甲种滑动变阻器． 6．（2026春•庐阳区校级期中）黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶5.5千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克． （1）某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？ （2）市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降5%，二级毛峰销售单价涨10%，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？ 【分析】（1）设生产的一级毛峰为x千克，则生产的二级毛峰为（20﹣x）千克，根据所使用的鲜叶不超过105千克，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （2）设售出一级毛峰y千克，则售出二级毛峰（100﹣y）千克，根据总售价不低于56000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设生产的一级毛峰为x千克，则生产的二级毛峰为（20﹣x）千克， 根据题意得：5.5x+5（20﹣x）≤105， 解得：x≤10， ∴x的最大值为10． 答：生产的一级毛峰至多为10千克； （2）设售出一级毛峰y千克，则售出二级毛峰（100﹣y）千克， 根据题意得：600×（1﹣5%）y+500×（1+10%）（100﹣y）≥56000， 解得：y≥50， ∴y的最小值为50． 答：至少售出一级毛峰50千克． 7．（2026春•包河区校级期中）随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ （2）若该小区计划用不超过2.4万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 【分析】（1）设该小区新建一个地上充电桩需要a万元，一个地下充电桩需要b万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该小区新建x个地上充电桩，则新建（10﹣x）个地下充电桩，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2.4万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再结合x，（10﹣x）均为非负整数，即可得出各建造方案． 【解答】解：（1）设该小区新建一个地上充电桩需要a万元，一个地下充电桩需要b万元， 根据题意，得， 解这个方程，得． 答：该小区新建一个地上充电桩需要0.2万元，一个地下充电桩需要0.4万元； （2）设该小区新建x个地上充电桩，则新建（10﹣x）个地下充电桩， 根据题意得：0.2x+0.4（10﹣x）≤2.4， 解得：x≥8， 又∵x，（10﹣x）均为非负整数， ∴x可以为8，9，10， ∴该小区共有3种建造方案， 方案1：新建8个地上充电桩，2个地下充电桩； 方案2：新建9个地上充电桩，1个地下充电桩； 方案3：新建10个地上充电桩． 学科网（北京）股份有限公司 $