6.4 平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 第六章 平面向量及其应用 学习目标 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题. 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 重点：用向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”. 难点：将实际问题转化为向量问题. 知识梳理 例1 一　平面几何中的向量方法 1.平面几何中的垂直问题 常考题型 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任意一点，EP ⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 【证明】　（方法一）设正方形ABCD的边长为1，AE＝a（0<a<1）， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1-a，AP＝a， ∴·＝（+）·（+）＝·+·+·+· ＝1×a×cos 180°+1×（1-a）×cos 90°+a×a×cos 45°+a×（1-a）×cos 45°＝-a+a2+a（1-a）＝0. ∴⊥，即DP⊥EF. （方法二）设正方形ABCD的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系. 设P （x，x），则D（0，1），E（x，0），F（1，x）， ∴＝（x，x-1），＝（1-x，x）. ∵·＝x（1-x）+x（x-1）＝0， ∴⊥，即DP⊥EF. 设P （x，x），则D（0，1），E（x，0），F（1，x）， ∴＝（x，x-1），＝（1-x，x）. ∵·＝x（1-x）+x（x-1）＝0， ∴⊥，即DP⊥EF. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 3.把运算结果“翻译”成几何关系. 解题归纳 解题归纳 训练题 1. （1）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（-）·（+-）＝0，则△ABC为（　　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 （2）正方形OABC的边长为1，D，E分别为AB，BC的中点，则cos ∠DOE ＝　　　　. 2. 已知O为△ABC所在平面内一点，且满足||2+||2＝||2 +||2＝||2+||2. 求证：点O是△ABC的垂心. 证明：设＝a，＝b，＝c，则＝c-b，＝a-c，＝b-a. ∵ ||2+||2＝||2+||2＝||2+||2， ∴ a2+（c-b）2＝b2+（a-c）2＝c2+（b-a）2.∴ c·b＝a·c＝b·a. 故·＝（b-a）·c＝b·c-a·c＝0，·＝（c-b）·a＝c·a-b·a＝0. ∴⊥，⊥，即AB⊥OC，BC⊥OA. ∴ 点O是△ABC的垂心. 3. 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE. 证明：（方法一）∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴ |AC|＝|BC|＝|AB|.∵＝-＝-，＝+＝+＝+（-）＝+，∴·＝·＝-·+·-.∵ CB⊥CA，∴·＝0. ∴ -·+·-＝-＝0，∴ AD⊥CE. （方法二）建立如图所示的平面直角坐标系，设CA＝CB＝2，则A（2，0），B（0，2），C（0，0）， ∵ D是BC的中点， ∴ D（0，1）. ∵ AE＝2EB，∴＝， ∴ （x-2，y）＝（-2，2），∴∴ ∴.∴·＝（-2，1）·＝-+＝0，∴⊥，∴ AD⊥CE. 例2 2.平面几何中的平行（或共线）问题 解题归纳 训练题 1. 已知：AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H，如图所示. 求证：HG∥EF. 证明：∵⊥，⊥，∴∥. 设＝（λ≠0），则＝.同理＝. 于是＝-＝λ（-）＝， ∴∥，即HG∥EF. 训练题 2. 例3 3.平面几何中的长度问题 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.求证：AF＝AE. 【解题提示】　由于四边形ABCD为正方形，可考虑以点C为坐标原点，CD，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标法解决问题.要证AF＝AE，即证明||＝||，则需求出点A，E，F的坐标，然后利用向量模的公式计算. 【证明】　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，E（x，y）， 则A（-1，1），B（0，1）.∴＝（x，y-1），＝（1，-1）. ∵∥，∴ x×（-1）-1×（y-1）＝0，∴ x+y-1＝0. 又||＝||，∴ x2+y2-2＝0. 由得或（不合题意，舍去）. ∴ . 又设F（x′，1），由＝（x′，1）和＝共线，得 x′-＝0，解得x′＝-2-，∴ F（-2-，1）， ∴＝（-1-，0），＝， ∴ ||＝＝1+＝||， ∴ AF＝AE. 训练题 1. 训练题 2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，设AC＝m，BC＝n. （1）求证：CD＝AB； （2）若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度（用m，n表示）. （1）证明：如图所示，以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（0，m），B（n，0）.∵ D为AB的中点，∴， ∴ ||＝，||＝，∴ ||＝| |，即CD＝AB. （2）解：∵ E为CD的中点，∴， ∴＝.设F（x，0），＝（x，-m）. ∵ A，E，F三点共线，∴＝.即（x，-m）＝，∴ 故λ＝，即x＝，∴，∴＝， ∴ ||＝，即AF＝. 例4 4.平面几何中的最值问题 如图所示，在△ABC内求一点P， 使AP2+BP2+CP2最小. 【解题提示】　本题可根据平面向量基本定理，用基底表示2， 2， 2，进而转化为二次函数求最值. 【解】　（方法一）设＝a，＝b，＝t， 则＝-＝t-a，＝-＝t-b. ∴2+2+2＝t2+（t-a）2+（t-b）2＝3t2-2（a+b）·t+a2+b2 ＝3+（a2+b2）-a·b. ∵（a2+b2）-a·b为常数， ∴ 当t＝，即＝，点P为△ABC的重心时，AP2+BP2+CP2最小. （方法二）设点O为平面内任一点，＝a，＝b，＝c，＝t， 则＝-＝t-a.同理＝t-b，＝t-c. ∴ AP2+BP2+CP2＝2+2+2＝（t-a）2+（t-b）2+（t-c）2 ＝3+a2+b2+c2-. ∵ a2+b2+c2-是常数， ∴ 当t＝时，AP2+BP2+CP2最小，此时点P为△ABC的重心. 解题归纳 平面几何中的最值问题 平面向量既反映了数量关系，又体现了几何图形的位置关系，从而将数和形有机地结合起来，由向量的加、减法的几何意义，线性运算及数量积可得到关于向量模的不等关系||a|-|b||≤ |a±b|≤|a|+|b|，|a·b|≤|a||b|.向量模、夹角的运算可与二次函数、三角函数结合考查最值问题. 训练题 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的最小值为　　　　. 例5 二　向量在物理中的应用 1.力做功问题 已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，-5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）. （1）求力F1，F2分别对质点所做的功； （2）求力F1，F2的合力F对质点所做的功. 【解】　（1）＝（7，0）-（20，15）＝（-13，-15）， 力F1对质点所做的功W1＝F1·＝（3，4）·（-13，-15） ＝3×（-13）+4×（-15）＝-99（J）， 力F2对质点所做的功W2＝F2·＝（6，-5）·（-13，-15） ＝6×（-13）+（-5）×（-15）＝-3（J）. ∴ 力F1，F2对质点所做的功分别为-99 J和-3 J. （2）合力F对质点所做的功W＝F·＝（F1+F2）· ＝［（3，4）+（6， -5）］·（-13，-15）＝（9，-1）·（-13，-15） ＝9×（-13）+（-1）×（-15）＝-117+15＝-102（J）. ∴ 合力F对质点所做的功为-102 J. 训练题 1. 2. C 例6 2.力、速度的合成 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向为正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向. 【解】　建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h， 设帆船行驶的速度为v，则v＝v1+v2. 由题意，得v1＝（20cos 60°，20sin 60°）＝（10，），v2＝（20，0）， 则帆船的行驶速度为v＝v1+v2＝（10，）+（20，0）＝（30，）， 所以|v|＝＝（km/h）. 因为tan α＝＝（α为v和v2的夹角，且为锐角）， 所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为km/h. 解题归纳 训练题 在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为60°，30°（如图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小. 解：如图所示，两根绳子的拉力之和为+＝，且||＝||＝300 N， ∠AOC＝30°，∠BOC＝60°. 在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°， ∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°， 从而||＝||·cos 30°＝（N）， ||＝||·sin 30°＝150（N）， 所以||＝||＝150（N）. 答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 小结 $