嵌套函数的零点问题 课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“嵌套函数的零点问题”专题，这是高考命题热点，常与函数性质交汇考查。课件依据高考评价体系，梳理了换元解套、分段函数图象分析等核心方法，明确判定零点个数、根据零点求参数两大常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+规律总结+强化训练”的备考模式，如以分段函数零点判定题为例，通过设中间变量转化问题，培养学生数学思维和几何直观素养。总结“换元转化、图象交点分析”步骤，配套5道典型题训练，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

　嵌套函数的零点问题 　　嵌套函数的零点问题是高考命题的热点，常与函数的性质等相关 问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为 t，通过换元将嵌套函数拆解为两个相对简单的函数，再借助函数图 象、性质求解. 高中总复习·数学（创新版） 嵌套函数零点个数的判定 已知f（x）＝ 则函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1 的零点个数是（　　） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 √ 高中总复习·数学（创新版） 解析： 　函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋ 1＝[2f（x）－1][f（x）－1]的零点，即 方程f（x）＝ 和f（x）＝1的根，函数f （x）＝ 的图象如图所示，由图可得方程f（x）＝ 和f（x）＝1共有5个根，即函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1有5个零点，故选B. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 判断嵌套函数零点个数的主要步骤 （1）换元解套，转化为t＝g（x）与y＝f（t）的零点； （2）依次解方程，令f（t）＝0，求t，代入t＝g（x）求出x的值或判断 图象交点个数. 提醒　抓住两点：（1）转化换元；（2）充分利用函数的图象与性质. 高中总复习·数学（创新版） 根据嵌套函数零点情况求参数 函数f（x）＝ 若函数g（x）＝f[f（x）]－ a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 ⁠. [－1，＋∞） 解析：设t＝f（x），令g（x）＝f[f（x）]－a＝ 0，则a＝f（t）.在同一平面直角坐标系内作y＝a， y＝f（t）的图象（如图）.易知当a＜－1时只有一个 零点；当a≥－1时，y＝a与y＝f（t）的图象有两个 交点，设交点的横坐标为t1，t2（不妨设t2＞t1），则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f（x）有一解；当t2≥－1时，t2＝f（x）有两解.综上，当a≥－1时，函数g（x）＝f[f（x）]－a有三个不同的零点. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　求解本题的关键是抓住分段函数图象的性质，由y＝a与y＝f（t）的 图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f（x）的图象确定零点的个数. 处理含参数的嵌套函数，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位 置，动静结合. 高中总复习·数学（创新版） 1. 已知函数f（x）＝ 则函数g（x）＝f（f（x）） －2的零点个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 √ 高中总复习·数学（创新版） 解析： 　设μ＝f（x），令g（x）＝0，则f（μ）－2＝ 0，当μ＞1时，f（μ）＝ln（μ－1），所以ln（μ－1）－2 ＝0，μ＝e2＋1，当μ≤1时，f（μ）＝－μ＋1，所以－μ＋ 1－2＝0，则μ＝－1，作出函数μ＝f（x）的图象如图所示，直线μ＝－1与函数μ＝f（x）的图象只有1个交点，直线μ＝e2＋1与函数μ＝f（x）的图象有2个交点，因此函数g（x）有3个零点.故选A. 高中总复习·数学（创新版） 2. 设函数f（x）＝ 则满足f（f（a））＝2f（a）的a的 取值范围是（　　） A. B. [0，1] C. D. [1，＋∞） √ 高中总复习·数学（创新版） 解析： 　由题意知，当x＜1时，f（x）＝3x－1单调递增，当x≥1时， f（x）＝2x也单调递增，且21＝3×1－1，因此f（x）在（－∞，＋∞） 内是增函数.令f（a）＝t，则有f（t）＝2t.因为函数f（x）为增函数， 所以有t＝f（a）≥1.当a＜1时，由f（a）＝3a－1≥1，解得 ≤a＜ 1；当a≥1时，有f（a）＝2a≥2＞1恒成立.综上所述，a≥ . 高中总复习·数学（创新版） 3. 已知函数f（x）＝ 若函数g（x）＝[f（x）]2 ＋2f（x）＋m（m∈R）有三个零点，则m的取值范围为 ⁠ ⁠. （－∞，－ 24] 解析：画出f（x）的函数图象如图，令t＝f（x）， 则由图可知要使g（x）有三个零点，则关于t的方 程t2＋2t＋m＝0有两个根，且一个根小于4，一个 根大于等于4，所以 解得m≤－24. 高中总复习·数学（创新版） 4. 已知函数f（x）＝ 若方程f（f（x））－2＝0恰有 三个实数根，则实数k的取值范围为 ⁠. （ －1，－ ］ 解析：因为f（f（x））－2＝ 0，所以f（f（x））＝2，所以 f（x）＝－1或f（x）＝－ （k≠0）.①当k＝0时，作出函 高中总复习·数学（创新版） 数f（x）的图象如图1所示，由图象可知f（x）＝－1无解，所以k＝0不符合题意；②当k＞0时，作出函数f（x）的图象如图2所示，由图象可知f（x）＝－1无解且f（x）＝－ 无解，即f（f（x））－2＝0无解，不符合题意；③当k＜0时，作出函数f（x）的图象如图3所示，由图象可知f（x）＝－1有1个实根，因为f（f（x））－2＝0有3个实根，所以f（x）＝－ 有2个实根，所以1＜－ ≤3，解得－1＜k≤－ .综上，k的取值范围是（ －1，－ ］. 高中总复习·数学（创新版） THANKS 演示完毕 感谢观看 $