精品解析：广东珠海市斗门第一中学2025-2026学年高一下学期期中阶段考试数学试题

2025-2026学年第二学期 阶段性考试 高一数学科试卷 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求. 1. 下列函数中，最小正周期是的奇函数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 3. 如图，这是水平放置的四边形，按照斜二测画法画出的直观图，其中，，，，则四边形的周长是（ ） A. 8 B. C. D. 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 B. 若点坐标为，且是实系数方程的一个根，则 C. 若，则或 D. 若是纯虚数，则的共轭复数 10. 如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为18 D. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形 11. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面内向量，，若和垂直，则的值为______. 13. ______． 14. 在中，是边BC的中点，是的外接圆圆心，则_____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． (1)求； (2)求满足的实数m，n； (3)若，求实数k. 16. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，. （1）求证：平面平面； （2）已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式，并求出的对称轴； （2）先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 18. 如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，满足. （1）证明：； （2）已知点为边BC上一点，AD为的平分线，若，，求以及AD的值； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期 阶段性考试 高一数学科试卷 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求. 1. 下列函数中，最小正周期是的奇函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期公式结合周期定义求各函数的周期，再根据奇函数的定义判断即可. 【详解】函数的周期为， 设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以函数为奇函数，A正确； 函数的周期为， 设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，B错误； 函数的周期为，C错误； 设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 则，故函数的周期为， 又，所以函数为偶函数， D错误； 故选：A. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得复数z，根据复数模的计算即可得答案. 【详解】由得， 故， 故选：B 3. 如图，这是水平放置的四边形，按照斜二测画法画出的直观图，其中，，，，则四边形的周长是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图恢复至原图求各边长再求原四边形的周长即可. 【详解】 由直观图画出原图，得且即，则四边形是一个直角梯形. 过点作的垂线交于点，则，得. 所以四边形的周长为. 故选：C. 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的概念列式，化简得到，结合、的坐标建立关于的方程，解出值，进而求出的值． 【详解】根据题意，可得，可得， 因为，，所以，解得，可得． 故选：D． 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据同角三角函数基本关系得出的值，再用两角差的余弦公式即可解题. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以 . 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下： （1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得的值； （2）凑角，利用差角余弦公式求得结果. 6. 如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，可得， 且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：C. 7. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，解得，而为三角形内角，所以， ，， 所以。 则.故选：B. 8. 三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积. 【详解】设点在底面的投影为，因为， 所以点是的外心，则，且底面，球心在上， 由正弦定理得外接圆的直径径，解得半径， 即，则， 设，外接圆半径为，则， 则，且， 则，解得，则外接球半径， 则三棱锥外接球的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 B. 若点坐标为，且是实系数方程的一个根，则 C. 若，则或 D. 若是纯虚数，则的共轭复数 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AC，根据复数的模长，以及其几何意义，可得正误；对于B，由点的坐标写出复数，代入方程，建立方程组，可得正误；对于D，根据复数的除法，结合纯虚数以及共轭复数的定义，可得正误. 【详解】对于A，因为，则点的轨迹是两个圆心为原点，半径分别为的圆形成的圆环， 则点的集合所构成的图形的面积为，A正确； 对于B，因为是实系数方程的一个根， 所以，则， 所以，解得，则，B正确； 对于C，由，点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，圆上的点对应复数有无数个，C错误； 对于D，是一个纯虚数， 则，即，则，所以，D错误. 故选：AB. 10. 如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为18 D. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取的中点，证明平面平面从而证明直线平面；对于B，由A知平面，经过的平面有且仅有一个平行于平面，即可判断；对于C，根据即可判断；对于D，根据可确定截面为梯形，再证明即可判断. 【详解】对于A，取的中点，连接，，， 则四边形为平行四边形， 所以，又平面BMN，平面， 所以平面， 因为点，为，的中点，所以，又，所以， 由，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，由A可知，平面， 经过的平面有且仅有平面平面， 因为平面与平面不是一个平面，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，如图，连接，，由四边形为平行四边形得， 因为，所以，所以，，，四点共面， 所以平面BMN截正方体所得的截面是梯形， 由题意得，，所以梯形为等腰梯形，故D正确. 11. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，令，在等边中，， 由选项A得， ，，， ， 因此，B正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C错误； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面内向量，，若和垂直，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意可得，， 因为和垂直，所以，即， 化简得，解得. 13. ______． 【答案】 【解析】 【详解】 . 14. 在中，是边BC的中点，是的外接圆圆心，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，分别为的中点，连接，，利用向量的线性运算以及数量积的定义将转化为，即可求得答案. 【详解】由题意知的外接圆圆心为，为的中点，则； 设，分别为，的中点，连接，则，， ， 结合，，可知，, 故，即. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． (1)求； (2)求满足的实数m，n； (3)若，求实数k. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】(1)由已知向量的坐标即可求出的坐标； (2)把的坐标求出，再利用向量相等，即可求出实数,. (3)分别写出与的坐标，再利用向量平行的条件即可求得实数k. 【详解】（1） （2）∵， ∴． ∴ 解得 （3）∵． ∴, ∴. 【点睛】本题主要考查的是向量的坐标运算，以及向量相等、向量平行的应用，是基础题. 16. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，. （1）求证：平面平面； （2）已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 【答案】（1） 证明：连接，因为分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面DBEF，所以平面； 连接，则，且， 可得四边形为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得到，证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面. （2）求得正方体体积为，利用锥体和台体的体积公式，分别求得三棱锥的体积为和三棱台的体积为，得到夹在平面与平面之间的几何体的体积，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由正方体的棱长为2，可得正方体体积为, 三棱锥的体积为, 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为, 所以平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式，并求出的对称轴； （2）先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 【答案】（1），对称轴方程为，. （2），最小值，最大值 【解析】 【分析】（1）根据图象可得，再由周期可求出，再代入点坐标可求得解析式，即可求得对称轴方程； （2）利用图象平移规则求出的解析式，再由函数单调性可求得最大值和最小值. 【小问1详解】 由图象可知，设函数的最小正周期为， 则，故，又，所以， 将点代入，得，即， 所以，，即，， 又，故， 所以， 令，，得的对称轴方程为，. 【小问2详解】 先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为， 再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为， ，则， ∴当，即时，取得最小值，此时； ∴当，即时，取得最大值，此时； 18. 如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1） 连接交于点，连接， ∵四边形为正方形， ∴点为的中点，又为的中点， ， 平面PAC，平面， 平面. （2） ，平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， . （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可得证； （2）证明平面，利用线面平行的性质即可证明； （3）过作的平行线交于，求出，证明平面，再根据平面即可得到平面平面，即可得到平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下： 由，为中点得， 过作的平行线交于，连接，， 由于，则， ，平面，平面， 平面， 由（1）知平面， 又，平面， ∴平面平面， 又平面， 平面， 所以侧棱上存在一点，使得平面，且. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，满足. （1）证明：； （2）已知点为边BC上一点，AD为的平分线，若，，求以及AD的值； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） 由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 而，， 所以或，即或（舍去） 所以. （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角变换可得，从而可证； （2）根据题设条件可先求得，从而求得的值，再由面积关系可得的值； （3）根据锐角三角形可得的范围，结合题设条件可求比值范围，或者利用正弦定理可得，结合的范围可求比值的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，，得， 由余弦定理得：，故， 又，所以， 又，所以， 又由AD为的平分线，所以， 所以， 所以 【小问3详解】 由（1）知，又，所以， 方法1：由已知，得到， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以. 方法2：由正弦定理得：， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $