直线与圆、圆与圆的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

直线与圆、圆与圆的位置关系考点分类 01 PART 考点一 直线与圆的位置关系 目 录 直线Ax＋By＋C＝0（A、B不同时为0）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝ r2（r＞0）的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 图形 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d ⁠r d ⁠r d ⁠r ＜　 ＝　 ＞　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 位置关系 相交 相切 相离 判定 方法 代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别 式Δ Δ ⁠0 Δ ⁠0 Δ ⁠0 ＞　 ＝　 ＜　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 结论：圆的切线方程常用结论 （1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝ r2； （2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方 程为（x0－a）·（x－a）＋（y0－b）·（y－b）＝r2； （3）过圆x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在 直线方程为x0x＋y0y＝r2. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 题组练透 1. 〔一题多解〕直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的 位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：法一（代数法）　由 消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交. 法二（几何法）　由题意知，圆心（0，1）到直线l的距离d＝ ＜1 ＜ ，故直线l与圆相交. 法三（点与圆的位置关系法）　直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1， 1），因为点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆 相交. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. （2025·全国Ⅰ卷7题）已知圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝ x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是（　　） A. （0，1） B. （1，3） C. （3，＋∞） D. （0，＋∞） √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：　易得圆心（0，－2）到直线y＝ x＋2的距离d＝2.当r＝d－ 1＝1时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝ x＋2的距离为1的 点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到 直线y＝ x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当1＜r＜3时，圆x2＋ （y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝ x＋2的距离为1的点有且仅有两 个.故选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值 范围是 ⁠. 解析：由题意可得，圆的圆心为（a，0），半径为 ，∴ ≤ ，即｜a＋1｜≤2，解得－3≤a≤1. [－3，1] 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练后悟通 判断直线与圆的位置关系的常见方法 （1）几何法：利用d与r的关系判断； （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断； （3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线 与圆相交. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 圆与圆的位置关系 目 录 设圆O1，O2的半径分别为R，r（R＞r），两圆圆心间的距离为d，则两 圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 数量的关系 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 公切线条数 4 3 2 1 0 d＞R＋ r d＝R ＋r R－r＜d ＜R＋r d＝R －r d＜R －r 高中总复习·数学（创新版） 目 录 结论：两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程为（D1－D2）x＋ （E1－E2）y＋（F1－F2）＝0. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 〔多选〕已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝ 16，下列说法正确的是（　　） A. C1与C2的公切线恰有4条 B. C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0 C. C1与C2相交弦的弦长为 D. 若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则｜PQ｜max＝12 √ √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：由已知得圆C1的圆心C1（0，0），半径r1＝3，圆C2的圆心C2（3，4），半径r2＝4，d＝｜C1C2｜＝ ＝5，r2－r1＜d＜r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，C1到相交弦的距离为 ，故相交弦的弦长为2 ＝ .若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则｜PQ｜max＝｜ C1C2｜＋r1＋r2＝12.故选B、D. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 圆与圆位置关系相关问题的求解策略 （1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与 两圆半径之间的关系； （2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消 去x2，y2得到. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 （1）（2026·广东广州模拟）若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1 相切，则圆（x－a）2＋（y－b）2＝ 与圆O（　B　） B A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 没有公共点 解析：直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆心O（0，0）到直线 ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝ ＝1，解得a2＋b2＝1. 圆（x－a）2＋（y－b）2＝ 的圆心坐标为（a，b），半径为 ，其圆 心在圆O上，所以两圆相交.故选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）（2026·宁夏吴忠期中）若圆C1：（x－2）2＋y2＝1与圆C2：x2＋ y2＋4x＋6y＋m＝0有且仅有三条公切线，m＝ ⁠. 解析：易知圆C1：（x－2）2＋y2＝1的圆心为C1（2，0），半径为r1＝1，由x2＋y2＋4x＋6y＋m＝0，得（x＋2）2＋（y＋3）2＝13－m，则13－m＞0，即m＜13，圆C2的圆心为C2（－2，－3），半径为r2＝ ，因为圆C1与圆C2有且仅有三条公切线，所以圆C1与圆C2外切，则｜C1C2｜＝r1＋r2，即 ＝1＋ ，解得m＝－3＜13. －3 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 提能点一 弦长问题 目 录 （2025·天津高考12题）l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交 于点B，与圆（x＋1）2＋（y－3）2＝r2（r＞0）交于C，D两点，｜ AB｜＝3｜CD｜，则r＝ ⁠. 2 解析：对于直线l1：x－y＋6＝0，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝－ 6，所以A（－6，0），B（0，6），所以｜AB｜＝6 .因为｜AB｜＝ 3｜CD｜，所以｜CD｜＝2 .圆（x＋1）2＋（y－3）2＝r2的圆心为 （－1，3），圆心到直线l1的距离d＝ ＝ ，所以r＝ ＝ ＝2. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 直线被圆截得的弦长的两种求法 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 （2024·全国甲卷12题）已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c ＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 2 √ 解析：　根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋ c＝0过点M（1，－2）.设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM， 则AB⊥CM时，｜AB｜最小，将圆的方程化为x2＋（y＋2）2＝5，则C （0，－2），所以｜MC｜＝1，所以｜AB｜的最小值为2 ＝4，故选C. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 04 PART 提能点二 切线问题 目 录 教材母题：〔人A选一P92例2〕过点P（2，1）作圆O：x2＋y2＝1的切线 l，求切线l的方程. 细研教材：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系， 再求切线方程.若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若 点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2023·新高考Ⅰ卷6题）过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切 的两条直线的夹角为α，则 sin α＝（　　） A. 1 B. C. D. √ 解析：　由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2＝5，所 以圆心为点（2，0），半径为 .如图易知点（2，0）与 点（0，－2）的距离为2 ，所以点（0，－2）与切点的 距离为 ＝ ，所以 sin ＝ ， cos ＝ ，所以 sin α＝2 sin cos ＝2× × ＝ .故选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练3 由直线x＋y＋3＝0上一点P向圆C：（x－2）2＋（y＋3）2＝1引切 线，则切线长的最小值为（　　） A. B. C. D. 1 解析：　点P为直线上到圆心C距离最小的点时，切线长最小，故有｜ PC｜min＝ ＝ .切线长的最小值为 ＝1.故选D. √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 圆系方程 教材母题：〔人A选一P98习题8题〕求圆心在直线x－y－4＝0上，并且 经过圆x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程. 细研教材：题目除了常规解法，还可以用圆系方程求解.圆系方程的 设法： 1. 同心圆系方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），其中a，b是 定值，r是参数. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）. 3. 过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2 ＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋ F2）＝0（λ≠－1）（该圆系不含圆C2，解题时注意检验圆C2是否满足题 意，以防漏解）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）过直线2x－y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－15＝0的交点且过原点的圆 的方程是 ⁠； 解析：设所求圆的方程为x2＋y2－2x－15＋λ（2x－y＋1）＝0，因为该圆 过原点，所以可得－15＋λ＝0，解得λ＝15，将λ＝15代入所设方程并化简 可得所求圆的方程为x2＋y2＋28x－15y＝0. x2＋y2＋28x－15y＝0 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）过圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0和圆x2＋y2－4x＋2y＋2＝0的交点，且 圆心在直线x＋2y＋2＝0上的圆的方程为 ⁠； 解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－4＋λ（x2＋y2－4x＋2y＋2） ＝0，则（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2＋（2－4λ）x－（4－2λ）y－4＋2λ＝ 0，则圆心坐标为（ ， ），代入直线x＋2y＋2＝0，可解得λ＝－ .故所求圆的方程为－ x2－ y2＋12x－9y－9＝0，即x2＋y2－8x＋6y＋ 6＝0. x2＋y2－8x＋6y＋6＝0 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （3）与圆x2＋y2－4x－8y＋15＝0相切于点A（3，6），且过点B（5， 6）的圆的方程为 ⁠. 解析：设与圆x2＋y2－4x－8y＋15＝0切于点A（3，6）的圆系方程为： x2＋y2－4x－8y＋15＋λ[（x－3）2＋（y－6）2]＝0.将点B（5，6）代 入，求得λ＝－2.∴x2＋y2－4x－8y＋15－2（x2－6x＋9＋y2－12y＋36）＝0，化简得所求圆的方程为x2＋y2－8x－16y＋75＝0. x2＋y2－8x－16y＋75＝0 高中总复习·数学（创新版） 目 录 05 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） 　[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 圆（x－1）2＋（y＋2）2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是（　　） A. 相切 B. 相离 C. 相交过圆心 D. 相交但直线不过圆心 解析：由题意知圆心（1，－2）到直线2x＋y－5＝0的距离d＝ ＝ ＜ ，且2×1＋（－2）－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. （2026·浙江绍兴模拟）直线x＝2被圆（x－1）2＋（y－2）2＝5截得 的弦长为（　　） A. 2 B. 4 C. 2 D. 2 解析：圆（x－1）2＋（y－2）2＝5的圆心为（1，2），半径r＝ ，又圆心（1，2）到直线x＝2的距离d＝｜2－1｜＝1，所以弦长为2 ＝2 ＝4.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. （2026·吉林长春模拟）已知圆E：（x－2）2＋（y－4）2＝25，圆 F：（x－2）2＋（y－2）2＝1，则这两圆的位置关系为（　　） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 解析：　圆E：（x－2）2＋（y－4）2＝25的圆心E为（2，4），半径r1 ＝5；圆F：（x－2）2＋（y－2）2＝1的圆心F为（2，2），半径r2＝1， 则｜EF｜＝ ＝2，故｜EF｜＜r1－r2，所以两 圆内含.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. 圆C：x2＋（y－2）2＝R2（R＞0）上恰好存在2个点到直线y＝ x－ 2的距离为1，则R的一个取值可能为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　圆C：x2＋（y－2）2＝R2的圆心C（0，2），半径R，点C到 直线y＝ x－2的距离为 ＝2，又圆C上恰好存在2个点到直 线y＝ x－2的距离为1，则1＜R＜3，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 〔多选〕设圆C：（x－1）2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋1（k∈R），则 下列结论正确的为（　　） A. C的半径为2 B. l恒过定点（0，1） C. l可能与C相切 D. 当k＝1时，l被C截得的弦长最短 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：对A，∵（x－1）2＋y2＝22，∴C的半径为2，故A正确；对B，当x＝0时，y＝1，故直线l恒过定点（0，1），故B正确；对C，将（0，1）代入圆的方程有（0－1）2＋12＝2＜4，故定点（0，1）在圆内，故直线与圆一定相交，故C错误；对D，圆心C（1，0），设直线l恒过定点M（0，1），则当直线CM与直线l相互垂直时，l被C截得的弦长最短，故kCM·k＝－1，即 ·k＝－1，则k＝1，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 〔多选〕已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的 交点为A，B，则（　　） A. 两圆的圆心距｜O1O2｜＝2 B. 直线AB的方程为x－y＋1＝0 C. 圆O2上存在两点P和Q使得｜PQ｜＞｜AB｜ D. 圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：由圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0，可得圆O1：（x－1）2＋y2＝4和圆O2：x2＋（y－1）2＝2，则圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆O2的圆心坐标为（0，1），半径为 ，对于A，两圆的圆心距｜O1O2｜＝ ＝ ，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心（0，1），所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为 ＝ ，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋ ，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. 已知过点P（3，3）作圆O：x2＋y2＝2的切线，则切线长为 ⁠. 解析：由圆O：x2＋y2＝2，可得圆心O（0，0），半径r＝ ，设切点 为C，因为P（3，3），可得｜PO｜＝3 ，所以切线长为｜PC｜＝ ＝ ＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. 已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋ y－3＝0相交于A，B两 点，则｜AB｜＝ ⁠. 解析：因为圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋ y－3＝0相交于A， B两点，所以直线AB的方程为（x2＋y2－4）－（x2＋y2－x＋ y－3） ＝0，即x－ y－1＝0，圆心O（0，0）到弦AB的距离d＝ ＝ ，所以｜AB｜＝2 ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. （2026·浙江嘉兴模拟）已知直线y＝2x－m与圆C：（x－m）2＋y2 ＝4交于A，B两点，写出满足“｜AB｜＝2 ”的实数m的一个值 ⁠ ⁠. 解析：圆心为C（m，0），C到直线y＝2x－m的距离为d＝ ＝ ，又｜AB｜＝2 ，圆半径为2，则 ＋（ ）2＝4，解得m ＝± . － 或 （写出其中一个即可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （13分）已知圆C：x2＋y2＝25，点P（3，4）. （1）求过点P的圆C的切线方程； 解：当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3， 圆心到直线的距离为d＝3≠5＝r，不成立； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k（x－3），即kx－y＋4－ 3k＝0， 圆心到直线的距离等于半径，即d＝ ＝5，解得k＝－ ， 所以直线方程为y－4＝－ （x－3），即3x＋4y－25＝0. 所以过点P的圆C的切线方程为3x＋4y－25＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程. 解：当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3， 圆心到直线的距离为d＝3，则直线被截得弦长为l＝2 ＝8，成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k（x－3），即kx－y＋4－3k＝0， 圆心到直线的距离为d＝ ， 直线被截得弦长为l＝2 ＝8，即d＝3，则 ＝3，解得k ＝ ，故直线m的方程为7x－24y＋75＝0. 综上所述，直线m的方程为x＝3或7x－24y＋75＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. 已知圆C：（x－1）2＋y2＝9，直线l：x＋y＋m＝0，P为直线l上 的动点.过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N. 若使得四边形 PMCN为正方形的点P有且只有一个，则正实数m＝（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：由题意可知：圆C：（x－1）2＋y2＝9的圆心为C（1，0），半径r＝3，因为四边形PMCN为正方形，可知｜CP｜＝ r＝3 ，若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，可知CP⊥l，则 ＝3 ，解得m＝5或m＝－7（舍去），所以正实数m＝5.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. （2026·河北沧州模拟）过点P（1，2）作圆O：x2＋y2＝10相互垂直 的两条弦AB与CD，则四边形ACBD的面积的最大值为（　　） A. 6 B. 2 C. 9 D. 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：如图所示，OP＝ ，记OM＝m，ON＝n，则m2＋n2＝5，AB＝2 ，CD＝2 ，S四边形ACBD＝ AB·CD＝ · ≤2× ＝15，当且仅当 ＝ ，即m＝n＝ 时，取等号.所以四边形ACBD的面积的最大值为15，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. 〔一题多解〕写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切 的一条直线的方程 ⁠ ⁠. 解析：法一　如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O （0，0），半径r1＝1，圆（x－3）2＋（y－4）2＝ 16的圆心为A（3，4），半径r2＝4，所以｜OA｜＝ 5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋r2，所以两圆外 切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两 x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0（答案不 唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 圆圆心的直线l的方程为y＝ x，由 得 由对称性可知公切线l2过点 ，设公切线l2的方程为y＋ ＝k（x＋1），则点O（0，0）到l2的距离为1，所以1＝ ，解得k＝ ，所以公切线l2的方程为y＋ ＝ （x＋1），即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝ x垂直，设公切线l3的方程为y＝－ x＋t，易知t＞0，则点O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （0，0）到l3的距离为1，所以1＝ ，解得t＝ 或t＝－ （舍去），所以公切线l3的方程为y＝－ x＋ ，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 法二　根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可直观快速 看出直线x＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意.求公切线l2， l3同法一. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. （15分）已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝4. （1）若直线l：（m－2）x＋（1－m）y＋m＋1＝0（m∈R），证明： 无论m为何值，直线l都与圆C相交； 解：证明：转化l的方程（m－2）x＋（1－m）·y＋m＋1＝0，可 得m（x－y＋1）－2x＋y＋1＝0， 由 解得x＝2，y＝3，所以直线l恒过点（2，3）， 由（2－3）2＋（3－4）2＝2＜4，故点（2，3）在圆内，即直线l恒过圆内一点，所以无论m为何值，直线l都与圆C相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若过点P（1，0）的直线与圆C相交于A，B两点，求△ABC的面积 的最大值，并求此时直线的方程. 解：由C的圆心为（3，4），半径r＝2， 易知直线的斜率存在且不为0， 故设直线方程为x＝ny＋1（n≠0），一般方程为ny－x＋1＝0， 圆心到直线的距离d＝ ＝ ， 所以｜AB｜＝2 ＝2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 所以S2＝（ ｜AB｜·d）2＝ · ， 令t＝ ， 可得S2＝4t－t2，当t＝2时 ＝4， 所以△ABC的面积的最大值为2， 此时由2＝ ，得7n2－8n＋1＝0， 解得n＝1或n＝ ，符合题意， 此时直线方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 $