4.3.1等比数列的概念（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 4.3.1《等比数列的概念》（第1课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“数列”主题，学生应能够：通过实例理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，理解等比中项的概念，并能运用这些知识解决简单的实际问题.体会等比数列与指数函数的关系. 课标分析： 本节课是继等差数列之后又一重要的特殊数列.课标强调“通过实例理解”和“掌握”，教学中应从丰富的实际背景（棋盘麦粒、细胞分裂、复利等）出发，引导学生观察数列的比值特征，归纳出等比数列的定义.重点在于等比数列的定义、公比的概念、通项公式的推导（累乘法），以及等比中项的理解.难点是等比数列通项公式的推导过程以及理解 的限制和等比数列的单调性与指数函数的关系.本节课对培养数学抽象、逻辑推理和数学建模素养具有重要作用. 2、 教材分析 “等比数列的概念（第1课时）”是人教A版选择性必修第二册第四章第3.1节内容.教材从多个生活实例（棋盘麦粒、庄子日取其半、细菌分裂、银行复利等）引入，引导学生观察数列中每一项与前一项的比值是否为常数，从而定义等比数列，并引入公比 的概念.通过类比等差数列通项公式的推导方法，用累乘法推导出等比数列的通项公式 ，并指出当 且 时，该数列可以看作指数函数 在正整数上的取值.教材还介绍了等比中项的概念，并通过例题让学生掌握基本量的计算和等比数列的判断.本节内容是后续学习等比数列前 项和以及数列综合应用的基础. 3、 学情分析 学生已经学习了等差数列的概念、通项公式及性质，掌握了由递推关系求通项的方法（累加法、累乘法等），具备了一定的类比和归纳能力.同时，学生在指数函数的学习中对指数运算比较熟悉.然而，等比数列与等差数列在定义上不同（差 vs 比），学生容易混淆；在推导通项公式时，累乘法的过程需要较强的代数推理能力；对于等比中项的理解，要注意其正负号问题.此外，等比数列的单调性受 和 的多种组合影响，学生分析时容易遗漏情况.教师应通过类比、对比和大量实例，帮助学生建立清晰的概念体系. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从棋盘麦粒、细菌分裂、复利等实例中抽象出等比数列的定义，理解公比 的含义，体会特殊到一般的抽象过程. 1. 逻辑推理素养：能用累乘法推导等比数列的通项公式，能运用等比中项的定义进行推理，能判断一个数列是否为等比数列. 1. 数学运算素养：能熟练运用等比数列的通项公式求指定项、求公比和首项，能解决有关等比中项的计算问题. 1. 数学建模素养：能将实际问题（如细胞分裂、复利计算、放射性衰变等）抽象为等比数列模型并求解. 1. 直观想象素养：能从指数函数的角度理解等比数列的通项公式，通过函数图象理解其单调性. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：等比数列的定义、通项公式及其推导；等比中项的概念. 1. 难点：累乘法推导通项公式的理解；等比数列与指数函数的关系；判断等比数列时对 的考虑. 6、 教学过程 环节一：检查预习 教师活动 1. 展示预习问题： （1）等比数列的定义：如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，用字母______表示. 答案：；比；公比；. （2）等比数列的通项公式：______（用 表示）. 答案：. （3）若 成等比数列，则 叫做 与 的等比中项，且 ______. 答案：. （4）在等比数列 中，若 ，，则 ______. 答案：. 2.请学生回答，教师点评并强调等比数列中 可以为负数、可以小于0，但通常 ；等比中项公式注意正负号. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 1. 教师提问： (1) 等差数列的定义是什么？通项公式如何表示？ (2) 学生回答：从第2项起，每一项与前一项的差为常数；. (3) 教师展示“棋盘麦粒”故事（描述：第一个格子放1粒，第二个放2粒，第三个放4粒，…），引导学生观察： 相邻两项的比有什么特点？ · 学生发现：后一项与前一项的比值都是2. 2..教师：这样的数列我们称为等比数列，引入课题. 环节三：合作探究 1. 等比数列的定义（5分钟） 教师展示几个实例（用语言描述）： ① 棋盘麦粒： 公比 . ② 《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”： 公比 . ③ 细菌分裂（每20分钟分裂一次，后代个数）： 公比 . ④ 复利：存入 元，年利率 ，每年末本利和： 公比 . 引导学生归纳：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这样的数列叫做等比数列，常数叫做公比 . 注意：等比数列的每一项均不为零（当 时，首项 也不能为零）.若某项为零，则其后各项均为零，但通常定义中要求常数 不变，会导致零除以零的不确定性，所以一般规定等比数列各项均不为零. 2. 等比数列的通项公式（5分钟） 设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 ， ， ， 归纳得 . 教师用累乘法推导： ，，…，. 将这 个等式相乘，得到 ，所以 . 强调：当 时，数列是常数列；当 时，从第二项起均为0，但此时不算严格等比（通常要求 ）. 3. 等比中项与函数观点（5分钟） 定义：如果三个数 成等比数列，则 叫做 与 的等比中项，且 ，即 （注意符号）. 教师指出等比数列的通项公式 可以改写为 .当 时， 可以看作指数函数 在正整数上的取值.因此，等比数列的单调性取决于 与 1 的大小关系以及 的符号. 教师简要总结：若 ，则当 时数列递增，当 时递减，当 时为常数列；若 ，则单调性相反. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：判断下列数列是否为等比数列，若是，指出首项和公比： （1）； （2）； （3）； （4）. 答案：（1）是，；（2）是，；（3）不是（各项为零，但 不确定）；（4）不是（比值不相等）. 例2：在等比数列 中，，，求 和 . 解：，. 例3：已知等比数列 中，，，求 和 . 解：由 ，，两式相除得 ⇒ ，代入得 . 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列结论正确的有（ ） A. 若 成等比数列，则 B. 若 ，则 成等比数列 C. 在等比数列中， 对一切 恒成立 D. 若等比数列的公比 ，则数列一定是递增数列 答案：A 解析：A正确；B需验证 ，否则可能不成立（如 ）；C不一定，公比可为负；D还需考虑首项符号. 例5：已知三个数成等比数列，它们的和为 14，积为 64，求这三个数. 解：设三个数为 ，则 ， ⇒ . 代入第一式得 ⇒ ⇒ 乘以 得 ⇒ ⇒ ⇒ ，所以 或 . 当 时，三数为 ；当 时，三数为 . 例6：在等比数列 中，已知 ，，求 和 . 解： ① ② ②÷①得 ，代入①得 ⇒ ⇒ . 答案：. 例7：某种放射性物质，每经过一年其剩余质量变为原来的 倍.若初始质量为 g，求第 年后的剩余质量. 解：每年剩余质量构成等比数列，，. 第 年后的剩余质量为 (g). 答案： g. 例8：已知数列 满足 ，，求证 是等比数列，并求通项公式. 证明：由 得 （常数），所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.故 . . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 等比数列的定义（从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数）. (2) 公比 的概念，注意 . (3) 等比数列的通项公式 ，推导方法为累乘法. (4) 等比中项：. (5) 等比数列与指数函数的关系（当 时）. 1. 教师强调： (1) 判断数列是否为等比数列时，要验证从第2项起每一项的比值是否相等. (2) 等比中项有两个可能的值（互为相反数）. 3.等比数列的单调性需要根据 和 共同决定. 环节六：布置作业 1. 书面作业： · 完成课本第35页练习第1、3、5题. · 配套课时达标检测《等比数列的概念（第1课时）》. 1. 拓展作业： · 已知等比数列 中，，，求 和 ，并求从第几项开始大于 . 1. 预习引导： 预习下一节“等比数列的性质及前 项和公式”，思考类比等差数列，等比数列有哪些常见性质. 授课人个案修改记录： 本节课通过棋盘麦粒、细胞分裂、庄子日取其半等丰富实例，学生能够自然地归纳出等比数列的定义.累乘法推导通项公式的过程，学生经过类比累加法后能较快接受.通过等比中项的辨析，学生意识到需要考虑符号.在练习中，设计了定义判断、通项计算、基本量求解、实际应用等题型，学生参与积极.不足之处：部分学生对等比数列中 可以为负的理解不够深入，对单调性的讨论容易忽略首项符号；在复杂方程的求解中，运算不够熟练.后续应加强变式训练，进一步巩固等比数列的概念与应用.整体上，本节课为等比数列后续学习打下了良好基础. 学科网（北京）股份有限公司 $