精品解析：江西南昌市第一中学2025～2026学年高一下学期期中考试数学试卷

南昌一中2025-2026学年度下学期高一期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各角中与终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用终点相同的角的概念可解. 【详解】运用终点相同的角概念知道，与终边相同的角为 则当，. 故选：B. 2. 化简：（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法则化简即可得答案. 【详解】因为. 故选：C 3. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， ， 所以，所以是直角三角形. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可得解. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称 【答案】D 【解析】 【分析】对于A、B：根据图像可得，，结合周期得，代入点，分析可得；对于C：结合三角函数图象性质：在最值处取到对称轴，代入检验即可；对于D：通过平移可得，结合奇偶性分析判断． 【详解】根据图象可得： ，则，即，A正确； ∵的图象过点，则 又∵，则 ∴，即，B正确； ∴，则为最大值 ∴的图象关于直线对称，C正确； 的图象向右平移个单位长度得到不是奇函数，不关于原点对称，D错误； 故选：D． 6. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用和差的余弦公式求得，再利用诱导公式及二倍角公式可求解. 【详解】依题意，，即，则， 所以. 故选：A 7. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将化简为的形式，再利用周期函数求出其最小正周期，可得答案. 【详解】解： ，可得其最小正周期为， 故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换:二倍角公式和辅助角公式等，及三角函数的周期性的，属于中档题型 8. 如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为轴，以为原点，建立坐标系，设，，根据平面向量基本定理的坐标运算可得：，再利用三角函数的有界性，即可得到答案； 【详解】解：以为轴，以为原点，建立坐标系，如图， 设，， 则，，， ∵， ∴ ， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，， 即的最小值为． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列式子化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由诱导公式和逆用两角和的余弦公式可得结果；对于B，由诱导公式和逆用二倍角的正弦公式可得结果； 对于C，由辅助角公式可得结果；对于D，逆用两角和的正切公式可得结果. 【详解】对于A，由诱导公式可知，逆用两角和的余弦公式可得 ， 故A错误； 对于B，由诱导公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得 ，故B正确； 对于C，由辅助角公式可知， 故C正确； 对于D，逆用两角和的正切公式可得，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数单调性判断A，根据余弦函数单调性判断B，根据诱导公式及同角三角函数关系判断C，根据诱导公式判断D. 【详解】因为在上不单调，所以，则不成立，故A错误； 因为在上单调递减，所以，则成立，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，， 所以或，即或，故D错误. 故选：BC 11. 如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的为（ ） A. 当时， B. 当P是线段的中点时，， C. 若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】 利用向量共线的充要条件判断出A错，C对；利用向量的运算法则求出，求出，判断出B对，过作，交于，作，交的延长线于，则，然后可判断出D正确. 【详解】当时，，则在线段上，故，故A错 当是线段的中点时， ，故B对 为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故C对 如图，过作，交于，作，交的延长线于，则：； 又；，； 由图形看出，当与重合时：； 此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故D正确 故选：BCD 【点睛】结论点睛：若，则三点共线. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 方程在区间上的解为___________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以. 【考点】二倍角公式及三角函数求值 【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等. 13. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则的大小为______. 【答案】. 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化，得到，再根据余弦定理，计算求得角的大小. 【详解】由及正弦定理得，所以，即，因为，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型. 14. 函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，由恰有三个不同的解，得的范围，得到的对称性，再判断的范围，利用数形结合求解. 【详解】作出函数的图像如图所示，根据图像可知恰有三个不同的解时，设，令，可得，根据对称性可知关于对称，所以，又因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题利用数形结合的方法求解函数零点问题，解答本题的关键在于作出函数的图像，利用三角函数的对称性得到，再结合图像判断的范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解； （2）由（1）及两角和的余弦函数公式，诱导公式即可计算得解． 【小问1详解】 由题意，得：， ∴. 【小问2详解】 ∵，， ∴. 16. 已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． （1）当，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角公式即可求得答案； （2）若与的夹角为钝角，则且不共线，即可解得的取值范围． 【小问1详解】 由已知，是夹角为的单位向量， 所以， 又，则， 所以， 又， 所以． 【小问2详解】 若与的夹角为钝角，则且不共线， 所以，且， 所以，且， 所以且． 17. 已知向量，函数. （1）若且，求的值； （2）求的最小正周期； （3）若，，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由，求得，得到，即可求解； （2）由，结合周期的计算公式，即可求解； （3）由（2）和题设条件，求得，，利用基本关系式，求得的值，结合两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量，函数， 因为，即，可得，所以， 又因为，可得，所以. （2）由， 所以函数最小正周期为. （3）由（2）知， 因为，所以 又因为，所以 因为，可得， ， 所以. 18. 已知函数在区间上的最大值为3. （1）求； （2）求在区间上的单调递增区间； （3）将的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象，若且，求的值. 【答案】（1）0 （2）与. （3）2 【解析】 【分析】（1）由降幂公式结合辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的值域可得； （2）由正弦函数的单调性整体代入后，给赋值可得； （3）先由图象平移的性质得到，再由正弦函数的对称性可得. 【小问1详解】 . 当时，， 且当时，取得最大值，即解得. 【小问2详解】 由（1）知. 令，得， 当时，；当时，；当时，. 又在区间上的单调递增区间为与. 【小问3详解】 将的图象上所有的点向下平移1个单位长度得到的图象， 再向右平移2个单位长度得到的图象， 即. 令，得， 的图象在内的对称轴为直线. 因且则， . 19. 对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； （2）记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（I） （II） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式及两角和的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的相伴特征向量的定义即可求解； （2）（I）根据题意先求得函数的解析式，结合已知条件求得的值，进而求得的值，通过配角的方法并结合两角差的正弦公式即可求解； （II）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论的正负，通过参变分离法转化为最值问题即可求解. 【小问1详解】 ， ∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标. 【小问2详解】 由题可知：向量的相伴函数. （I），，即. ，，. ； （II）当时，不等式可化为，即恒成立. ，. 当，即时，，恒成立，. ，，； 当，即时，，，不等式恒成立； 当，即时，，恒成立，. ，，. 综上，实数的取值范围为.. 【点睛】恒成立问题多参变分离后转化为最值问题，通过分类讨论等方法快速求出参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2025-2026学年度下学期高一期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各角中与终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 2. 化简：（ ）． A. B. C. D. 3. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称 6. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列式子化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的为（ ） A. 当时， B. 当P是线段的中点时，， C. 若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 方程在区间上的解为___________． 13. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则的大小为______. 14. 函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． （1）当，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 17. 已知向量，函数. （1）若且，求的值； （2）求的最小正周期； （3）若，，求的值. 18. 已知函数在区间上的最大值为3. （1）求； （2）求在区间上的单调递增区间； （3）将的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象，若且，求的值. 19. 对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； （2）记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $