重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期期中学业水平检测数学试卷

2025-2026学年高二（下)期中学业水平检测 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第I卷和第Ⅱ卷 都答在答题卷上. 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请 将答案填写在答题卡的相应位置上 1.已知一组数据为：2,5,5,6,7,9，下列说法正确的是 A.中位数为5，极差为7 B,中位数为5，极差为8 C.中位数为5.5，极差为7 D.中位数为5.5，极差为8 2.某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人.为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽 样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为 A.10 B.12 C.18 D.20 3.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,且满足a,+a=18,S,=25,则数列{an}的公差为 A.2 B.3 C.4 D.5 4甲、乙、丙三人轮流渔立射击一个目标，三人的命中率分别为、千子 射击顺序为甲、乙、丙，则目 标在三次射击中恰好被击中两次的概率为 c. D. 4 1-5 5. (2x+号)°的展开式中的常数项为15、则实数4= 人号 好 6.计划将甲、乙、丙、丁、戊五名教师分配到三个不同的乡村学校支教，每个学校至少分配一人，若甲、乙两 人必须分配在同一个学校，且丙不能与甲、乙分配在同一个学校，则不同的分配方案种数为 A.24 B.30 C.36 D.42 1.若函数f&)=C+@hx+号产-2a+x不单，则实数a的取值范围是 A.(0,+o) B.(-1,0) C.(-o,-1)U(0,+∞) D.(-1,+∞) 数学第1页共4页 扫描全能王创建 8已知O为坐标原点。本尽F分别是精因C:号+卡=a>b>0的右顶点、下顶点和左焦点，点P在 椭圆C上，且PF⊥OF,若AB⊥OP,估计椭圆C的离心率的值所在的区间为 A02 B.23 C. 3 2 3 D.5,) 2 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上， 9. 已知一组数据x,x2,,x,的平均数为5，方差为s2.现将该组数据进行以下两种处理： 9 操作1：加入一个新数据5，得到10个数据yy2,yo,方差为三： 操作2：将每个数据都乘以2再加3，得到新数据2,22，…，2，方差为s2，则下列说法正确的是 A.s2=2 B.S2<2 C.s2=4s2 D.s2=2s2+3 10.已知(x-2)10=a。+ax+a2x2+…+a10x0,则下列结论正确的有 A.所有二项式系数之和为210 B.二项式系数最大的项是第五项和第六项 Ca+a+a++a,=1+30 D.4+2a,+3a+…+10a0=-10 11.在找国的“杨裤二角”中蕴含着优美的组合数关系式.瑞士数学家欧拉也曾提出过一个名叫“欧拉三角形” 的数表，其中的数类似于组合数，也蕴含着优美的关系式将1,2，，n（n≥2)这n个数排成一排，得 到一个排列(a,a,,a,),设排列中满足a,<a+1的正整数i有k个，就称排列(a4,42,…,4)的“升程 数”为k.比如：n=3时，排列1,2,3的“升程数”为2，排列2,1,3的“升程数”为1记B为将 1,2,,n（n≥2)排成一排后“升程数”恰为k(仆=0,1，…，n-1)的排列数.比如：n=3时，“升 程数”为1的排列有(1,3,2)、(2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)这4个，即B,=4.则下列说法正确的是 A.B=1 B.B=10 C.Bi =Ba-k-i D.B=(n-k)B+(k+1)B1 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卡相应位置上 12.曲线y=sin(.x+)在点(0，)处的切线方程为 13.己知袋子中袋有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球.小明从中分两次各取一个球出来，取球 规则为：若第一次摸到黑球，则倣回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球.小 明第二次摸到白球的概率为 扫描全能王创建 14.为了增强学生体质，提高学生运动兴趣，某校高二年级共6个班准备在5月中旬举行自编操比赛，出场顺序 抽签决定.则1班不在第一个出场，6班不在第6个出场，且2班和3班出场顺序不相邻的不同抽签结果有 种.（请用数字作答） 四、解答题：本题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应 的位置上. 15.(13分) 已知数列{an}的前n项和为Sn，,满足Sn=2a,-n. (1)求证：{an+}是等比数列，并求an: （2)设6=，求数列他}的前n项和工 aa+ 16.(15分) 从某高中高二年级学生的物理期末成绩（满分为100分）中抽取一个样本量为100的样本，成绩样本数据分 为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,1001绘制得到如图所示的频率分布 直方图 (1)求出图中A的值并估计该校高二学生的物理平均成绩（同 频率/组距 一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； 0.025 0.020 (2)年级计划给成绩排名前25%的学生颁发优秀奖，请根据样 0.015 0.010 本数据，估计获奖学生的最低分数线； 0.005 (3)在[50,60)和[90,100]的学生成绩中，随机抽取两个学 405060708090100成绩/分 生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率， 器 扫描全能王创建 17.(15分) 已知平面内动点M到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.记动点M的轨迹为T,过点Q(2,0) 的直线I与曲线Γ相交于A,B两点. (1)求轨迹Γ的方程： (2)设点A关于x轴对称的点为D,证明：直线BD恒过定点， 18.(17分) 某层高为7楼的写字楼有两部独立运行的电梯A和B,初始都在1楼.每部电梯每次运行时，有二的概率向 上运行2层、有二的概率向上运行1层.两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）.设电梯4，B 第i次运行后所在楼层分别为a,和b(位=1,2,3)· (1)求电梯A最终停在6楼的概率： (2)若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0！010度电.记电梯A这3次运行中向上 运行1层的次数为X,3次运行总耗电量为Y,求X的分布列及Y的数学期望： (3)若|4，-b,≤1对任意i=1,2,3都成立，则称两部电梯“同步”：当电梯A最终停在6楼时、求两部 电梯3次运行时始终同步的概率。 19. (17分) 已知函数f(x)=1nx-x-2 2x (1)证明：f(x)>0 （2）已知函数g6)=6x-2-0+方+1裕有两个极值点，名（x<名)， (i)求实数a的取值范围； (i)若方程g(x)=m有三个解，xx(x<x4<为)，请在下面两个结论中选择一个加以证明， 若两个都选，以第一个结论的解答为准 @x3+x4>2x ®x4+x<2x2: 数学第4页共4页 器 扫描全能王创建 磬 8,=2a4+1,式子两边加1，到a,+1=2(a1+1)(m22): 4分 又S=2a,-n,n=1时，4=S=24-14=1 1这【州断1品携学在6按漫明3次运行中，有2沈上开2风.1次上并1层所议P=G写门- …5分 …3分 所似{a,+是以2为公比，2为首明的等壮数列.所似0，+1=2，对a,=2°-1， …7分 (2)由尾可知X=0,1,2,3, 中手乳 aa-2r-l小.a2-小6-2可22 2 11 …10分 -…成（品}品}六小 所以X的分布列为： *…13分 16.【解折】 X (1)(0.010+0.015+0.015+A+0.025+0.005×10=1,解得A=0.030, ……2分 27 27 至=0.10x45+0.15×55+0.15x65+0.30×75+0.25x85+0.05×95=71(分). 5分 6分 (2)重第75百分也登在80.90内，所似0.10+0.15+0.15+030+(x-80)×0.025=0.75,￥得 E(X)=0 4 .2 x+82,所以设置的竖低线为2分， 一10分 27+1+2+ 3x271(次).因为7=0005x-0.010g-0=0.030-0.05x. 3)[50,60)内样本有15人[90,100片样本有5人所uP=GS-点 所以E()=0.030-0.005E(X)=0.025(度)： ……8分 15分 C38 (3》已知A上到6线，则3次运行楼层情况为：（亿，4，），(34，，(3,5，可，因为要求一直同步，所似 17.【解折】 最后B停靠楼层只可能为5,6,7三种情况，设事件C=“A桑终在1层，B最终在j层且始终同步”， (1)在抛物线的定义.「的切政是以F(（L,0)为：点，以x=-1为准线的州物线，故T的分迹方程是y2=4x. 事件C=“A、B始终同步”，事件A=“电佛A停在6使”， 3分 下面逐个分析： (2)设1a:x=y+2,与y2=4x形立，去x,翔y2-4my-8=0.没 当B停留在T径时，其3次运行钱层情况为：(3,5,7刀，此时和A如蛛同步， A(5,)B(为小D(3,-⅓小出韦达定现片'少=4m■-8. 4*6分 mc-的c9器 …10分 如=4t凸，1®y-为=t(x-) …8分 马一 为一名 当B停留在6楼时，其3次运行楼层情况为：(2,46)，(3,46可，(3,5，可，此时和A始许同步， 因为州物战关于x对林，如果直线BD过定点，定点必燃在x格上.上述！如的直线方程中，令y=0,解 mc)c的c- …12分 得x=-为五+()， …10分 +八 当B停留在5按时，其J次运行找层博况为：（亿，3），（亿，4，），(345)，此时只有当A为仔5，司，B 因为名=明+2名等刚：+2。帝入()式，烤利用书达完穿 为2时不周，c-G的G的号日付号器 15分 x-为55+5=-为@+2@+2+侧+2列=-为+4+2 32,16.64 y,+% 为+为 为+为 PC)=PC+C+C.2't22_76 P(A) 81 2m丛+2-16m+2=-2. 4+14分 9 为+片 4m 所以直线BD国过定点(-2,0)： …15分 即两肥比烯3次行切地终同步的概率为 81 …17分 数学答术筒3页片7页 数学容常如4生共？页 2025-2026学年高二（下）期中学业水平检测 对于B,通这皮岸可御甲卧数考2的悟有 丹母位置在1.2的有(1.24.3).l.3.4.21.(2.3,4.1) 数学参考答案 尹程位数在13的有(1.3.24)、（山.4.23）.(23,1,4)、(2..1,3)，(3.4，l,2) I:CCAD 5-8:B8DB 手程他里在2.3的有(2,1.3.4).3,1,2,4).(4,1.2,3).总共11个。8=11.B猫课 9.Ac 10.ACD 11.ACD 对子C。没料列(@，.a,,0.10,)的升程数为k,将其进行倒伴馆列，对到(d.a….4,a,.得程到的 14.348 尹四数哈为n一欢-1，从行升程数k的样列可以与丹胃数为月一专-】的其列形成一一时应，从前B=B, 6B【解析】先将人分我三拥。老甲、乙两人在同一个学校无第三着，将丙，丁.戊三人分成两组，有C C正勇 对千D:将1.2.…，n-1进行样列，可n浦入到港列中后，考比升程数的变化，假设1,2，，n-1的样列中 种：苦甲，乙两人在同一个华胶有第三者，第三者只能从丁，戊中选，有C种，最后三组人分配到三个学 有两个相帮的数a,b,者a<b,将n性入到a.b之间或若排首.则升世数不变：若a>b,培n暗入到a.b 校乘以术.所以不同的方案种数有(C+C）(=30种.比题选择B. 之间或雄运。则开程数多L.1.2,…,n-1进行样列开捏数为人-1的得列有B个，·个博列中都有 元.D【解i1/)-g'+e,x-2a+).-2a+r+g+eK-a-a- n一k-1对垢能的数.b其出a>b),持n档入到a,b之间显排6。可使御升程数多1，共有n-k种福 令广(x)=0.得x=a度a+1,由思只需了(x）在(0，+四)存在零点即可， 数方法，从而糊到(n一)B{个升母数为的1之，…、#-1，：的搏列：可理，2，，n-1进行梅列升图数 所以a+1>0.ae(-1,+0).选D 为k的梅列有B,个，一个列中都有k对相究的数a,b(兵中a<6)。将元悟入到a,b之司或神首. &8解折14a.0.80.-6利.oo.o).Fe.01.Pe2B10Run-1,86Nac 可使附丹怪数不变，共有k+1种插数方法。从此周到（传+）B,个升型数为《的1.2，，n一人方的年列：际 上，B=(切-k)8+(+1)8·D正确.选ACD. 两边平方，b'=a'c3,带入b=a-r2得a'-3a'c2+3a2c-c-a'c2=0. 3.20:【解折】情况分为第一次视到黑球。第二次额到白宋以及两次都损到白球两种情元，所以 两边同除以a,固为c=￡，得心-5+42-1-0.记1=e2.考®三次通数f(0)=广-3r3+4-1. 300 ()=32-6+4>0.所以f)单调带. /得<0付)0.由零点存在定现。深方程的解 P品g测 14.548【解析】设A=“1期不在首”1B-“68不在尾”；C-“2,J进木相充”划 》 放得到一个逃心未的估计区画e后 15 23进D. n(ABC②■n(AB)-(dBC)=(代-2+-G(4-2d+)=348 另注：可以先相1,4.5,6再对2,3进行墙空. 10,ACD【解所】所有二项式系数之和为2”。A正确。厘开式共有11实，二项式系数最大的是奶六项。B 情况一：1在首，6在尾。则比时2,3色卖远桥两瑞位置.划(()=4 m.取x=l,a下a+a+g++ae=1,x=-l,a。-马+马-马+…+ao=3,两式州t张以二，群 情况二：1在首，6不在尾，则比时2.其中一个做在1的雨。则(C)(C)=32 情况三：1不在首.6在尾.慰此时2.3其中一个酸在68面。则(C(C)=32: 10(x-2)'=a+2ax+30,r+…10ce,令x=1,得a,+24+30,++10a。=-10,数D正确.进 情况四：1不在首.6不在名。新此封2.3可以任选孕位放R,恩(C(+CC((4)=280 所以共计348种 择ACD 15,【解折】 11.ACD【解折】B,”表示将1.2，…，n料成一接后，升程数为0的样列数。丹程数为0。，.相列只能是 (1)S,=2a,-n,S=2a4-(n--(u22小.a.=S-5=2a,-2a.-1 …2纷 (H,n一【，…，21)一轴，即6B四=1，A止确： 数学谷室响】货共了更 扫描全能王创建 回 19【解所))定义炼为0，©.《0=、-下=、.令f八()>0解用>1，◆了()<0，解 R入)间.《)卢正-4 化-2y-n无=2-n 2 将0<<：倒在0，)上单调适减.在四上周通增六≥f0=>0,期花.4分 自小g<0,又=四=0 (2)(i)法-4g(x)=a(x-2)'-xbx+r,g'()=30a-2y-山x.是然r=2不是g(r)的罗点. “8)在(0)和(：+e)当存在零点1山西：) 由83a= 有满个a.◆因aU Bu)正0.)单调建州在（高，）带面莲减。（红.可）单要通缩。符心条件 …6分 若d<0,对-次南最y=62-12ar-1.d=24a(0u+0, .-9-a-9地2-a 当450.出-0<0有g50,g阅单满还不可能有两个零台：才格 (x-2) (x-2 当△>0，即a<-时.y=6ar2-2a-有店个振州，两：·《m<%-) 6 由《1)知-2-2hx<0.xE0.2》时.A>0.到单调孟始 由启>0，m+%=1知0<《% xe(亿，+©)时，方x)<0。x军调适减。 xe(0.m)时，g'()<0.g')单送减：x后(m.m)时.g'《)>0. “细()=c.腮倒=e.期国)=e.脚国=0 4一8分 g气x)单两还增：xe(m,+o)时，g'()<0,g(x)单离通减. 当且仅当3如>0：020时，3如2元有丙个等商西<5，可 类的于记种情视，：%：m是g'《)的等点，同W3如 2-n81同-2-白%0. 1 2 当rE(0.x)时.3a>h().g'()>0,g()单调通 g'气r)不可维有两个孚点，子清.级t。ae0,c) 410 当xe(,2)时，3a<h(,g()<0.g)单调速燕 《)由(i知a>0,g()在(0)单调通增.。在(5七)单调追减，(e)单演递W 当xe(2.x)时，3a<),g'(x)<0.(x)苹调递减 证明：5+x,>2x·即E:k>2五-1 当x∈(3，四)时.3a>h(r),g(x)>0.gr)雕调冠婚 ,>无·2-，<无 ∴x,5是g(x的极值点..ae(0,+o) …10分 若2x-,s0,则2-5，s0<x得证： 法=g(x)=a(-2'-xlnx+x.g'(x)=3a(:-2-nx 若25-x,>0,由g)在(0.)单调通增。只商延：(4)>(2出-， g0=ax-20-6ar-2a-n6-12a 4…5分 即证：g()>g2x-无)，即证：gx》-g(2-)>0,其中5<x,<x且无2无 ①若a=0,寿g)=-<0,g单调运减，不可能有两个零点.不格 令(x)=g(x)-g(2x-),其中无<x<x且x<2·只写还：u(c)>0, 13分 6分 u(x)=g(r)-g(2年-x).u'(x)=g'x)-g'(2-x) @若a>0.则g'x)=6ar-12a-1单调递暗 x>··x>2-x,而g')=6ar-12a-单演通0。 img'气)=o,m气0=e,∴存在>0.使号g气)=08)在0，)上带两递减，在 g'(>器'(2出-x).'x)>0。u(x)单清遥增. …15分 (5)上单调遥增.8()=5a(-2y-h() 父(5)=2g'(写)=0，u'《x)>（g1=0,ux)单调递增 ()>u(年)=g()-g()=0.得证. g0o)=0.即6a-12m,-1=0.30=2E-4 证翻：x,+无<2，群证：无<251-x, 数学香堂前6负片1其 数学签发用费共7页 扫描全能王创建 x4<x2·.2x2-x>x2·由g(x)在(x2,+o)单调递增，只需证：g(x,)<g(2x-x) 即证：g(x4)<g(2x2-x),即证：g(x)-g(2x2-x4)<0,其中x<x4<x3 令u()=8()-g(2x2-x),其中x,<x<x2,只需证：(x)<0 …12分 (x)=g'(x)+g'(2x2-x),w'(x)=g'(x)-g"(2x:-x) ?x<x,x<2x,-x,而g)=6ar-12a-1单调递增 …14分 ∴.g"(x)<g"(2x2-x),.u"(x)<0.u'(x)单调递减 又u'(x2)=2g'(x2)=0,∴4'(x)>'(x2)=0,u(x)单调递增. ∴.u(x)<u(x2)=g(x2)-g(x2)=0,得证， ……17分 扫描全能王创建