2026届陕西西安市第八十九中学模拟预测数学试题

囿B 2026届高三命题趋势预测（二） 数学试题 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|2>1},集合B={x∈Zlx2-2x一3≤0)，则A∩B= A.{-1,0,1,2 B.{0,1,2} C.(1,2) D.{1,2,3) 2设复数z= 1十2，若之的实部与虚部相等，则实数a的值为 a-i A-吉 1 B.-1 C.1 0 32十m,x>0, 3.已知函数f(x)= 若f(f(-2)=7,则m= 2x2-6,x≤0， A.-2 B.2 C.-1 D.1 4.某钢铁公司生产的钢管的标识长度是500cm,但实际长度存在误差.已知每根钢管的实 际长度服从正态分布N(500,o2),且任意一根钢管的长度介于495cm到505cm之间的 可能性约为95.4%，则随意从该公司生产的钢管中抽取一根，其长度超过495cm的可能 性约为 A2.3% B.4.6% C.95.4% D.97.7% 5.向量a=(0,1),b=(1,1),c=(一1,2)，c=xa+yb,则x+y= A.-2 B.2 c-8 D吃 6.已知圆C的方程为x2十y2一6x一8y=0,设圆C过点P(3,0)的9条弦长组成一个公差 为d的等差数列{an),则公差d的取值范围为 A.[-1,1] o. c [ 7.已知正四棱锥P一ABCD的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径r= B.2(0-1) c.2w10+1) D.20 3 3 数学试题第1页（共4页） 8.函数f(x)的定义域为R,f(x)-f(-x)=simx,当x≤0时，f'(x)≥分若f(0)≥ f仔-0小+号ng-}则实数日的原值范西为 A(-∞，] C.o [剖 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 :已知双曲线C:工-=1(@>0b>0)的右焦点为F,左、右顶点分别为A1,A2,双曲线 C上的点B满足IBF|=√3且BF与x轴垂直.直线BA2的斜率是直线BA1的斜率的3 倍，点P(0,2),点Q在C的左支上，则 A.双曲线C的方程为3x2-y2=1 B.双曲线C的渐近线方程为y=士√3x C.IPQ+IQF|的最小值为23 D.|PQ|的最小值为√3 l0.设函数f(x)的定义域为R,且函数y=f(ax十b)为奇函数，函数y=f(bx十a)为偶函 数.若f(2)=2,a≠0，b≠0，则 A.a≠b B.b可能为2 C.f(4)可能为0 D.f(-2)=-2 11.棱长为2的正方体ABCD一A1B,C1D1中，E,F为线段B:D1上有两个动点，EF=√2， 则下列说法正确的是 A.AC⊥EF B.三棱锥A一EFC的体积为定值 C.过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D.点P是平面BDD1B1内一点，若BP⊥PC1,则点P的轨迹长度是√6π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 122x一)广a∈N~)的展开式中有常数项，则n的最小值为 13.已知数列{am}的前n项和为Sm,a1=2,a2=3,am+2一an=3十(-1)，则S60= 14.若a>0,且关于x的不等式(alnx一x)(ae一x)≤0恒成立，则实数a的取值范围 为 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知在△ABC中，tan --2 (1)求sinA的值； (2)若AB边上的高等于AB,求cDS∠ACB。 16.(15分)试题难度是指试题对考生知识、技能和思维能力的挑战程度，是衡量试题质量的 Ri 重要指标某团队研究试题难度，规定单选题难度的计算公式为P,一入，其中P,为第i 题的难度，R:为答对该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学 生进行一次测试，共5道单选题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表 所示： 题号 1 3 4 5 考前预估难度P 0.9 0.8 0.7 0.6 0:4 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 (1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数； (2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X, 求X的分布列和数学期望； (3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差.设P:为第讠题的实测难度，定义统计量 S=[P1-P)2+(P-P)2+…+(P,-P,)],若S<0.05,则称本次测试的难度 预估合理，否则不合理请判断本次测试对难度的预估是否合理。 数学试题第3页（共4页） 17.(15分)如图，在三棱柱ABC一A1B,C1中，D,E为棱BC的三等分点. (1)证明：A1D∥平面AC1E; (2)若底面ABC是等边三角形，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，且平面 AA,CrC⊥平面ABC,求二面角D一AA1一E的正弦值. B 8.17分)已知椭圆E,人 若=1a>6>0)过点，引，离心率：=2过椭圆E的右焦 点F作相互垂直的直线AB,CD与椭圆E分别交于A,B,C,D四点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值. 19.(17分)已知函数f(x)=sinc十sin,2x+si血，3x+…+si(n∈N). 2 3 (1)当n=2时，求f(x)在[0，π]上的最大值； (2当m≥2时，证明：f(x)在(0，n干 上单调递增； (3)证明：n∈N·,3xo∈R,使得f(xo)≥1. 数学试题第4页（共4页） B B 2026届高三命题趋势预测（二） 数学参考答案及评分意见 1.D【解析】因为B={x∈Zx2-2x-3≤0}={-1,0,1,2,3}，A={x|2>1}={xx>0},所以A∩B={1,2, 3).故选D. 2D【标调为-行+得器-么-2中所以。-g=✉中》南得。一-收凌D 5 3.A【解析】因为f(-2)=2×(-2)2-6=2,所以f(f(-2)=f(2)=32十m=7,解得m=-2.故选A. 4.D【解析1由概率之和为1及正态分布的对称性，得P≈95.4%十1一95,4必=97.7%.放选D, 2 5.B【解析】因为a=(0,1),b=(1,1),c=(-1,2),且c=xa+yb,所以x(0,1)+y(1,1)=(-1,2), 所以x十y=2,故选B. 6.C【解析】圆C的圆心是C(3,4),半径是5，圆心C到点P(3,0)的距离为4，所以点P(3,0)在圆内.最长弦为圆 的直径，长度为10，最短弦的K为25一=6，所以公差d的最大值为10g6-号最小值为。10-2，即 8 公差d的取值范围为 117 22故选C 7.B【解析】设底面正方形ABCD的中心为F,则PF=6. 过点P作PG⊥AB于点G,则PG=√PF+GF?=√62+2=2/10. 因为SEm=4×4=16,所以S表=SE5m十Sm=16+4X号×4×2，而=16+16而. 1 1 又因为Vp-An=3SE方形ACn·PF,V,-AD=3S表·r, 16×6 所以r= 20-1,故选B. 16+16/10 3 8A【解析玲gx)=f)-2nr,则g)-g(-x)=f)-名sin-[/-)言im(-]小=fx) f(-x)一sinx=0,所以g(x)为偶函数. 当<0时g'()=f)os≥号7os≥0.所以g)在(-00L单调道增，在0.十o上单调递减 11 因为f0≥f(日-0j+mg-}1)=g)+m 所以80)+言in0≥(g-9+n行-o小+mng-】 又因为7n(-9+mg-）号(os-osnj+号cos --cos0sin 6 cos0-sin0+sin0- √3 cos0-2 sing, 所以g0)≥管-小，所以01≤-9所以0(,】故选A 9.ABC【解析】由已知得A1(一a,0),A2(a,0),F(c,0). 数学答案第1页（共8页） 因为点B在双曲线C上，且BFLx轴，BF=5,不妨设B(cw3),则长，=5k,=3 cta c-a 由，。=3X。解得c=2.又因为c=a+6,所以6=3a,所以双面线方程为 c-a a 3a=1. 将B(2aw代人得忌=1，所以c=-1所以双线C的方程为-，=1 3,故A正确 双曲线C的渐近线方程为y=士。， x=土√3x,故B正确. 31 3 6=1，所以(-2，设双曲线的左焦点为r, 因为a2=1 23 3,0小，根据双曲线的定义，QF-QF,= 2a=2/ ,所以QF1=QF,1+25,所以PQ+1QF=PQ十QF,+2,5.当P,Q,F,三点共线，且点Q 3 3 3 且线段PF:上时，PQ+QF的值最小， 最小值为PF,1+23 3 [0+28+(2-0+25=25,故C正确 3 3 设点Qrw.则32-y=1≤-5.p01=-0+-2 /4 所以当y=时，PQ最小，最小值为25，故D错误故选ABC 10.AC【解析】对于A,设g(x)=f(ax十b),因为g(x)为奇函数，所以g(0)=f(a·0十b)=f(b)=0, 且g(-x)=-g(x),即f(-ax十b)=-f(ax+b). 令t=ax,则f(b-t)=一f(b+t),所以f(x)的图象关于点(b,0)对称. 设h(x)=f(bx+a),因为h(x)为偶函数，所以f(b(-x)十a)=f(bx十a),即f(-bx十a)=f(bx+a). 令s=bx,则f(a-s)=f(a十s),所以f(x)的图象关于直线x=a对称. 若a=b≠0，则g(x)=f(ax十a)即是奇函数，又是偶函数，故只能有g(x)=0,即f(ax十a)=0对任意x成 立，则f(x)=0对任意x成立，与f(2)=2矛盾，故a≠b,故A正确. 对于B,由于f(b)=0,若b=2,则f(b)=f(2)=0,与f(2)=2矛盾，故B错误， 对于C,取b=4,则f(x)的图象关于点(4,0)对称，f(4)=0,即存在b使得f(4)为0，故C正确. 对于D,取a=1,b=4,则f(x)的图象关于直线x=1对称，故f(1十s)=f(1-s), 令s=-3,有f(-2)=f(4),由C得f(4)=0,故存在a,b使得f(-2)不为-2，故D错误.选AC. 11.ABD【解析】对于A,因为BD∥B:D1,所以BD∥EF.因为AC⊥BD,所以AC⊥EF,故A正确. 对于B,如图，取B1D1的中点O,连接CO,AO,CB1,CD1. 84- 数学答案第2页（共8页） 因为CB,-CD,=BD,=2.所以c01B,D,即C01EF,且c0-2w2×-6: 同理可得，AO⊥EF,且AO=√6，所以△AOC是等腰三角形. 记AC∩BD=G,则G为BD和AC的中点，所以OG⊥AC, 所以5am=AC×0G=号×2EX2=2E. 因为AC⊥EF,AC∩CO=C,AC,COC平面ACO,所以EF⊥平面ACO. 因为B,O=D,0=}B,D,=反=EF,所以EF过点O. 1 4 所以VA-FPC=VA-R+VA-Ore=VEAc+VAc气3X(OE+OF)XSAm}XEF XSMACO3,为定值 故B正确. 对于C,易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等， 所以过点A的体对角线AC1及过A分别平行于A1C,BD1,B1D的直线均满足要求，故C错误. 对于D,因为PBLPC,所以点P在以BC的中点Q为球心，半径为2BC,=2的球面上， 所以动点P的轨迹为平面BDD,B,与球Q的球面的交线. 因为AC,⊥平面BDD,B,所以点C到平面BDD,B,的距离为CO-2A,C,=E 所以球心Q到平面BDD,B,的距离为A-CO_2 2 ,且球心Q在平面BDDB,内的射影为BO的中点H. /2 设平面BDD1B1截球Q所得截面圆的半径为r,则r= /(2)2 √6 2 所以点P在平面BDD,B,内的轨渣是半径为的圆，因此动点P的轨迹长度为5x,故D正确故走ABD, 123【解折】上项式2x-的展开式的通项公式为T1=2x)()-(一1y·2心·， 要有常数项，需满足x的指数为0，即n-3r=0,n=3r.因为n∈N,r∈N且0≤r≤n,所以n必须是3的正整 数倍，所以取r=1时，n取得最小值3. 13.2760【解析】数列{an}中，a+2-am=3+(-1)", 当n为奇数时，am+2一am=2,数列{a2m-1}是首项a1=2,公差为2的等差数列， 当n为偶数时，am+2一am=4,数列{a2m}是首项a2=3,公差为4的等差数列， 所以5=(a,十a4+…+a)+a,十a,+…十a)=30×2+30X29×2+30X3+30X29×4=2760. 2 2 数学答案第3页（共8页） 14. 【解析】因为a>0,x>0,所以ax>0, 所以不等式an-ae-re0等价于-)g-sa 段f)上，则f)三令>0.解得0<C,令')0.解得e 故f(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e,十o)上单调递减，故f(x)≤f(e)=】 Γe 设g)=g（>0).则g'(x)=（10C.令g'()>0,解得x>1,令g'(x)<0,解得0<<1， 故g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间1，十∞)上单调递增，故g(x)≥g(1)=e>。≥f) 因为上任-)0恒成立所以<即a<所以实数的取位花为[] e a 15.解：1amA-)-1n tan A-1 =2,解得tanA=-3.… …2分 sin A 又因为cosA 且A为三角形的内角，所以sinA>0,所以sinA=30】 10· ………………5分 sin2A+cos2A=1 (2)设AC=b,BC=a,AB=C,则AB边上的高为c,△ABC的面积S= 40。…6分 由面积公式S=mA,得子-号3 10 ,解得b=0 c. …8分 由simA-3V0 tanA=一3，得cosA=- 10 …9分 10 代入余弦定理，得a2=b2+c2-2 bccos A= √10 2 c 则a=32 …11分 32）2, 代入cos∠ACB=a十b-c +o (2c-c 6c225 ,得cos∠ACB 2ab 2× 3w5c2 …13分 (2 4 16.解：(1)因为20名学生中答对第5题的人数为4人，所以第5题的实测难度为20=0.2，…2分 所以240名学生中实测答对第5题估计有240X0.2=48人.…4分 (2)X的所有可能取值为0,1,2， P(X=0)= -品px=)C-是 C=95PX=2)=C-5 …7分 X的分布列为： X 0 1 2 …………8分 P e 32 3 19 9 95 数学答案第4页（共8页） EX)=0x号+1×2+2×号-8 10分 (3)将抽样的20名学生中第i题的实测难度，作为240名学生第i题的实测难度， 则p12808.P吃28与0.8.P200.7P以2与0.7.P车0.2。…12分 因为S=0.012<0.05,所以本次测试的难度预估是合理的.…15分 17.(1)证明：如图，连接AC交AC1于点F,连接EF. …1分 因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以F为AC的中点， 又因为DE=EC,故EF为△ACD的中位线，所以EF∥AD.…3分 因为EFC平面AC1E,A1D中平面AC1E,所以A1D∥平面AC1E.…5分 E D (2)解：取AC的中点O,连接OB,OA1,如图.因为底面ABC是等边三角形，所以OB⊥AC,即OB⊥OC. 因为侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，所以△AA1C是等边三角形，所以A1O⊥AC. 因为平面AA1C1C⊥平面ABC,且平面AA1C,C∩平面ABC=AC,A,OC平面AA1C1C, 故A1O⊥平面ABC.因为BO,OCC平面ABC,所以A1O⊥BO,A1O⊥OC,所以OB,OC,OA1两两垂直. 以O为坐标原点，OB,OC,OA的方向分别为x,y,之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.…7分 度AB-2则A-10Ao同.p小得号 故AA=(0,1w3),AD= 小a-g …9分 设平面AA1D的法向量为m=(x1y1,之1)， AD·m=0, 23 4 则 即3 1+3y1=0, AA1·m=0, y1+3z1=0, 取x1=1,则m= ……11分 AE·n=0, 设平面AAE的法向量为n=(x2y2,之2)，则 3x2十 32=0, AA1·n=0, y2+√3x2=0, 取x2=1,则n= …13分 数学答案第5页（共8页） m·n 所以cosm,n）= m n ++×+云+ 58 故二面角D-AA,一E的正弦值为，1-】 3√58 ……………15分 58 58 1解：1)网为指调后+ =1(a>b>0)过点1,2 ,离心率e= 2 1 9 461, a [a2=4, 所以{c2=a2-b2,解得b2=3,… …4分 1 c2=1. e a2’ 故椭圆E的标准方程为十号1，…5分 (2)当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为k(k≠0).因为AB⊥CD,所以直线CD的斜率为一： 1 因为右焦点F(1,0),所以直线AB的方程为y=(x-1),设A(x1y1),B(x2y2). y=k(x一1)， 由x2y21消去y得，(3十4h2)x2-862x十4k2-12=0.…7分 4+3=1, 8k2 4k2-12 △=(-8k2)2-4(3十4k2)(4k2-12)=144(k2+1)>0,则x1十x2= 3十4k3x1x2= 3+4k2: 8k2 2 4(4k2-12) |AB|=/1+k7|x1-x2|=√1+k·√(x1+x2)2-4x1x2=√/1十k· 3+4k2 3+4k2 12(k2+1) 3十4k2 …9分 同理可得1CD1=121+2) 3k2+4· ………………………………………………………………………………10分 因为ABLcD,所以Saaw=号AB1·1CD1 72(k2+1)2 6(12k4+25k2+12)-6k2 (3十4k2)(3k2+4) 12k4+25k2+12 6k2 6 6 288 =6-12k0+25k0+12=6 ≥6 12++2 49 …13分 12×2k2· 2+25 当且仅当k2= ,即6=士1时，等号成立，四边形ACBD面积有最小值288 1 49· ………………14分 当直线AB的斜率不存在时，或者斜率等于零时，AB与CD位置互换， 此时.AB1=21y=2,3×1-》 =3,CD|=2a=4,或者|AB=4,CD|=3, 所以S阳边形ACBD=之|AB·CD= 分X34三6.………………………16分 因为6>288， 49,所以四边形ACBD面积的最小值为28 49 ……17分 数学答案第6页（共8页） 19.(1)解：当n=2时，f(x)=sinx+sin2x 2 求导得f'(x)=cosx十cos2x=2cos2x十cosx-1=(2cosx-1)(cosx十1).…2分 因为x∈[0，]，所以令f'x)>0,得0≤<号：令f'(x)<0,得智<x<元 所以函数)在[0，智）上单调递增，在（行上单调递减，4分 2 所以f(x)在[0，π]上的最大值为 sin 3 33 3)=sin3+23 4· …5分 (2)证明：函数fx)=sin工十sim,2I+…+sinn严，求导得f'(x)=cosx十cos2x十…十Cos.…6分 2 n 2sin 2 3 5 3 所以之cos ix= sin 2t-sin 2 sin 2t-sin2 sinu+引sinu)snr+)sm 2sin 2 2sin 2 2sin 2sin 2 2sin 2 nx sin 2cos (n+1)x 2 ………8分 sin 2 当≥2且z0)时.0受<2开登0a< 2 2, 所以sn>0，sn>0os1>0 2 因此fx)-含os>0.所以当n≥2时，)在(0n千)上单调递塔.…10分 (3)证明：令h(x)=sinx- 2 h'(x)=cos x- 2 2,令cosx日 当0<<，时h)>0当x<<受时h'(x)0. 2 所以h(x)=sinx- x在(0x)上单调递增，在1，)上单调递减， 所以当x∈[0]时A)=m 2 元x≥0，sinx≥ C. 同理可证，当x∈ 2元时，simx≥2-2 π …12分 数学答案第7页（共8页） 由2)知f:在0)上单调适增，服，开 当n=1时0三2f(x)=$inx,f(x0)=1满足题意………13分 1π sin- 肾1时当时测十2一i江2 iπn十1n+1 1π sin- 2 …14分 若n为奇数，令n=2m,1,由00，得n>0, i f含异+之+0 2‘n十1-1；…15分 若为数令a=则含子+三层异-2+-2名} =0+1 -+，}-2-2 1=0+12n0 1=1.…16分 综上.nN,3有使得f,≥1.17分 数学答案第8页（共8页）