精品解析：天津市东丽区2026届高三质量调研（二）数学试题

天津市东丽区2026年高三质量调研试卷（二） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 211 B. 225 C. 239 D. 261 5. 已知， 是两条直线， ，是两个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 下列结论中正确的是（ ） A. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强； B. 若随机变量X服从正态分布，且，则； C. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9； D. 多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个. 7. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 设，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过且斜率为的直线l与C的左支交于点A，与C的右支交于点B，点D满足，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知是虚数单位，则______． 11. 在的展开式中． 的系数为______． 12. 若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 13. 某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 14. 在 中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 15. 设，函数，当时，的值域为______；若关于 的方程恰有一个根，则的取值范围是______． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求 的值； （2）求 的面积； （3）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，，N为PD中点． （1）求证：平面PAC； （2）求平面PAD与平面ABN夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 设椭圆的上顶点为 ，点，为坐标原点，已知的面积为． （1）求椭圆的离心率； （2）已知直线与椭圆相切，过点B的直线与椭圆交于C，D两点，过点C，D作l的垂线，垂足分别为M，N两点（M，N两点不重合）．记直线CN，DM的斜率分别为，，求的取值范围． 19. 已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． （1）若数列，求集合； （2）已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市东丽区2026年高三质量调研试卷（二） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，，而， 所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分性与必要性定义，结合函数的定义域与单调性判断即可得. 【详解】若，此时、无意义，故充分性不成立； 若，由函数在定义域内单调递增，故，即必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 3. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数性质，利用排除法逐项判断即可得. 【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且， 对B：的定义域为，不符，故B错误； 对C：时，，不符，故C错误； 对D：时，，不符，故D错误； 对A： 时，，定义域为， 且， 故该函数为奇函数，符合题意，故A正确. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 211 B. 225 C. 239 D. 261 【答案】A 【解析】 【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得. 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 5. 已知， 是两条直线， ，是两个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合直线与平面的位置关系逐项判断即可得. 【详解】对A：若，，，，此时 与可能平行，可能相交，故A错误； 对B：若，，，则与 可能平行，可能异面，故B错误； 对C：若，，，则，故C正确； 对D：若，，，则 可能在 内，也可能与 相交或平行，故D错误. 6. 下列结论中正确的是（ ） A. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强； B. 若随机变量X服从正态分布，且，则； C. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9； D. 多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相关系数的意义判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；利用百分位数的定义求解判断C；利用组合计数问题列式求解判断D. 【详解】对于A，线性相关系数r的绝对值越接近于1，则两个变量的线性相关性越强，A错误； 对于B，依题意，，B正确； 对于C，由，得所求第三四分位数为，C错误； 对于D，有4个选项的多选题的答案个数可能有，D错误. 7. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 8. 函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 将的图象向左平移个单位长度，得， 再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得. 9. 设，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过且斜率为的直线l与C的左支交于点A，与C的右支交于点B，点D满足，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，可得，则可设，再利用双曲线定义得到、，结合斜率与倾斜角关系计算可得与的关系，再表示出的各边，结合勾股定理计算即可得解. 【详解】由，故 为 中点，由，则，故， 设，由双曲线定义可得、， 则，则， 则， 解得，则，， 由，故，即. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 已知是虚数单位，则______． 【答案】1 【解析】 【详解】由， 则. 11. 在的展开式中． 的系数为______． 【答案】 【解析】 【详解】，， 使可得，则 的系数为. 12. 若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定给定圆的圆心及半径，再利用直线与圆相切求出斜率. 【详解】圆的圆心，半径， 点在圆 外，而直线 与圆 相交， 依题意，直线 与圆 相切，且斜率存在，设其方程为， 由，解得，所以 的斜率为. 13. 某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】借助相互独立事件的概率公式以及全概率公式计算即可得. 【详解】；. 14. 在 中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】借助平面向量线性运算法则及三点共线定理计算即可得空一；借助模长与数量积关系及基本不等式计算即可得空二. 【详解】由，则，故， 由P为线段CD上一点，则 、 、 三点共线，故，即有； ， 由，当且仅当，即，时，等号成立， 故，则， 即的最小值为. 15. 设，函数，当时，的值域为______；若关于 的方程恰有一个根，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别求出时的函数值域与时函数的值域即得；分、及进行讨论即得. 【详解】当时，，当时，， 当时，，故此时的值域为； 若关于x的方程恰有一个根， 当时，可得，即，则，解得，不合题意，舍去； 当时，可得，即， 令，，则恒成立，故在上单调递增， 又，， 故当时，该方程在上有一个根； 当时，可得，即， 则，解得， 令，可得，令，可得， 故当时，该方程在上有两个根， 当时，该方程在上有一个根， 当时，该方程在上无根； 综上可得：当时，该方程无根；当时，该方程恰有一个根； 当时，该方程有两个根；当时，该方程有三个根； 当时，该方程有两个根. 故的取值范围是. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求 的值； （2）求 的面积； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系可求出，再利用正弦定理计算即可得解； （2）利用三角形内角和关系、诱导公式与两角和的正弦公式计算可得，再利用面积公式计算即可得； （3）借助二倍角公式求出、后，利用两角和的正弦公式计算即可得解. 【小问1详解】 由，则，则， 由正弦定理，可得， 由，则，故； 【小问2详解】 ， 则； 【小问3详解】 ， ， 则 . 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，，N为PD中点． （1）求证：平面PAC； （2）求平面PAD与平面ABN夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：连接，过点 作，垂足为， 因为，，，，所以，则， 所以，则， 因为平面 ，平面 ，所以， 因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，过点 作，垂足为，根据勾股定理易得，结合平面ABCD可得，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）利用等体积法结合棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以 为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由于， 而 到平面的距离为， 则. 18. 设椭圆的上顶点为 ，点，为坐标原点，已知的面积为． （1）求椭圆的离心率； （2）已知直线与椭圆相切，过点B的直线与椭圆交于C，D两点，过点C，D作l的垂线，垂足分别为M，N两点（M，N两点不重合）．记直线CN，DM的斜率分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再利用离心率定义计算即可得； （2）由题意可求出椭圆方程，设出直线的方程，联立曲线方程，可得到与交点纵坐标有关韦达定理，再表示出、后，即可借助韦达定理计算的取值范围. 【小问1详解】 由已知，，，则， 故； 【小问2详解】 由直线与椭圆相切，故椭圆左顶点坐标为，即， 则，即椭圆方程为， 设直线，、，则、， 联立，消去 可得， 恒成立， 有，， 又，， 则 ， 由，故， 即的取值范围为. 19. 已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． （1）若数列，求集合； （2）已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意计算求解即可； （2）（i）设等比数列的公比为，根据等差中项可得，进而可得，由题意推导可得得到彼此互异，进而可得；（ii）由题意可得，根据裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 由题意可知数列，得 ， 则； 【小问2详解】 （i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明：要证明，即证， 即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而，当时，等号成立； （3）证明：由（2）知，当时，， 即，当时，， 故， 故 【解析】 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； （2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式； （3）在（2）基础上，得到，求和得到不等式. 【小问1详解】 由题可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $