拓展1 排列组合20种常见考法归类讲义（100题）-2025-2026学年高二下学期数学题型归纳与解题策略(人教A版选择性必修第三册)

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 拓展1 排列组合20种常见考法归类（100题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 直接法 考点二 特殊元素和特殊位置优先法 考点三 相邻问题捆绑法 考点四 相离问题插空法 考点五 相邻问题和相离问题综合 考点六 定序问题倍缩法 考点七 分堆分配问题 考点八 相同元素隔板法 考点九 间接法 考点十 环（圆）排问题直排法 考点十一 多排问题单排法 考点十二 小集团问题先整体后局部法 考点十三 两类元素的排列，组合选位法 考点十四 含约束条件问题合理分类与分步法 考点十五 数字排序问题查字典法 考点十六 简单问题实际操作穷举法 考点十七 错位排列 考点十八 多面手问题 考点十九 排列组合综合问题 考点二十 涂色问题分类分步综合法 排列组合问题的解题方法主要有捆绑法、插空法、隔板法、间接法等.不同解题方法适用情境以及在相关细节的处理上存在较大差异.只有充分把握其本质，对相关情境进行正确、合理地想象，正确选择对应的解题方法，才能提高解题效率，因此，实践中应严把理解关，使学生真正地吃透与掌握. 直接法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 特殊元素或特殊位置优先法 所谓“优先法”是指在解决排列组合问题时，对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法之一。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 相邻元素用捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 不相邻用插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.部分习题创设的情境较为复杂，还需采用捆绑法等其他一些方法.总之，无论采用何种方法，应清楚形成的空的数量. 定序问题倍缩（消序法） 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法（消序法），还可用空位法。①消序法：将m＋n个元素排成一列，其中有m个元素之间的排列顺序不变，设排列数为x；然后允许这m个元素任意排列共有种排法，经过上述两步后，问题等价于m＋n个元素任意排成一列，共有种不同的排法，根据分步乘法计数原理得，因此②定序问题还可以采用先定后插或者先选后定等方法处理. 元素相同 隔板法 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入 n 个元素排成一排的个空当中，所有分法数为，隔板法中"隔板"的目的在于将元素划分成不同的“组别”，隔板既可以作为特殊的对象“插入”到实际元素形成的空中，也可将其看做特殊对象将其与实际元素进行针对性地排列组合.究竟采用何种方法，需具体问题具体分析. 间接法 排列组合问题中有一类问题采用直接方法虽然能分析出结果，但是步骤较为繁琐，对于多数学生而言容易忽略某一种情况为避免出错可采用间接法进行处理，有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中淘汰。（在解答有关"至多"与"至少"的问题时，通常有两种方法：直接法或间接法.直接法是让学生在解决相关的问题时. 把重点放在对题目中每个元素的分析上面，这样可以确定相关元素的限制性，更好地寻找其他的元素，结合更多元素进行问题的综合考虑.而间接法则是先让学生忽略题目中给出的一些附加条件，再进行整体的排列组合和相关的数量计算，这样就可以得出一个结果，然后用这个附加条件来计算出一些不符合题目要求的结果，去除这些不合适的结果，这样就可以通过减法得出最后的答案.但需要注意的是，此类题型的做法有很多，学生在审题时，一定考虑好做题的入手角度，在做题过程中，不要忽略任何一种情况，因为是客观题，所以结果是得分的关键.如果在审题时你就发现不只有一种方法，那么选你最拿手的方法来思考，之后在检验时用其他方法.） 重排问题求幂法 允许重复的排列问题是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置。一般地，n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为。 环排问题线排法 围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线，一般地，n个不同元素圆形排列，共有种排法。如果从n个不同元素中取出 m 个元素进行圆形排列，共有种排法。 多排问题单排法 一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段处理。 小集团题先整体后局部法 解小集团排列问题，先整体后局部，再结合其他策略进行处理。 两类元素的排列，组合选位法 将m个元素a，n个元素b进行全排列，我们可以从m＋n个位置中选择m个位置安置元素a，剩下的n个位置安排元素b，其方法数有种，故称这类排列为组合选位法. 分组与分配问题 对不同元素的分配问题． 整体均分 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数． 部分均分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． 不等分 只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 对于相同元素的“分配”问题 对相同元素的分配问题一般采用“隔板法” 数字排序问题查字典法 数字排序问题可用查字典法，查字典法应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。 实际操作穷举策略 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算时，往往利用穷举法，一个一个列出来。 考点一 直接法 1．（2026高二·宁夏中卫·月考）名男生和名女生站成一排拍照，不同的站法有___________种 （用数字作答） 【答案】120 【详解】名男生和名女生站成一排拍照，即为5名学生站成一排拍照， 所以不同的站法有. 2．（2026高三·浙江·期中）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（    ）种. A．16 B．20 C．96 D．120 【答案】C 【分析】分一男两女与两男一女两类讨论. 【详解】若选一男两女共有：； 若选两男一女共有：； 因此共有96种， 故选：C 3．（2026高三·四川巴中·阶段检测）4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（ ） A．288 B．336 C．368 D．412 【答案】B 【分析】分四位数不出现1时，必选2，3，另两张卡片各选1个全排列，当四位数出现一个1时，选2或3，另两张卡片各选1个全排列，当四位数出现两个1时，另两张卡片各选1个全排列，然后求和即可. 【详解】解；当四位数不出现1时，排法有：种； 当四位数出现一个1时，排法有：种； 当四位数出现两个1时，排法有：种； ∴不同的四位数的个数共有：， 故选：B． 4．（2026高二·广东·期中）将标有、、、、、的六张数字卡片分成甲、乙、丙三组，要求每组都有奇数数字卡片与偶数数字卡片，则不同的分法总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定奇数数字卡片、偶数数字卡片分配给甲、乙、丙三人的分配方法种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】将奇数数字卡片分配给甲、乙、丙三组，可以是、、或、、或、、，有种分配方法， 将偶数数字卡片分配给甲、乙、丙三组，共种分法， 由分步乘法计数原理知共种分法． 考点二 特殊元素和特殊位置优先法 5．（河南许昌市2026届高三年级下学期质量检测数学试题）甲、乙、丙、丁共4名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，4人的名次排列可能情况有（   ） A．4种 B．8种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】由题意知，甲、乙都不是冠军，故冠军从丙、丁中选择，共2种， 乙不是最差的，故乙不是第4名和第1名，剩余可选第2或第3名，共2种， 剩下的2人全排列，共种， 总情况为：种． 6．（2026·湖南湘潭·模拟预测）现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 【答案】D 【分析】根据题意，分甲在第三个出场和甲不在第一个、第三个和最后一个出场两种情况讨论求解即可. 【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种； 若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种． 根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种． 7．（山东青岛西海岸新区2025-2026学年高二学期期中学业水平检测数学试题）高二某班级名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由分步计数原理求解即可． 【详解】由甲同学不能报名足球，可得甲有2种报名方式， 乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，可得乙有3种报名方式，丙有2种报名方式，丁只有1种报名方式， 由分步计数原理可得共有种． 8．（2026高三·河南周口·阶段检测）某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有（   ） A．504种 B．1080种 C．1224种 D．2304种 【答案】C 【分析】根据题意，可分为男女或男女，结合女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，利用排列数与组合数公式，即可求解. 【详解】根据题意，从6名男生和4名女生中选派4人，所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，可分为男女或男女， ①当男女，共有， 先安排编程主持人，剩下的3人全排列，有种选法， 由分步计数原理得，共有种选派方案； ②当男女，共有， 先安排编程主持人，剩下的3人全排列，有种选法， 由分步计数原理得，共有种选派方案， 再由分类计数原理得，共有种不同的选派方案. 9．（浙江浙东北联盟2025-2026学年高二学期5月学科练习数学试题）某班一天上午4节课，下午2节课，现要安排语文、数学、外语、物理、化学、体育6堂课的课程表，要求数学排在上午，体育不排在第一、二节，不同排法种数是______．（用数字作答） 【答案】336 【分析】可分体育排在下午和上午两类情况，结合特殊元素优先法进行排列计算即可． 【详解】可分体育排在上午和下午两类情况： ①若体育排在上午：先排体育，有2种方法，再排数学，有3种方法，最后排其它4科，有种方法, 故体育排在上午的不同排法种数为； ②若体育排在下午：先排体育，有2种方法，再排数学，有4种方法，最后排其它4科，有种方法, 故体育排在下午的不同排法种数为； 故不同排法种数为. 考点三 相邻问题捆绑法 10．（2026·江西萍乡·模拟预测）某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用捆绑法可求得结果. 【详解】由题意可知，将与捆绑，形成一个大元素，并与其他三个字母进行排序， 因此不同的排法种数为种. 11．（2026高二·河北邢台·阶段检测）某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（    ） A．264种 B．288种 C．312种 D．336种 【答案】B 【分析】首先2名老师捆绑为一个元素和2名男同学全排列，再让女同学插空排列. 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 12．（2026高二·北京·期中）某班上午有五节课，分别安排语文､数学､英语､物理､化学各一节课.要求数学课不排第一节，且语文与物理相邻，则不同排课方案有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 【答案】B 【分析】利用捆绑法，特殊元素优先考虑，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行求解. 【详解】先将语文与物理两个进行相邻排列，有种选择， 若语文和物理作为一个整体，两个学科中有一个在第一节课的位置， 则另一个一定在第二节课的位置， 其他3个科目和3个位置可以进行全排列，故有种选择， 此时共有种选择， 若语文和物理作为一个整体，两个科目均不在第一节课的位置， 则可以安排第二，三节课或第三，四节课，或第四，五节课，共有3种选择， 此时数学不能安排在第一节课，故有2种选择， 最后再安排其他英语和化学两个学科，共有种情况， 此时共有种情况， 综上，共有种情况. 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）某文艺演出共有六个节目，其中节目甲须被安排在前两个节目演出，节目乙、丙必须前后出场，则这六个节目不同的安排方法共有（   ） A．68种 B．72种 C．84种 D．96种 【答案】C 【分析】根据题意，节目甲被安排在前两个节目演出，可分节目甲被安排在第一个节目演出和节目甲安排在第二个节目演出，两种情况分类讨论，结合节目乙、丙前后出场，利用排列数公式，即可求解. 【详解】节目甲被安排在前两个节目演出，可分两种情况讨论： ①节目甲被安排在第一个节目演出， 因为节目乙、丙必须前后出场，可以把节目乙、丙当成一个整体， 则此时共有四个元素全排列，有种安排方法， 因为节目乙、丙须考虑两者的顺序，有2种情况，则有种安排方法； ②节目甲安排在第二个节目演出， 因为节目乙、丙必须前后出场，可以把节目乙、丙当成一个整体， 则节目乙、丙前后出场的位置有3个，且须考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方法， 由分类计数原理得，共有种安排方法． 14．（2026高二·湖北武汉·期中）某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ， 所以总方法数为：. 15．（2026高二·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 16．（2026高二·安徽马鞍山·期中）某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（    ） A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 【答案】A 【分析】对甲的位置分三种情况讨论，依次分析丙丁的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论： ①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个， 考虑两者顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列,安排在其他三个位置， 有种安排方法，则此时有种编排方法； ②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个， 考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列， 安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法； ③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个， 考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列， 安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法； 则符合题意要求的编排方法有种； 故选：A. 考点四 相离问题插空法 17．（2026高二·山西临汾·期中）某班一天上午有5节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生物及体育这7门课的课程表，每门学科各一节课，要求数学课与物理课不相邻（上午第五节与下午第一节不算相邻），且体育课排在下午，则不同排法有（    ） A．960种 B．1056种 C．3600种 D．5040种 【答案】B 【分析】题目考查了排列组合中的特殊元素优先法、分类讨论思想、插空法，重点是“不相邻问题”和“特殊位置优先安排”的解题技巧. 【详解】体育课排在下午共种排法；因数学与物理不相邻，分两类： 第一类：数学与物理有一科在下午，另一科在上午与其他科排列，共种排法； 第二类：数学与物理均在上午且不相邻，先在语文、英语、化学、生物中选一科排在下午共种排法，再把剩下3科排在上午共种排法，在它们中间及两端共4个空位安排数学与物理，共种排法，由分步乘法计数原理共种； 所以共 种排法．故选B． 18．（2026高二·重庆渝北·期中）在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（    ）种排队方式. A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】B 【分析】先按李老师在排头或排尾分两种情况，再按甲的位置细分，用总排列数减去乙丙相邻的排列数得出符合条件的排法，最后利用对称性得到总数. 【详解】分两种情况： （1）李老师在排头（位置1）：此时甲在位置2或3， 当甲在位置2时：剩余位置3、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共3对，相邻排列数为种，所以不相邻排列有种； 当甲在位置3时：剩余位置2、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共2对，相邻排列时为种，所以不相邻排列有种； 所以共有种； （2）李老师在排尾（位置6）：排法与排头对称，所以也有28种； 综上，共有种排法. 19．（2026高二·山东烟台·期中）某单位在周一到周五的五天中安排4人值夜班，每天安排1人，每人值夜班至少1次，至多2次，且每个人均不在相邻两天连续值夜班，则该单位可能的值夜班安排种数为（   ） A．96 B．108 C．144 D．288 【答案】C 【分析】依题意，先选出值两天班的人，再选值不相邻的2天，剩下3人各值1天利用分步乘法计数原理即可求得答案． 【详解】五天安排人，每人至少次、至多次，因此总值班次数满足， 即恰好有人值次班，其余人各值次班. 选值次班的人，共种选法； 从天中选个不相邻的天给这个人，总选法为种. 剩余天安排剩余人，每人天，全排列共种排法. 总安排种数. 20．（2026·湖南浙江·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 【答案】36 【分析】利用甲乙不相邻问题，去掉甲乙不相邻且乙丙相邻的情况即可. 【详解】5人中甲乙不相邻的排列数为种，其中甲乙不相邻，且乙丙相邻的排列数为， 所以所求不同的排法种数为. 21．（2026高二·天津蓟州·期中）“国家中小学智慧教育平台”是教育部面向全国师生免费开放的国家级数字教育平台，某天小华同学利用手机验证码进行登录，平台生成的六位验证码由数字1，1，2，3，4，5组成，为了防止混淆，规定数字1与2不相邻，则本次登录可以生成的验证码个数为________． 【答案】144 【分析】先求出六位验证码的总排列数，再分别计算与2相邻的排列数，与2相邻的排列数，，都与2相邻的排列数，通过对立事件求解． 【详解】六位验证码的总排列数种， 我们可以把数字看作， 与2相邻的排列数：， 与2相邻的排列数：， ，与2都相邻（即，2，）的情况有， 当两个1看作不同元素时，1与2相邻的排列数有种， 又因为两个1是相同元素，所以1与2相邻的排列数应为种， 所以符合条件的排列数种． 考点五 相邻问题和相离问题综合 22．（2026高二·重庆·期中）在如图所示的六宫格中，每个格子用、、、、中的一个数字填入，要求用两次，其余数字各用一次，且两个不相邻，则不同的填法共有（   ）种 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先考虑所有的排法种数，再考虑两个相邻的排法种数，结合间接法可得结果. 【详解】先考虑所有的排法种数，共有， 接下来考虑用两次且两个相邻的所有情形， 若两个都在上面一行，可以排在第一个和第二个位置，也可以排在第二个和第三个位置，有种放法， 若两个都在下面一行，同理可知也有种放法， 若两个不在同行，则两个位于同一列，有种放法， 综上所述，两个相邻的放法种数为， 由间接法可知，满足条件的不同放法种数为种. 23．（2026高二·山东·期中）参加实践活动的2名教师和甲，乙，丙，丁4名志愿者站成一排合影留念，其中教师相邻，且甲，乙不相邻的方法有__________种 【答案】144 【分析】先将两位老师看作一个人，与丙，丁两人排列，再将甲，乙两人放进上述“3人”排列所形成的4个空位中，据此可得答案. 【详解】先将两位老师看作一个人并内部排序，再与丙，丁两人排列有种方法， 再将甲，乙两人放进上述“3人”排列所形成的4个空位中，有种方法， 故共有种排法. 24．（2026高三·全国·专题练习）某年六月，“青松”团队的名成员（含队长“戊”）相约赏荷，人站在荷花池边排成一排合影留念，其中队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数有______种（用数字作答）. 【答案】 【分析】将队伍从左向右依次按到编号，先将队长戊固定在号位，先考虑甲和乙必须相邻的排法种数，接下来考虑甲和乙相邻，且丙和丁相邻的排法种数，利用间接法可得结果. 【详解】将队伍从左向右依次按到编号，先将队长戊固定在号位， 先考虑甲和乙必须相邻的排法种数，将甲和乙捆绑，则甲、乙两人可排在号或号或号或号位， 所以甲、乙必须相邻的排法种数为， 接下来考虑甲和乙相邻，且丙和丁相邻的排法种数， 则甲、乙排在号或号位，有种排法， 丙、丁排在号或号位，有种排法， 或者丙、丁排在号或号位，甲、乙排在号或号位，剩余两人有种排法， 此时不同的排法种数为种， 由间接法可知队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数为种. 25．（2026·上海闵行·模拟预测）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 【答案】240 【分析】利用相邻问题及不相邻问题列式求解. 【详解】将两个2绑在一起视为一个数，与作全排列，再在形成的5个间隙中插入3个0， 所以不同密码个数为. 考点六 定序问题倍缩法 26．（2026高二·山东德州·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 【答案】30 【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 27．（2026高二·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 【答案】B 【分析】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果，进而根据计数原理得到最终结果. 【详解】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果， 因此根据计数原理可知共有种结果. 故选：B 28．（2026高二·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 【答案】A 【分析】定序问题，使用倍缩法，用全排列除以内部排序即可. 【详解】首先将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 即除以内部排序即可，故取谜题的方法有. 29．（2026高二·福建厦门·月考）5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念．（须有适当的文字说明） (1)要求小王与工作人员甲、乙三人相邻，且小王在甲、乙中间，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲、乙、丙的身高互不相等，拍照时甲、乙、丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)48 (2)120 (3)504 【分析】（1）由相邻问题中的捆绑法即可求解； （2）由定序问题中的倍缩法即可求解； （3）求出工作人员甲站在最左端或工作人员乙站在最右端的站法之和、以及工作人员甲站在最左端且工作人员乙站在最右端的站法，即可由间接法求解. 【详解】（1）小王与工作人员甲、乙三人相邻，且小王在甲、乙中间的站法有种， 所以5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念共有不同的站法种； （2）由题拍照时甲、乙、丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻）的不同站法共有种； （3）工作人员甲站在最左端或工作人员乙站在最右端的站法共有种， 工作人员甲站在最左端且工作人员乙站在最右端的站法有种， 所以工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端的不同站法共有种. 30．（2026高二·河北保定·阶段检测）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案； （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案. （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案. 【详解】（1）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．再将剩下4个节目全排列，有种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，有3种排法，故共有种排法； （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．则共有种排法． （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中．若两个节目放入同一个空，有种排法，若两个节目不放入同一个空，有种排法，故共有种排法． 考点七 分堆分配问题 31．（2026高二·江苏扬州·期中）“江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（   ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案. 32．（2026高二·江苏镇江·期中）某市为全面了解社区居民生活需求、完善社区服务体系，选派6名志愿者到甲、乙、丙、丁四个社区开展社区走访调研活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（   ） A．540种 B．1560种 C．2640种 D．4800种 【答案】B 【分析】根据组合和排列的定义，结合分组的不同分类讨论进行求解即可. 【详解】首先将6名志愿者分成4组，再分配到4个社区，可分为2种情况， 第一类：6名志愿者分成1，1，1，3， 分组方式有个； 第二类：6名志愿者分成，分组方式有个， 所以共种选派方案． 33．（2026高二·江苏南京·期中）2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先按4人分3组、每组至少1人用排列组合求出总基本事件数，再分别算出甲在指定灯区且甲乙不到同一赏灯区时，该灯区2人和仅甲1人两类情况的方法数，联立得到同时满足事件的事件数，求出联合概率，再套用条件概率公式算出最终条件概率. 【详解】记事件: 甲游览机场跑道无人机灯区，事件: 甲与乙不到同一赏灯区，则， 因为每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区，则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个赏灯区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若游览机场跑道无人机灯区有2人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的游览情况种数为， 若游览机场跑道无人机灯区只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个赏灯区， 此时，不同的游览情况种数为， 因此，， 由条件概率公式可得. 34．（2026高二·广东·月考）唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法有______种.（用数字作答） 【答案】60 【分析】按照分步来完成，先把本书分堆，用算组合数，再除去有重复情况，再看甲不拿语文的情况，甲有种选择，剩下人全排列，最后用乘法原理计算即可. 【详解】将6本书分为3堆，共有种方法， 若甲同学不拿语文，则有种方法，故所有的分配方法有60种. 故答案为：60. 35．（2026高二·江苏南京·期中）把黄、绿、棕、蓝、粉、黑6颗不同的小球放入A，B，C三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球，其中黑色小球必须放入A盒子中，则有______种不同的安排方法. 【答案】180 【分析】为避免重复计算，以A盒的小球个数进行分类讨论，再将剩余的球分配进剩余两盒即可 【详解】若A盒只有一个球（黑球），共有种方法； 若A盒有2个球，共有种方法； 若A盒有3个球，共有种方法； 若A盒有4个球，共有种方法 故总计种方法 36．（2026·陕西汉中·模拟预测）现将某工厂车间的6名班长和3名质检员平均分成三组参与春节期间的安全生产工作，各小组内3人分别负责生产安全、人员调度、产品质检三项工作，其中质检员只负责产品质检，则班长甲与质检员乙不在同一个小组的概率为______． 【答案】 【分析】计算总的分组方式有，再计算班长甲与质检员乙在同一个小组的方式数即可求解. 【详解】质检员分配有种方法，班长分配有， 所以总的分组方式有； 若班长甲与质检员乙在同一个小组，则有， 故所求为. 故答案为：. 37．（2026·福建·模拟预测）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 【答案】 【分析】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，由于甲、乙两人不能被安排到资源组，针对甲、乙两人在同一组与不同组进行分类计算，结合要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多排除一些情况，再使用排列组合公式进行计算. 【详解】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，那么资源组、电芯组、基建组人数分配情况有与, 当甲、乙两人在同一组时，那么甲乙只能同在电芯组或基建组,存在与两种分配情况, 此时,; 当甲、乙两人在不同组时，那么甲乙只能一个在电芯组另一个在基建组,存在与两种分配情况, 此时,; . 38．（2026高二·河南·期中）五一期间，某医院安排某科室的甲、乙、丙3名医生1至5日值班，规定每人至少值班1天，5天中每天都有且仅有1人值班，其中医生甲在1日、2日中至少选择1天值班，则不同的安排方法共有________种（用数字作答）. 【答案】88 【分析】本题为分组分配问题对特殊元素医生甲进行分类，分为医生甲选择1日，2日中的1天，且值班1天，甲只选择1日，2日中的1天，且值班2天，甲选择1日，2日中的1天，且值班3天，甲选择1日2日值班，且值班2天，甲选择1日2日值班，且值班3天，然后剩下时间分配给乙、丙，再使用分组分配方法进行计算安排方法. 【详解】当医生甲选择1日，2日中的1天，且只值1天班时，有种选择，再将其他4天分给乙、丙，有种排法，共有种排法； 当甲只选择1日，2日中的1天，且值2天班时，有种选择，再将其他3天分给乙、丙，有种排法，共有种排法； 当甲选择1日，2日中的1天，且值3天班时，有种选择，再将其他2天分给乙、丙，有种排法，共有种排法； 当甲选择1日2日值班，且值2天班时，只需将其他3天分给乙，丙，有种排法； 当甲选择1日2日值班，且值3天班时，有种排法，只需将其他2天分给乙，丙，有种排法，共有种排法. 综上，不同的安排方法共有种. 考点八 相同元素隔板法 39．（2026高二·北京·期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为______． 【答案】 【分析】在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，结合隔板法可得出结果. 【详解】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板， 所以，不同的分法种数为种. 故答案为：. 40．（2026高三·云南·月考）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____． 【答案】 【分析】设对应个位到千位上的数字，则，，则有，隔板法计算即可求值. 【详解】设对应个位到千位上的数字，则，且，相当于8个相同的球排成一排，先拿一个球装入， 转化为7个球装入4个盒子，每盒可空，等价于11个球用3个隔板分成4组（各组不可为空），故共种. 故答案为： 41．（2026高二·安徽合肥·期末）在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有________个（用数字回答） 【答案】120 【分析】根据题意，将原问题转化为将8个小球分为4组且第一组不能为0的问题，根据0的个数分情况，结合挡板法即可求解． 【详解】根据题意，8个相同的小球排成一排，8个小球两两之间不包括头尾共有7个空位中， 若四位数的“英雄数”中不含0，则需要在这7个空位中随机安排3个挡板，可以将小球分为4组每两个挡板之间的小球的数目依次对应四位数的千、百、十、个位数字，共有个， 若四位数的“英雄数”中只有一个0，则需要在这7个空位中随机安排2个挡板，可以将小球分成个数不为0的3组，0可以作为百、十、个位其中一位上的数字，此时共有个， 若四位数的“英雄数”中有两个0，则需要在这7个空位中随机安排1个挡板，可以将小球分成个数不为0的2组，0可以作为百、十、个位其中两位上的数字，此时共有个， 若四位数的“英雄数”中有3个0，则只能是8000，只有一种情况， 综上：共有个“英雄数”． 故答案为：120． 42．（2026高二·山东青岛·月考）的非负整数解有__________组. 【答案】84 【分析】把方程的解转化为将6个相同的小球，放入4个不同的盒子，且可以有空盒出现，有多少种不同的方法？按照相同元素的排列问题进行求解即可. 【详解】本问题等价于将6个相同的小球，放入4个不同的盒子，且可以有空盒出现，有多少种不同的方法？ 因此我们将6个小球排成一排，用3个隔板将小球隔成4段， 因为盒子可以为空，因此隔板可以相邻，将第1,2,3,4段放入这四个盒子中即可， 因为小球没有区别，隔板也没有区别，因此等价于将6个小球和3个隔板排成一列，则共有种方法， 故答案为：84. 43．（2026高三·江苏南京·强基计划）方程的非负整数解的个数为____________. 【答案】81 【详解】设，，，由此，又，，可得：，，则可判断可能的解有：（2，0，5），（1，6，0），（4，3，0），（7，0，0）， ①当，可求得：，而，看成2个相同白球，用隔板法隔成3区域（可有空区），有个解； ②当，可求得：，，而，有个解， 因此该情况共有个解； ③当，可求得，，而，有种情况， 因此该情况共有个解； ④当，可求得：，而，有个解． 综上，方程非负整数解个数为：81． 考点九 间接法 44．（2026高二·湖北武汉·期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【答案】A 【分析】根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择3个地方的全部情况数目，再计算汉口江滩没人去的情况数目，分析可得汉口江滩一定要有人去的游览方案数． 【详解】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方， 则每人有3种选择，则4人一共有种情况， 若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼､东湖， 每人有2种选择方法，则4人一共有种情况， 故汉口江滩一定要有人去有种情况， 故选：A． 45．（1990·全国）以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（    ） A．6个 B．12个 C．18个 D．30个 【答案】B 【分析】从正三棱柱的六个顶点中任取四个组成四面体，减去在同一个面上的情况，即可得答案. 【详解】根据题意，先从六个顶点中任选四个，共种选法， 而其中包含了所取4点在同一个侧面上的情况，这种情况有3种， 即符合条件的有 ； 故选∶B． 46．（2026高二·全国·单元测试）将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（    ）． A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 【答案】D 【分析】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解. 【详解】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法. 故选：D 47．（2026高二·辽宁大连·期末）某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（    ）种 A．9 B．36 C．54 D．108 【答案】C 【分析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答. 【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种， 选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种， 所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种 故选：C 48．（2026·河南焦作·模拟预测）某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（    ） A．21种 B．231种 C．238种 D．252种 【答案】B 【分析】利用间接法求解，先求出任选5人的选法再减去甲乙丙三人都不被选的选法即可得解. 【详解】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种， 则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种. 故选：B 考点十 环（圆）排问题直排法 49．（2026高三·全国·专题练习）圆排列最早出现在《易经》里．当A，B，C三位同学围成一个圆时，排列ABC与该排列旋转一个或几个位置得到的排列BCA或CAB是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为______． 【答案】120 【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解. 【详解】A，B，C三位同学围成一个圆，ABC、BCA或CAB是同一排列， 其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个． 三位同学围成一个圆的排列总数为， 由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为， 故答案为：120. 50．（2026·福建泉州·模拟预测）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（    ） A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 【答案】B 【分析】根据给定条件，先安排甲，随着甲的安排乙也确定了，然后剩下位置给丙丁即可. 【详解】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，则乙只能坐甲对面， 而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种， 所以共有坐法种数为种. 故选：B 51．（2026高三·江西·开学考试）“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为__________.（用数字作答） 【答案】120 【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解. 【详解】三位同学围成一个圆，“”“”或“”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为. 故答案为： 52．【多选】（2026高二·江苏镇江·期中）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 【答案】ABD 【分析】结合圆排列的定义结合捆绑法，插空法及特殊值法分别判断各个选项即可. 【详解】对于A：现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有种排法，A选项正确； 对于B：若两名女生相邻，则有种排法，B选项正确； 对于C：若两名女生不相邻，共有种排法，C选项错误； 对于D：若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，D选项正确. 故选：ABD. 考点十一 多排问题单排法 53．（2026高三·江西景德镇·期末）五一假期期间，一家6人（5大人和1小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比一名小孩高，则不同的排法共有（   ） A．72种 B．90种 C．108种 D．180种 【答案】B 【分析】此问题可等价于将人分为三组，每组两人，安排到三个不同的列上，每组中身高较高者在后，身高较矮者在前，再结合分步乘法计数原理求结论. 【详解】此问题可等价于将人分为三组，每组两人，安排到三个不同的列上，每组中身高较高者在后，身高较矮者在前，第一步：为第一列挑选两人，有种方法； 第二步：为第二列挑选两人，有种方法； 第三步：剩下两人到第三列，有种方法， 根据分步乘法计数原理，总排法为种， 故选：B 54．（2026高二·辽宁锦州·期末）6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，每排3人，则站好后，后排的每个同学都比他对应的前排同学高的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，运用排列与组合分别求出总基本事件数与符合条件的事件数，再利用古典概型的概率公式求解． 【详解】6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，总排列数为：； 若后排同学都比前排的高，可以将6人两两分组，每组中矮的站前排、高的站后排： 6人两两分组方法为：， 每组中矮的站前排、高的站后排只有1种排法， 符合条件的排列数为； 对应概率，故C正确． 故选：C． 55．（2026高二·浙江·开学考试）有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为（   ） A．90 B．120 C．270 D．720 【答案】A 【分析】利用分步计数乘法原理来求解即可. 【详解】先给第1列选2人，从6人中选2人后，仅需把矮的放前排、高的放后排，只有1种符合要求的排法，共种选法， 再给第2列从剩余4人中选2人，同理也只有1种排法，共种选法， 最后剩余2人自动为第3列，仅1种排法，即， 即总站法数为： . 56．（2026高三·广东·开学考试）如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为__________．    【答案】 【分析】先按3人的座位在第二排的人数进行分类，再根据分类计数原理与古典概型概率公式可得. 【详解】甲、乙、丙3人的座位互不相邻的情况分为三种： 第一种，这3人都在第二排，共有种不同的安排方法；    第二种，这3人中2人在第一排，1人在第二排， 共有种不同的安排方法；    第三种，这3人中1人在第一排，2人在第二排， ①若第一排的这1人安排在中间的位置， 则有种不同的安排方法，    ②若第一排的这1人不安排在中间的位置， 则有种不同的安排方法．      故甲、乙、丙3人的座位互不相邻的概率为． 故答案为：. 57．（2026高二·全国·课后作业）8个人排队： (1)排成一排共有多少种不同的排法？ (2)排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用排列的定义，计算8个不同元素的全排列数； （2）将前后两排视为一排，或用分步乘法计数原理先选前排再排后排，均转化为8个元素的全排列问题； （3）沿用前后排等价于一排的分析思路，分步排列前排3人和后排5人，结果仍为8个元素的全排列数. 【详解】（1）由排列的定义知共有种不同的排法． （2）8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数； 也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有种排法， 第二步：剩下的4人放在后排共有种排法， 由分步乘法计数原理知共有种排法． （3）同（2）的分析可知，共有（种）． 考点十二 小集团问题先整体后局部法 58．（2026高二·湖南·月考）阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（    ） A．216 B．288 C．432 D．512 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合插空法、捆绑法列式计算作答. 【详解】求不同的排法种数这件事需要5步： 先排3位妈妈，有种方法； 把这位爸爸与2位男宝宝按爸爸在2位男宝宝之间，视为一个整体插入3位妈妈排列形成的中间2个间隙，有种方法； 下面分为两类：①再任取2位女宝宝排在2位没有宝宝的妈妈间，有种方法； 然后把余下的女宝宝排在男宝宝与妈妈的2个间隙中，有种方法； 最后排2位男宝宝，有种方法， 由分步乘法计数原理得：不同的排法种数为； ②再任取2位女宝宝排在男宝宝和妈妈间，有种方法； 然后把余下的女宝宝排在没有宝宝的妈妈中间，有种方法； 最后排2位男宝宝，有种方法， 由分步乘法计数原理得：不同的排法种数为； 所以不同的排法共有种. 故选：C 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 59．（2026·广东深圳·模拟预测）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有______个. 【答案】108 【分析】根据偶数所在位置将满足要求的6位数分为几类，利用排列知识和分步乘法计数原理求出各类的元素个数， 再由分类加法计数原理求满足要求的所有六位数的个数. 【详解】满足要求的六位数按照偶数数字所在的位置可以分宜以下几类： 第一类：0,2,4排在从左至右的第一位，第三位，第五位， 先排第一位有两种排法，再排第三位和第五位有种排法，再将奇数排在第二，四，六位有种排法， 所以第一类包含的六位数的个数为， 第二类：0,2,4排在从左至右的第一位，第三位，第六位， 先排第一位有两种排法，再排第三位和第六位有种排法，再将奇数排在第二，四，五位有种排法， 所以第二类包含的六位数的个数为， 第三类：0,2,4排在从左至右的第一位，第四位，第六位， 先排第一位有两种排法，再排第四位和第六位有种排法，再将奇数排在第二，三，五位有种排法， 所以第三类包含的六位数的个数为， 第四类：0,2,4排在从左至右的第二位，第四位，第六位， 先排偶数数字有种排法，再将奇数排在第一，三，五位有种排法， 所以第四类包含的六位数的个数为， 由分类加法计数原理可得满足条件的六位共有个. 故答案为：108. 考点十三 两类元素的排列，组合选位法 60．（2026高三·上海浦东新·月考）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（    ）条． A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【分析】先求出由到的最短路径的条数，然后求出由到且经过的最短路径的条数，最后相减即可. 【详解】由到的最短路径需要向右走四段路，向上走三段路，所以有条路， 由到的最短路径需要向右走两段路，向上走一段路，所以有条路， 由到的最短路径需要向右走一段路，向上走两段路，所以有条路， 所以由到不经过的最短路径有. 故选：D. 61．（2026高二·湖北咸宁·期末）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】分析可知从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的，利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的， 则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种. 故选：D. 62．（2026高二·江苏扬州·期中）如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、、是道路网中的个指定交汇处． 今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达､处为止，则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人在道路网中个指定交汇处相遇的概率为 【答案】D 【分析】根据组合数原理可判断A；根据分步乘法计数原理和组合数原理可判断B；根据分步乘法计数原理、组合数原理和古典概型概率公式可判断C、D． 【详解】对于A，甲从M到N的最短路程，只能向上或者向右走， 需要走6步，2步向上，4步向右，共有种，故A错； 对于B，第一步，甲从M到，有种走法， 第二步，从到N，有种走法，∴共有种走法，故B错； 对于C，由B可知甲、乙经过的走法都有9种， ∴在处相遇共有种走法， 而甲、乙两人的总走法有种， ∴两人在处相遇的概率为，故C错； 对于D，∵甲、乙两人以相同的速度同时出发，因而相遇时走过的路程相等， 故两人只能在处相遇，由C可知D对． 故选：D． 63．（2026高二·全国·课后作业）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（    ） A．6种 B．8种 C．36种 D．48种 【答案】D 【分析】利用分步计数原理即可求解. 【详解】如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48(种)不同的参观路线． 故选：D 64．（2026高二·上海徐汇·期末）有一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过C、D点到达B点的最短路径有___________种. 【答案】24 【分析】根据已知，要想避开C、D点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案. 【详解】 如图，由已知可得，应从点，先到点，再到点，最后经点到点即可. 第一步：由点到点，最短路径为4步，最短路径方法种类为； 第二步：由点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为； 第三步：由点经点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为. 根据分步计数原理可得，最短路径有种. 故答案为：24. 考点十四 含约束条件问题合理分类与分步法 65．（2026·新疆·模拟预测）2022年4月，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022版）》，将劳动教育作为义务教育阶段一门独立的课程.劳动教育将成为学生成长成才的必修课与基础课.某学校准备开设4项劳动课程：“蔬菜种植”“绿植修剪”“糕点制作”“自行车修理”.开课之前，要安排4男2女共6名教师参加这4项劳动课程的技术培训，要求：每一项培训都要有教师参加，每位教师只能参加其中一项培训，其中“蔬菜种植”必须安排2位教师，“自行车修理”不安排女教师，“糕点制作”不安排男教师，则不同的安排方法有（    ） A．132种 B．112种 C．96种 D．84种 【答案】C 【分析】先讨论“糕点制作”安排1名或2名女教师，再讨论“自行车修理”安排男教师的人数，再考虑另外两个项目的安排，最后计算所有安排方式. 【详解】（1）若“糕点制作”安排1名女教师，有种不同的安排方法，后续项目分两类： ①若“自行车修理”安排1名男教师，则余下4人安排到另两个项目，每个项目2人，有种不同的安排方法； ②若“自行车修理”安排2名男教师，则余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有种不同的安排方法. （2）若“糕点制作”安排2名女教师，则“自行车修理”只能安排1名男教师，余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有种不同的安排方法， 所以，一共有种不同的安排方法. 故选：C. 66．（2026高二·全国·课后作业）古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我校学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成我校“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（    ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 【答案】D 【分析】分两类，甲乙有一人担任一辩；甲乙没有一人担任一辩，根据分类计数原理计算即可. 【详解】若甲、乙有1人担任一辩，则有 (种)； 若甲、乙没有人担任一辩，则戊一定担任一辩，则有 (种)． 根据分类加法计数原理可得不同组队方式共有12＋12＝24(种)， 故选：D. 【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 67．（2026高二·重庆沙坪坝·月考）某班级周三上午共有5节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理.数学必须安排，且连续上两节，但不能同时安排在第二三节，除数学外的其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共有（    ） A．48种 B．60种 C．72种 D．96种 【答案】B 【分析】先安排数学，当数学排在第一二节时，第三四五节可任意安排；当数学排在第三四节或第四五节时，先给第一节排课，再给余下的节次排课即可解决. 【详解】分三类讨论： （1）当数学排在第一二节，则语文、英语、体育和物理任选三科排在 第三四五节即可，共有种方法； （2）当数学排在第三四节，则在语文、英语和物理中任选一科排在第一节， 再在包含体育余下的三科中任选二科排在第二五节即可.共有种方法； （3）当数学排在第四五节，则在语文、英语和物理中任选一科排在第一节， 再在包含体育余下的三科中任选二科排在第二三节即可.共有种方法； 则符合要求的方法总数为 故选：B 考点十五 数字排序问题查字典法 68．（2026高二·江苏泰州·阶段检测）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．40个 B．48个 C．52个 D．64个 【答案】C 【分析】分0，2，4作为尾数三种情况讨论，结合排列知识可得答案. 【详解】三位数为偶数，则尾数只能为0，2，4 若偶数尾数为0，则百位，十位的数字排列情况数为； 若尾数为2，百位的情况数为4种，十位的情况数为4种，则共有16种； 若尾数为4，百位的情况数为4，十位的情况数为4，共有16种. 则满足题意的偶数共有：种.故选：C 69．（2026高二·安徽六安·期中）从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】分析千位数是4、3、2三种情况，求出四位偶数中大于的数的个数，即可得答案. 【详解】当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，分成两类情况：①个位是且比大，在余下的3个数中任选2个作全排列，有种， ②个位是且比大的偶数有，共5种， 综上，比大的偶数共有种， 70．（2026高二·广东珠海·期中）已知是由，，组成的一个三位数，表示为，其中，，，均表示从1到5中的任意数，若以，，为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数共有（   ） A．65个 B．55个 C．47个 D．35个 【答案】C 【分析】根据题意，分构成等边三角形和非等边等腰三角形，两种情况讨论，结合列举法，即可求解. 【详解】若构成等边三角形，边长为1到5的三位数共5个，所以有个； 若构成等腰三角形，设腰长为，底边长为，其中且， 当时，，每种对应3个排列，共个； 当时，，每种对应3个排列，共个； 当时，，每种对应3个排列，共个； 当时，，每种对应3个排列，共个； 由分类计数原理得，共有个. 71．（2026高二·陕西商洛·期中）用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数. (1)可以组成多少个五位数? (2)可以组成多少个能被 2整除的五位数? (3)将组成的五位数按从小到大的顺序排列，第49个数是多少? 【答案】(1)96 (2)60 (3)30124 【分析】（1）先排首位，其他位全排列，即可求解； （2）个位分为0或2或4三种情况，分类求解； （3）首先求出首位为1和2的个数，再判断第49个数. 【详解】（1）先排首位，有（种）排法，再排其它位，有（种）排法， 根据分步乘法计数原理得，可以组成（个）五位数. （2）能被2整除的五位数的个位数是0或2或4，若个位数是0，则有个满足题意的五位数； 若个位数是2或4，则先排首位，0不作为首位，则首位有种排法，其余位置有种排法， 此时有个满足题意的五位数.故共有＋（个）满足题意的五位数. （3）首位数字不能为0，首位数字为1的五位数有（个），首位数字为2的五位数有（个）， 此时共有（个）五位数，故第49个数是30124. 72．（2026高二·江苏徐州·期中）用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个三位数； (2)将（1）中的三位数按从小到大的顺序排成一排，求第55个数. 【答案】(1)100 (2)342 【分析】（1）先排百位数，再排其余数位； （2）按百位数字分类讨论，逐步缩小范围． 【详解】（1）百位数字可以从中选择，共种选择. 十位数字可以从剩下的个数字选择，共种选择，个位数字可以从剩下个数字选择，共种选择. 可以组成个三位数. （2）按百位分类计数：百位为的三位数：共个（对应第个数）； 百位为的三位数：共个（对应第个数）. 因此第55个数的百位是，且是百位为的数中第个. 再按十位从小到大分类计数（百位固定为）： 十位为：个位可选，共个数（对应百位为3的第个）； 十位为：个位可选，共个数（对应第个）； 十位为：个位可选，共个数（对应第个）. 此时累计到第12个，接下来十位从小到大是， 按顺序排列，第13个：，第14个：，第15个：. 因此第55个数是. 考点十六 简单问题实际操作穷举法 73．（2026·海南海口·模拟预测）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为 A．20 B．18 C．16 D．11 【答案】C 【分析】根据“波浪数”的定义，可得“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4，分别计算出每种的个数，相加即可. 【详解】此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4； 是4时“波浪数”有； 另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154四种． 则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16， 故选C． 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，要对该问题准确分类，做到不充分，不遗漏，正确求解结果，属于中档题. 74．（2026高二·江西上饶·期末）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有（    ） A．21种 B．22种 C．25种 D．27种 【答案】D 【解析】正方形的周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16，分别求出两种情况下三次骰子的点数情况，进而求出对应的排列方法即可. 【详解】由题意，正方形的周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16， ①点数之和为8的情况有：；；；；，排列方法共有种； ②点数之和为16的情况有：；，排列方法共有种. 所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有种. 故选：D. 【点睛】本题考查排列组合问题，注意两种计数原理的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 75．（2026·广东广州·模拟预测）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为　　 A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】6根算筹可分为1、5,2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案． 【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7； 数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数； 数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数； 则一共可以表示个两位数； 故选． 【点睛】本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意． 考点十七 错位排列 76．（2026高二·北京西城·期末）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（    ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 【答案】B 【分析】先选择两个编号与座位号一致的人，另外三个人编号与座位号不一致，由此确定正确选项. 【详解】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有， 另外三个人编号与座位号不一致，方法数有， 所以不同的坐法有种. 故选：B 77．（2026高二·浙江湖州·期中）将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（    ） A．90 B．135 C．270 D．360 【答案】B 【分析】根据题意和简单计数问题，结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】在6个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有种， 剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不同， 假设这4个盒子的编号为3,4,5,6， 则3号小球可以放进4,5,6号盒子，有3种选法， 剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法， 所以不同的放法种数为种选法. 故选：B. 78．（2026高二·广东广州·月考）将编号为1､2､3､4､5､6的六个小球放入编号为1､2､3､4､5､6的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（    ） A．20 B．40 C．120 D．240 【答案】B 【分析】先选取3个盒子，放入编号相同的3个球，剩下的3个盒子放入编号不同的小球，由乘法原理计数即可． 【详解】第一步，先选取3个盒子，放入编号相同的3个球，方法数为，第二步剩下的3个盒子放入编号不同的小球，有2种方法，所以总方法数为． 故选：B． 79．（1993·全国）同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】设四人分别为,写的卡片分别为,从开始分析,易得有三种拿法,假设拿了,再分析的取法数目,剩余两人只有种取法,由分步计数原理,计算可得答案. 【详解】设四人分别为,写的卡片分别为,由于每个人都要拿别人写的卡片,即不能拿自己写的卡片, 故有种拿法,不妨设拿了,则可以拿剩下张中的任一张,也有3种拿法,和只能有一种拿法, 所以共有种分配方式. 故选：B. 考点十八 多面手问题 80．（2026高二·黑龙江·期中）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解． 【详解】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种； 第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种， 所以共有种不同的选法， 故选：A． 81．（2026高二·上海浦东新·期末）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【分析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况进行讨论，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 82．（2026高二·河南·月考）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【答案】C 【分析】设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取；②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取；③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，再运用分类加法原理可得选项. 【详解】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法， ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法． 故选：C． 83．（2026高二·全国·课后作业）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 【答案】D 【分析】根据条件，分划左舷有“多面手”的人数分类，利用组合数公式计算求值. 【详解】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有 种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有(种)不同的选派方法． 故选：D 【点睛】方法点睛：组合数中的“多面手”问题，需明确某一类元素多面手有多少进行分类，这样才能做到不重不漏. 84．（2026高二·湖北十堰·期末）某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【答案】C 【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此按集合中参与人数分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人， 据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法， ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法； 故选：C． 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 考点十九 排列组合综合问题 85．【多选】（2026高二·四川泸州·期中）现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有72种 【答案】AC 【详解】对于A，每个同学都可以从A，B，C三项工作中任选一项，即每个同学都有3种选择方法，共有种，故A正确； 对于B，恰有一项工作无人参加，分两步进行： 从A，B，C三项工作中选一项无人参加，有种； 将4个同学分配到剩余的2项工作中，共有种，同时需排除4个同学都参加剩下2项工作中的某一项，有2种情况，即有种； 所以恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种，故B错误； 对于C，甲，乙两人都不能去参加项工作，可分两种类型： 丙或丁其中1人参加项工作，剩下3个人分配到2项工作中，且每项工作至少1人参加，有种； 丙、丁两人参加项工作，则剩下的2人分配到剩下的2项工作中，每人1项工作，有种； 则甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，不同的安排方法共有12+2=14种；故C正确； 对于D，4人分配到3项工作且每项工作都有人去，只能是2，1，1的分组方式，先从4人中选2人作为一组，有种选法， 剩下2人各为一组；再将这3组分配到3项工作中，有种分配方法；所以，总的安排方法有种；故D错误. 86．【多选】（2026高二·山东青岛·阶段检测）现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法 B．分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有15种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法 【答案】AC 【分析】利用平均分组和不平均分组的相关公式进行求解 【详解】A选项，分给甲、乙两人，每人3本，有种分法，A正确； B选项，分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有种分法，B错误； C选项，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有种分法，C正确； D选项，分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有种，D错误 87．【多选】（2026高二·陕西渭南·期末）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（    ） A．若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B．若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C．若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D．若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 【答案】ABD 【分析】应用组合数运算计算判断A，B，分类计算判定C，不平均分组分类结合排列和组合数计算判断D. 【详解】某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)， 对于A：若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有种选派方法，A选项正确； 对于B：若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有种选派方法，B选项正确； 对于C：从7名队员中任选4名，总方法数为种，不满足‘既要有队长，又要有女队员’的情况分为两类： ①没有队长：从5名非队长队员中选4人，有种方法； ②没有女队员：从4名男队员中选4人，有种方法，这两类情况没有交集，因此满足条件的方法数为种，C选项错误； 对于D：若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有种选派方法，D选项正确； 故选：ABD. 88．【多选】（2026·江苏徐州·模拟预测）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 【答案】BC 【分析】利用计数原理，结合分组思想，排列组合思想即可逐项求解． 【详解】对于A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种，故A错误； 对于B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； 对于C：若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； 对于D：“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算： 情况1：A负责语文 固定在语文，分2种子情况： ①语文为“2人组”（人）：选1人加入语文（），剩余3人分配到其他3科（），方案数： ②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组（2，1，1），有种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有种方法，故总的方法数为：； 情况1总方案数：． 情况2：B负责数学 与“情况1”对称，总方案数同样为60． 情况3：A负责语文且B负责数学（重复减去的部分） 负责语文且B负责数学，并保证英语、物理学科均有人负责.分情况讨论如下： ①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理有种方法，最后1人去语文或数学有种方法，方法数：； ②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有种分法，两组分配到英语和物理，有种分法，故方案数为； 故情况3总方案数：． 根据容斥原理，不符合条件的方案数为：， 因此，符合条件的方案数为：，故D错误. 故选：BC． 89．【多选】（2026高三·重庆·阶段检测）某班要举办一次学科交流活动，现安排 这五名同学负责语文，数学，英语，物理学科相关工作． 则下列说法中正确的是（    ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有 种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有 240 种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人， 其余学科安排一人， 则有 60 种不同的方案 D．若每人至多安排一门学科，其中安排 和 负责语文、数学工作，其余三人中任选两人负责英语、 物理工作， 则有 12 种不同的方案 【答案】BCD 【分析】利用分步计数原理，结合分组思想，排列组合思想即可求解. 【详解】这五人每人任选一门学科，则不同的选法有 种，故A错误； 根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种 ， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； 若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； 安排 和 负责语文、数学工作，共有种安排， 其余三人中任选两人负责英语、 物理工作，共有种安排， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故D正确； 故选：BCD. 90．【多选】（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】ABD 【分析】根据题意，由分布、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于选项A，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体， 与其他3门课程全排列，共有种排法，故A正确； 对于选项B，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能， 各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故B正确； 对于选项C，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选， 在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故C错误； 对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐” 排在第一周且 课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种， 若课程“御”排在最后一周的排法为种， 课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法数为种，故D正确. 故选：ABD. 91．【多选】（2026高二·全国·单元测试）象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式 B．若两个“车”相邻，则有24种排列方式 C．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式 D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式 【答案】ACD 【分析】由全排可得A；两个“车”先捆绑，再与其他全排可判断B；先将剩余的3个棋子进行全排列，再两个“马”插空可确定C；将2个黑色的棋子进行全排列，红色棋子插空可得D. 【详解】A对，由排列知识可得共有种排列方式． B错，将两个“车”捆绑作为一个元素，有种排列方式， 再和剩余的3个棋子进行全排列，故共有种排列方式． C对，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行全排列，产生4个空， 再将两个“马”插空，故共有种排列方式． D对，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3个空，再将3个红色的棋子进行插空， 故共有种排列方式． 故选：ACD. 92．【多选】（2026高二·河北石家庄·期末）A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（   ） A．五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B．安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C．五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D．A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法 【答案】ACD 【分析】根据相邻问题捆绑即可求解A,根据排列即可求解B，根据分组分配问题即可求解C，利用列举，结合分步乘法计数原理即可求解D. 【详解】对于A,将A、B两名同学看作一个整体，与其他三个同学一起全排列，则共有种情况，故A正确， 对于B，安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有种安排方法,故B错误， 对于C,由于A、B、C三人值日的先后顺序固定，只需要将剩下两名同学安排好即可，故共有种方法，故C正确， 对于D,从三个人中选2个人安排在第一天和第二天，则有种方法，假若前两天值日的人为分别为，则6天的安排有共有5种，故总的安排有,故D正确， 故选：ACD 考点二十 涂色问题分类分步综合法 93．（2026高二·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 【答案】B 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 94．（2026高二·河北衡水·期中）如图，若从种不同的颜色中选种颜色涂在图中的号区域，要求相邻区域不同色，且所选的种颜色都要用到，不同的涂法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】由题知，种颜色都要用到，则必有两块区域颜色一致，且不相邻， 图中有且仅有两块不相邻区域同色，其中和不相邻，和不相邻，共组，从组中选一组，有种， 把这一组看作一个整体，从种颜色中选种，涂在区域上，有种，故共有种. 95．（2026高二·江苏宿迁·期中）现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】A 【分析】利用分步乘法原理可得答案. 【详解】I区域有4种涂法，II区域有3种涂法，III区域有2种涂法，IV区域有2种涂法，共有种. 96．【多选】（2026高二·重庆渝北·期中）用1，2，3，4，5五种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（    ） A．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为12 B．四个区域都涂不同颜色的不同方法数为120 C．任选若干种颜色涂色的不同方法数为180 D．，两个区域涂同种颜色的概率是 【答案】BCD 【详解】先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法，故共有种方法，故A错误； 四个区域都涂不同颜色的不同方法数为，故B正确； 当，同色时，先涂区域，有5种方法，再涂区域，有4种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有3种涂法，共有种方法， 当，不同色时，由选项B可知有种方法， 即任选若干种颜色涂色的不同方法数为180，故C正确； 由选项C可知，，两个区域涂同种颜色的概率是，故D正确. 97．（山东青岛西海岸新区2025-2026学年高二学期期中学业水平检测数学试题）现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是_________． 【答案】 【详解】如图，对四棱锥的个面进行着色. 可先给底面选一种颜色，有种选择， 再对侧面和侧面进行着色， 若侧面和侧面同色，则有种选择， 此时，侧面和侧面各有两种选择， 因此，有种着色方法； 若侧面和侧面不同色，则有种选择， 此时，侧面和侧面只有一种选择， 因此，有种着色方法. 综上所述，共有种着色方法. 98．（2026高二·湖北省直辖县级单位·期中）现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有_______种． 【答案】420 【分析】按照⑤①②③④的顺序分步涂色，注意涂③时再根据它与①是否同色分类． 【详解】第一步涂⑤有5种方法，第二步涂①有4种方法，第三步涂②有3种方法， 第四步涂③，它与①同色时有1种方法，然后第五步涂④有3种方法， 第四步涂③，它与①不同色时有2种方法，然后第五步涂④有2种方法， 所以共有方法数为． 99．（2026高二·广东·期中）某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有__________种不同的颜色搭配方案． 【答案】260 【详解】第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选， 若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选； 若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选， 所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案． 100．（2026高二·广东广州·期中）用四种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有______种． 【答案】264 【分析】根据给定条件，按用4色、3色分类，再利用排列计数问题及分步乘法计数原理列式求解. 【详解】用4种颜色涂，涂点有种方法，从中选一点涂第四种颜色有种方法， 涂余下两点有3种方法，不同涂色方法有种； 用3种颜色涂，涂点有种方法，再涂点有2种方法，不同涂色方法有种， 所以所求涂色方法种数为. $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 拓展1 排列组合20种常见考法归类（100题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 直接法 考点二 特殊元素和特殊位置优先法 考点三 相邻问题捆绑法 考点四 相离问题插空法 考点五 相邻问题和相离问题综合 考点六 定序问题倍缩法 考点七 分堆分配问题 考点八 相同元素隔板法 考点九 间接法 考点十 环（圆）排问题直排法 考点十一 多排问题单排法 考点十二 小集团问题先整体后局部法 考点十三 两类元素的排列，组合选位法 考点十四 含约束条件问题合理分类与分步法 考点十五 数字排序问题查字典法 考点十六 简单问题实际操作穷举法 考点十七 错位排列 考点十八 多面手问题 考点十九 排列组合综合问题 考点二十 涂色问题分类分步综合法 排列组合问题的解题方法主要有捆绑法、插空法、隔板法、间接法等.不同解题方法适用情境以及在相关细节的处理上存在较大差异.只有充分把握其本质，对相关情境进行正确、合理地想象，正确选择对应的解题方法，才能提高解题效率，因此，实践中应严把理解关，使学生真正地吃透与掌握. 直接法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 特殊元素或特殊位置优先法 所谓“优先法”是指在解决排列组合问题时，对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法之一。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 相邻元素用捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 不相邻用插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.部分习题创设的情境较为复杂，还需采用捆绑法等其他一些方法.总之，无论采用何种方法，应清楚形成的空的数量. 定序问题倍缩（消序法） 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法（消序法），还可用空位法。①消序法：将m＋n个元素排成一列，其中有m个元素之间的排列顺序不变，设排列数为x；然后允许这m个元素任意排列共有种排法，经过上述两步后，问题等价于m＋n个元素任意排成一列，共有种不同的排法，根据分步乘法计数原理得，因此②定序问题还可以采用先定后插或者先选后定等方法处理. 元素相同 隔板法 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入 n 个元素排成一排的个空当中，所有分法数为，隔板法中"隔板"的目的在于将元素划分成不同的“组别”，隔板既可以作为特殊的对象“插入”到实际元素形成的空中，也可将其看做特殊对象将其与实际元素进行针对性地排列组合.究竟采用何种方法，需具体问题具体分析. 间接法 排列组合问题中有一类问题采用直接方法虽然能分析出结果，但是步骤较为繁琐，对于多数学生而言容易忽略某一种情况为避免出错可采用间接法进行处理，有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中淘汰。（在解答有关"至多"与"至少"的问题时，通常有两种方法：直接法或间接法.直接法是让学生在解决相关的问题时. 把重点放在对题目中每个元素的分析上面，这样可以确定相关元素的限制性，更好地寻找其他的元素，结合更多元素进行问题的综合考虑.而间接法则是先让学生忽略题目中给出的一些附加条件，再进行整体的排列组合和相关的数量计算，这样就可以得出一个结果，然后用这个附加条件来计算出一些不符合题目要求的结果，去除这些不合适的结果，这样就可以通过减法得出最后的答案.但需要注意的是，此类题型的做法有很多，学生在审题时，一定考虑好做题的入手角度，在做题过程中，不要忽略任何一种情况，因为是客观题，所以结果是得分的关键.如果在审题时你就发现不只有一种方法，那么选你最拿手的方法来思考，之后在检验时用其他方法.） 重排问题求幂法 允许重复的排列问题是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置。一般地，n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为。 环排问题线排法 围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线，一般地，n个不同元素圆形排列，共有种排法。如果从n个不同元素中取出 m 个元素进行圆形排列，共有种排法。 多排问题单排法 一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段处理。 小集团题先整体后局部法 解小集团排列问题，先整体后局部，再结合其他策略进行处理。 两类元素的排列，组合选位法 将m个元素a，n个元素b进行全排列，我们可以从m＋n个位置中选择m个位置安置元素a，剩下的n个位置安排元素b，其方法数有种，故称这类排列为组合选位法. 分组与分配问题 对不同元素的分配问题． 整体均分 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数． 部分均分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． 不等分 只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 对于相同元素的“分配”问题 对相同元素的分配问题一般采用“隔板法” 数字排序问题查字典法 数字排序问题可用查字典法，查字典法应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。 实际操作穷举策略 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算时，往往利用穷举法，一个一个列出来。 考点一 直接法 1．（2026高二·宁夏中卫·月考）名男生和名女生站成一排拍照，不同的站法有___________种 （用数字作答） 2．（2026高三·浙江·期中）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（    ）种. A．16 B．20 C．96 D．120 3．（2026高三·四川巴中·阶段检测）4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（ ） A．288 B．336 C．368 D．412 4．（2026高二·广东·期中）将标有、、、、、的六张数字卡片分成甲、乙、丙三组，要求每组都有奇数数字卡片与偶数数字卡片，则不同的分法总数为（    ） A． B． C． D． 考点二 特殊元素和特殊位置优先法 5．（河南许昌市2026届高三年级下学期质量检测数学试题）甲、乙、丙、丁共4名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，4人的名次排列可能情况有（   ） A．4种 B．8种 C．种 D．种 6．（2026·湖南湘潭·模拟预测）现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 7．（山东青岛西海岸新区2025-2026学年高二学期期中学业水平检测数学试题）高二某班级名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·河南周口·阶段检测）某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有（   ） A．504种 B．1080种 C．1224种 D．2304种 9．（浙江浙东北联盟2025-2026学年高二学期5月学科练习数学试题）某班一天上午4节课，下午2节课，现要安排语文、数学、外语、物理、化学、体育6堂课的课程表，要求数学排在上午，体育不排在第一、二节，不同排法种数是______．（用数字作答） 考点三 相邻问题捆绑法 10．（2026·江西萍乡·模拟预测）某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（   ） A． B． C． D． 11．（2026高二·河北邢台·阶段检测）某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（    ） A．264种 B．288种 C．312种 D．336种 12．（2026高二·北京·期中）某班上午有五节课，分别安排语文､数学､英语､物理､化学各一节课.要求数学课不排第一节，且语文与物理相邻，则不同排课方案有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）某文艺演出共有六个节目，其中节目甲须被安排在前两个节目演出，节目乙、丙必须前后出场，则这六个节目不同的安排方法共有（   ） A．68种 B．72种 C．84种 D．96种 14．（2026高二·湖北武汉·期中）某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 15．（2026高二·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 16．（2026高二·安徽马鞍山·期中）某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（    ） A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 考点四 相离问题插空法 17．（2026高二·山西临汾·期中）某班一天上午有5节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生物及体育这7门课的课程表，每门学科各一节课，要求数学课与物理课不相邻（上午第五节与下午第一节不算相邻），且体育课排在下午，则不同排法有（    ） A．960种 B．1056种 C．3600种 D．5040种 18．（2026高二·重庆渝北·期中）在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（    ）种排队方式. A．48 B．56 C．64 D．72 19．（2026高二·山东烟台·期中）某单位在周一到周五的五天中安排4人值夜班，每天安排1人，每人值夜班至少1次，至多2次，且每个人均不在相邻两天连续值夜班，则该单位可能的值夜班安排种数为（   ） A．96 B．108 C．144 D．288 20．（2026·湖南浙江·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 21．（2026高二·天津蓟州·期中）“国家中小学智慧教育平台”是教育部面向全国师生免费开放的国家级数字教育平台，某天小华同学利用手机验证码进行登录，平台生成的六位验证码由数字1，1，2，3，4，5组成，为了防止混淆，规定数字1与2不相邻，则本次登录可以生成的验证码个数为________． 考点五 相邻问题和相离问题综合 22．（2026高二·重庆·期中）在如图所示的六宫格中，每个格子用、、、、中的一个数字填入，要求用两次，其余数字各用一次，且两个不相邻，则不同的填法共有（   ）种 A． B． C． D． 23．（2026高二·山东·期中）参加实践活动的2名教师和甲，乙，丙，丁4名志愿者站成一排合影留念，其中教师相邻，且甲，乙不相邻的方法有__________种 24．（2026高三·全国·专题练习）某年六月，“青松”团队的名成员（含队长“戊”）相约赏荷，人站在荷花池边排成一排合影留念，其中队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数有______种（用数字作答）. 25．（2026·上海闵行·模拟预测）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 考点六 定序问题倍缩法 26．（2026高二·山东德州·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 27．（2026高二·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 28．（2026高二·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 29．（2026高二·福建厦门·月考）5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念．（须有适当的文字说明） (1)要求小王与工作人员甲、乙三人相邻，且小王在甲、乙中间，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲、乙、丙的身高互不相等，拍照时甲、乙、丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 30．（2026高二·河北保定·阶段检测）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 考点七 分堆分配问题 31．（2026高二·江苏扬州·期中）“江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（   ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 32．（2026高二·江苏镇江·期中）某市为全面了解社区居民生活需求、完善社区服务体系，选派6名志愿者到甲、乙、丙、丁四个社区开展社区走访调研活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（   ） A．540种 B．1560种 C．2640种 D．4800种 33．（2026高二·江苏南京·期中）2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 34．（2026高二·广东·月考）唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法有______种.（用数字作答） 35．（2026高二·江苏南京·期中）把黄、绿、棕、蓝、粉、黑6颗不同的小球放入A，B，C三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球，其中黑色小球必须放入A盒子中，则有______种不同的安排方法. 36．（2026·陕西汉中·模拟预测）现将某工厂车间的6名班长和3名质检员平均分成三组参与春节期间的安全生产工作，各小组内3人分别负责生产安全、人员调度、产品质检三项工作，其中质检员只负责产品质检，则班长甲与质检员乙不在同一个小组的概率为______． 37．（2026·福建·模拟预测）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 38．（2026高二·河南·期中）五一期间，某医院安排某科室的甲、乙、丙3名医生1至5日值班，规定每人至少值班1天，5天中每天都有且仅有1人值班，其中医生甲在1日、2日中至少选择1天值班，则不同的安排方法共有________种（用数字作答）. 考点八 相同元素隔板法 39．（2026高二·北京·期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为______． 40．（2026高三·云南·月考）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____． 41．（2026高二·安徽合肥·期末）在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有________个（用数字回答） 42．（2026高二·山东青岛·月考）的非负整数解有__________组. 43．（2026高三·江苏南京·强基计划）方程的非负整数解的个数为____________. 考点九 间接法 44．（2026高二·湖北武汉·期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 45．（1990·全国）以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（    ） A．6个 B．12个 C．18个 D．30个 46．（2026高二·全国·单元测试）将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（    ）． A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 47．（2026高二·辽宁大连·期末）某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（    ）种 A．9 B．36 C．54 D．108 48．（2026·河南焦作·模拟预测）某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（    ） A．21种 B．231种 C．238种 D．252种 考点十 环（圆）排问题直排法 49．（2026高三·全国·专题练习）圆排列最早出现在《易经》里．当A，B，C三位同学围成一个圆时，排列ABC与该排列旋转一个或几个位置得到的排列BCA或CAB是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为______． 50．（2026·福建泉州·模拟预测）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（    ） A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 51．（2026高三·江西·开学考试）“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为__________.（用数字作答） 52．【多选】（2026高二·江苏镇江·期中）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 考点十一 多排问题单排法 53．（2026高三·江西景德镇·期末）五一假期期间，一家6人（5大人和1小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比一名小孩高，则不同的排法共有（   ） A．72种 B．90种 C．108种 D．180种 54．（2026高二·辽宁锦州·期末）6名身高各不相同的同学抽签站成前后正对的两排，每排3人，则站好后，后排的每个同学都比他对应的前排同学高的概率是（    ） A． B． C． D． 55．（2026高二·浙江·开学考试）有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为（   ） A．90 B．120 C．270 D．720 56．（2026高三·广东·开学考试）如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为__________． 57．（2026高二·全国·课后作业）8个人排队： (1)排成一排共有多少种不同的排法？ (2)排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 考点十二 小集团问题先整体后局部法 58．（2026高二·湖南·月考）阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（    ） A．216 B．288 C．432 D．512 59．（2026·广东深圳·模拟预测）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有______个. 考点十三 两类元素的排列，组合选位法 60．（2026高三·上海浦东新·月考）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（    ）条． A．23 B．24 C．25 D．26 61．（2026高二·湖北咸宁·期末）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 62．（2026高二·江苏扬州·期中）如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、、是道路网中的个指定交汇处． 今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达､处为止，则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人在道路网中个指定交汇处相遇的概率为 63．（2026高二·全国·课后作业）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（    ） A．6种 B．8种 C．36种 D．48种 64．（2026高二·上海徐汇·期末）有一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过C、D点到达B点的最短路径有___________种. 考点十四 含约束条件问题合理分类与分步法 65．（2026·新疆·模拟预测）2022年4月，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022版）》，将劳动教育作为义务教育阶段一门独立的课程.劳动教育将成为学生成长成才的必修课与基础课.某学校准备开设4项劳动课程：“蔬菜种植”“绿植修剪”“糕点制作”“自行车修理”.开课之前，要安排4男2女共6名教师参加这4项劳动课程的技术培训，要求：每一项培训都要有教师参加，每位教师只能参加其中一项培训，其中“蔬菜种植”必须安排2位教师，“自行车修理”不安排女教师，“糕点制作”不安排男教师，则不同的安排方法有（    ） A．132种 B．112种 C．96种 D．84种 66．（2026高二·全国·课后作业）古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我校学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成我校“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（    ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 67．（2026高二·重庆沙坪坝·月考）某班级周三上午共有5节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理.数学必须安排，且连续上两节，但不能同时安排在第二三节，除数学外的其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共有（    ） A．48种 B．60种 C．72种 D．96种 考点十五 数字排序问题查字典法 68．（2026高二·江苏泰州·阶段检测）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．40个 B．48个 C．52个 D．64个 69．（2026高二·安徽六安·期中）从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 70．（2026高二·广东珠海·期中）已知是由，，组成的一个三位数，表示为，其中，，，均表示从1到5中的任意数，若以，，为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数共有（   ） A．65个 B．55个 C．47个 D．35个 71．（2026高二·陕西商洛·期中）用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数. (1)可以组成多少个五位数? (2)可以组成多少个能被 2整除的五位数? (3)将组成的五位数按从小到大的顺序排列，第49个数是多少? 72．（2026高二·江苏徐州·期中）用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个三位数； (2)将（1）中的三位数按从小到大的顺序排成一排，求第55个数. 考点十六 简单问题实际操作穷举法 73．（2026·海南海口·模拟预测）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为 A．20 B．18 C．16 D．11 74．（2026高二·江西上饶·期末）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有（    ） A．21种 B．22种 C．25种 D．27种 75．（2026·广东广州·模拟预测）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为　　 A．13 B．14 C．15 D．16 考点十七 错位排列 76．（2026高二·北京西城·期末）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（    ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 77．（2026高二·浙江湖州·期中）将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（    ） A．90 B．135 C．270 D．360 78．（2026高二·广东广州·月考）将编号为1､2､3､4､5､6的六个小球放入编号为1､2､3､4､5､6的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（    ） A．20 B．40 C．120 D．240 79．（1993·全国）同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 考点十八 多面手问题 80．（2026高二·黑龙江·期中）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 81．（2026高二·上海浦东新·期末）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 82．（2026高二·河南·月考）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 83．（2026高二·全国·课后作业）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 84．（2026高二·湖北十堰·期末）某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 考点十九 排列组合综合问题 85．【多选】（2026高二·四川泸州·期中）现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有72种 86．【多选】（2026高二·山东青岛·阶段检测）现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法 B．分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有15种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法 87．【多选】（2026高二·陕西渭南·期末）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（    ） A．若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B．若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C．若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D．若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 88．【多选】（2026·江苏徐州·模拟预测）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 89．【多选】（2026高三·重庆·阶段检测）某班要举办一次学科交流活动，现安排 这五名同学负责语文，数学，英语，物理学科相关工作． 则下列说法中正确的是（    ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有 种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有 240 种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人， 其余学科安排一人， 则有 60 种不同的方案 D．若每人至多安排一门学科，其中安排 和 负责语文、数学工作，其余三人中任选两人负责英语、 物理工作， 则有 12 种不同的方案 90．【多选】（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 91．【多选】（2026高二·全国·单元测试）象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式 B．若两个“车”相邻，则有24种排列方式 C．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式 D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式 92．【多选】（2026高二·河北石家庄·期末）A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（   ） A．五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B．安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C．五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D．A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法 考点二十 涂色问题分类分步综合法 93．（2026高二·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 94．（2026高二·河北衡水·期中）如图，若从种不同的颜色中选种颜色涂在图中的号区域，要求相邻区域不同色，且所选的种颜色都要用到，不同的涂法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 95．（2026高二·江苏宿迁·期中）现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 96．【多选】（2026高二·重庆渝北·期中）用1，2，3，4，5五种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（    ） A．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为12 B．四个区域都涂不同颜色的不同方法数为120 C．任选若干种颜色涂色的不同方法数为180 D．，两个区域涂同种颜色的概率是 97．（山东青岛西海岸新区2025-2026学年高二学期期中学业水平检测数学试题）现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是_________． 98．（2026高二·湖北省直辖县级单位·期中）现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有_______种． 99．（2026高二·广东·期中）某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有__________种不同的颜色搭配方案． 100．（2026高二·广东广州·期中）用四种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有______种． $