第三单元 因数与倍数第7课时《公倍数与最小公倍数》（导学案）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

苏教版数学五年级下册第三单元因数和倍数

 

—苏教版数学五年级下册 第三单元 因数与倍数 第7课时《公倍数与最小公倍数》导学案

 

 

【学习内容】

 

苏教版五年级数学下册教材第43～44页，例11、例12及相关练习。

 

【学习目标】

 

1. 理解两个数的公倍数和最小公倍数的含义，能在具体情境中找出两个数的公倍数和最小公倍数。

2. 掌握用列举法、筛选法和短除法求两个数的最小公倍数，能根据数据特点合理选择方法。

3. 能运用最小公倍数知识解决生活中的实际问题，如铺地砖、排队、发车时间等问题。

4. 在探索过程中，进一步体会数学知识之间的内在联系，培养有序思考和归纳概括的能力。

 

【学习重点】

 

理解公倍数和最小公倍数的意义，掌握求两个数最小公倍数的方法。

 

【学习难点】

 

根据两个数之间的关系（倍数关系、互质关系、一般关系）灵活选择方法求最小公倍数，并解决实际问题。

 

【学法指导】

 

1. 自主阅读教材P43～44，回顾倍数的求法，初步感知公倍数的概念。

2. 小组合作探究：用不同的方法找出6和9的公倍数，比一比哪种方法更简便。

3. 联系已学的“最大公因数”，对比异同，形成知识网络。

 

 

一、课前预习

 

预习要求：认真阅读教材P43-44，完成下列问题。

 

预习思考题：

 

1. 分别写出6的倍数（写5个）和9的倍数（写5个）。它们公有的倍数有哪些？最小的公有的倍数是几？

2. 什么是公倍数？什么是最小公倍数？它与“最大公因数”有什么不同？

3. 在铺正方形地砖的问题中，为什么地砖的边长应是地板长和宽的公倍数？

二、新知讲授

 

知识点一：公倍数和最小公倍数的意义

 

知识要点：

 

1. 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。

2. 最小公倍数：几个数的公倍数中，最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。通常用符号 [a, b] 表示，如 6和9的最小公倍数记作 [6, 9] = 18。

3. 公倍数的特征：两个数的公倍数都是它们最小公倍数的倍数；没有最大的公倍数，只有最小的公倍数。

例题 1（基础）——找两个数的公倍数和最小公倍数

题目：找出8和12的公倍数和最小公倍数。

【解析】

方法一（列举法）：

 8的倍数：8, 16, 24, 32, 40, 48, …

 12的倍数：12, 24, 36, 48, …

 公倍数：24, 48, … ；

最小公倍数：24。

方法二（筛选法）：

  先写出较大数12的倍数：12, 24, 36, 48, …

  再从中找出8的倍数：24, 48 … ，第一个24就是最小公倍数。

【答案】 8和12的公倍数有24、48、72……，最小公倍数是24。

 

 

 

变式训练 1-1 在10、15、20、30、40、60中，是6的倍数的有（　　），是10的倍数的有（　　），既是6的倍数又是10的倍数的有（　　），6和10的最小公倍数是（　　）。

【答案】 30, 60；10, 20, 30, 40, 60；30, 60；30

 

 

变式训练1-2 用列举法写出下面每组数的最小公倍数。

（1）4和10　　（2）6和15

【答案】 （1）20　（2）30

【解析】（1）4的倍数：4,8,12,16,20,24…；10的倍数：10,20,30…；最小公倍数20。

（2）6的倍数：6,12,18,24,30…；15的倍数：15,30…；最小公倍数30。

 

 

变式训练1-3 （2023·镇江京口月考）如果 a 和 b 是两个连续的偶数（均大于0），那么 a 和 b 的最小公倍数是（　　）。

A. a　　B. b　　C. ab　　D. ab÷2

【答案】D

【解析】两个连续偶数如8和10，它们是相邻偶数，最大公因数是2，最小公倍数＝它们的乘积÷2。所以选 ab÷2。

知识点二：求最小公倍数的方法

 

知识要点：

 

1. 列举法：分别写出各数的倍数，找出公有的倍数，其中最小的即为最小公倍数。

2. 筛选法：先写出较大数的若干倍数，再从中圈出较小数的倍数，第一个就是最小公倍数。

3. 短除法：用它们的公因数（通常从最小的质数开始）去除，除到商只有公因数1为止，然后把所有的除数和商连乘起来。

4. 特殊关系：

（1）倍数关系：较大数是较小数的倍数，则较大数就是它们的最小公倍数。如 [5, 15] = 15。

（2）互质关系：两个数的公因数只有1，则它们的乘积就是最小公倍数。如 [7, 8] = 56。

（3）一般关系：既不是倍数关系，也不是互质关系，可以用短除法或列举法求。

 

 

例题 2（中等）——用短除法求最小公倍数

 

题目：（2023·徐州云龙期末）求36和48的最小公倍数。

【答案】 36和48的最小公倍数是144。

【方法总结】 短除法求最小公倍数：用两个数的公有质因数去除，除到商互质为止，最后将所有的除数与商连乘。注意与最大公因数的区别：最大公因数只乘除数，最小公倍数要乘除数和商。

 

 

 

变式训练 2-1 求下面每组数的最小公倍数，说说你发现了什么。

（1）9和27　　（2）8和15

【答案】

（1）27；发现：当大数是小数的倍数时，大数就是它们的最小公倍数。

（2）120；发现：当两个数互质时，它们的乘积就是最小公倍数。

 

 

 

变式训练2-2 （2024·无锡惠山调研）已知 A＝2×3×5，B＝2×3×7，则 A 和 B 的最小公倍数是（　　）。

A. 6　　B. 30　　C. 210　　D. 420

【答案】C

【解析】A和B公有质因数2和3，A独有的质因数是5，B独有7。最小公倍数＝2×3×5×7＝210。