云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期第八周数学周末作业

云南师大附中2027届高二下学期第八周周末数学作业 一、单选题 1.若A={0,-1,1},则A的真子集个数为() A.3 B.8 C.7 D.6 2.在复平面内，复数2-对应的点位于() 1-3i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（) A君 B.君 c D月 4.已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（) y 1 2-1 01 -1H A.y= er+e-x B.y=xcosx C.y=x(e*-e）D.y=cosx(e*+e） 5.已知向量ā，6，满足|a=1,16=2,|a-b=√7，则ā在6方向上的投影向量是() A.五 5 c.-15 D.-6 6.己知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的2倍，圆柱的高与底面半 径相等，则圆锥与圆柱的体积之比为() A B.3 c.3 D.5 3 7.已知碳14的质量N随时间1（单位：年）的衰变规律满足N=N。 5730 (N。表示碳 2 14原有的质量)经过测定，某出土文物中碳14的质量约是原有质量的2至，据此推测一 2 该文物的时期距今约()年（按区间的中点进行估计，近似到十年）？（参考数据：l0g23≈1.6） A.1880年 B.2580年 C.3550年 D.4150年 8.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，其概率分布列为P(X=)=对e(k=012小》， 其中为自然对数的底数，入是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互 独立，且每个站台候车人数X服从参数为入(2>0)的泊松分布若该线路某站台的候车人数 为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台共有2个乘客候车的概率为() 试卷第1页，共4页 93 B.4 105 C.4es D. 18 二、多选题 9.关于函数f=写-4红+4，下列说法正确的是() A它的极大值为受，楼小值为-号B。当x利时，它的最大值为登。最小值为号 C.它的单调递减区间为[-2,2]D.它在点(0,4)处的切线方程为y=-4x+4 10.已知集合A={(x,y)x+ay+2a=0},B={(x,yax+ay-1=0},则下列结论正确的是() A当a=-1时，4nB=兮》 B.VaeR,A≠☑ C.当且仅当a=1时，A∩B=0 D.3a∈R,使得A=B 11.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知bcosC,a cosA,ccosB 成等差数列，且asinC=V5(1-acosC),则下列结论正确的是() AA=背 B.b=1 C.△ABC周长取值范围为 2+V ,2+V5 2 D.若O是△ABC外接圆的圆心，则aOAC和△OBC面积之差的取值范围为 16’48 三、填空题 12.已知x,y均为正数，且x+2y=1,则2+上的最小值为 x y 13.f闭=3cos@x+)@>0在区间0，网上恰有3个最小值点，则0的取值范国为 14.三棱锥A-BCD满足CA-CB=DA-DB=2,AB=4,CD=3V5,CD⊥AB,二面角 C-AB-D的大小为2”若三棱锥A-BCD的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面 积为 四、解答题 15.已知函数/(=cos2x-}2sm2x (1)化简f(x)的解析式，并求∫(x)的单调递增区间： (2)设数列{a,}满足a,=f 求数列{an}的前2n项和Tn. 试卷第2页，共4页 16.随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年 1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份x 1 2 3 5 繁殖量y/千个 1.5 2 3.5 15 (1)据上表数据，计算y与x的相关系数”（精确到0.01），并说明y与x的线性相关性的强弱： (若>0.5，则认为y与x线性相关性很强，否则认为y与x线性相关性较弱) (2)利用最小二乘法建立y关于x的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差。 参考数据： 2(-60-刃3， 2y-)}2=127.5,51≈7.14 2(x-0-列 参考公式：对于一组数据(x,y)=1,2,3,,n),其相关系数r 2(x-x0y-) 其经验回归直线y=x+à中，6= a=y-bx. 2(4-列 17.如图，直三棱柱ABC-AB,C中，ABC是边长为2的正三角形，O为AB的中点 、 A 10. (1)证明：CO⊥平面ABBA: （2)若直线BC与平面AB,4所成的角的正切值为5，求平面4BC与平面ABC,夹角的 余弦值. 试卷第3页，共4页 18.已知函数f(x)=ae+2x-3,其中a∈R. (1)讨论∫(x)的单调性： (2)(i)当a≥1时，证明：f(x)23lnx(x>0): (i)当a=1时，设0<m<1<n,且f(m)+f(n)=0.求证：f(mn):f(m+n)<0. 19.已知精圆：荐+若-=a>b>0经过点 且E的长轴长与短轴长之比为2：√5. (1)求E的方程. (2)已知点P1,),过点P且斜率为k的直线马与E交于A,B两点，过点P且斜率为k(亿2≠k) 的直线2与E交于C,D两点，M,N分别为AB,CD的中点，且k+k=1. (I)若P与M重合，求kk2. (Ⅱ)判断直线MN是否过定点若是，求出该定点：若不是，请说明理由. 试卷第4页，共4页 云南师大附中2027届高二下学期第八周周末数学作业 参考答案 题号 1 2 3 4 7 8 9 10 答案 C A D A C B D ACD AB 题号 11 答案 ABD 7.【详解】根据题意， NN,2) 2 份)产s即产s 所以1og22 5730 3, 51og 即一 2 5730 ≤10g23-2, 2 所以0.4≤ s0.5,即2292≤t≤2865， 5730 所以区间的中点为292+2865=2578,5，近似到十年为2580年. 2 8.【详解】由题可知P(X=2)=P(X=3列，即=礼 2c6e'解得1=3， 2e 10.【详解】对于A,当a=-1时，则A={(x,y)川x-y-2=0,B={(x,y)川x+y+1=0}, 1 x= 由 x-y-2=0 x+y+1=0' 解得 3’ ,-3》,A正确： y=- 因此AnB=《2 2 对于B,直线x+ay+2a=0过定点(0，-2)，A={(x,y)川x+ay+2a=0} 表示直线x+ay+2a=0上所有的点，因此a∈R,A≠⑦，B正确： 对于C,A∩B=⑦，若B=0,则a=0:若B≠0，则直线x+ay+2a=0 与直线中-1=0平行，且a0,于是吕号解得a=, 因此当a=0或a=1时，A∩B=⑦，C错误： 。。行无解，D错误 对于D,若A=B,由选项C知a≠0，且1==2a 11.【详解】由题意得，2 a cos A=bcosC+ccosB, 则由正弦定理得2 sin Acos A:=sin BcosC+sin Ccos B=sin(B+C)=sinA, 因为4（引，所以血4>0，则osA=方，则4=号故A正确： 因为asinC=50-C),所以asin C+5 C=2 asinC+=5, 答案第1页，共8页 1 5 sinAsinB'所以b=asin 则a$inC+0=asinB=2,因为a三6 = sin A =1,故B正确 3 由a=6c a 1 c 由as如Binc,即5 sin B sin C,得a= 3 sinC ,C= 2 2sin B'sin B sinB+ π 所以 a+b+c=a+c+1= 3sin C+1= 、6 341 2sin B sin B 2sinB、sinB 1 5 +2sin B+ 2 co 2con -cos B 2 3Γ13 2sin B sin B 2sin B 222sin8co822an 2 2 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<”,0 2 2-B<,得<B< 3 2 6 则吾号子因为m音m售引-6分2-5，所似2-5<m号 "(34厂1+5 1, 5+35.1+3<5+3 m2-2+5， 2 tan 2 故△ABC周长取值范围为 故C错误； a1 -=2R 设△ABC的外接圆半径为R,∠ABC=O,则√3sin ,则R=1 2sin' 2 故0MC和△0BC面积之差为S=R'(sin∠A0C-sin∠B0C) 2 1 sin20-sin 2 (sin20-sin2∠BAC)= 3= 2sin0cos0- 5（6sin20+cos20) 2(2sin 8sin20 8sin20 L4sim6cos0-56m'0+os'0）-5(L+1）5 + 16sin20 16 tan 4 tan 16 因为君<0<经所以am0> 6 ，则0<1」 1 an05, 故当25时，3 =5时3=0，当 tan 3 48 :当an0 00时5=- tan 16 故aOAC和△OBC面积之差的取值范围为 35 16’48 故D正确. 12.8 答案第2页，共8页 13. [ 【详解】xe0对小，则ox+受e[任o+引，因为/倒在区同Q网上恰有3个最小值点， 所以结合余弦函数的性质可得，5元5m+<7π，得 9 27 ≤0< 4 4 则实数ω的取值范围为 [1927 4’4 14.52元 【详解】在平面ABC内，：CA-CB=2,AB=4,以AB中点M为原点，MB为x轴正向， 过M且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系， 容易得到：点C在双曲线x_上=，x≥1上， 3 同理，在平面ABD内，以AB中点M为原点，MB为x轴正向，过M且垂直于AB的直线为 2轴建立直角坐标系，容易得到，点D在双曲线x2-=1x之1上， 3 由CD⊥AB,所以C、D两点在直线AB上的投彩相同，记为H, ∴.设MH=右，CH=DH=%,则因为CH⊥AB,DH⊥AB, 所以∠CHD为平面C-AB-D的平面角，所以△CHD中，∠CHD=2 1 由余弦定理，CD2=+g-2cos径，解得：CH=DH=3,所以M=%=2 又MB=2,所以H,B重合，则CB⊥AB,DB⊥AB, 所以R1△ABC,R1△ABD的外接圆圆心分别为AC,AD的中点，分别记为P,2, 记O为外接球球心，则OP⊥平面ABC,Og⊥平面ABD, 则O,BM,0四点共面，且四边形O2MP中，∠OPM=∠0QM-受∠PM0= 3， 因为MP=8ac=,所以oP=00=PMm号-39 32 OD=1AD-1AB+BD-5 在R1a00D中，0D=R=VOg2+QD2 33 ∴.三棱锥A-BCD的外接球的表面积为4πR2=52π. 答案第3页，共8页 C 0 2 15.【详解】(1) 1o-m-}2am-s2+9n2-1ew2x=5m+5}1 2-2x+号2+，ke2,解得≤x+合keZ。 12 所以了问的单调谜端区间为：[女沿：+e, 2)由题意a,=f受)-5n(m+号}. 当n为奇数时： a(w}号9a=(}1月 当n为偶数时： 前2项中：奇数项、偶数项各n项=n引2n。 16.【详解】(1)由已知得，x-1+2+3+4+5=3,y=15+2+3.5+8+15=6, 5 25-00-列=3,2w-列=1275,2x-=(2++04142-10, 2(x-(y-列 33 故r= 33 33 2x-列20-列 0×V127房55i5x7.140.920.75, 所以y与x的线性相关性很强 (2)因为x=3,=6, 26-0-列9,2-矿-0， 620-列 24-明 3-3.3,所以à=7-6际=6-3.3×3=-3.9， 答案第4页，共8页 所以y关于x的线性回归方程为y=3.3x-3.9,当x=5时，=3.3×5-3.9=12.6， 所以5月份该生物繁殖量的残差为15-12.6=2.4. 17.【详解】(1)：ABC是正三角形，O为AB的中点， ∴CO⊥AB.又ABC-AB,C是直三棱柱， ∴AA⊥平面ABC,∴.AA⊥CO.又AB∩A4=A,.C0⊥平面ABBA. (2)连接OB,由(1)知C0⊥平面ABB4, 直线8，C与平面AB,4所成的角为∠CB0,:an∠CB,0= 5 :△ABC是边长为2的正三角形，则C0=√5， ∴0B=5.在直角△B,B0中，OB=1,OB=V5, BB=2.建立如图所示坐标系，则B(1,0,0),A(-1,0,0),4(-12,0),B,（1,2,0),C(0,2,5) ·BA=(-2,2,0),B℃=（-1,2,5，设平面4BC的法向量为m=(x,,z),则 mBA=0 mBC =0 -2x+2y=0 -x+2y+52=0'解得平而48C的法向量为m=(5,5,-). 即 AB=(2,0,0),AC=1,2,5),设平面ABC,的法向量为n=(x,y,z),则{ ℃0即 元AB=0 2x=0 x+2y+V5z=0'解得平面4BC的法向量为n=(0,-5,2). mn 5 设平面ABC与平面ABC,夹角为日，则cos0 平面48C与平面48C,夹角的余弦值为号. B 答案第5页，共8页 18.【详解】(1)f'(x)=ae-+2, ①当a≥0时，∫'(x)20,f(x)在(-∞，+∞)单调递增， ②当a<0时，令)=0，解得=1+n(名引 当x(1+n(》时.f>0,当x+}+回时，f<0, 所以四在(。+（到引上单得造地，在+（引网上单调莲说 综上，当a≥0时，∫(x)在(-o,+o)单调递增： 当a<0时，四在m1+n(2别 上单调递增， 在1+n(》+上单调递减 (2)设g(x)=e+2x-3-31nx, 则g(=e+2-3, 因为g'(x)在(0，+∞)上单调递增，g'()=0, 所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减： 当xe(1,+oo)时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 所以g(x)2g)=0,当且仅当x=1时取等， 所以f(x)-3nx=g(x)20,即f(x)≥3lnx,当且仅当a=1,x=1时取等： (i)法一：由(1)已知，当a=1时，∫(x)在(0，+∞)单调递增： 因为m+n>1,所以f(m+n)>f()=0, 由2)可知，侧>9恤m,f日3加日-3加m, m 所以a)+/日>3恤m+(3hm)=0, 因为网+网=0，所以/日1。 所以1>n,即mm<1, m 所以f(mn)<fI)=0, 所以f(mn)f(m+n)<0 法二： 由（1)已知，当a=1时，∫(x)在(0，+∞)单调递增： 因为m+n>1,所以f(m+n)>)=0:(同法一) 答案第6页，共8页 设p(x)=x(e+2),x∈(0，+oo),易知p(x)在(0，+oo)上单调递增， 所以当xe@时.网<)即e+2小亡+ 上式整理得e 水，-r。 2 设h(x)=f(x)+f （日xeQ,所以4)在@，D上单词递减， 所以>0=0，即)+日}>0， 因为fm例+=0，所以（月）>f),所以品>，即mn<1, 所以f(mn)<f()=0 所以f(mm)f(m+n)<0(同法一) 19.【详解】D设a-24>0,则6=5，则E的方程为若+分-1 因为E经过点 +-1得1 所以1 故E的方程为号+兰=1. 43 [五+上=1， (2)(I)设A(,),B(,),由 43 +发-， 43 得-生+公-生-2-为205-为)0， 4 3 4 3 安安子则6=1子故=君 得k=4业=-3， (Ⅱ)直线：y=k(x-1)+1=kx-k+1由k+k=1,得：y=kx+k2. [y=kx+k2 ]+y1，得3+4)x2+8kkx+4-12=0, -8k5 x+为23+4k 则 4k3-12' x 3+43 答案第7页，共8页 M 因为%+为(G+5+2站经，所以M的坐标为 3+4k2'3+4k 同理可得N的坐标为 -4k k2 3k 3+43'3+43 3k2 3k 3+4k23+4好 9(k-k)+12(3-) 又kw=4kk+4kk 16kk(-) 3+4k23+4k3 9飞2-k)+126-k飞+k-k] 16kk(飞-k)6+k) =-9+120-k_12kk2-21 16kk2 16kk2 所以直线MN的方程为 y=12k-21. 4kk 3k2 12k6-2Lx+12k5-21+12k 16kk23+4k3+4k 16kk2 43+4k) 因为1252t125-124-)-21+12-33+4).3 4(3+4k2) 43+4 43+4k 所以直线MN过定点Q-别 答案第8页，共8页