6.4.1 平面几何中的向量方法 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 温州科技高级中学 张明 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 而向量却是数形完美结合体。向量既是代数研究对象也是几何研究对象，它是沟通代数与几何的桥梁。 数学家华罗庚提出了科研的四种境界：第一种是照葫芦画瓢模仿．刚开始做科研的人习惯于模仿参考文献做一些小小的改进和推广，没有什么创新．第二种境界是对现有的方法进行改进用来解决新问题或对现有方法进行修补以更好地解决老问题．这和第一种境界没有太大的区别，但这样做时，由于现有方法并不完全适用于新问题，还是有一些改进工作要做的.而且，在用老方法尝试解决新问题的时候可能会产生新的思路．所以，我们不要小瞧这样的工作. 著名数学家陈景润“1+2”的研究成果就是利用挪威数学家布朗的“筛法”得到的．但一个人做数学研究不能老局限在这种“攀亲”的境界里，而要考虑针对新问题有无更有效的方法．这就引出了做科研的第三种境界：用创新性的方法解决新问题或老问题．这种境界完全有别于前两种境界，是创造力提高的表现．科研的第四种境界是开辟新领域、新方向．这种拓荒探宝性的工作，其意义不言而喻．它要求很高，一般人也很难达到． 而向量方法就属于科研的第三境界。 李邦河院士说：“根据我上大学以后搞数学研究的经验，数学根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也！” 我们知道数学来自于生活生产实践，数学上的每个概念都有现实的生活原型。数学家是考察了生活生产中的各种现象，发现这些现象有共同的模型，于是提炼出来得到数学上的一个概念。这也说明学习数学就是学习数学化。马克思说理论来源于实践，但理论对实践具有反作用或能动作用。马克思唯物主义有个原则物质决定意识，但意识对物质具有反作用或能动作用。我们经常说的话是没有理论的实践是盲目的，没有实践的理论是空洞的。 比如数学家提出向量概念，得到一套向量理论，按向量理论解决了许多数学问题。 今天我们讲讲理论对实践的反作用，即向量理论在数学及实际问题中的应用。 百度：“向量”的前世今生：8位天才数学家，耗时2000年完成  前面我们学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向 量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算，本节我们将 学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量 在解决数学和实际向题中的作用，同时我们还将借助向量的 运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题 拓展到解任意三角形问题。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决，下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用。 有了运算，向量的力量无限：没有运算，向量就只是一个路标。 几何法：延长DE到F，使DE=EF。 因为AE=EC,所以 所以AD//=CF，所以BD//=CF。 所以四边形BDFC是平行四边形。 所以DE//BC,DE= F 例1 图6.4-1，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：DE//BC，DE=BC. 分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助 线，有一定难度，如果用向量方法证明这个结论，可以取 为基底，用表示，，证明= 即可， 证明：如图6.4-2、因为DE是ABC的中位线，所以 == 从而=-=-. 又=- 所以= DE//BC. DE= 平面几何经常涉及距离（线段长度）和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题，用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论。 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系 用向量法研究平面几何问题的过程可以简单地表述为 几何图形到向量 恰当的向量运算 向量到几何关系 几何法： = =2 分析：先猜关系，用特殊值法，假定平行四边形是矩形。 即平行四边形的两条对角线平方和等于四条边的平方和。 E F 例2如图6.4-3，已知平行四边形ABCD，你能发现对 角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系， 解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 如图6.4-4，取{，}为基底，设=，=，则 =, = 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： ==2+ =-2+ 上面两式相加，得+2（+） 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： +BD²=2(+AD²)， 反思 （一）什么是几何法及几何法的特点。 1.研究平面几何常用的方法是综合法：综合法是欧几里得几何学最早用来研究几何的方法，它依据基本的逻辑原理（矛盾律、排中律等），从公理、定理、性质等出发，通过演绎推理解决 几何问题：应当说，综合法所给出的几何论证严谨且优雅，但不同的问题通常缺乏统一的解法步骤：没有一般规律可循，具有较大的思维难度，因此：自然需要寻求新的研究儿何的工具，以便 更好地把握一些儿何图形的性质和规律，进而推进几何研究的发展。 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 （二）什么是向量法及向量法有什么特点。 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 所以向量法的思维发生发展比较容易，但就是运算量大。 向量法有统一的模式，比如 11 （三）几何法与向量法各自优劣 1、向量解法不知道本质，几何解法可以看出事物的本质。向量解法是垂直但不知道为什么垂直，几何解法却可以知道垂直为什么是垂直。向量解法好象是天马行空找不到一个坚实的支撑点，空荡荡的？这就是抽象运算。请问为什么？ 答: 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,但在运算的时候，几何意义我们没有注意到已经被隐藏起来了。 2、解题就是思维的发生、发展过程，我们还要知道思维为什么这样发生为什么这样发展。 对于几何法一般因为技巧性很高，所以思维的发生、发展比较难。 3、所以向量运算表面上代数运算，本质上是几何运算即几何证明。但同学们发现没有向量的威力很大，所以向量是一只披着羊皮的狼。向量解决问题有一套统一的模式和程序，技巧性不是很高，有时候就是觉得运算量比较大。这是因为向量把几何证明转化为代数运算。但几何证明技巧性比较高。 $