第五章分式方程 复习 课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件围绕分式的概念、性质、运算及分式方程的解法与应用展开，课前通过试验田产量、行程问题等实际情境引导学生抽象分式关系，搭建从现实问题到数学模型的学习支架，衔接知识点系统梳理。 其亮点在于以实际问题（如运输装运、铅笔进价）培养模型意识，通过分式变形求值（如已知\(a+\frac{1}{a}=5\)求分式值）发展运算能力与推理意识，采用讲练结合帮助学生巩固，教师使用可高效突出重难点，助力学生提升用数学思维解决问题的能力。

小结与复习 课前练习 1.有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg。如果设第一块试验田每公顷的产量为 x kg，那么那么x满足怎样的分式方程? 2. 有一道题：“先化简，再求值： ，其中 ”. 小玲做题时把 错抄成 ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事. 解： ∴ 结果与 x 的符号无关. 3. 已知 x2 - 5x + 1 = 0，求出 的值. 解：∵ x2 - 5x + 1 = 0， 得 即 ∴ 解：最简公分母为 (x + 2)(x﹣2)， 去分母得(x﹣2)2 - (x+2)(x﹣2)=16， 整理得 ﹣4x + 8 = 16，解得 x =﹣2， 经检验，x =﹣2 是增根， 故原分式方程无解． 4. 2.从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半.如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为 x h，那么那么x满足怎样的分式方程? 3. 某运输公司需要装运一批货物。由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，6 h 完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1 h 完成了另一半任务。如果设单独采用机械装运 x h 可以完成一个任务，那么 x 满足怎样的分式方程？ 人工装运的工作效率为： 机械装运的工作效率为 ： 题中的等量关系为：1h机械的工作量+1h人工的工作量 =总任务的一半 一、分式 1. 分式的概念： 一般地，如果 A，B 都表示整式，且 B 中含有字母，那么称 为分式.其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母. 2. 分式有意义的条件： 对于分式 ： 当_______时分式有意义； 当_______时无意义. B≠0 B = 0 3. 分式值为零的条件： 当______________时，分式 的值为零. A = 0 且 B≠0 4. 分式的基本性质： 分式的符号法则： 5. 分式的约分： 约分的定义 把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 最简分式的定义 分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式. 注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式. 6. 分式的通分： 分式的通分的定义 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分. 最简公分母 通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母. 二、分式的运算 1. 分式的乘除法则： 2. 分式的乘方法则： 3. 分式的加减法则： (1) 同分母分式的加减法则： (2) 异分母分式的加减法则： 4. 分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式. 三、分式方程 1. 分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 2. 分式方程的解法 (1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； (2) 解这个整式方程； (3) 检验整式方程的解，判断是否存在增根. 3. 分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤 (1) 审：审清题意，找出相等关系； (2) 设：设出未知数； (3) 列：列出方程； (4) 解：解这个分式方程； (5) 验：验根（包括两方面： ①是不是分式方程的根；②是否符合题意）； (6) 答：写答案. 考点讲练 例1 如果分式 的值为 0，那么 x 的值为 . 【解析】结合分式有意义的条件解答. 由题意可得：x2 - 1 = 0，解得 x = ±1. 当 x = -1时，x + 1 = 0；当 x = 1 时，x + 1≠0. 1 考点一 分式的有关概念 考点讲练 分式有意义的条件是：分母不为 0，分式无意义的条件是分母的值为 0； 分式的值为 0 的条件是：分子为 0 而分母不为 0. 归纳总结 考点一 分式的有关概念 考点讲练 2. 如果分式 的值为零，那么 a 的值为 . 2 1. 若分式 无意义，则 的值为 . -3 【练一练】 考点一 分式的有关概念 考点讲练 例2 如果把分式　　　中的 x 和 y 的值都变为原来的 3 倍，那么分式的值（　　） B A. 变为原来的 3 倍　 B. 不变　 C. 变为原来的　 D. 变为原来的 考点二 分式的性质及有关计算 考点讲练 3. 下列变形正确的是 ( ) C 【练一练】 考点二 分式的性质及有关计算 考点讲练 例3 已知x= ，y= ，求 值. 【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值. 把 x = ，y = 代入得 解：原式= 原式= 考点二 分式的性质及有关计算 考点讲练 对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法. 归纳总结 考点二 分式的性质及有关计算 考点讲练 例4 解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显然现在解不出 a 的值，如果将 的分子、分母颠倒过来，即求 的值，再利用公式变形求值就简单多了． 考点二 分式的性质及有关计算 考点讲练 利用互为倒数的关系，构造已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简捷． 考点二 分式的性质及有关计算 考点讲练 例5 解下列分式方程： 考点三 分式方程的解法 【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方 程的解得到 x 的值，经检验即可确定出分式方程的解． 解：(1) 去分母得 x + 1 + x - 1 = 0，解得 x = 0. 经检验，x = 0 是分式方程的解. (2) 去分母得 x - 4 = 2x + 2 - 3，解得 x = -3. 经检验，x = -3 是分式方程的解. 考点讲练 解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 归纳总结 考点三 分式方程的解法 解：根据题意得 400×1.3＝520 (千米). 答：普通列车的行驶路程是 520 千米. 考点讲练 例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍． (1) 求普通列车的行驶路程； 解析：根据高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍即可求解. 考点四 分式方程的应用 考点讲练 (2) 若高铁的平均速度 (千米/时) 是普通列车平均速度 (千米/时) 的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平均速度． 解析：设普通列车的平均速度是 x 千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，列出分式方程，然后求解即可． 考点四 分式方程的应用 考点讲练 解：设普通列车的平均速度是 x 千米/时，则高铁的平均速度是 2.5x 千米/时，根据题意得 解得 x＝120，经检验 x＝120 是原方程的解，则高铁的平均速度是 120×2.5＝300(千米/时)． 答：高铁的平均速度是300 千米/时． 考点四 分式方程的应用 考点讲练 7. 某施工队挖掘一条长 90 米的隧道，开工后每天比原计划多挖 1 米，结果提前 3 天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖 x 米，则依题意列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. C 考点四 分式方程的应用 考点讲练 8. 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？ 解：设第一次每支铅笔进价为 x 元，根据题意列方程，得 解得 x = 4. 经检验，故 x = 4 原分式方程的解. 答：第一次每支铅笔的进价为 4 元. 考点四 分式方程的应用 课堂小结 分式 分式 分式的定义及有意义的条件等 分式方程 分式方程的应用 步骤 一审二设三列四解五检六答，尤其不要忘了验根 类型 行程问题、工程问题、销售问题等 分式的运算及化简求值 分式方程的定义 分式方程的解法 $