11.1 不等式讲义（知识梳理+题型突破）2025-2026学年七年级数学下册人教版

11.1 不等式讲义 基础知识梳理 1. 不等式的定义 用不等号（、、、、）表示不等关系的式子叫做不等式。 常见不等号： 大于、 小于、 大于或等于（不小于）、 小于或等于（不大于）、 不等于 2. 一元一次不等式 只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等号两边都是整式的不等式。 标准形式： 3. 不等式的解与解集 解：使不等式成立的未知数的值 解集：不等式的所有解的全体 4. 不等式的 3 条基本性质（必考） 设 为实数： 性质 1：若 ，则 （加减不变号） 性质 2：若 ，，则 ，（乘除正数不变号） 性质 3：若 ，，则 ，（乘除负数要变号） 5. 解集在数轴上表示 ：空心圈，向右画 ：实心点，向右画 ：空心圈，向左画 ：实心点，向左画 技巧总结归纳（解题直接用） 1.识别不等式：只要有不等号就是不等式 2.识别一元一次不等式：一个未知数 + 次数 1 + 整式 3.乘除负数必须变号（最容易错） 4.求整数解：先解解集，再找范围内整数 5.比较大小：用性质判断，看系数正负 6.新定义问题：照规则翻译，转化为常规不等式 7.绝对值不等式： ① 或 典例精讲 + 变式训练 考点 1 不等式的识别 例题 给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是　　 A．5 B．2 C．3 D．4 变式 有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有 　　个． 考点 2 不等式的解集 例题 下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 变式 下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 考点 3利用不等式性质比较大小 例题 若，则　　．（填“”或“”或“” ． 变式 已知．下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 课堂小结 1. 核心概念 不等式：含不等号 一元一次不等式：一个未知数、次数 1、整式 2. 三大性质 加减：不变号 乘除正数：不变号 乘除负数：必变号 3. 常考考点 识别不等式、一元一次不等式 解不等式、数轴表示解集 求整数解 利用性质比较大小 新定义翻译列式 4. 最大易错点 乘除负数时，不等号方向一定要改变！ 题型一．不等式的定义 1．（2026春•虹口区期中）下列各式中，是不等式的是（　　） A．x＝1 B．x+2 C．x﹣y＝3 D．4x+5＞0 2．（2026春•金水区校级月考）下列表达式中是不等式的有（　　）个． ①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x＝1；④x2+3x﹣1；⑤x+2y＝4；⑥x+3＜y﹣3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026春•宽城区校级期中）据气象台预报，2026年4月22日，长春市最高气温为21℃，最低气温为6°，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　） A．t＞6 B．t≤21 C．6≤t≤21 D．6＜t＜21 4．（2026春•闵行区校级月考）“x的3倍与2的差不大于﹣1”所对应的不等式是 　 　 ． 5．（2026春•鲤城区校级期中）如图，x　 　 50（填“＞”或“＜”）． 6．（2026春•杨浦区校级期中）谷雨，春雨渐多，气温回升，寒潮褪去，空气湿润，降雨频繁，正是雨生百谷的时节．今年谷雨这一天上海市的最高气温是26℃，最低气温是16℃，则当天我市气温t（℃）满足的不等关系为　 　 ． 题型二．不等式的性质 7．（2026春•西城区校级期中）已知a＜b，则下列式子中不正确的是（　　） A．a﹣2＜b﹣2 B．a+3＜b+3 C．2a＜2b D．﹣3a＜﹣3b 8．（2025秋•上城区校级期末）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 9．（2026春•延庆区期中）以下各题的结论正确的是（　　） ①如果a＞b，那么； ②如果a＞b，c＝d，那么ac＞bd； ③如果ac2＞bc2，那么a＞b； ④如果ab＞0，那么． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 10．（2026•贵池区一模）已知实数a，b，c．满足a+b+c＜1，，，则下列判断错误的是（　　） A．a＝3b B． C．2a+3c＝0 D． 题型三．不等式的解集 11．（2026春•鲤城区校级期中）x＝3是下列哪个不等式的解（　　） A．x+2＞4 B．x2﹣3＞6 C．2x﹣1＜3 D．3x+2＜10 12．（2026春•闵行区校级月考）已知某个不等式的解集是x＜﹣2，下列说法正确的是（　　） A．0是这个不等式的解 B．﹣3不是这个不等式的解 C．小于﹣3的数都是这个不等式的解 D．小于﹣1的数都是这个不等式的解 13．（2026春•闵行区校级月考）x＝2　 　 不等式2x﹣9＜3的一个解．（填“是”或“不是”） 题型四．在数轴上表示不等式的解集 14．（2026春•东城区校级期中）不等式x＜﹣1的解集在数轴上可以表示为（　　） A． B． C． D． 15．（2026春•西城区校级期中）如图，数轴上表示的不等式的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 16．（2025秋•永康市期末）已知天平右盘中每个砝码的质量均为5g，则物体M的质量x（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 17．（2026春•昌平区期中）下列各式中，与数轴上表示的解集对应的是 　 　 （填写序号即可）． ①x≥﹣3或x＜2；②2＜x≤﹣3；③﹣3≤x＜2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1 不等式讲义 基础知识梳理 1. 不等式的定义 用不等号（、、、、）表示不等关系的式子叫做不等式。 常见不等号： 大于、 小于、 大于或等于（不小于）、 小于或等于（不大于）、 不等于 2. 一元一次不等式 只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等号两边都是整式的不等式。 标准形式： 3. 不等式的解与解集 解：使不等式成立的未知数的值 解集：不等式的所有解的全体 4. 不等式的 3 条基本性质（必考） 设 为实数： 性质 1：若 ，则 （加减不变号） 性质 2：若 ，，则 ，（乘除正数不变号） 性质 3：若 ，，则 ，（乘除负数要变号） 5. 解集在数轴上表示 ：空心圈，向右画 ：实心点，向右画 ：空心圈，向左画 ：实心点，向左画 技巧总结归纳（解题直接用） 1.识别不等式：只要有不等号就是不等式 2.识别一元一次不等式：一个未知数 + 次数 1 + 整式 3.乘除负数必须变号（最容易错） 4.求整数解：先解解集，再找范围内整数 5.比较大小：用性质判断，看系数正负 6.新定义问题：照规则翻译，转化为常规不等式 7.绝对值不等式： ① 或 典例精讲 + 变式训练 考点 1 不等式的识别 例题 给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是　　 A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】运用不等式的定义进行判断． 【解答】解：①是不等式； ②是不等式； ③是等式， ④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式， ⑤是不等式， ⑥是不等式． 不等式有①②⑤⑥，共4个． 故选：． 【技巧点拨】只要含不等号就是不等式。 变式 有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有 　　个． 【答案】3 【分析】用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．据此可得答案． 【解答】解：不等式有：①，②，⑤，共有3个． 故答案为：3． 考点 2 不等式的解集 例题 下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D 变式 下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解得定义去判定即可． 【详解】， ， A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意； B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意； C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意； D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意； 故选：A 考点 3 利用不等式性质比较大小 例题 若，则　　．（填“”或“”或“” ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，进行计算判断即可． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 变式 已知．下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ∴变形错误，故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴变形正确，故选项B符合题意； ∵， ∴， ∴变形错误，故选项C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴变形错误，选项D不符合题意． 故选：B 课堂小结 1. 核心概念 不等式：含不等号 一元一次不等式：一个未知数、次数 1、整式 2. 三大性质 加减：不变号 乘除正数：不变号 乘除负数：必变号 3. 常考考点 识别不等式、一元一次不等式 解不等式、数轴表示解集 求整数解 利用性质比较大小 新定义翻译列式 4. 最大易错点 乘除负数时，不等号方向一定要改变！ 题型一．不等式的定义 1．（2026春•虹口区期中）下列各式中，是不等式的是（　　） A．x＝1 B．x+2 C．x﹣y＝3 D．4x+5＞0 【答案】D 【分析】根据不等式是用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接，表示不等关系的式子判断即可． 【解答】解：根据不等式是用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接，表示不等关系的式子判断如下： A、x＝1是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； B、x+2是代数式，不表示不等关系，故此选项错误； C、x﹣y＝3是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； D、4x+5＞0是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故此选项正确． 故选：D． 2．（2026春•金水区校级月考）下列表达式中是不等式的有（　　）个． ①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x＝1；④x2+3x﹣1；⑤x+2y＝4；⑥x+3＜y﹣3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义解答即可． 【解答】解：①﹣2＜0 用不等号连接，是不等式，符合题意； ②2x+3y＜0 用不等号连接，是不等式，符合题意； ③x＝1 用等号连接，是等式，不是不等式，不符合题意； ④x2+3x﹣1是代数式，没有不等号连接，不是不等式，不符合题意； ⑤x+2y＝4用等号连接，是等式，不是不等式，不符合题意； ⑥x+3＜y﹣3用不等号连接，是不等式，符合题意； ∴符合不等式定义的共有3个． 故选：C． 3．（2026春•宽城区校级期中）据气象台预报，2026年4月22日，长春市最高气温为21℃，最低气温为6°，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　） A．t＞6 B．t≤21 C．6≤t≤21 D．6＜t＜21 【答案】C 【分析】根据最高气温为21℃，最低气温为6℃得出t的取值范围即可． 【解答】解：根据题意得6≤t≤21， 故选：C． 4．（2026春•闵行区校级月考）“x的3倍与2的差不大于﹣1”所对应的不等式是 　3x﹣2≤﹣1　 ． 【答案】3x﹣2≤﹣1 【分析】根据不等式的定义即可解答． 【解答】解：“x的3倍与2的差不大于﹣1”所对应的不等式是：3x﹣2≤﹣1， 故答案为：3x﹣2≤﹣1． 5．（2026春•鲤城区校级期中）如图，x　＞　 50（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞． 【分析】根据不等式的定义即可得出答案． 【解答】解：由天平可得x＞50， 故答案为：＞． 6．（2026春•杨浦区校级期中）谷雨，春雨渐多，气温回升，寒潮褪去，空气湿润，降雨频繁，正是雨生百谷的时节．今年谷雨这一天上海市的最高气温是26℃，最低气温是16℃，则当天我市气温t（℃）满足的不等关系为　16≤t≤26　 ． 【答案】16≤t≤26． 【分析】直接根据题意表示出t的取值范围即可． 【解答】解：由题意可得，当天我市气温t（℃）满足的不等关系为：16≤t≤26． 故答案为：16≤t≤26． 题型二．不等式的性质 7．（2026春•西城区校级期中）已知a＜b，则下列式子中不正确的是（　　） A．a﹣2＜b﹣2 B．a+3＜b+3 C．2a＜2b D．﹣3a＜﹣3b 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【解答】解：根据不等式的三个基本性质逐项分析判断如下： A、由条件可知a﹣2＜b﹣2，正确，故本选项不符合题意； B、由条件可知a+3＜b+3，正确，故本选项不符合题意； C、由条件可知2a＜2b，正确，故本选项不符合题意； D、∵a＜b， ∴﹣3a＞﹣3b，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 8．（2025秋•上城区校级期末）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．∵a＞b， ∴a+4＞b+4，故本选项不符合题意； B．∵a＞b， ∴2a＞2b，故本选项不符合题意； C．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项符合题意； D．∵a＞b，c2+1≠0， ∴，故本选项不符合题意． 故选：C． 9．（2026春•延庆区期中）以下各题的结论正确的是（　　） ①如果a＞b，那么； ②如果a＞b，c＝d，那么ac＞bd； ③如果ac2＞bc2，那么a＞b； ④如果ab＞0，那么． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】利用不等式的性质进行判断即可． 【解答】解：如果a＞b，当a＝1，b＝﹣1时，，则①错误， 如果a＞b，c＝d＝0时，那么ac＝bd，则②错误， 如果ac2＞bc2，那么a＞b，则③正确， 如果ab＞0，那么a，b同为正数，因此，则④正确， 综上，结论正确的是③④， 故选：D． 10．（2026•贵池区一模）已知实数a，b，c．满足a+b+c＜1，，，则下列判断错误的是（　　） A．a＝3b B． C．2a+3c＝0 D． 【答案】B 【分析】本题可先根据已知条件得出a、c关于b的表达式，再逐一分析选项． 【解答】解：对a，c， ∴可得a﹣b+c＝0①，a+b+2c＝0②， ∴①+②得2a+3c＝0， ∴C选项正确； 由①得a＝b﹣c，由②得c， ∴a＝b ∴a＝3b， ∴A选项正确； ∵a+b+c＜1， 把ca，a＝3b代入a+b+c＜1中， 3b+b3b＜1， ∴解得b， ∴D选项正确， ∵b，a＝3b，可得a， ∴B选项错误． 故选：B． 题型三．不等式的解集 11．（2026春•鲤城区校级期中）x＝3是下列哪个不等式的解（　　） A．x+2＞4 B．x2﹣3＞6 C．2x﹣1＜3 D．3x+2＜10 【答案】A 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再判断即可． 【解答】解：A、∵x+2＞4， ∴x＞2， ∴x＝3是不等式的解，故本选项正确； B、∵x2﹣3＞6， ∴x2＞9， ∴x＞3或x＜﹣3 ∴x＝3不是不等式的解，故本选项错误； C、∵2x﹣1＜3， ∴x＜1， ∴x＝3不是不等式的解，故本选项错误； D、∵3x+2＜10， ∴x， ∴x＝3不是不等式的解，故本选项错误； 故选：A． 12．（2026春•闵行区校级月考）已知某个不等式的解集是x＜﹣2，下列说法正确的是（　　） A．0是这个不等式的解 B．﹣3不是这个不等式的解 C．小于﹣3的数都是这个不等式的解 D．小于﹣1的数都是这个不等式的解 【答案】C 【分析】根据不等式的解集的意义解答即可． 【解答】解：不等式的解集是x＜﹣2， 则0不是这个不等式的解，故选项A不符合题意； ﹣3是这个不等式的解，故选项B不符合题意； 小于﹣3的数都是这个不等式的解，故选项C符合题意； 小于﹣1的数不一定是这个不等式的解，如﹣1.5不是这个不等式的解，故选项D不符合题意． 故选：C． 13．（2026春•闵行区校级月考）x＝2　是　 不等式2x﹣9＜3的一个解．（填“是”或“不是”） 【答案】是． 【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，判断出x＝2是不是不等式2x﹣9＜3的一个解即可． 【解答】解：移项，可得：2x＜3+9， 合并同类项，可得：2x＜12， 系数化为1，可得：x＜6， ∴x＝2是不等式2x﹣9＜3的一个解． 故答案为：是． 题型四．在数轴上表示不等式的解集 14．（2026春•东城区校级期中）不等式x＜﹣1的解集在数轴上可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】小于号向左拐，空心圆圈表示不包括这个点，由此判断即可． 【解答】解：不等式x＜﹣1的解集在数轴上可以表示为 ， 故选：D． 15．（2026春•西城区校级期中）如图，数轴上表示的不等式的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 【答案】A 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可． 【解答】解：数轴上表示的不等式的解集是x＞1． 故选：A． 16．（2025秋•永康市期末）已知天平右盘中每个砝码的质量均为5g，则物体M的质量x（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得：5＜x＜15，即可解答． 【解答】解：由题意得：5＜x＜15， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：D． 17．（2026春•昌平区期中）下列各式中，与数轴上表示的解集对应的是 　③　 （填写序号即可）． ①x≥﹣3或x＜2；②2＜x≤﹣3；③﹣3≤x＜2． 【答案】③． 【分析】利用不等式组取解集的方法判断即可． 【解答】解：由数轴上表示的解集，可知对应的是﹣3≤x＜2． 故答案为：③． 学科网（北京）股份有限公司 $