6.4.3 余弦定理、正弦定理（第1课时）教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 《余弦定理、正弦定理（第1课时）》教学设计

一、课标及课标分析

课标要求

借助向量的运算，推导并理解余弦定理，掌握余弦定理的内容与结构特征.

掌握余弦定理的变形公式（推论），能实现边角之间的灵活转化.

能够运用余弦定理解决已知两边及夹角求第三边、已知三边求角两类基本解三角形问题，体会向量方法在解三角形中的作用，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算与数学建模核心素养.

课标分析

本节是向量知识在解三角形中的直接应用，是解三角形的核心工具之一.课标强调：以向量数量积为工具推导余弦定理，体现向量的工具性；明确余弦定理揭示的是三角形三边与一角的定量关系；要求学生熟练使用定理及推论解决SAS、SSS两类基本解三角形问题，并理解余弦定理是勾股定理的推广.本节在三角形计算、证明、实际测量中具有广泛应用，具有承上启下的重要作用.

二、教材分析

“余弦定理、正弦定理（第1课时）”是人教A版2019必修第二册6.4.3节内容.教材从“已知两边及其夹角求第三边”的实际问题引入，利用向量的数量积严谨推导出余弦定理；接着给出余弦定理的三种形式与推论（求角公式）；指出勾股定理是余弦定理的特例；设置基础例题巩固“两边夹角求边、三边求角”两类题型.内容遵循：实际问题→向量推导→定理呈现→推论变形→例题应用→联系勾股定理，逻辑性强、应用性广，是培养学生推理与运算能力的典型素材.

授课人个案修改记录：

三、学情分析

学生已经掌握向量的概念、线性运算、数量积运算、坐标运算，具备推导出余弦定理的知识基础.但学生对如何构造向量、如何选取夹角存在困惑；对余弦定理三种形式容易记混；对推论（求角）的使用不够熟练；容易忽略角的范围对余弦值符号的影响.学生运算能力较强，但推理规范性、公式记忆准确性有待提高，适合以推导示范、公式对比、题型训练突破难点.

四、教学目标/核心素养目标

1. 数学抽象素养：从三角形边角关系中抽象出余弦定理，理解其结构特征.
2. 逻辑推理素养：借助向量数量积推导出余弦定理，理解推导过程.
3. 数学运算素养：熟练运用余弦定理及推论求边、求角.
4. 直观想象素养：理解余弦定理与勾股定理的关系，直观把握三角形边角关系.

5. 数学建模素养：将实际测量、三角形计算问题转化为解三角形模型.

五、教学重难点及课时安排

1. 重点：余弦定理的向量推导、内容、推论；利用余弦定理解三角形.

2. 难点：利用向量数量积推导余弦定理；余弦定理的灵活选用与符号判断.

六、教学过程

环节一：检查预习

教师活动

1. 展示预习问题，学生独立完成，巡视并请学生回答.
2. 对回答正确的学生给予肯定，对错误的学生引导分析原因.

预习问题及答案

1. 在中，余弦定理：________.（答案：）
2. ________.（答案：）

3. ________.（答案：）
4. 推论：________.（答案：）
5. 若，余弦定理变为________.（答案：）

学生活动

独立作答，举手订正，明确公式结构.

设计目的

检测预习效果，快速聚焦定理与推论.

环节二：引入课题

教师活动

1. 回顾提问：

（1）向量数量积公式：________；

（2）三角形中如何用向量表示边？

（3）已知两边及其夹角，能否求第三边？

2. 引入课题：用向量研究三角形边角关系，得出余弦定理.

学生活动

回顾旧知，思考探究方向，进入新课学习.

设计目的

搭建向量与三角形的桥梁，自然引出探究问题.

环节三：合作探究

1. 向量法推导余弦定理（5 分钟）

教师活动