精品解析：黑龙江齐齐哈尔市教联体2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

教联体2025-2026年度下学期期中考试 高二数学试题 出题人：姬红萍 郑委 审核人：高世平 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 数列的第9项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】数列， 分子：，是等差数列，首项为，公差为，所以通项为； 分母：，通项为， 故数列的通项为， 所以第9项：. 2. 等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 90 B. 105 C. 110 D. 200 【答案】B 【解析】 【详解】数列为等差数列，， ， 则 3. 已知数列为正项等比数列，，则的值为（ ） A. 10 B. 16 C. 15 D. 11 【答案】D 【解析】 【详解】数列为正项等比数列，所以， ，得. 又，得. 所以. 4. 已知函数的导函数为，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，. 5. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的定义域为， . 6. 已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且. 所以可设. 所以，所以. 7. 在数列中，，则通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以，所以. 8. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导后参变分离可得在上恒成立，结合其单调性即可得解. 【详解】由函数在区间上单调递增， 则，即上恒成立， 由的解析式可知其在区间上单调递增， 所以，则，则的最大值为. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. 是公差为2的等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】由，当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 因为，所以是等差数列，故A正确； 对于C，，因为，所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，令，则， 所以当时，，当时，， 故，故D错误. 10. 已知函数的图象如图所示，，则（） A. 当时， B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】观察图象可知：当时，函数单调递增，则，A正确； 由图象知方程的根为且三次项系数为1. 所以可得， 因为，对照各项系数，可得，故C错误； 此时，所以，故B正确； 因为的两根为，所以，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 恰有2个极值点 D. 的图象与轴恰有2个交点 【答案】AB 【解析】 【详解】函数的定义域为. 对于A，，令，可得，所以，即A正确； 对于B，由A可得，则， 所以切线方程为，即，可得B正确； 对于C，函数的定义域为，， 令，可得，所以当时，；当时，. 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数仅在处取得极小值，即仅有1个极值点，可知C错误； 对于D，由C中分析可知 即对于任意恒成立，因此D错误. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设求出前5项，即可得到答案. 详解】由，得， 则数列的前5项中的最大值是. 故答案为：. 13. 已知函数，若存在常数，使得对任意，都有，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】对求导，利用导数求出函数在上的最值，从而可得的取值范围，即可得解． 【详解】， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增． 因为，，所以的最小值为0，最大值为3e． 因为对任意，都有， 所以只需， 所以，即的最小值为3e， 故答案为：3e． 14. 在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________. 【答案】3379 【解析】 【详解】由，得，解得， 同理由， 所以，因此数列是以3为周期的数列， 所以. 四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1）； （2）当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 【解析】 【分析】（1）由题给、代入函数表达式，解方程求出参数的值，确定完整的函数解析式. （2）先根据单件利润与销量关系列出每日利润并化简，再对利润函数求导得到导函数，令导函数为零求出临界点并舍去区间外的解，依据导函数正负判断函数在区间内的单调性，确定为最大值点，最后代入算出最大利润，得出定价与最大利润的结论. 【小问1详解】 由题意可知，当时，，即， 解得，所以. 【小问2详解】 设该商场每日销售系列所获得的利润为，则 ， ， 令，得（舍去）或， 所以当时，在为增函数； 当时，在为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点， 此时元. 所以当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 16. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质计算即可； （2）先求得数列的通项公式，再运用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为 ，公差为， 则，解得， 因此通项公式为. 【小问2详解】 将代入，裂项得， 所以. 即. 17. 在数列中，. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1）由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. （2）由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 【解析】 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在小于0的极小值，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数，讨论 和两种情况下，函数的单调性； （2）结合（1）的结论，根据在处取得极小值，由极小值小于，得关于的不等式，构造函数，并分析函数的单调性，可求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，且 ①当时，则，所以在区间上单调递增； ②当时，，令，可得， 时，时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知若在区间上单调递增，没有极值点， 故区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在处取得极小值， 则，即. 令，由可得，是单调递增函数， 因为，所以，即的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）的极大值为的极小值为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数，判断函数的单调性并确定极值； （2）分离参数，构造函数，将“函数有两个零点”转化为直线与曲线的图象有两个交点，利用导数分析的单调性及取值情况，进而确定的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 令， 当时，即或，单调递增； 当时，即时，单调递减， 当时，取得极大值，， 当时，取得极小值，， 因此的极大值为的极小值为. 【小问2详解】 函数，令，即， 因为，所以，即. 令， 则函数有两个零点转化直线与曲线有两个交点. 又，因为恒成立， 所以当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值，. 当， 当， 要使直线与曲线有两个交点，则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 教联体2025-2026年度下学期期中考试 高二数学试题 出题人：姬红萍 郑委 审核人：高世平 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 数列的第9项为（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 90 B. 105 C. 110 D. 200 3. 已知数列为正项等比数列，，则的值为（ ） A. 10 B. 16 C. 15 D. 11 4. 已知函数的导函数为，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，则通项公式（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. 是公差为2的等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 10. 已知函数图象如图所示，，则（） A. 当时， B. C. D. 11 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 恰有2个极值点 D. 的图象与轴恰有2个交点 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______. 13. 已知函数，若存在常数，使得对任意，都有，则的最小值为______． 14. 在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________. 四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. （1）求函数解析式； （2）若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 16. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和． 17. 在数列中，. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，数列的前n项和为，证明：. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在小于0的极小值，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $