【期末冲刺】选择+填空题满分讲义(23～26章 知识梳理+典例+练习) 2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册

【期末冲刺】选择+填空题满分讲义 (23~26章 知识梳理+典例+练习) 2026年沪教版数学八年级下册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 四边形 —— 掌握多边形内角和、对角线、截角问题；理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，能运用全等、中位线、重心解决几何计算与最值问题。 · 平面直角坐标系 —— 熟练运用坐标确定位置、点到坐标轴距离、对称、平移、两点间距离及曼哈顿距离，会利用数形结合求最值、面积、等腰三角形存在性问题。 · 一次函数 —— 掌握正比例函数、一次函数的图象与性质（k,b的几何意义），能根据图象解不等式、求交点、分析行程问题、求最值及利用平移解决折叠问题。 · 反比例函数 —— 理解反比例函数定义、图象与性质（k的符号、象限、增减性），能用待定系数法求解析式，解决实际压强、密度问题，并与一次函数综合求交点、面积、不等式解集。 · 核心思想 —— 数形结合、分类讨论、转化思想、待定系数法、面积分割法、极端位置法在填空选择题中的灵活运用。 ✨ 核心：概念清晰 · 性质熟练 · 模型识别 · 综合应用。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 四边形 · 多边形： 内角和 ，外角和360°，对角线总数 。截去一个角后，边数可能不变、增加1或减少1。 · 平行四边形： 对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。判定：边、角、对角线条件。面积=底×高。过对角线交点的直线分得的面积相等。 · 矩形： 四个角是直角，对角线相等且互相平分。判定：平行四边形+一个直角 或 对角线相等。 · 菱形： 四边相等，对角线垂直平分且平分内角。面积=对角线乘积的一半。 · 正方形： 具有矩形和菱形的所有性质。 · 梯形： 一组对边平行，常作高、平移腰、延长两腰等辅助线。 · 三角形中位线： 连接两边中点，平行于第三边且等于第三边的一半。 · 重心： 三条中线交点，分中线为2:1（重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍）。 ☆ 平面直角坐标系 · 点的坐标： 点P(x,y)，到x轴距离|y|，到y轴距离|x|。 · 对称： 关于x轴对称 (x,-y)，关于y轴对称 (-x,y)，关于原点对称 (-x,-y)。 · 平移： 左减右加，下减上加。 · 距离公式： 欧氏距离 ，曼哈顿距离 。 · 线段中点： 。 · 等腰三角形存在性问题： 分别以各边为腰、底分类讨论，利用圆（等距）或垂直平分线找点。 ☆ 一次函数 · 正比例函数： ()，过原点。k>0过一、三象限，y随x增大而增大；k<0过二、四象限，y随x增大而减小。 · 一次函数： ，k决定方向，b决定与y轴交点。 · 图象平移： 左加右减（x），上加下减（整体）。 · 与方程、不等式的关系： 交点坐标是方程组的解；图象在上方对应不等式大于。 · 行程问题： 常通过图象的斜率、截距、交点求速度、时间、距离。 ☆ 反比例函数 · 定义： ()，也可写作 。 · 图象与性质： 双曲线，关于原点对称。k>0在一、三象限，每一象限内y随x增大而减小；k<0在二、四象限，每一象限内y随x增大而增大。 · k的几何意义： 双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积=|k|，三角形面积= 。 · 实际应用： 压强、电流、密度、消毒时间等成反比例关系，常与一次函数结合成分段函数。 ☆ 知识总结表 模块 核心内容 常用公式/结论 多边形 内角和、外角和、对角线、截角 ，外角和360°，对角线数 平行四边形 性质、判定、面积、全等模型 对边平行且相等，对角线互相平分； 矩形/菱形/正方形 特殊性质、对角线特征 矩形对角线相等；菱形对角线垂直平分；正方形兼具 中位线/重心 中位线平行且等于第三边一半；重心分中线2:1 ； 平面直角坐标系 坐标、对称、平移、距离 点到x轴距离；曼哈顿距离 一次函数 正比例、一次函数图象与性质、行程 ，决定增减，决定截距 反比例函数 定义、图象、k的几何意义、实际应用 ，一三象限，二四象限；为矩形面积 核心模块 ·4大典型考点精讲 【模块一】四边形（对应第1-15题） ※ 方法总结 · 截角问题：通过画图分类，截线经过不同顶点时，新多边形边数可能不变、增加1或减少1。 · 平行四边形中过对角线交点的直线：构造全等三角形，利用面积相等转化求面积。 · 矩形中的垂直平分线、全等三角形：作垂线构造直角三角形，利用勾股定理列方程求边长。 · 三角形中位线与直角三角形斜边中线：由中点联想中位线或斜边中线，结合垂直条件求线段差。 · 重心性质：重心将中线分成2:1，结合直角三角形斜边中线及勾股定理求最值、面积。 · 菱形与翻折、全等：利用菱形边长相等及翻折对称性，结合勾股定理和一元二次方程求线段。 · 矩形中动点与全等：根据三角形全等对应边相等分类讨论，列方程求速度。 · 中位线最值问题：连接CD，利用中位线 ，当CD⊥AB时CD最小，得FG最小值。 · 中点构造：取AB中点，连接中位线，利用直角三角形两锐角互余证明垂直，再用勾股定理求MN。 1．（2026春•金山区校级月考）如图，四边形ABCD去掉一个∠D后，剩下的新图形不可能是（　　）边形． A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【分析】分情况，画出图形即可． 【解答】解：四边形ABCD去掉一个∠D后，剩下的新图形可能是①三角形ABC，②四边形ABEC，③五边形ABFEC，不可能是六边形， 故选：D． 【点评】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 2．（2026春•青浦区校级月考）如图，EF经过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；③S四边形ABFE＝S△ABC．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】①通过平行四边形的性质分析、列举全等三角形的对数判断是否为4对；②利用平行四边形对角线互相平分和三角形三边关系求出BD的范围；③通过全等三角形的面积相等，将四边形ABFE的面积转化为△ABC的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC， ∵AD∥BC， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， 同理可证△DOE≌△BOF，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB， ∴图中共有6对全等三角形，结论①错误； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，BD＝2BO， 在△ABO中，根据三角形三边关系：|AB﹣AO|＜BO＜AB+AO， ∴|4﹣3|＜BO＜4+3，即1＜BO＜7， ∵BD＝2BO， ∴2＜BD＜14，结论②正确， ∵△AOE≌△COF， ∴S△AOE＝S△COF， ∵S△BOC＝S△BOF+S△COF，S△ABC＝S△ABO+S△BOC， ∴S△BOC＝S△BOF+S△AOE， ∵S△ABC＝S△ABO+S△BOC， ∴S△ABC＝S△ABO+S△BOF+S△AOE， ∵S四边形ABFE＝S△ABO+S△AOE+S△BOF， ∴S四边形ABFE＝S△ABC，结论③正确 综上，正确的结论是②和③．即选项C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2026春•上海校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E是AD上一点，且DE＝2，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】过点E作EP⊥BC于点P，易证四边形ABPE和四边形CDEP为矩形，得出CD＝EP＝6，DE＝CP＝2，根据AAS易证△AEG≌△BFG，得出AE＝BF，又FH垂直平分EC，得出FC＝FE，令BC＝x，则BP＝AE＝BF＝x﹣2，进而BP＝AE＝BF＝2x﹣2，FP＝2x﹣4，EF＝FC＝2x﹣2，在Rt△EFP中，EP2+FP2＝EF2，进行求解即可． 【解答】解：过点E作EP⊥BC于点P， 在矩形ABCD中∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝CD＝6， ∴四边形ABPE和四边形CDEP为矩形， 又AB＝6，DE＝2， ∴CD＝EP＝6，DE＝CP＝2， ∵G是AB的中点， ∴AG＝GB＝3， 又∵AD∥BC， ∴∠AEG＝∠BFG， 又∠AGE＝∠BGF， ∴△AEG≌△BFG（AAS）， ∴AE＝BF， ∵FH垂直平分EC， ∴FC＝FE， 令BC＝x，则BP＝x﹣2， 又∵AE＝BF＝BP， ∴BP＝AE＝BF＝x﹣2， ∴FP＝2x﹣4，EF＝FC＝2x﹣2， 在Rt△EFP中，EP2+FP2＝EF2， ∴62+（2x﹣4）2＝（2x﹣2）2 解得x＝6． 故选：A． 【点评】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长是解决本题的关键． 4．（2026春•闵行区校级期中）如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB＝6，BC＝8，则DF＝（　　） A．2 B． C．1 D． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线求得ED的长度，由三角形中位线定理求得EF的长度，则DF＝EF﹣ED． 【解答】解：如图，∵BD⊥AN， ∴∠ADB＝90°． ∵E是AB的中点， ∴ED是斜边AB上的中线， ∵AB＝6， ∴EDAB＝3． ∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线． ∴EFBC． ∵BC＝8， ∴EF＝4． ∴DF＝EF﹣ED＝4﹣3＝1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 5．（2025•朝阳区校级模拟）已知△ABC的两条中线AD与BE交于点G，连接CG． 若BG⊥CG，BC＝2，下列四个结论正确的是：（　　） ①AG＝2； ②AC的最小值是； ③△ABC的面积最大值是3； ④AC2+AB2＝20． A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【分析】根据重心的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半可判定①；根据线段的和差关系，最值计算可判定②；但BC边上的高最大时，面积最大，可判定③；如图所示，过点A作AH⊥BC于点H，运用勾股定理，等量代换即可判定④；由此即可求解． 【解答】解：由条件可知， ∴AG＝2DG＝2，故①正确； 由条件可知点G在与BC为直径的圆上运动， ∴AC≥AD﹣CD， 当A，E，G，C，D共线时，AC值最小，最小值为：AC＝AD﹣CD＝3﹣1＝2，故②错误； 如图所示， 当AD⊥BC时，S△ABC的面积最大，最大面积为3，故③正确； 如图所示，过点A作AH⊥BC于点H， 在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2①， 在Rt△ABH中，AB2＝AH2+BH2②， 在Rt△ADH中，AD2＝AH2+DH2③， ∴①+②得，AC2+AB2＝2AH2+BH2+CH2， 由③得，AD2﹣DH2＝AH2， ∵CH＝CD﹣DH，BH＝BD+DH，BD＝CD， ∴AC2+AB2＝2（AD2﹣DH2）+（BD+DH）2+（CD﹣DH）2＝2（AD2+BD2）， ∵AD＝3，BD＝1， ∴AC2+AB2＝2×（32+12）＝2×10＝20，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：D． 【点评】本题考查了中线交点的性质，线段、面积最值的计算，勾股定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 6．（2025春•普陀区校级月考）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，那么这个多边形是　九　 边形． 【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【解答】解：根据题意，得：（n﹣2）•180＝360×3+180， 解得：n＝9． 则这是个九边形， 故答案为：九． 【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解． 7．（2025春•徐汇区校级月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1260°，则原多边形的边数是为 　8或9或10．　 ． 【分析】根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解． 【解答】解：设截去一个角后，多边形的边数为n， 由题意得（n﹣2）×180°＝1260°， 解得n＝9． 因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1， ∴原多边形可能为8或9或10． 故答案为：8或9或10． 【点评】本题考查多边形的内角和，解题关键是掌握多边形截去一个角后多边形边数可能增加1，减少1或不变． 8．（2025春•徐汇区校级期中）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知AC是四边形ABCD的“美丽线”，如果AB＝BC＝AC，∠BAD＝90°，那么∠BCD＝　135或90　 °． 【分析】由AC是四边形ABCD的美丽线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和30°角的直角三角形的性质就可以求出∠BCD的度数． 【解答】解：∵AC是四边形ABCD的美丽线， ∴△ACD是等腰三角形． ∵AB＝AD＝BC， 如图1，当AD＝AC时， ∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC， ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝60°． ∵∠BAD＝90°， ∴∠CAD＝30°， ∴∠ACD＝∠ADC＝75°， ∴∠BCD＝60°+75°＝135°． 如图2，当AD＝CD时， ∴AB＝AD＝BC＝CD． ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°． 故答案为：135或90． 【点评】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，正方形的性质和判定的运用，30°角的直角三角形的性质的运用．解答如图3这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键． 9．（2026春•闵行区校级期中）如图，已知▱ABCD的周长为12，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接CE，则△CDE的周长是　6　 ． 【分析】根据平行四边形的性质得到AD+CD＝6，根据垂直平分线的性质可知△CDE的周长＝AD+CD． 【解答】解：已知▱ABCD的周长为12，AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AD+CD＝6， 由题意可得：点E在AC的垂直平分线上， ∴AE＝CE， ∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查平行四边形的性质，正确进行计算是解题关键． 10．（2025春•宝山区月考）四边形ABCD是一个平行四边形，BE长是BC的长的，若S1、S2、S3、S分别表示△ABE、△CDE、△ADE和平行四边形ABCD的面积，求S1：S2：S3：S＝　1：2：3：6　 ． 【分析】根据同底等高的三角形面积是平行四边形的一半以及三角形面积公式即可求解． 【解答】解：∵BE长是BC的长的，若S1、S2、S3、S分别表示△ABE、△CDE、△ADE和平行四边形ABCD的面积， ∴，S1+S2＝S3， ∴S＝2S3； ∵BE长是BC的长的， ∴S2＝2S1， ∴ ∴S1：S2：S3：S＝1：2：3：6． 【点评】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 11．（2026春•浦东新区期中）如图，菱形ABCD的边长为5，点E在边AB上，连结CE，过点D作DF⊥CE于点F，CE，DF将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若EC＝DF+2，则线段AE的长度为 　　 ． 【分析】由题中的两个图可得：EF＝CF，如图1，过点D作DM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AB于N，连接DE，设DF＝2x，AM＝a，根据勾股定理得：DF2+CF2＝CD2，列方程即可得x＝2，证明四边形DMNC是矩形，由勾股定理即可解答． 【解答】解：由题中的两个图可得：EF＝CF， 如图1，过点D作DM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AB于N，连接DE， 设DF＝2x，AM＝a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，CD∥AB， ∵EF＝CF，DF⊥CE， ∴CD＝DE＝5， ∴AD＝DE， ∵DM⊥AB， ∴AM＝EM＝a， ∵EC＝DF+2＝2x+2， ∴CF＝x+1， 在Rt△DFC中，DF2+CF2＝CD2， ∴（2x）2+（x+1）2＝52， ∴5x2+2x﹣24＝0， 解得：x1＝2，x2（舍）， ∴CE＝6， ∵CD∥AB，DM⊥AB，CN⊥AB， ∴∠DMN＝∠N＝∠NCD＝90°， ∴四边形DMNC是矩形， ∴CD＝MN＝5， ∴EN＝5﹣a， ∵DM2＝CN2， ∴AD2﹣AM2＝CE2﹣EN2， ∴52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2， ∴a， ∴AE＝2a， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，熟练掌握矩形的性质以及菱形的性质是解题的关键． 12．（2025秋•南郑区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝　　 ． 【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，可求得OA＝OD，S△AODS矩形ABCD＝3，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PFOA（PE+PF）（PE+PF）＝3，求得答案． 【解答】解：连接OP，如图所示： ∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC5， ∴S△AODS矩形ABCD＝3，OA＝OD， ∴S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PFOA（PE+PF）（PE+PF）＝3， ∴PE+PF， 故答案为：． 【点评】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 13．（2025春•浦东新区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝12厘米，AD＝16厘米，点E为AD中点，已知点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BC上由点C向点B运动，如果△AEP与△BPQ恰好全等，那么点Q的运动速度是 　6或　 厘米/秒． 【分析】根据△AEP与△BPQ全等，得到AE＝PB，可计算出运动时间，再根据BQ＝AP，即可计算出点Q的运动速度． 【解答】解：设运动时间为ts，Q的运动速度xcm/s， 由题意得AP＝2tcm，QC＝xtcm， ∴BQ＝（16﹣xt）cm，PB＝（12﹣2t）cm， ∵△AEP与△BPQ全等， ∴BQ＝AP，AE＝PB或BP＝AP，AE＝BQ， 当BQ＝AP，AE＝PB时， ∵AE＝8cm， ∴12﹣2t＝8cm， ∴t＝2， ∴AP＝2t＝4cm， ∴16﹣xt＝4， ∴x＝6； 当BP＝AP，AE＝BQ时， ， 解方程组得t＝3，x， 故点Q的运动速度是6cm/s或cm/s． 故答案为：6或． 【点评】本题考查矩形的性质和全等三角形的性质，根据三角形全等对应的边相等建立等式是解本题的关键． 14．（2026春•松江区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D、E分别是边AB、AC上的动点，F、G分别是ED、EC的中点，则FG的最小值是 　　 ． 【分析】连接CD，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出BC，再根据三角形等面积法求出CD，即可得出结果． 【解答】解：连接CD， 由条件可知FG是△EDC的中位线， ∴， 当CD最小时，FG最小， 当CD⊥AB时，CD最小， 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4， 则， 当CD⊥AB时， ， ∴， 解得：， ∴FG的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形．熟练掌握原式知识点是关键． 15．（2026春•杨浦区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长为 　　 ． 【分析】根据题意取AB的中点F，连接NF，MF，根据三角形的中位线的性质，可得，MF∥BD，，NF∥AE，根据勾股定理，则MN2＝MF2+NF2，求出MN，即可． 【解答】解：取AB的中点F，连接NF，MF， ∵∠CAB+∠CBA＝90°， ∵点M是AD的中点， ∴MF是△ABD的中位线， ∴，MF∥BD， ∴∠AFM＝∠CBA， ∵NF是△ABE的中位线， ∴，NF∥AE， ∴∠BFN＝∠BAC， ∴∠BFN+∠AFM＝∠BAC+∠CBA＝90°， ∴∠MFN＝90°， ∴MN2＝MF2+NF2， ∴MN2＝32+22＝13， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形中位线，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线的性质，勾股定理的应用． 【模块二】平面直角坐标系（对应第16-25题） ※ 方法总结 · 根据已知两点的坐标和坐标轴方向，利用网格确定原点。 · 等腰三角形存在性：分别以AB为腰、为底，用圆规法（相等半径画圆）和垂直平分线找点，注意坐标轴上点的特殊位置，分类讨论。 · 新定义距离：理解欧氏距离 和曼哈顿距离 ，通过具体反例判断命题真假。 · 平移扫过的面积：平移得到平行四边形，面积=底×高（高为平移方向上的距离）。 · 平行于坐标轴的直线：平行于y轴的点横坐标相等；平行于x轴的点纵坐标相等，结合距离列方程。 · 45°角构造等腰直角三角形：利用点到直线的距离或坐标差相等求点坐标。 · 折线最短路径：利用轴对称将折线转化为直线段（将军饮马模型），用两点间距离公式求最小值。 · 数轴上动点距离：设运动时间，表示点坐标，根据距离绝对值方程求解，注意距离公式的分类讨论。 · 矩形中利用勾股定理解直角三角形：根据矩形顶点坐标，利用30°、60°角三角函数或勾股定理求点坐标。 · 新定义“k属派生点”：设P(m,0)，根据派生点坐标公式及距离条件列方程，求k（注意绝对值）。 16．（2024春•长宁区期末）如图，直线a⊥b，在平面直角坐标系中，x轴∥a，y轴∥b，已知点A（﹣1，4）、点B（2，﹣1），那么坐标原点是点（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 【分析】根据题意和点A和点B的坐标，可以画出相应的坐标系，然后即可得哪个点为原点． 【解答】解：由题意可得， 平面直角坐标系如图所示， 故坐标原点是点O2， 故选：B． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系． 17．（2024春•浦东新区期末）在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（﹣4，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有几个（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】分别讨论当BC＝AB、AC＝AB和AC＝BC时三种情况下，坐标轴上有几个这样的C点即可． 【解答】解：当BC＝AB时，以点B为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C1、C2、C3（不包括点A）． 当AC＝AB时，以点A为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C4、C5、C6（不包括点B）． 当AC＝BC时，点C应该在AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB， ∴点O在AB的垂直平分线上． 综上，这样的C点共有7个，分别是点C1、C2、C3、C4、C5、C6、O． 故答案为：C． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，一定要考虑到所有情况． 18．（2026春•无锡期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），记dAB为线段AB的长度，DAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．下列结论： ①若点A与点B关于x轴对称，则dAB＝DAB； ②若dAB＝DAB，则点A与点B关于x轴对称； ③若动点P满足DOP＝1，则点P的运动路径所围成的图形面积为2； ④若dOA＝2dOB，则DOA＝2DOB． 其中正确的为（　　） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据两点间距离公式dAB和新定义DAB，逐个验证四个结论，即可得到答案． 【解答】解：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（x1，y1），B（x2，y2）， 由定义得，DAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|． ①∵点A与点B关于x轴对称， ∴x1＝x2，y2＝﹣y1， ∴，DAB＝|0|+|y1﹣（﹣y1）|＝2|y1|， ∴dAB＝DAB，①正确； ②取A（0，0），B（0，1），此时dAB＝1，DAB＝0+1＝1，满足dAB＝DAB，但A，B不关于x轴对称． ②错误； ③设P（x，y），由DOP＝1 得|x|+|y|＝1， 该图形是以（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0，﹣1）为顶点的菱形，两条对角线长分别为2和2， ∴图形面积 ，③正确； ④取A（2，0），， 则，，满足dOA＝2dOB， DOA＝|2|+|0|＝2，，，④错误． 故选：A． 【点评】本题考查两点间的距离公式，正确进行计算是解题关键． 19．（2026春•福州期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段AB向右平移得到线段DC，则线段AB在平移过程中扫过的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据平行四边形的面积公式计算即可． 【解答】解：由图可知，BC＝3，OA＝1， 根据平移的性质可得四边形ABCD为平行四边形， 所以线段AB在平移过程中扫过的面积是3×1＝3． 故选：A． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 20．（2026春•崇明区期中）已知点A的坐标为（2，3），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为　（2，﹣2）或（2，8）　 ． 【分析】根据A点坐标及直线AB∥y轴可设B（2，b），再由AB＝5求出b的值即可． 【解答】解：由题意可得：设B（2，b）， ∵AB＝5， ∴|b﹣3|＝5， ∴b＝﹣2或b＝8， ∴B（2，﹣2）或（2，8）． 故答案为：（2，﹣2）或（2，8）． 【点评】本题考查了平行于y轴的直线的横纵坐标的特点，熟练掌握平行于y轴的直线的点的横坐标相同是解题的关键． 21．（2026春•奉贤区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），点B在第一象限，且在直线x＝3上，若∠BAO＝45°，则点B的坐标为　（3，4）　 ． 【分析】根据题意，画出示意图，再结合∠BAO＝45°得出三角形ABM是等腰直角三角形，据此可解决问题． 【解答】解：如图所示， ∵∠BAO＝45°且BM⊥x轴， ∴△BAM是等腰直角三角形． ∵点A坐标为（﹣1，0），点B在直线x＝3上， ∴AM＝3﹣（﹣1）＝4， 则BM＝AM＝4， ∴点B坐标为（3，4）． 故答案为：（3，4）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意画出示意图及进一步得出三角形BAM是等腰直角三角形是解题的关键． 22．（2026春•杨浦区校级月考）平面内四个点A（3，5）、B（0，y）、C（x，0）、D（5，1）将他们顺次联结，则折线AB+BC+CD的最小值为　10　 ． 【分析】作点A（3，5）关于y轴的对称点E（﹣3，5），作点D（5，1）关于x轴的对称点F（5，﹣1），根据轴对称的性质可得EB＝AB，CF＝CD，则AB+BC+CD＝EB+BC+CF，再根据两点之间线段最短可得当点E，B，C，F共线时，EB+BC+CF的值最小，最小值为EF的长，由此即可得﹒ 【解答】解：平面内四个点A（3，5）、B（0，y）、C（x，0）、D（5，1）将他们顺次联结， 如图，作点A（3，5）关于y轴的对称点E（﹣3，5），作点D（5，1）关于x轴的对称点F（5，﹣1）， ∴EB＝AB，CF＝CD， ∴AB+BC+CD＝EB+BC+CF， 由两点之间线段最短可知，当点E，B，C，F共线时，EB+BC+CF的值最小，最小值为， ∴折线AB+BC+CD的最小值为10﹒ 故答案为：10﹒ 【点评】本题考查了两点之间的距离公式、点坐标与轴对称变换、两点之间线段最短，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键﹒ 23．（2024秋•闵行区校级月考）点A表示﹣4，B表示是8，P从A点出发，速度每秒2个单位，Q从B点出发，速度每秒1个单位，都同时沿着x轴正方向运动，运动 　8或16　 秒，PQ＝4． 【分析】根据题意，分别表示出运动后点P和点Q对应的数，再建立方程即可解决问题． 【解答】解：由题知， 设运动t秒，PQ＝4， 则t秒后点P表示的数为：﹣4+2t，点Q表示的数为：8+t， 又因为PQ＝4， 则8+t﹣（﹣4+2t）＝4或﹣4+2t﹣（8+t）＝4， 解得t＝8或16． 故答案为：8或16． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 24．（2025春•岱岳区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOBC的顶点O为坐标原点，且OB＝2OA，点A的坐标为，则点B的坐标是　（2，2）　 ． 【分析】根据题意和勾股定理可以求得OA的长，然后即可得到OB的长，再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得点B的坐标． 【解答】解：作AD⊥x轴于点D，作BE⊥x轴于点E，如图所示， ∵点A的坐标为（，1）， ∴OD，AD＝1， ∴OA2， ∴∠AOD＝30°， ∵OB＝2OA， ∴OB＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠AOB＝90°， ∴∠BOE＝60°， ∵BE⊥x轴， ∴∠BEO＝90°， ∴∠OBE＝30°， ∴OEOB＝2， ∴BEOE＝2， ∴点B的坐标为（2，2）， 故答案为：（2，2）． 【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 25．（2026春•闵行区校级月考）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点．且线段PP'的长度为线段OP长度的3倍，则k的值　±3　 ． 【分析】设P（m，0）（m＞0），由题意：P′（m，mk），根据PP′＝3OP，构建方程即可解决问题； 【解答】解：设P（m，0）（m＞0），由题意：P′（m，mk）， ∵PP′＝3OP， ∴|mk|＝3m，∵m＞0， ∴|k|＝3， ∴k＝±3． 故答案为±3 【点评】本题考查坐标与图形的性质、“k属派生点”的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【模块三】一次函数（对应第26-39题） ※ 方法总结 · 行程问题函数图象：顺水速度>静水速度图象陡，逆水速度<静水速度图象缓，停留段水平。 · 正比例函数图象比较k的大小：作直线x=1，交点纵坐标即k值，纵坐标越大k越大。 · 一次函数与不等式：利用图象在x轴上方（或下方）部分写解集。 · 两平行直线间的最大距离：两直线分别过定点，当两直线垂直时距离最大，为两定点间距离（此处需结合旋转思想：k变化时直线绕定点旋转，最大距离为两定点距离）。 · 一次函数图象共存：根据k,b的符号判断，结合交点坐标验证。 · 分段行程问题：通过图象读取信息，利用待定系数法求解析式，联立方程求相遇时间。 · 函数与方程组：交点坐标即为方程组的解。 · 函数定义域：二次根式被开方数≥0且分母≠0。 · 一次函数与不等式结合：已知y随x增大而减小，且过定点，根据图象写出解集。 · 矩形翻折与一次函数综合：利用折叠对应边相等、全等三角形及勾股定理求点坐标，再结合一次函数解析式求参数。 26．（2025秋•虹口区校级期中）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时），航行过的路程为S（千米），则S关于t的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】理解函数图象横纵坐标表示的意义，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【解答】解：第一段是顺水航行，速度大于静水速度，图象陡一些， 到达乙地后停留一段时间，路程没有变化，图象平行于横轴， 从乙地逆水航行返回到甲地，路程逐步增加，是逆水航行，速度小于静水速度，图象平缓一些， ∴图象D符合上述特征， 故选：D． 【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是关键． 27．（2024秋•静安区校级期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【分析】在图中画出直线x＝1，得出此直线与三个正比例函数图象的交点，再根据它们的位置关系即可解决问题． 【解答】解：作直线x＝1如图所示， 则点A坐标为（1，b），点B坐标为（1，a），点C坐标为（1，c）， 结合A，B，C三个点的位置可知， c＜a＜b． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正比例函数的图象，熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键． 28．（2025春•上海校级期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C． D． 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可． 【解答】解：根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围可得： ∵当x＜2时，y＜0，即ax+b＜0， ∴由图象可知，关于x的不等式ax+b＜0的解集是x＜2． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确记忆从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝ax+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合是解题关键． 29．（2026春•杨浦区校级月考）当k变化时，两条直线l1：y＝kx﹣k和l2：y＝kx+1的最大距离为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】当两个不同的一次函数的解析式的k相同的时候，这两条直线在坐标系中的图象是平行的，解题要运用数形结合的思想，通过画图来求解．先观察两个一次函数的解析式发现，这两个图象分别经过一个定点，直线l1：y＝kx﹣k经过定点（1，0），l2：y＝kx+1经过定点（0，1），然后可将大致图象在坐标系中画出，来观察两直线的最大距离即平行线间的距离，即可得出结果． 【解答】解：如图所示，图象大致如下： 这两条直线图象可分别绕着A点、B点旋转，可知当k＝0时，两直线之间的距离最短为OB的长度为1，此时l1与x轴重合，l2与x轴平行． 故最大距离为：． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 30．（2026春•杨浦区校级月考）一次函数y1＝k1x+b与y2＝k2x﹣b分别与y轴交于点A、B，交点为（2，﹣1），在同一坐标系中图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．b＜0 B．点A、B关于x轴对称 C．k1＜0＜k2 D．当x＞2时，y1＞y2 【分析】根据一次函数的性质以及数形结合思想逐项判断即可． 【解答】解：一次函数y1＝k1x+b与y2＝k2x﹣b分别与y轴交于点A、B，交点为（2，﹣1），在同一坐标系中图象如图所示，则： A．由一次函数y1＝k1x+b与y轴的交点在y轴的负半轴，即b＜0，故A选项正确，不符合题意； B．由题意可得A（0，b），B（0，﹣b），即点A、B关于x轴对称，故B选项正确，不符合题意； C．由一次函数y1＝k1x+b，y随x增大而增大，即k1＞0；由一次函数y2＝k2x﹣b，y随x增大而减小，即k2＜0；则k2＜0＜k1，故C选项错误，符合题意； D．由函数图象可得：当x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在y2＝k2x﹣b上方，即y1＞y2，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 31．（2025春•松江区期末）已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（　　） A．小丽家到便利店距离500米 B．小丽在便利店停留了5分钟 C．小丽步行的速度是0.1km/min D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍 【分析】由函数图象分别得出选项的结论，然后作出判断即可． 【解答】解：由图象知， A、小丽家到便利店距离是0.5千米＝500米，故A选项不符合题意； B、小丽在便利店停留了10﹣5＝5（分钟），故B选项不符合题意； C、小丽步行的速度是0.1（km/min），故C选项不符合题意； D、小丽骑自行车的速度是0.2（km/min）， 2， 小丽骑自行车的速度是步行速度的2倍，故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查函数图象的知识，熟练根据函数图象获取相应的信息是解题的关键． 32．（2025春•上海期中）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而y（千米）行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程y（千米）与乙车出发时间x（时）的函数关系如图，下列说法正确的有（　　） ①A、B两地间的距离是400千米； ②甲车行驶2.5小时后到达配货站C； ③乙车的速度为80千米/小时； ④两车相距220千米时，乙车出发4小时． A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 【分析】依据题意，由图象可知，x＝0时y＝400，由题意知，当x＝2时，甲车到达C地，当x在2﹣2.5时，乙车单独开往B地，然后进行求解即可判断①②③；依据题意，分甲乙在C地相遇之前与之后两种情况求解，进而可以判断④． 【解答】解：由题意，由图象可知，x＝0时y＝400，由题意知，当x＝2时，甲车到达C地，当x在2﹣2.5时，乙车单独开往B地， ∴A、B两地间的距离是400千米，乙车的速度为80（千米/时），故①正确，③正确． 由题意，甲车出发2小时至配货站C，故②正确． 设直线AC为y＝kx+b， 将（2，40）、（0，400）代入，得， ∴． ∴y＝﹣180x+400（0≤x≤2）． ∴在C地相遇之前，将y＝220代入y＝﹣180x+400得，220＝﹣180x+400，解得x＝1， ∴x＝1时，两车相距220千米， 在C地相遇之后， ∵1﹣0.5＝0.5，2.5+0.5＝3， ∴x＝3时，甲车从C地出发开往B地，甲乙相距40千米， ∵5， ∴当甲乙再次相距400千米时，x＝5， 甲车从C地出发开往B地的过程中，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n， 将（3，40）、（5，400）代入，得，解得， ∴y＝180x﹣500（3≤x≤5）． ∴将y＝220代入y＝180x﹣500得，220＝180x﹣500，解得x＝4， ∴x＝4时，两车相距220千米， 综上所述，乙车出发1小时或4小时，两车相距220千米，故④错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意并从函数图象中获取正确的信息． 33．（2026春•普陀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1，y2（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中y2＝﹣4x+150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25，则在第　15　 秒时1号和2号无人机在同一高度． 【分析】当x＝0时，y2＝150，求出点B的坐标，进而求出y1＝kx的解析式，联立y2＝﹣4x+150与y1＝kx，求出点y1＝kx的坐标即可得到答案． 【解答】解：由条件可得点B的坐标为（0，150）， 由题意知点A的坐标为（25，150）， 设y1＝kx（k≠0）， 将（25，150）代入y1＝kx得150＝25x， ∴x＝6， ∴y1＝6x， ∴线段OA对应的函数表达式为：y1＝6x， 联立可得6x＝﹣4x+150， 解得：x＝15， ∴6x＝90， ∴点P的坐标为（15，90）， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度为90m， 故答案为：15． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 34．（2025•闵行区模拟）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发　3.9　 小时与轿车相遇． 【分析】根据函数图象中的数据，可以分别求得OA段和CD对应的函数解析式，然后令它们相等，求得x的值，即可得到货车出发几小时与轿车相遇． 【解答】解：设OA段对应的函数解析式为y＝kx， 将（5，300）代入，得：5k＝300， 解得k＝60， 即OA段对应的函数解析式为y＝60x， 设CD段对应的函数解析式为y＝ax+b， ， 解得， 即CD段对应的函数解析式为y＝110x﹣195， 令110x﹣195＝60x，得x＝3.9， 即货车出发3.9小时与轿车相遇， 故答案为：3.9． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 35．（2025春•上海校级月考）如图，直线y＝x+1与直线y＝mx﹣n相交于点M（1，b），则关于x，y的方程组的解为 　　 ． 【分析】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到M点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：∵直线y＝x+1经过点M（1，b）， ∴b＝1+1， 解得b＝2， ∴M（1，2）， ∴关于x的方程组的解为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 36．（2026•前进区校级一模）在函数中，自变量x的取值范围是 x≥1且x≠5　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得，， 解得x≥1且x≠5． 故答案为：x≥1且x≠5． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是明确函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 37．（2024秋•迎泽区校级月考）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了3分钟后沿原路按原速骑车返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为s1（米），小明爸爸与家之间的距离为s2（米），图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过 　　 分钟在返回途中追上爸爸． 【分析】由题意得点B的坐标为（12，2400），小明骑车返回用时也是10分钟，因此点D的坐标为（22，0），小明的爸爸返回的时间为2400÷96＝25分，点F的坐标（25，0）因此可以求出BD、EF的函数关系式，由关系式求出交点的横坐标即可． 【解答】解：由题意得点B的坐标为（13，2400）， 小明骑车返回用时也是10分钟，因此点D的坐标为（23，0）， 小明的爸爸返回的时间为2400÷96＝25分，点F的坐标（25，0）， 设直线BD、EF的关系式分别为s1＝k1t+b1，s2＝k2t+b2， 把B（13，2400），D（23，0），F（25，0），E（0，2400）代入相应的关系式得： ，， 解得：，， 直线BD、EF的关系式分别为s1＝﹣240t+5520，s2＝﹣96t+2400， 当s1＝s2时，即：﹣240t+5520＝﹣96t+2400， 解得：t， 故答案为：． 【点评】考查一次函数的图象和性质、二元一次方程组的应用等知识，正确的识图，得出点的坐标求出直线的关系式是解决问题的首要问题． 38．（2025春•静安区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，y随x的增大而减小，点P（﹣1，﹣2）在函数图象上，那么关于x的不等式kx+b+2＞0的解集是 x＜﹣1　 ． 【分析】根据一次函数的性质结合P点的坐标即可得到结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y＝kx+b的图象过点P（﹣1，﹣2）， ∴关于x的不等式kx+b+2＞0的解集是x＜﹣1； 故答案为：x＜﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 39．（2025春•锦江区校级期末）如图，矩形纸片ABCO平放在xOy坐标系中，将纸片沿对角线CA向左翻折，点B落在点D处，CD交x轴于点E，若CE＝5，直线AC的解析式为yx+m，则点D的坐标为 　（，）　 ． 【分析】由yx+m可得C（0，m），A（2m，0），则OC＝AB＝m，OA＝BC＝2m，根据折叠可知DA＝AB＝m，易证△COE≌△ADE，故CE＝AE＝5，在Rt△COE中根据勾股定理可得m＝4，进而求得D得坐标． 【解答】解：由yx+m可得C（0，m），A（2m，0）， ∴OC＝m，OA＝2m， ∴在矩形ABCO中， ∴AB＝OC＝m，BC＝OA＝2m， 由折叠可知：AD＝AB＝m，CD＝BC＝2m，∠D＝∠B＝90°， ∴CO＝AD， 又∵∠COE＝90°，∠CEO＝∠AED， ∴△COE≌△ADE， ∴CE＝AE＝5，OE＝DE ∴OE＝OA﹣AE＝2m﹣5， ∵在Rt△COE中， 根据勾股定理可得：OC2+OE2＝CE2， 即：m2+（2m﹣5）2＝52， 解得：m＝4， ∴AD＝m＝4，OE＝3＝DE， 作DM⊥x轴于M， ∴AD•DEAE•DM＝S△ADE， 即：4×3＝5×DM， 则DM， ∵在Rt△ADM中， 根据勾股定理可得：DM2+AM2＝AD2， ∴（）2+AM2＝42， 解得：AM， ∴OM＝OA﹣AM＝8， ∴D（，）， 故答案为：（，）． 【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、一次函数图象的性质，综合题难度较大，理解题意是关键． 【模块四】反比例函数（对应第40-50题） ※ 方法总结 · 反比例函数图象与性质：根据k的符号判断象限及增减性，注意“在每个象限内”。 · 一次函数与反比例函数图象共存：利用k的符号一致性，结合一次函数与y轴交点位置判断。 · 实际应用：设反比例函数 ，代入已知点求k，再根据条件求范围或值。 · 最值问题：反比例函数在闭区间上的最值，需根据k的符号判断单调性，端点处取最值。 · 一次函数与反比例函数综合：求交点坐标（联立方程），利用图象解不等式（上大下小），求面积（常用分割法或铅垂高），利用对称性、平行线等面积转化。 · 三等分点与面积：设参数坐标，利用中点或比例关系建立方程，结合反比例函数解析式求面积。 40．（2024秋•奉贤区期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k＞﹣5 C．k＜﹣5 D．k＞5 【分析】根据反比例函数的性质得5﹣k＜0． 【解答】解：∵反比例函数y的图象分布在第二、四象限， ∴5﹣k＜0， 解得k＞5， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解题的关键． 41．（2025春•崇明区校级期中）函数y＝kx﹣k与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是关键． 42．（2026•青山区模拟）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5 【分析】根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将y＝200代入，结合函数图象即可求解． 【解答】解：设反比例函数解析式为， 将（0.4，250）代入得，k＝100， ∴反比例函数解析式为：， 当y＝200时，x0.5． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是x＞0.5， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 43．（2024秋•金山区校级月考）关于函数的图象的特征，下列描述中不正确的是（　　） A．函数的图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0） C．当x＞﹣1时，函数的图象上的点均在x轴的上方 D．当x＞0时，函数值y随着自变量x的值的增大而减小 【分析】根据函数y的图象与函数y图象之间的关系即可解决问题． 【解答】解：根据“左加右减”的平移法则可知， 函数y的图象可由函数y的图象向左平移1个单位长度所得． 如图所示， ， 令x＝0， 则y， 所以函数的图象与y轴的交点坐标为（0，1）． 故A选项不符合题意． 由函数图象可知， 此函数的图象与x轴没有交点． 故B选项符合题意． 由函数图象可知， 当x＞﹣1时，函数的图象上的点均在x轴的上方． 故C选项不符合题意． 由函数图象可知， 当x＞0时，函数值y随着自变量x的值的增大而减小． 故D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，能根据所给函数解析式得出函数y的图象与函数y图象之间的关系是解题的关键． 44．（2026•乐清市校级自主招生）如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（m/s）与载重后总质量M（kg）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为50kg时，它的最快移动速度v为7m/s；若其最快移动速度v大于14m/s，则其载重后总质量M的取值范围是　0＜M＜25　 kg． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将当v＞14代入计算即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为v， ∵机器狗载重后总质量M＝50kg时，它的最快移动速度v＝7m/s； ∴k＝50×7＝350， ∴反比例函数解析式为v， 当v＞14时，M25， ∴M的取值范围是0＜M＜25， 故答案为：0＜M＜25． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是解答本题的关键． 45．（2025秋•罗湖区期末）已知反比例函数（k为常数且k≠0），当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是6，则当1≤x≤3时，y的最小值为　﹣6　 ． 【分析】根据反比例函数的性质可知当x＝﹣1时，y取得最大值4，求出k的值，进一步根据反比例函数的性质求解即可． 【解答】解：∵反比例函数（k为常数且k≠0），当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是6， ∴k＜0， ∴在每一个象限内，y随着x增大而增大， 当x＝﹣1时，y取得最大值6， 此时k＝﹣1×6＝﹣6， ∴y， ∴当x＝1时，y＝﹣6， ∴当1≤x≤3时，y的最小值为﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 46．（2024•建邺区一模）当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球会爆炸．为了安全，气球内气体体积V应满足 Vm3 ． 【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.2，60）故p•V＝72；故当p≤120，可判断V应满足的条件． 【解答】解：设球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p， ∵图象过点（1.2，60）， ∴60， ∴k＝72， 由已知得p图象在第一象限内， ∴p随V的增大而减小， ∴当p≤120时，V， ∴V，即不小于m3， 故答案为：Vm3． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式． 47．（2025•白云区二模）在温度不变的条件下，通过对汽缸（图1）活塞重复加压，测得汽缸内气体压强P（kPa）与体积V（mL）成反比例函数关系，其函数图象如图2所示．若压强由40kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　90　 mL． 【分析】根据题意先设解析式为，代入（80，75）得出反比例解析式，再将压强40kPa和100kPa分别代入求出自变量值再做减法即可． 【解答】解：汽缸内气体压强P（kPa）与体积V（mL）成反比例函数关系，设反比例函数解析式为，将（80，75）代入得： 75， 解得：k＝6000， ∴反比例解析式为， ∴当压强为40kPa时，v150（ml）， 当压强为100kPa时，v60（ml）， ∴压强由40kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了：150﹣60＝90（ml）， 故答案为：90． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 48．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为　﹣4＜x＜0或x＞2　 ． 【分析】先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 【解答】解：∵反比例函数的图象过M、N两点 ∴﹣2n＝﹣4×1， 解得n＝2， ∴N（2，﹣2）， 观察图象可得，当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为﹣4＜x＜0或x＞2， 故答案为：﹣4＜x＜0或x＞2． 【点评】此题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知以上知识是解题的关键． 49．（2025春•宝山区校级期末）如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段AB的三等分点，连接OC、OD，则△OCD面积为 　6　 ． 【分析】由C、D两点为线段AB的三等分点，得出S△AOC＝S△COD，设C（，m），A（0，n），则D（，2m﹣n），代入解析式得到nm，过点作CH⊥y轴于H，利用三角形面积公式求得S△AOC＝6，可求出S△COD＝6． 【解答】解：如图，∵C、D两点为线段AB的三等分点， ∴AC＝CD＝BD，即C为AD的中点， ∴S△AOC＝S△COD， 设C（，m），A（0，n）， 由中点坐标公式得，D（，2m﹣n）， ∵D（，2m﹣n）在反比例函数的图象上， ∴•（2m﹣n）＝﹣8， ∴nm， 过点作CH⊥y轴于H， 则CH，OA＝nm， ∴S△AOC6， ∴S△COD＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确表示交点的坐标是解题关键． 50．（2025春•上海期中）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．若S△OAF+S四边形EFBC＝4，则m的值是　　 ． 【分析】根据条件先求出直线AB的解析式为y＝﹣x+m，再利用反比例函数与一次函数都关于直线y＝x对称可得OA＝OB，OD＝OC，∠ODC＝∠OCD＝45°，△AOM≌△BON，继而得到B（2m，），将点B坐标代入直线AB的解析式得：2m+m，求出m值即可． 【解答】解：如图，作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N， 由题意可知A（m，）， 将点A坐标代入直线AB解析式得：﹣m+b， ∴b＝m， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+m， ∵反比例函数与一次函数都关于直线y＝x对称， ∴AD＝BC，OD＝OC，DM＝AM＝BN＝CN， 设S△AOF＝n，则S△OEF＝2﹣n，S△OAD＝S△OBC＝6﹣2n，S四边形EFBN＝4﹣n，S△ADM＝4﹣2n＝2（2﹣n）， ∴S△ADM＝2S△OEF， 由对称性质可知OA＝OB，OD＝OC，∠ODC＝∠OCD＝45°，△AOM≌△BON， ∴AM＝NB＝DM＝NC， ∴EFAMBN， ∴B（2m，）， 将点B坐标代入直线AB的解析式得：2m+m， 整理得m2＝2， ∵m＞0， ∴m． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 课后巩固 · 针对性练习 · 巩固1（四边形） — 菱形与矩形综合，通过平行四边形、矩形判定及勾股定理求菱形面积。 · 巩固2（四边形） — 等腰三角形中重心、中线、中位线、平行四边形构造，利用面积差求四边形面积。 · 巩固3（坐标） — 第二象限点到坐标轴距离，求点坐标。 · 巩固4（一次函数） — 利用两直线交点解不等式（移项后比较）。 · 巩固5（一次函数） — 函数图象中的行程问题，求速度及先到者休息时间。 · 巩固6（一次函数） — 从图象读取时间、路程关系，求速度比例。 · 巩固7（反比例函数） — 利用反比例函数增减性及最值求参数，再解绝对值不等式。 · 巩固8（反比例函数） — 实际气压与体积反比例函数，求安全范围（解不等式）。 · 巩固9（反比例与一次函数） — 利用平行线等面积转化，求反比例函数k值。 · 巩固10（反比例与一次函数） — 根据交点坐标求解析式，利用图象写不等式解集。 ❤复习建议 选择填空题重在基础概念与性质辨析，建议限时训练，注重易错点（如反比例函数增减性前提、中位线构造、等腰三角形分类、函数图象共存等）。对几何题要会画辅助线（如构造中位线、作垂线），对代数综合题要善用待定系数法和数形结合。 【作业1】（2026春•浦东新区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．若OE＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为 　24　 ． 【分析】先证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB＝90°，则四边形AEBO是矩形，得AB＝OE＝5，然后由勾股定理得OB＝3，则BD＝6，即可解决问题． 【解答】解：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AEBO是平行四边形， ∵菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝8， ∴OAAC＝4，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴平行四边形AEBO是矩形， ∴AB＝OE＝5， ∴OB3， ∴BD＝2OB＝6， ∴S菱形ABCDAC•BD8×6＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查的是菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【作业2】（2026春•普陀区期中）如图，△ABC的中线AD、BE交于点G，如果AB＝AC＝6，BC＝8，那么四边形CDGE的面积为 　　 ． 【分析】延长AD到F，使DF＝DG，连接BF，CF，CG，则GF＝2DG，由等腰三角形性质得AD⊥BC，BD＝CDBC＝8，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD，进而得S△ABCBC•AD＝8√5，根据BE是△ABC的中线得AE＝CE，S△BCES△ABC，证明四边形BGCF是平行四边形得CF∥BG，继而得GE是△ACF的中位线，则AD＝GF＝2DG，由此得AD＝AG+DG＝3DG，由此得DG，则S△BDGBD•DG，据此可得四边形CDGE的面积． 【解答】解：延长AD到F，使DF＝DG，连接BF，CF，CG，如图所示： ∴GF＝DF+DG＝2DG， 在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AD是中线， ∴AD⊥BC，BD＝CDBC＝8， ∴△ABD是直角三角形， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD， ∴S△ABCBC•AD， ∵BE是△ABC的中线， ∴AE＝CE，S△BCES△ABC， 在四边形BGCF中，DF＝DG，BD＝CD， ∴四边形BGCF是平行四边形， ∴CF∥BG， 即CF∥GE， 又∵AE＝CE， ∴GE是△ACF的中位线， ∴AD＝GF＝2DG， ∴AD＝AG+DG＝3DG， ∴DG， ∴S△BDGBD•DG， ∴四边形CDGE的面积为：S△BCE﹣S△BDG． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，三角形的面积，理解等腰三角形的性质，夙念脏我怕平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活利用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 【作业3】（2026春•松江区期中）如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点P的坐标为 　（﹣4，3）　 ． 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案． 【解答】解：由点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4， 得：|y|＝3，|x|＝4， 由点P位于第二象限， 得：y＝3，x＝﹣4， ∴点P的坐标为（﹣4，3）， 故答案为：（﹣4，3）． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握该知识点是关键． 【作业4】（2026春•闵行区校级月考）如图所示，直线y＝ax+b与直线y＝cx+d交点的横坐标是4，那么不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4　 ． 【分析】先将不等式整理为ax+b≥cx+d，再根据直线y＝ax+b在直线y＝cx+d上方部分确定自变量取值范围即可． 【解答】解：∵ax﹣d≥cx﹣b， ∴ax+b≥cx+d． 当x＝4时，ax+b＝cx+d， ∴当x≥4时，ax+b≥cx+d， 所以不等式的解集是x≥4， 即不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4． 故答案为：x≥4． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 【作业5】（2026春•普陀区校级期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 　4.5　 分钟． 【分析】根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解． 【解答】解：由图可得，甲的速度为240÷3＝80米/分， 设乙的速度为x米/分， 由图可得，（15﹣3）x＝240+80×（15﹣3）， 解得x＝100， ∴乙的速度为100米/分， ∴甲到达终点的时间为3000÷80＝37.5分钟， 乙达到终点的时间为3000÷100＝30分钟， ∵甲先出发3分钟， ∴乙先到终点原地休息了37.5﹣3﹣30＝4.5分钟， 故答案为：4.5． 【点评】本题考查了一次函数的应用，看懂函数的图象是解题的关键． 【作业6】（2025春•纳雍县校级月考）小军、小刚两人沿同一直道从A地到B地，若在整个行程中，他们都是匀速直线运动，小军、小刚离A地的距离S与时间t之间的函数关系如图所示，则小军的速度v小军与小刚的速度v小刚的数量关系是v小军＝ 　　 v小刚． 【分析】根据函数图象可知小军花费的时间是小刚的两倍，但是二者所走的路程相同，据此可得答案． 【解答】解：由题意得，小军4个单位时间所走的距离与小刚花费4﹣2＝2个单位时间所走的路程相同，根据函数图象可知小军花费的时间是小刚的两倍， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了从函数图象获取信息，熟练掌握该知识点是关键． 【作业7】（2025秋•虹口区校级期中）反比例函数，已知在每个象限内，g（x）的函数值随着x的增大而增大，且当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，函数g（x）的最小值是a﹣2．设p＝|g（m）|，q＝|g（m﹣a）|（m≠0且m≠a），请写出p≤q时m的取值范围　且m≠1　 ． 【分析】首先根据g（x）的函数值随着x的增大而增大，可知k＞0，根据当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，函数g（x）的最小值是a﹣2可知k＝a＝1，可得：，，分情况列不等式求解即可． 【解答】解：∵在每个象限内，的函数值随着x的增大而增大， ∴﹣k＜0， 可得：k＞0， ∴反比例函数在每个象限内随着x的增大而减小， ∵当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a， ∴，即k＝a， ∵当1≤x≤2时，函数g（x）的最小值是a﹣2， ∴， 解得：a＝1， 可得：，， ∴，， ∵p≤q， ∴且m﹣1≠0， 当m＞1时，m＞m﹣1＞0， ∴， ∴成立； 当0＜m＜1时，，， ∵， ∴， 解得：； 当m＜0时，m﹣1＜m， ∴， ∴； 综上所述，m的取值范围是且m≠1． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业8】（2024秋•静安区校级期中）当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞170kPa时．气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是 V　 ． 【分析】根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点（1.6，60），将点（1.6，60）代入反函数解析式即可求得k的值，从而得出函数解析式，再根据p的范围即可得出答案． 【解答】解：设球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p， ∵图象过点（1.6，60）， ∴60， ∴k＝96， 由已知得p图象在第一象限内， ∴p随V的增大而减小， ∴当p＞170时，170 V． 故答案为：V． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式． 【作业9】（2025春•闵行区校级期中）如图，一次函数y＝2x与y＝2x﹣9的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知△AOB面积为3，则k的值为 　　 ． 【分析】设y＝2x﹣9的图象与x轴的交点为C，连接AC，求得点C的坐标，即可求得OC，利用三角形面积求得A的纵坐标，代入y＝2x求得横坐标，然后利用待定系数法求得k． 【解答】解：设y＝2x﹣9的图象与x轴的交点为C，连接AC， 令y＝2x﹣9＝0，则x， ∴C（，0）， ∴OC， ∵直线y＝2x与直线y＝2x﹣9平行， ∴S△AOC＝S△AOB＝3， ∴3， ∴yA， 把y代入y＝2x，求得x， ∴A（，）， ∵反比例函数的图象过点A， ∴k， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两条直线平行问题，三角形的面积，求得A点的坐标是解题的关键． 【作业10】（2025•安徽模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0）的图象相交于A，B两点，其中点A（﹣2，3），点B的横坐标为6，则满足kx+b0的x的取值范围为 x＜﹣2或0＜x＜6　 ． 【分析】将点A坐标代入反比例函数解析式，可求反比例函数解析式，可求点B坐标，利用图象可直接求解． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0）的图象相交于A（﹣2，3）， ∴m＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y， ∵点B的横坐标为6， ∴点B（6，﹣1）， 由图象可得：当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即kx+b0． 故答案为：x＜﹣2或0＜x＜6． 【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标求出反比例函数解析式是本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【期末冲刺】选择+填空题满分讲义 (23~26章 知识梳理+典例+练习) 2026年沪教版数学八年级下册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 四边形 —— 掌握多边形内角和、对角线、截角问题；理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，能运用全等、中位线、重心解决几何计算与最值问题。 · 平面直角坐标系 —— 熟练运用坐标确定位置、点到坐标轴距离、对称、平移、两点间距离及曼哈顿距离，会利用数形结合求最值、面积、等腰三角形存在性问题。 · 一次函数 —— 掌握正比例函数、一次函数的图象与性质（k,b的几何意义），能根据图象解不等式、求交点、分析行程问题、求最值及利用平移解决折叠问题。 · 反比例函数 —— 理解反比例函数定义、图象与性质（k的符号、象限、增减性），能用待定系数法求解析式，解决实际压强、密度问题，并与一次函数综合求交点、面积、不等式解集。 · 核心思想 —— 数形结合、分类讨论、转化思想、待定系数法、面积分割法、极端位置法在填空选择题中的灵活运用。 ✨ 核心：概念清晰 · 性质熟练 · 模型识别 · 综合应用。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 四边形 · 多边形： 内角和 ，外角和360°，对角线总数 。截去一个角后，边数可能不变、增加1或减少1。 · 平行四边形： 对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。判定：边、角、对角线条件。面积=底×高。过对角线交点的直线分得的面积相等。 · 矩形： 四个角是直角，对角线相等且互相平分。判定：平行四边形+一个直角 或 对角线相等。 · 菱形： 四边相等，对角线垂直平分且平分内角。面积=对角线乘积的一半。 · 正方形： 具有矩形和菱形的所有性质。 · 梯形： 一组对边平行，常作高、平移腰、延长两腰等辅助线。 · 三角形中位线： 连接两边中点，平行于第三边且等于第三边的一半。 · 重心： 三条中线交点，分中线为2:1（重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍）。 ☆ 平面直角坐标系 · 点的坐标： 点P(x,y)，到x轴距离|y|，到y轴距离|x|。 · 对称： 关于x轴对称 (x,-y)，关于y轴对称 (-x,y)，关于原点对称 (-x,-y)。 · 平移： 左减右加，下减上加。 · 距离公式： 欧氏距离 ，曼哈顿距离 。 · 线段中点： 。 · 等腰三角形存在性问题： 分别以各边为腰、底分类讨论，利用圆（等距）或垂直平分线找点。 ☆ 一次函数 · 正比例函数： ()，过原点。k>0过一、三象限，y随x增大而增大；k<0过二、四象限，y随x增大而减小。 · 一次函数： ，k决定方向，b决定与y轴交点。 · 图象平移： 左加右减（x），上加下减（整体）。 · 与方程、不等式的关系： 交点坐标是方程组的解；图象在上方对应不等式大于。 · 行程问题： 常通过图象的斜率、截距、交点求速度、时间、距离。 ☆ 反比例函数 · 定义： ()，也可写作 。 · 图象与性质： 双曲线，关于原点对称。k>0在一、三象限，每一象限内y随x增大而减小；k<0在二、四象限，每一象限内y随x增大而增大。 · k的几何意义： 双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积=|k|，三角形面积= 。 · 实际应用： 压强、电流、密度、消毒时间等成反比例关系，常与一次函数结合成分段函数。 ☆ 知识总结表 模块 核心内容 常用公式/结论 多边形 内角和、外角和、对角线、截角 ，外角和360°，对角线数 平行四边形 性质、判定、面积、全等模型 对边平行且相等，对角线互相平分； 矩形/菱形/正方形 特殊性质、对角线特征 矩形对角线相等；菱形对角线垂直平分；正方形兼具 中位线/重心 中位线平行且等于第三边一半；重心分中线2:1 ； 平面直角坐标系 坐标、对称、平移、距离 点到x轴距离；曼哈顿距离 一次函数 正比例、一次函数图象与性质、行程 ，决定增减，决定截距 反比例函数 定义、图象、k的几何意义、实际应用 ，一三象限，二四象限；为矩形面积 核心模块 ·4大典型考点精讲 【模块一】四边形（对应第1-15题） ※ 方法总结 · 截角问题：通过画图分类，截线经过不同顶点时，新多边形边数可能不变、增加1或减少1。 · 平行四边形中过对角线交点的直线：构造全等三角形，利用面积相等转化求面积。 · 矩形中的垂直平分线、全等三角形：作垂线构造直角三角形，利用勾股定理列方程求边长。 · 三角形中位线与直角三角形斜边中线：由中点联想中位线或斜边中线，结合垂直条件求线段差。 · 重心性质：重心将中线分成2:1，结合直角三角形斜边中线及勾股定理求最值、面积。 · 菱形与翻折、全等：利用菱形边长相等及翻折对称性，结合勾股定理和一元二次方程求线段。 · 矩形中动点与全等：根据三角形全等对应边相等分类讨论，列方程求速度。 · 中位线最值问题：连接CD，利用中位线 ，当CD⊥AB时CD最小，得FG最小值。 · 中点构造：取AB中点，连接中位线，利用直角三角形两锐角互余证明垂直，再用勾股定理求MN。 1．（2026春•金山区校级月考）如图，四边形ABCD去掉一个∠D后，剩下的新图形不可能是（　　）边形． A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（2026春•青浦区校级月考）如图，EF经过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；③S四边形ABFE＝S△ABC．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2026春•上海校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E是AD上一点，且DE＝2，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2026春•闵行区校级期中）如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB＝6，BC＝8，则DF＝（　　） A．2 B． C．1 D． 5．（2025•朝阳区校级模拟）已知△ABC的两条中线AD与BE交于点G，连接CG． 若BG⊥CG，BC＝2，下列四个结论正确的是：（　　） ①AG＝2； ②AC的最小值是； ③△ABC的面积最大值是3； ④AC2+AB2＝20． A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 6．（2025春•普陀区校级月考）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，那么这个多边形是　 　 边形． 7．（2025春•徐汇区校级月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1260°，则原多边形的边数是为 　 　 ． 8．（2025春•徐汇区校级期中）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知AC是四边形ABCD的“美丽线”，如果AB＝BC＝AC，∠BAD＝90°，那么∠BCD＝　 　 °． 9．（2026春•闵行区校级期中）如图，已知▱ABCD的周长为12，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接CE，则△CDE的周长是　 　 ． 10．（2025春•宝山区月考）四边形ABCD是一个平行四边形，BE长是BC的长的，若S1、S2、S3、S分别表示△ABE、△CDE、△ADE和平行四边形ABCD的面积，求S1：S2：S3：S＝　 　 ． 11．（2026春•浦东新区期中）如图，菱形ABCD的边长为5，点E在边AB上，连结CE，过点D作DF⊥CE于点F，CE，DF将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若EC＝DF+2，则线段AE的长度为 　 　 ． 12．（2025秋•南郑区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝　 　 ． 13．（2025春•浦东新区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝12厘米，AD＝16厘米，点E为AD中点，已知点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BC上由点C向点B运动，如果△AEP与△BPQ恰好全等，那么点Q的运动速度是 　 　 厘米/秒． 14．（2026春•松江区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D、E分别是边AB、AC上的动点，F、G分别是ED、EC的中点，则FG的最小值是 　 　 ． 15．（2026春•杨浦区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长为 　 　 ． 【模块二】平面直角坐标系（对应第16-25题） ※ 方法总结 · 根据已知两点的坐标和坐标轴方向，利用网格确定原点。 · 等腰三角形存在性：分别以AB为腰、为底，用圆规法（相等半径画圆）和垂直平分线找点，注意坐标轴上点的特殊位置，分类讨论。 · 新定义距离：理解欧氏距离 和曼哈顿距离 ，通过具体反例判断命题真假。 · 平移扫过的面积：平移得到平行四边形，面积=底×高（高为平移方向上的距离）。 · 平行于坐标轴的直线：平行于y轴的点横坐标相等；平行于x轴的点纵坐标相等，结合距离列方程。 · 45°角构造等腰直角三角形：利用点到直线的距离或坐标差相等求点坐标。 · 折线最短路径：利用轴对称将折线转化为直线段（将军饮马模型），用两点间距离公式求最小值。 · 数轴上动点距离：设运动时间，表示点坐标，根据距离绝对值方程求解，注意距离公式的分类讨论。 · 矩形中利用勾股定理解直角三角形：根据矩形顶点坐标，利用30°、60°角三角函数或勾股定理求点坐标。 · 新定义“k属派生点”：设P(m,0)，根据派生点坐标公式及距离条件列方程，求k（注意绝对值）。 16．（2024春•长宁区期末）如图，直线a⊥b，在平面直角坐标系中，x轴∥a，y轴∥b，已知点A（﹣1，4）、点B（2，﹣1），那么坐标原点是点（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 17．（2024春•浦东新区期末）在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（﹣4，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有几个（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 18．（2026春•无锡期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），记dAB为线段AB的长度，DAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．下列结论： ①若点A与点B关于x轴对称，则dAB＝DAB； ②若dAB＝DAB，则点A与点B关于x轴对称； ③若动点P满足DOP＝1，则点P的运动路径所围成的图形面积为2； ④若dOA＝2dOB，则DOA＝2DOB． 其中正确的为（　　） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 19．（2026春•福州期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段AB向右平移得到线段DC，则线段AB在平移过程中扫过的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 20．（2026春•崇明区期中）已知点A的坐标为（2，3），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为　 　 ． 21．（2026春•奉贤区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），点B在第一象限，且在直线x＝3上，若∠BAO＝45°，则点B的坐标为　 　 ． 22．（2026春•杨浦区校级月考）平面内四个点A（3，5）、B（0，y）、C（x，0）、D（5，1）将他们顺次联结，则折线AB+BC+CD的最小值为　 　 ． 23．（2024秋•闵行区校级月考）点A表示﹣4，B表示是8，P从A点出发，速度每秒2个单位，Q从B点出发，速度每秒1个单位，都同时沿着x轴正方向运动，运动 　 　 秒，PQ＝4． 24．（2025春•岱岳区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOBC的顶点O为坐标原点，且OB＝2OA，点A的坐标为，则点B的坐标是　 　 ． 25．（2026春•闵行区校级月考）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点．且线段PP'的长度为线段OP长度的3倍，则k的值　 　 ． 【模块三】一次函数（对应第26-39题） ※ 方法总结 · 行程问题函数图象：顺水速度>静水速度图象陡，逆水速度<静水速度图象缓，停留段水平。 · 正比例函数图象比较k的大小：作直线x=1，交点纵坐标即k值，纵坐标越大k越大。 · 一次函数与不等式：利用图象在x轴上方（或下方）部分写解集。 · 两平行直线间的最大距离：两直线分别过定点，当两直线垂直时距离最大，为两定点间距离（此处需结合旋转思想：k变化时直线绕定点旋转，最大距离为两定点距离）。 · 一次函数图象共存：根据k,b的符号判断，结合交点坐标验证。 · 分段行程问题：通过图象读取信息，利用待定系数法求解析式，联立方程求相遇时间。 · 函数与方程组：交点坐标即为方程组的解。 · 函数定义域：二次根式被开方数≥0且分母≠0。 · 一次函数与不等式结合：已知y随x增大而减小，且过定点，根据图象写出解集。 · 矩形翻折与一次函数综合：利用折叠对应边相等、全等三角形及勾股定理求点坐标，再结合一次函数解析式求参数。 26．（2025秋•虹口区校级期中）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时），航行过的路程为S（千米），则S关于t的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 27．（2024秋•静安区校级期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 28．（2025春•上海校级期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C． D． 29．（2026春•杨浦区校级月考）当k变化时，两条直线l1：y＝kx﹣k和l2：y＝kx+1的最大距离为（　　） A．1 B． C．2 D． 30．（2026春•杨浦区校级月考）一次函数y1＝k1x+b与y2＝k2x﹣b分别与y轴交于点A、B，交点为（2，﹣1），在同一坐标系中图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．b＜0 B．点A、B关于x轴对称 C．k1＜0＜k2 D．当x＞2时，y1＞y2 31．（2025春•松江区期末）已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（　　） A．小丽家到便利店距离500米 B．小丽在便利店停留了5分钟 C．小丽步行的速度是0.1km/min D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍 32．（2025春•上海期中）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而y（千米）行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程y（千米）与乙车出发时间x（时）的函数关系如图，下列说法正确的有（　　） ①A、B两地间的距离是400千米； ②甲车行驶2.5小时后到达配货站C； ③乙车的速度为80千米/小时； ④两车相距220千米时，乙车出发4小时． A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 33．（2026春•普陀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1，y2（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中y2＝﹣4x+150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25，则在第　 　 秒时1号和2号无人机在同一高度． 34．（2025•闵行区模拟）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发　 　 小时与轿车相遇． 35．（2025春•上海校级月考）如图，直线y＝x+1与直线y＝mx﹣n相交于点M（1，b），则关于x，y的方程组的解为 　 　 ． 36．（2026•前进区校级一模）在函数中，自变量x的取值范围是 　 　 ． 37．（2024秋•迎泽区校级月考）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了3分钟后沿原路按原速骑车返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为s1（米），小明爸爸与家之间的距离为s2（米），图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过 　 　 分钟在返回途中追上爸爸． 38．（2025春•静安区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，y随x的增大而减小，点P（﹣1，﹣2）在函数图象上，那么关于x的不等式kx+b+2＞0的解集是 　 　 ． 39．（2025春•锦江区校级期末）如图，矩形纸片ABCO平放在xOy坐标系中，将纸片沿对角线CA向左翻折，点B落在点D处，CD交x轴于点E，若CE＝5，直线AC的解析式为yx+m，则点D的坐标为 　 　 ． 【模块四】反比例函数（对应第40-50题） ※ 方法总结 · 反比例函数图象与性质：根据k的符号判断象限及增减性，注意“在每个象限内”。 · 一次函数与反比例函数图象共存：利用k的符号一致性，结合一次函数与y轴交点位置判断。 · 实际应用：设反比例函数 ，代入已知点求k，再根据条件求范围或值。 · 最值问题：反比例函数在闭区间上的最值，需根据k的符号判断单调性，端点处取最值。 · 一次函数与反比例函数综合：求交点坐标（联立方程），利用图象解不等式（上大下小），求面积（常用分割法或铅垂高），利用对称性、平行线等面积转化。 · 三等分点与面积：设参数坐标，利用中点或比例关系建立方程，结合反比例函数解析式求面积。 40．（2024秋•奉贤区期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k＞﹣5 C．k＜﹣5 D．k＞5 41．（2025春•崇明区校级期中）函数y＝kx﹣k与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 42．（2026•青山区模拟）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5 43．（2024秋•金山区校级月考）关于函数的图象的特征，下列描述中不正确的是（　　） A．函数的图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0） C．当x＞﹣1时，函数的图象上的点均在x轴的上方 D．当x＞0时，函数值y随着自变量x的值的增大而减小 44．（2026•乐清市校级自主招生）如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（m/s）与载重后总质量M（kg）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为50kg时，它的最快移动速度v为7m/s；若其最快移动速度v大于14m/s，则其载重后总质量M的取值范围是　 　 kg． 45．（2025秋•罗湖区期末）已知反比例函数（k为常数且k≠0），当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是6，则当1≤x≤3时，y的最小值为　 　 ． 46．（2024•建邺区一模）当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球会爆炸．为了安全，气球内气体体积V应满足 　 　 ． 47．（2025•白云区二模）在温度不变的条件下，通过对汽缸（图1）活塞重复加压，测得汽缸内气体压强P（kPa）与体积V（mL）成反比例函数关系，其函数图象如图2所示．若压强由40kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　 　 mL． 48．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为　 　 ． 49．（2025春•宝山区校级期末）如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段AB的三等分点，连接OC、OD，则△OCD面积为 　 　 ． 50．（2025春•上海期中）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．若S△OAF+S四边形EFBC＝4，则m的值是　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 · 巩固1（四边形） — 菱形与矩形综合，通过平行四边形、矩形判定及勾股定理求菱形面积。 · 巩固2（四边形） — 等腰三角形中重心、中线、中位线、平行四边形构造，利用面积差求四边形面积。 · 巩固3（坐标） — 第二象限点到坐标轴距离，求点坐标。 · 巩固4（一次函数） — 利用两直线交点解不等式（移项后比较）。 · 巩固5（一次函数） — 函数图象中的行程问题，求速度及先到者休息时间。 · 巩固6（一次函数） — 从图象读取时间、路程关系，求速度比例。 · 巩固7（反比例函数） — 利用反比例函数增减性及最值求参数，再解绝对值不等式。 · 巩固8（反比例函数） — 实际气压与体积反比例函数，求安全范围（解不等式）。 · 巩固9（反比例与一次函数） — 利用平行线等面积转化，求反比例函数k值。 · 巩固10（反比例与一次函数） — 根据交点坐标求解析式，利用图象写不等式解集。 ❤复习建议 选择填空题重在基础概念与性质辨析，建议限时训练，注重易错点（如反比例函数增减性前提、中位线构造、等腰三角形分类、函数图象共存等）。对几何题要会画辅助线（如构造中位线、作垂线），对代数综合题要善用待定系数法和数形结合。 【作业1】（2026春•浦东新区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．若OE＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为 　 　 ． 【作业2】（2026春•普陀区期中）如图，△ABC的中线AD、BE交于点G，如果AB＝AC＝6，BC＝8，那么四边形CDGE的面积为 　 　 ． 【作业3】（2026春•松江区期中）如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点P的坐标为 　 　 ． 【作业4】（2026春•闵行区校级月考）如图所示，直线y＝ax+b与直线y＝cx+d交点的横坐标是4，那么不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是　 　 ． 【作业5】（2026春•普陀区校级期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 　 　 分钟． 【作业6】（2025春•纳雍县校级月考）小军、小刚两人沿同一直道从A地到B地，若在整个行程中，他们都是匀速直线运动，小军、小刚离A地的距离S与时间t之间的函数关系如图所示，则小军的速度v小军与小刚的速度v小刚的数量关系是v小军＝ 　 　 v小刚． 【作业7】（2025秋•虹口区校级期中）反比例函数，已知在每个象限内，g（x）的函数值随着x的增大而增大，且当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，函数g（x）的最小值是a﹣2．设p＝|g（m）|，q＝|g（m﹣a）|（m≠0且m≠a），请写出p≤q时m的取值范围　 　 ． 【作业8】（2024秋•静安区校级期中）当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞170kPa时．气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是 　 　 ． 【作业9】（2025春•闵行区校级期中）如图，一次函数y＝2x与y＝2x﹣9的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知△AOB面积为3，则k的值为 　 　 ． 【作业10】（2025•安徽模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0）的图象相交于A，B两点，其中点A（﹣2，3），点B的横坐标为6，则满足kx+b0的x的取值范围为 　 　 ． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $